CC BY
34
У
Матричный резонанс в диффузной системе с распределенными параметрами
Ключевые слова: матричный резонанс, диффузная система, распределенные параметры.
Рассматривается возможность резонанса в диффузной системе с распределенными параметрами при векторной параметризации сигналов на входах системы, описываемой дифференциальным уравнением математической физики в частных производных. Рассмотренный способ испытания системы является альтернативным традиционному частотному методу- В качестве примера рассмотрено моделирование резонанса в системе с тремя входами и одним выходом.
Зельманов С-С-,
к.т.н, доиент Волго-Вятского филиала МТУСИ, [email protected]
Введение
Резонанс в системах с распределенными параметрами (длинных линиях), обладающих пренебрежимо малыми потерями известен и достаточно хорошо изучен. Известны работы по резонансу в распределенных параметрических системах [1, 2]. Что же касается линейных стационарных систем с распределенными параметрами, обладающими существенными потерями, которые иногда называют диффузными системами или диффузными линиями, то исследование явления резонанса в них практически отсутствует. Это относится, прежде всего, к явлению матричного резонанса формы сигнала, где определена резонансная форма сигнала [3, 4]. Особенностью этого вида резонанса является наступление экстремального отклика на выходе системы при вариации определенной векторной совокупности сигналов с фиксированной энергией на П входах системы [5]. При этом резонанс рассматривается как свойство системы с внешним описанием «вход-выход» в отличие от традиционного классического резонанса системы с внутренним описанием [6]. Интерес к резонансу в таких системах имеет двоякую природу. С одной стороны, это явление может быть использовано с целью усиления определенных параметров процесса. С другой стороны, крайне необходимо обнаружить и избежать возникновения резонанса, способного разрушить систему.
В настоящее время одним из основных способов испытаний систем при их создании и эксплуатации является частотный анализ, имеющий основную цель - определение собственных частот и форм колебаний конструкций и систем. Этот способ испытаний относится как к механическим, так и к радиоэлектронным системам и связан с определением возможности возникновения резонанса при динамическом поведении системы. Поэтому в системах САПР, в процессе моделирования решаются именно задачи частотного анализа. Например, такая современная система САПР, как, например, «Т-РЬЕХ Анализ», да и другие системы ограничиваются только частотным анализом.
Основанный на матричном резонансе формы критерий резонанса отличается от традиционного критерия тем, что резонанс может возникнуть там, где его не ждут со всеми вытекающими отсюда последствиями различного свойства. Полезность альтернативности такого подхода состоит в том, что с его помощью резонанс может быть обнаружен там, где частотный метод не работает.
Диффузные линии имеют различную физическую природу и могут представлять собой либо проводники в печатных платах и интегральных схемах в условиях ЯС-режима, либо неограниченные стержни с теплоизолированной боковой поверхностью, осуществляющие теплопередачу. Задачи анализа характера процессов в таких системах встречаются, например, при изучении течения газов в микроструктурах и электронного транспорта в наноэлектронике. Аналогия процессов в электрических и иных физических диффузных системах здесь совершенно очевидна. В одном случае речь идет об определении во времени характера напряжения или тока как функций координат линии, в другом случае интерес представляет зависимость концентрации вещества (или иных объектов) от пространственных координат и времени. При этом задается коэффициент, характеризующий проницаемость среды для диффузии, являющийся аналогом коэффициента затухания в электрических системах с распределенными параметрами. Физические процессы, протекающие в упомянутых системах, описываются уравнениями диффузии, представляющими собой дифференциального уравнения в частных производных нестационарного и стационарного типа. Эти уравнения представляют собой частные случаи уравнений математической физики [7]. К ним относится уравнение теплопроводности, описывающее распространение тепла в однородном стержне [8]. Это уравнение имеет вид:
<30(х,/) 2с20(х, О
--а
= Цх, Г)
(1)
При начальных условиях: 0(х,0) = 00(х) и -оо< х <<ю,
\\0(х,фх<а> при ?> О и а * О
Здесь 0(х,Г) - температура, х - расстояние от одного из концов однородного стержня, по которому распространяется тепловой поток, / - время, а - положительная константа, являющаяся аналогом коэффициента затухания, определяющая скорость распространения тепла.
