Режимы смазки контакта цилиндра с упругим покрытием и жесткого полупространства Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.516.5:621.89.012.75

РЕЖИМЫ СМАЗКИ КОНТАКТА ЦИЛИНДРА С УПРУГИМ ПОКРЫТИЕМ И ЖЕСТКОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА

А.И. БЕСПОРТОЧНЫЙ

Статья представлена доктором технических наук Вышинским В.В.

Рассматривается одномерное течение смазочной жидкости в тонком слое, разделяющем цилиндр с упругим покрытием и жесткое полупространство. Исследуются различные асимптотические режимы смазки. Указаны диапазоны применимости ряда формул для расчета толщины смазочной пленки.

Ключевые слова: смазка, контакт, асимптотические режимы.

Рассмотрим плоскую стационарную задачу о качении с проскальзыванием бесконечного цилиндра радиуса R по тонкому слою вязкой несжимаемой жидкости, нанесенному на жесткое неподвижное полупространство (рис. 1). Цилиндр движется со скоростью U относительно полупространства (справа налево в плоскости рисунка) и вращается с угловой скоростью ю относительно своей оси. С областью гидродинамического контакта цилиндра и полупространства свяжем декартову систему координат Oxyz (ось Оу направим вдоль оси цилиндра, ось Oz - перпендикулярно контакту, а ось Ох - в направлении, противоположном направлению качения цилиндра).

Рис. 1. Качение цилиндра по слою жидкости

В выбранной системе координат распределение давления в тонком слое смазочной жидкости, разделяющем цилиндр и полупространство (т.е. внутри области гидродинамического контакта), описывается одномерным стационарным уравнением Рейнольдса

где p(x) - контактное давление, отсчитываемое от атмосферного; ц' - динамическая вязкость жидкости; ц' u = ^ + юR)/2 - полусумма скоростей поверхностей контактирующих тел относительно указанной системы координат (заметим, что в случае чистого качения цилиндра (без проскальзывания) u = U = юR); h(x) - толщина слоя жидкости; ^ - ее расходное значение

(^ = q0/u, где q0 - расход жидкости между контактирующими телами); x = a и х = с - входная и выходная границы области гидродинамического контакта.

}¥

(1)

При контактных давлениях, значительно превышающих (по модулю) возможные капиллярные давления и напряжение разрыва жидкости, граничные условия для уравнения Рейнольдса (1) имеют вид

р(а) = р(с) = ^ = 0. (2)

ах

Величина а обычно считается заданной, с и И0 подлежат определению. Вместо а может быть задан расход ^0 = пк0, при этом а и с - неизвестны.

Вязкость ц' смазывающей жидкости сильно растет с увеличением давления р и значительно падает с ростом температуры Т: ц' = ц'(р,Т). В изотермическом приближении (которое и будет в дальнейшем рассматриваться) зависимость вязкости от давления аппроксимируется экспонентой (закон Баруса)

Ц'(Р) = Ц 0exp(a'p), (3)

где а' - пьезокоэффициент вязкости; ц 0 - вязкость при р = 0 (напомним, что давление отсчитывается от атмосферного).

Цилиндр имеет упругое покрытие, поэтому деформация поверхности цилиндра пропорциональна локальному контактному давлению. Учитывая также малость ширины области контакта по сравнению с радиусом цилиндра, для толщины смазочного слоя получим

2

х

И(х) = ^ + — + Ср(хХ х е (а,c), (4)

2R

где z0 - координата по оси Oz (аппликата) точки недеформированной поверхности цилиндра,

соответствующей х = 0 ^ = 0 соответствует поверхности полупространства); С - упругая по-

стоянная покрытия цилиндра.

Давление, действуя на поверхность цилиндра, создает усилие , приходящееся на единицу длины цилиндра вдоль оси Оу, которое компенсирует внешнюю нагрузку Ж, приложенную к цилиндру

с

' = Wz = | р(х)ёх . (5)

а

Величина ' , как правило, задается, а г0 подлежит определению.

Таким образом, задача о контакте цилиндра с упругим покрытием и жесткого полупространства при наличии смазочного слоя заключается в совместном решении уравнений (1) и (4) с учетом выражения (3), граничных условий (2) и условия нормировки (5).

