Асимптотические режимы гидродинамического контакта жестких цилиндров, покрытых тонкими упругими слоями Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.516:621.89

А.И. Беспорточный

Московский физико-технический институт (государственный университет)

Асимптотические режимы гидродинамического контакта жестких цилиндров, покрытых тонкими упругими слоями

Рассматривается течение смазочной жидкости в тонком слое, разделяющем цилиндр с упругим покрытием и жесткое полупространство. Вязкость жидкости растет с увеличением давления. Исследуются характерные особенности поведения толщины смазочной пленки и распределения давления внутри области контакта. Выделяются различные асимптотические режимы смазки. Указаны диапазоны применимости ряда формул для расчета толщины смазочной пленки.

Ключевые слова: смазка, гидродинамический контакт, упругое покрытие, качественный анализ, асимптотические режимы.

I. Введение

Определение толщины смазочной пленки между контактирующими телами является одной из основных задач теории смазки. Однако расчетные значения толщины слоя смазки в тяжело нагруженных гидродинамических контактах жестких тел оказываются нереально малыми [1, 2]. Чтобы расчеты соответствовали действительности, необходимо учитывать контактные деформации поверхностей тел, а также значительный рост вязкости смазочного материала при высоких давлениях.

II. Постановка задачи

Рассмотрим плоскую стационарную задачу о качении с проскальзыванием бесконечного цилиндра радиуса Я по тонкому слою вязкой несжимаемой жидкости, нанесенному на жесткое неподвижное полупространство (см. рис. 1). Цилиндр движется со скоростью и относительно полупространства (справа налево в плоскости рисунка) и вращается с угловой скоростью и относительно своей оси. К рассматриваемой задаче сводится задача о гидродинамическом контакте бесконечных цилиндров. С областью гидродинамического контакта цилиндра и полупространства свяжем декартову систему координат Охуг (ось Оу направим вдоль осп цилиндра, ось Ог — перпендику-Ох

тивоположном направлению качения цилиндра).

В выбранной системе координат распределение давления в тонком слое смазочной жидкости, разделяющем цилиндр и полупространство (т. е. внутри области гидродинамического контакта), описывается одномерным стационарным уравнением Рейнольдса [1]:

Ф , ~ Н — Н0 , ч

— = 12^и———, х е (а, с), (1)

где р(х) — контактное давление, отсчитываемое от атмосферного; ^ — динамическая вязкость жидкости; и = и — полусумма скоростей

поверхностей контактирующих тел относительно указанной системы координат (заметим, что в случае чистого качения цилиндра (без проскальзывания) и = и = и Я) Н(х) — толщина слоя жидкости; Н0 — ее расходное значение (Н0 = Ц0, где до — расход жидкости между контактирующими х = а х = с границы области гидродинамического контакта.

а о с х

Рис. 1. Качение цилиндра по слою жидкости

При контактных давлениях, значительно превышающих (по модулю) возможные капиллярные давления и напряжение разрыва жидкости, граничные условия для уравнения Рейнольдса (1) имеют вид [1]:

р(а) = р(с) = = 0. (2)

Величина а обычно считается заданной, с и Но

а

дан расход д0 = иН0, при этом а и с — неизвестны.

Вязкость м смазывающей жидкости сильно

р

падает с ростом температуры Т: м = м(р,Т).

В изотермическом приближении (которое и будет в дальнейшем рассматриваться) зависимость вязкости от давления аппроксимируется экспонентой (закон Баруса) [1]:

М(р) = Мо ехр{ар), (3)

где а — пьезокоэффициент вязкости, Мо — вяз-р = 0

тывается от атмосферного).

Цилиндр имеет тонкое упругое покрытие, поэтому деформация поверхности цилиндра пропорциональна локальному контактному давлению. Учитывая также малость ширины области контакта по сравнению с радиусом цилиндра, для толщины смазочного слоя получим (см. рис. 2):

Х2

Н(х) = го + — + Ср(х), х е (а, с), (4)

го — координата по оси Ог (аппликата) точки не-деформированной поверхности цилиндра, соответ-х = 0 г = 0 С

крытия цилиндра:

С = (1 + ^ )(1 — 2у )

(1 - V)Е С’

где 5с — толщина слоя покрытия, V и Е — коэффициент Пуассона и модуль упругости материала покрытия. Предполагается, что коэффициент Пуассона меньше 0,5.

Рис. 2. Слой жидкости между поверхностями

Давление, действуя на поверхность цилиндра, создает усилие , приходящееся на единицу

Оу

сирует внешнюю нагрузку W, приложенную к цилиндру:

(5)

Величина W, как правило, задается, а го подлежит определению.

Таким образом, задача о контакте цилиндра с упругим покрытием и жесткого полупространства

при наличии смазочного слоя заключается в совместном решении уравнений (1) и (4) с учетом выражения (3), граничных условий (2) и условия нормировки (5).