Совершенно очевидно, что уравнение (1) описывает систему с распределенными параметрами пока и поскольку размер системы значительно больше длины свободного пробега носителей. Это очевидно справедливо и для длинной электрической линии с потерями, как системы с распределенными параметрами, ее длина соизмерима е длиной волны источника сигнала. Поэтому уравнение теплопроводности адекватно описывает и ЯС-линию, процесс распространения энергии в которой носит диффузный характер.
48
Т-Сотт #3-2013
У
Постановка задачи
1. Необходимо определить для нескольких входов системы вид одновременно действующих сигналов, вызывающих экстремальную реакцию на выходе системы.
2. В качестве импульсной характеристики использовать её функцию Грина, поскольку соответствующий ей сигнал вызовет в определенный момент времени максимальную реакцию на выбранном выходе системы.
3. Зафиксировать координату выхода системы и, выбрав произвольно координаты ряда входных точек системы, определить для каждой из них функцию Грина по отношению к выходу системы.
4. Сформировать для всех выбранных входов соответствующие зеркально-смещенные сигналы и подать их на соответствующие входы системы.
5. Определить результирующий сигнал, т.е. отклик системы с помощью операции свёртки зеркально-смещенных сигналов с соответствующими импульсными характеристиками и последующего суммирования результатов свертки.
6. Убедиться по характеру отклика о наличии матричного резонанса в системе.
Решение задачи
Для системы с значительными потерями, описываемой уравнением теплопроводности (1), функция Г рина имеет вид:
С(х,іО =
1
ехр
(х-4)2
4а2/
(2)
Это так называемая функция источника для уравнения системы с распределенными параметрами или ее импульсная характеристика.
Вначале выберем одну точку входа £ и одну точку выхода Хр т.е. точки, для которых импульсная характеристика будет иметь вид:
<3(хЛ.0 =
1
2а\/я7
ехр
4а2/
(3)
о/ ч 0,282
6(т) =---------ехр
(4)
Если, например, произвольно выбрать 4 входа так, чтобы для них разность с1т принимала значения: с/, = 0,5: с/2 = 1;
с/3 =1,5; с/4 = 2, то полученная совокупность импульсных характеристик по всем входам в интервале от т = 0 до т = 10 через Дт = 0,1 и их сумма будут иметь вид, представленный на рис. 1.
Соответственно, чем больше растояние С1т, тем меньше
максимум импульсной характеристики.
Для вычисления отклика системы необходимо определить вид сигнала, являющегося для каждого из входов «резонансным». В качестве такого сигнала, в частности, при импульсной характеристике (3), будет сигнал, являющийся её смещено-зеркальным отображением вида:
и,(х1,^(Г-Г)) =
1
2а^-Т)
ехр
(*і -4іГ
4 а2(/-Г)
(5)
где Т - ограниченная длительность сигнала. Т-Сотт #3-2013
о.в
0.Г2 0 .(Л 0.Ї« 0.48 0.4 0.32 0.24 0.1« 0.08 О
Рис. 1. Импульсные характеристики по разным входам системы и их сумма
Аналогичными, с учетом координаты, должны быть «резонансные» сигналы и по другим входам системы.
Для определения резонансного отклика системы на входные сигналы необходимо вычислить свертку каждого из этих сигналов с соответствующей импульсной характеристикой и просуммировать результаты.
Выражение для выходного сигнала системы как результата дискретной свертки входного сигнала и соответствующей импульсной характеристикой имеет вид:
1
‘ч
" —--
1 г 4 % Г 8 » 10
и2(/Дт) = £ б(/сДт) • и, [п - (/ - /с)]Дт *-1
/ = 1,2,3.....п
0,25с£
(6)
где С{кАт) =
0,282
[л-(/-*)]Д-
0,282
/сДт
-ехр
ехр —---------=•
(кАт)2
0.25<£
([л-(/-/с)]Дт):
; и,[л-(/-/с)]дт=
Очевидно, что разность между входом и выходом может быть представлена как = (х, - ) •
Если произвести замену т=>/а^, то выражение (3) примет вид:
0,25 <£
Результат вычисления дискретной свертки для каждого их 4х случаев при длительности сигнала Т = п = 100, Дт = 0,1 с последующим суммированием представлен на рис. 2.