В работах [1] и [2] был проведён подробный и согласованный асимптотический анализ системы (1) - (5) в практически важном случае больших нагрузок Ж на единицу длины цилиндра и

обильной подаче смазочного материала в контакт (|а| >> Ь*, где Ь* = \l3CWR/2 - полуширина области сухого контакта цилиндра с полупространством). Прежде чем приступить к рассмотрению основных результатов этого анализа, перейдем в системе (1) - (5) к безразмерным переменным: х и с отнесем к Ь*, р к р* = 3'/(4Ь*), И, И0 и z0 к 5* = b2/(2R) = Ср*, где р* и 5*

- соответственно максимальное давление и относительное упругое сближение, характеризующие сухой контакт цилиндра с упругим покрытием и жёсткого основания. Тогда для режима обильного смазывания система (1) - (5) будет содержать только два параметра (также, естественно, безразмерных)

^ , г, „г 48ц 0uR2 32ц 0uR

00 = а р* > 0 и ^ = —3 = —— > 0 .

р*Ь* '5*

Параметр О0 представляет собой отношение р* к давлению 1/а', при котором существенно возрастает вязкость смазочного материала (согласно выражению (3)). Параметр

Ршах^ = 1,521ц0и^™/(Ь™)2 = 0,1986д^/(ц0и) - соответственно (согласно [3])

минимальная толщина смазочной плёнки и максимальное давление в слое жидкости постоянной вязкости, разделяющей жёсткий цилиндр и жёсткое полупространство (т.е. при

смазки твердых тел (режим 1УЯ) по классификации Джонсона [4]).

В плоскости введенных параметров О0 и У0 рассматриваемому случаю тяжелонагруженного

контакта цилиндра и полупространства соответствует подобласть, определяемая условием У0 << 1.

И в этой подобласти можно выделить три характерные предельные (асимптотические) ситуации:

1) вязкость смазочной жидкости практически постоянна внутри области упругогидродинамического (УГД) контакта - режим изовязкой смазки твердых тел с упругим покрытием (режим 1УБС): У0 << 1, 00 << 1;

2) вязкость существенно увеличивается с ростом давления, но упругие свойства покрытия цилиндра проявляются до того, как "включится" зависимость (3) вязкости от давления: У0 << 1,

3) зависимость вязкости от давления "включается" раньше, чем проявляются упругие свойства покрытия - режим пьезовязкой смазки твердых тел с упругим покрытием (режим РУЕС):

Течение жидкости между цилиндром и основанием в каждом из указанных случаев естественным образом разбивается на ряд примыкающих друг к другу участков (рис. 2), имеющих собственные отличительные черты.

Количество таких участков и особенности поведения давления и толщины смазочного слоя в них зависят от конкретной асимптотической ситуации. Но во всех случаях неизменно присутствуют два участка:

а) центральный (несущий) участок. Его линейные размеры и распределение давления определяются условиями сухого контакта цилиндра с упругим покрытием и жесткого полупространства;

б) входной участок, на котором наблюдается безрасходное течение несжимаемой жидкости постоянной вязкости между жесткими телами заданной формы.

и

8.=0,153у0 >> 1 и а'ртту1) = 2,119Р0Д/У^ << 1, что соответствует режиму изовязкой

р0 >> 1, р0л/У^ << 1;

у0 <<1, ^ >> 1, ^л/У0 >>1, Q0У0 << 1.

II III

V VI

I

-с 0 с х

Рис. 2. Характерные участки области УГД-контакта

В предельном случае, определяемом условиями У0 << 1, Q0 << 1 (режим 1УЕС), кроме указанных двух, можно выделить еще два участка. Это погранслои, окаймляющие центральный участок, внутри которых возникают (исчезают) эффекты, связанные с упругими свойствами покрытия, а уравнение Рейнольдса (1) "трансформируется" в уравнение сухого контакта (в главном приближении). Заметим также, что внутри погранслоев недеформированная поверхность цилиндра с достаточной точностью аппроксимируется наклонной пластиной - касательной к поверхности цилиндра, а течение жидкости на этих участках уже нельзя считать безрасходным. Толщина смазочного слоя внутри центрального участка в главном приближении определяется градиентом давления, соответствующим сухому контакту цилиндра и полупространства, и в результате этого согласно [2] монотонно падает от 1,5И0 до Ьш;п = 0,8491Ь0 . Причем значение расходной толщины слоя жидкости определяется максимальным входным градиентом контактного давления, а значение минимальной толщины - минимальным выходным градиентом.