III. Качественный анализ

Качественный анализ системы (1) - (5), проведённый в работе [3] в предположении об ограниченности и достаточной гладкости р(х) и стро-Н(х)

гогидродинамического (УГД) контакта, позволил установить следующие важные результаты (см. рис. 2), которые вытекают из существования решения системы (1) - (5):

1) а < 0 с > 0 \а\ > с;

2) давление р(х) строго положительно на (а, с), монотонно возрастает на (а, хр) от нуля до максимального значения Ртах = Р(хр) = (с2 —

— хр)/(2СЯ) > 0 хр е (—с, 0^, где хр — точка строгого максимума давления, и монотонно убывает от ртах до нуля на (хр ,с). При этом справедлива оценка сверху: р(х) < (а2 —

— х2)/(2СЯ), х е (а, с);

3) толщина смазочной пленки Н(х) монотонно падает от Н(а) до минимального значения Нт-Ш = = Н(хь) на (а,хь), 0 < х^ < с, где х^ — точка строгого минимума толщины пленки, и монотонно возрастает от Нтп до Но = Н(хр) = Н(с) на (хь, с) при этом Н(х) < Н(а\ х е (а, с);

4) (2\а\ — с)(\а\ + с)2 > 4Ь*, откуда \а\ > Ь*, где Ь* = ^3CWR/2 — полуширина области сухого контакта цилиндра с полупространством. Таким образом, ширина области гидродинамического контакта, по крайней мере, не меньше полуширины области сухого контакта (при прочих равных условиях). Заметим также, что в режиме скудной смазки с ^ Ь* при а ^ —Ь* —

0

5) Ш < Ша = ‘зек, следовательно, при фиксированном положении входной границы х = а < 0 области УГД-контакта, как, например, в случае радиального гидродинамического подшипника скольжения с частичным углом охвата, несущая способность смазочного слоя оказывается конечной.

Если профиль Н(х) зазора между поверхностями, разделенными слоем смазочной жидкости, задан, давление р(х) в смазочной пленке находим (прямой метод) интегрируя уравнение Рейнольдса (1) с учетом зависимости (3) и граничных условий (2). С другой стороны (обратный гидродинамический метод Даусона и Хиггинсона [4]), если известно распределение давления р(х) в смазочном слое, то согласно (1) и (3) толщина Н(х)

удовлетворяет следующему кубическому уравнению:

Н3 — 12мои(Н — Но) = 0, х Є (а, с),

ах

где

П(х)

1 — ехр[—ар(х)]

— приведенное давление, а

ОП ёр Н — Но

— = ехр(—а.р) — = 12 мои—— ах ах Н3

— приведенный градиент давления. Вторая производная приведенного давления равна

-2П

—т = ехр(—ар) -х2

( -р а[-х

+

-2р

-х2

12мои■

3Н0 — 2Н -Н

Н4 ёх

Заметим, что в случае жидкости постоянной вязкости (ар ^ 1) м = Но И П(х) = р(х).

Если входная толщина смазочной пленки Н(а) > 1,5Но, то в некоторой окрестности входной границы х = а области гидродинамического

контакта

—х

х)

ется наибольшим положительным корнем исследуемого кубического уравнения. В точке хп перегиба (й~ХХХп) = 0) восходящего участка эпюры

приведенного давления П(х) входной приведенный —П(х)

градиент давления —Х достигает максимального значения, а Н(хп) является кратным корнем указанного кубического уравнения, откуда нахо-

Н0

данной эпюре контактного давления:

Но = 2

Л

4мои

татх (ехр(—ар)

2

= 3 Н(хп). (6)

На интервале (хп,хр) Н(х) > 0 является уже меньшим положительным («средним») корнем, а

/ N dП(x) „

на промежутке (хр, с), где < 0> — единст-

венным вещественным корнем рассматриваемого кубического уравнения. При этом точка х^ минимума толщины слоя жидкости является однов-

л2т

ременно точкой

еще одного перегиба (—-—Х.Х1

= 0) П( х)

dП(x)

диент давления (Хх также достигает минимального значения:

тіп ( ехр( —ар) -Р ЕХІТ \ -х

12мои

Ншіп — Но

Н3 ■

Отметим, что в случае жидкости постоянной вязкости П(х) = р(х) и, следовательно, значение расходной толщины определяется максимальным входным градиентом контактного давления, а значение минимальной толщины — минимальным выходным градиентом.

IV. Асимптотический анализ

В работах [3] и [2] был проведён подробный и согласованный асимптотический анализ системы (1) - (5) в практически важном случае больших нагрузок W на единицу длины цилиндра и обильной подаче смазочного материала в контакт (\а\ ^ Ь*). Прежде чем приступить к рассмотрению основных результатов этого анализа, перейдем в системе (1) - (5) к безразмерным переменным: х и с отнесем к Ь*, р к р* = 3№/(4Ь*), Н, Но

и го к 5* = Ь*/(2Я) = Ср*, где р* и 5* — соответ-

ственно максимальное давление и относительное упругое сближение, характеризующие сухой контакт цилиндра с упругим покрытием и жёсткого основания. Тогда для режима обильного смазывания получим

( гл ) ёр т/ Н — Но

ехр(—я°р) ^ = ^о~йг •

Н — Но = р + х2 — с2, х е (—ж, с),

р(—ж) = р(с) = 0,

С

J р(х) ах = 3.