ЛИ»)
Рис. 2. Отклик системы при действии сигналов на каждый из четырех ее входов и суммарный отклик при матричном резонансе
т
Заключение
В линейной стационарной системе с распределенными параметрами диффузного типа возможен матричный резонанс при определенном сочетании сигналов на её входах. Величина отклика на каждый из входных сигналов обратно пропорциональна удаленности входа сигнала от выхода системы. При одновременном воздействии сигналов на различных входах системы может наблюдаться экстремальная реакция на выходе, которая при определенных условиях может спровоцировать разрушение системы. Такой подход к испытаниям системы может оказаться полезным для установления её запаса по устойчивости к возможным разрушениям. При этом частотный анализ может не обеспечить желаемых результатов, так как частотный резонанс в системе может отсутствовать вследствие значительных потерь в ней.
Литература
1. Вссницкнй А.И., Потапов А.И. Теория колебаний распределенных параметрических систем. Учебное пособие / Весницкий А.И., Потапов А.И. - Горький: ГГУ, 1980. - С. 56-58.
2. Весницкий А.И. Волновые процессы в нестационарных упругих системах: ИЛ РГБОД 71: 85-1/180.С35-38.
3. Зельманов С.С. Исследование явления резонанса формы сигнала в согласованном фильтре / С.С.Зельманов // Электросвязь. 2011, № 1. - С. 34-37.
4. Зельманов С.С. Матричный резонанс формы / С.С. Зельманов // Труды Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева №4(91). - Нижний Новгород, 2011. -С. 30-37.
5. Зельманов С.С. Резонанс в линейной стационарной динамической системе с п входами и одним выходом, 67-ая Всероссийская с международным участием «Научная сессия, посвященная Дню радио». 67-th RDC-2012-Radio Day Conference with the International Partipicipation. - Москва, 2012. - C. 130-132.
6. Зельманов С.С. Обобщение понятия частотного резонанса на поведенческую модель линейной динамической системы с внешним описанием / С.С.Зельманов // T-Comm - Телекоммуникации и транспорт, 2012. - №5. - С. 44-46.
7. Будак Б.М., Самарский A.A., Тихонов А.И. Сборник задач по математической физике. - М.: Наука, 1972. - С. 115-116.
8. Бутковскнй А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. Справочное пособие. Главная редакция физикоматематической литературы. - М.: Наука, 1979. - С. 49-50.
MATRIX RESONANSE IN THE DIFFUSION SYSTEM WITH THEN DISTRIBUTED PARAMETERS Zel'manov S.S., Moscow Technical University of Communication and Informatics (Volgo-Vyatskiy Branch MTUCI), [email protected]
Abstract
This article considers the possibility of the resonance in the diffusion system with distributed parameters in the presence of the vector parameterization of signals at the system inputs, which is described by the differential equation of the mathematical physics in the quotient derivatives. The described method of the system testis the alternative to the traditional frequency method.
Keywords: matrix resonance, diffusion system, distributed parameters.
References
1. VesnitskiiA.I., PotapovA.I. The theory of vibrations from the distributed parameter systems. GSU, 1980. Pp. 56-58.
2. Vesnitskii A.I. Wave processes in non-stationary systems of elastic-Hill RSL OD 71: 85-1/180, Pp. 35-38.
3. Zel'manov S.S. The investigation of the resonance signal in the form of a matched filter / Electrosvyaz, 2011, №1. Pp. 34-37.
4. Zel'manov S.S. Matrix resonance forms // Proceedings of the Nizhny Novgorod State Technical University named. R.E. Alexeyev number4 (91). Nizhny Novgorod, 2011. Pp. 30-37.
5. Zel'manovS.S. Resonance in the linear time-invariant dynamical system with n inputs and one output, the 67th All-Sky with international participation 'The scientific session devoted to Radio Day". 67-th RDC-2012-Radio Day Conference with the Interna-tional Partipicipation. Moscow, 2012. Pp. 130-132.
6. Zel'manov S.S. A generalization of the resonance frequency on the behavioral model of a linear dynamic system with an external description // T-Comm -Telecommunication and Transport, 2012. №5. Pp. 44-46.
7. Budak B.M., Samara A.A., TikhonovA.N. Problems in mathematical physics. Moscow: Nauka, 1972. Pp. 115-116.
8. Butkovskiy A.G. Characteristics of distributed parameter systems. A Reference Guide. Home Edition physical and mathematical literature. Moscow: Nauka, 1979. Pp. 49-50.
50
T-Comm #3-2013