В асимптотической ситуации У0 << 1, Q0 >> 1, Q0^/У0 << 1 дополнительно возникают еще два участка, отделяющие погранслои от центрального участка (рис. 2, пунктир соответствует предыдущему случаю У0 << 1, Q0 << 1). В них "включается" и "выключается" зависимость (3) вязкости от давления. Толщина смазочного слоя внутри центрального участка постоянна и равна своему расходному значению И0. Расходное и минимальное значения толщины смазочной пленки в этой ситуации оказываются такими же, как и в предыдущем случае ( У0 << 1 , Q0 << 1), то есть по-прежнему определяются соответственно максимальным входным и минимальным выходным градиентами давления, которые находятся из решения задачи о сухом контакте цилиндра и полупространства, и не зависят (в главном приближении) от пьезокоэффициента вязкости а'. Входной градиент давления успевает достигнуть максимума прежде, чем становится заметным изменение вязкости, а выходной градиент достигает минимума уже после того, как нормализуется вязкость. Таким образом, асимптотическую ситуацию У0 << 1,

Qo >> 1, Q0Л/У0 << 1 можно рассматривать совместно с ситуацией У0 << 1, Q0 << 1 как обобщенный режим изовязкой смазки твердых тел с упругим покрытием (обобщенный режим 1УЕС): У0 << 1, QoЛ/У0 << 1.

Наконец, в случае У0 << 1, Q0 >> 1, QOд/y0 >> 1, Q0V0 << 1 (режим РУЕС) погранслои

меняются местами с участками "включения" ("выключения") зависимости (3) (т.е. на входе в УГД-контакт рост вязкости смазочного материала начинается раньше, чем успевают проявиться упругие свойства покрытия цилиндра; на выходе из контакта, наоборот, сначала исчезают упругие деформации покрытия, а потом приходит в норму вязкость). Следует также отметить, что

при Q0Л/V0 >> 1 толщина смазочного слоя внутри центрального участка также постоянна с большой степенью точности и равна своему расходному значению И0.

Для искомой минимальной толщины смазочной пленки И согласно [2] справедливы следующие приближенные выражения (возвращаемся к размерным переменным):

а) обобщенный режим изовязкой смазки твердых тел с упругим покрытием (обобщенный ГУЕС)

к(1уЕС) = 0,8941И0ГУЕС) = 0,243^0"8* при у << 1, QoЛ/У0<< 1;

б) режим пьезовязкой смазки твердых тел с упругим покрытием (РУЕС)

Ь;„РУЕС| = 1,0РУЕС>/2 = 00У08*/8 при У0 << 1, 0^Л/У0>> 1, QoVo << 1.

Видно, что в тяжелонагруженном гидродинамическом контакте ( У0 << 1) цилиндра с упругим покрытием и жесткого полупространства слой смазочной жидкости постоянной вязкости ^0 << 1 ) оказывается существенно более толстым (режим ГУЕС), чем слой жидкости постоянной вязкости, разделяющий жёсткий цилиндр (без упругого покрытия) и жёсткое полупространство (режим ГУЯ) при прочих равных условиях нагружения

И™ = 0,816Ь0ГУК) = 4,895 р 0иЯ^ = 0,153У0 8*.

С другой стороны, смазочные материалы с большим пьезокоэффициентом вязкости (режим РУЕС: Q0Л/У0 >> 1, Q0У0 << 1) обеспечивают существенно большую толщину смазочной

пленки, чем жидкости постоянной вязкости ^0 << 1 ).

Для сравнения следует отметить, что в случае У0 << 1, Q0V0 >> 1 минимальная толщина

2/3 21 /3

смазочного слоя Ьш;п = 0,816И0 = 0,252^0У0) 8* = 1,666[(а'р0и) Я ] не зависит от упругих

свойств покрытия цилиндра, нагрузки, действующей на него, и имеет такое же значение, как и в случае качения жесткого цилиндра (Ь(ук)/8* = 0,153У0 >> 1) по тонкому слою вязкой несжимаемой жидкости с большим пьезокоэффициентом вязкости (а'р(ГуХ1) = 2,119QO/Л/y0 >> 1),

нанесенному на жесткое неподвижное основание (что соответствует режиму пьезовязкой смазки твердых тел (режим РУЯ) по классификации Джонсона [4]). На самом деле, последнюю формулу можно применять, если одновременно выполнены два условия (обобщенный режим

пьезовязкой смазки твердых тел (обобщенный режим РУЯ)): а'р(уХ1) = 2,119Q0/Л/yC >> 1 и

Ь(|руК) /8* = 0,252^0У0)2/3 >> 1, то есть, если толщина слоя жидкости с большим пьезокоэф-

фициентом вязкости существенно превышает упругие деформации поверхности цилиндра.

Таким образом, в полном соответствии с классификацией Джонсона [4] можно выделить четыре асимптотических режима обильной смазки контакта цилиндра с упругим покрытием и жесткого полупространства:

1) режим изовязкой смазки твердых тел (ГУЯ)

ьСГУб. = 0,15эу0 >> 1, ау;;'« = 2,1 << 1,

И™ = 0,816И0ГУЯ) = 4,895 р 0иЯ^ = 0,153У0 8*;

2) обобщенный режим изовязкой смазки твердых тел с упругим покрытием (обобщенный ГУЕС) У0 << 1, QoЛ/Vo' << 1,

Ь|;™С) = O,8941h0ГУEC| = 0,24^1/У08-;

3) режим пьезовязкой смазки твердых тел с упругим покрытием (РУЕС)

Ус << 1, Qo,/У0 >> 1, $0Ус << 1,

h:S;EC| = 110—72 = QсУс 8*/8;

4) обобщенный режим пьезовязкой смазки твердых тел (обобщенный РУЯ)

а'р|™> = 2,1190^7;; >> 1, 1(РУК>/8, = 0,252(QoУo|J/3 >> 1,

1(РУК) = 0,81610 = 0,252«0У0)2'3 8> = 1,666[(а'р 0и)2К ]1/3.

Все четыре указанных режима могут быть наглядно представлены в виде схематической диаграммы (аналог диаграммы Джонсона [4]) в плоскости безразмерных параметров У0 и Q0•У0 (рис. 3).

100

10

>

о

1.0

0.1

0.01

0.0001 0.001 0.01 0.1 1.0 10 100

Vo

Рис. 3. Асимптотические режимы смазки

На рис. 3 сплошные линии - линии уровня безразмерной минимальной толщины смазочной пленки hmin/ 5 * для соответствующих асимптотических режимов смазки, пунктирные линии -интерполяция.

ЛИТЕРАТУРА

1. Анфёров О.Ю., Беспорточный А.И., Галахов М.А. Изнашивание и смазывание узлов трения: учеб. пособие для слушателей заочных курсов повышения квалификации инженеров-конструкторов в машиностроении. - М.: Машиностроение, 1989.

2. Беспорточный А.И., Галахов М.А. Математическое моделирование в триботехнике: учеб. пособие. - М.: МФТИ, 1991.

3. Галахов М. А., Гусятников П.Б., Новиков А.П. Математические модели контактной гидродинамики. - М.: Наука, 1985.

4. Johnson K.L. Regimes of elastohydrodynamic lubrication // Journal of Mechanical Engineering Science, 1970, Vol. 12, p. 9.

LUBRICATION REGIMES OF CONTACT OF THE CYLINDER WITH AN ELASTIC COATING AND RIGID HALF-SPACE

Besportochnyy A.I.

One-dimensional flow of lubricating fluid in the thin layer separating the cylinder with an elastic coating and rigid half-space is considered. Different asymptotic lubrication regimes are under investigation. The ranges of applicability of a number of formulas for calculating the film thickness are indicated.

Key words: lubrication, contact, asymptotic regimes.

Сведения об авторе

Беспорточный Александр Иванович, 1965 г.р., окончил МФТИ (1988), старший преподаватель кафедры высшей математики МФТИ, автор 15 научных работ, область научных интересов - асимптотические методы в контактной гидродинамике.

h=5.0 PVR \ \

h=2.0

h=1.0 h=0.5 h=0.2 N _ —. \ | j

h=0.1 i 1 ’ _ ■ v -\ ' 11 11 11 11 ■ I I V R

h=0.05 p h-0.02 VEC N \ " \ 1 J l I ! j ■

h=0.01 i 1 L IVEC i 1 1 1 1 i i * 11 11 11 11 11