— ж

Видно, что безразмерная система содержит только два параметра (также, естественно, безразмерных):

А8моиЯ? 32мо иЯ

Яо = ар* > 0 и Уо

р*ь3

> 0.

Параметр ^о представляет тобой отношение р* к давлению а 5 при котором существенно возрастает вязкость смазочного материала (согласно выражению (3)). Параметр

Н(1УК) ( р V

Уо = 6, 537 = 4, 488 1 р* '

где

(ІУЙ)

Л(

Ншіп

0, 816Н

Р(ІУК)

Ршах

(ІУЙ)

о

: 4, 895

МоиК

2ЕН

(ІУЯ)

рт^ = 1, 521Мои1Н^ =*,198^Н-Я

— соответственно (согласно [1]) минимальная толщина смазочной плёнки и максимальное давление в слое жидкости постоянной вязкости, разделяющей жёсткий цилиндр и жёсткое полупрост-

Л(1УК) (1УШ

ранство (т. е. при ”^1П = 0,153Уо ^ 1 и артах =

= 2,119 —= С 1, что соответствует режиму изо-у Уо

вязкой смазки жестких тел (режим ГУН) по классификации Джонсона [5]).

В плоскости введенных параметров ^о и Уо рассматриваемому случаю тяжело нагруженного гидродинамического контакта цилиндра и полупространства соответствует подобласть, определяемая условием Уо ^ 1. Ив этой подобласти можно

2

выделить три характерные предельные (асимптотические) ситуации:

1) вязкость смазочной жидкости практически постоянна внутри области упругогидродинамического (УГД) контакта — режим изовязкой смазки жестких тел с упругим покрытием (режим 1УЕС):

Уо ^ 1, Я о ^ 1;

2) вязкость существенно увеличивается с ростом давления, но упругие свойства покрытия цилиндра проявляются до того, как «включится» зависимость (3) вязкости от давления:

Уо ^ 1, Я о ^ 1, Яол/Уо ^ 1;

3) зависимость вязкости от давления «включается» раньше, чем проявляются упругие свойства покрытия — режим пьезовязкой смазки жестких тел с упругим покрытием (режим РУЕС):

Уо ^ 1, Яо /Уо ^ 1, Яо Уо ^ 1.

IIIII ] V VI

г т р(х)/^ к у и / к;Г/1 / К И / Л ;: Г 1

I \ 1 IV \;|1

/|(лг)

V Г\ К 1

-с 0 с х

Рис. 3. Характерные участки области УГД-контакта

Течение жидкости между цилиндром и основанием в каждом из указанных случаев естественным образом разбивается на ряд примыкающих друг к другу участков (см. рис. 3), имеющих собственные отличительные черты. Количество таких участков и особенности поведения давления и толщины смазочного слоя в них зависят от конкретной асимптотической ситуации. Но во всех случаях неизменно присутствуют два участка:

а) центральный (несущий) участок. Его линейные размеры и распределение давления определяются условиями сухого контакта цилиндра с упругим покрытием и жесткого полупространства;

б) входной участок, на котором наблюдается без-расходное течение несжимаемой жидкости постоянной вязкости между жесткими телами заданной формы.

В предельном случае, определяемом условиями Уо ^ 1, Яо ^ 1 (режим 1УЕС), кроме указанных двух можно выделить еще два участка. Это погранслои, окаймляющие центральный участок, внутри которых возникают (исчезают) эффекты, связанные с упругими свойствами покрытия, а уравнение Рейнольдса (1) «трансформируется» в уравнение сухого контакта (в главном приближении). При этом подачу смазочного материала в контакт можно считать обильной, если размеры входного участка значительно превосходят размеры входного погранслоя: \а\ — с ^ л/УоЬ*. Заметим также, что внутри погранслоев недефор-мированная поверхность цилиндра с достаточной точностью аппроксимируется наклонной пластиной — касательной к поверхности цилиндра, а течение жидкости на этих участках уже нельзя считать безрасходным. Форма смазочной пленки внутри центрального участка в главном приближении определяется градиентом давления, соответствующим сухому контакту цилиндра и полупространства, и в результате этого согласно [3]

1, 5Но

Нтт = 0,8491Но. Причем значение расходной толщины слоя жидкости определяется максимальным входным градиентом контактного давления, а значение минимальной толщины — минимальным выходным градиентом, что полностью согласуется с комментариями к выражению (6). Входной (выходной) градиент контактного давления достигает своего максимума (минимума) на выходе из входного погранслоя (на входе в выходной погранс-лой) и в главном приближении максимальное (минимальное) значение входного (выходного) градиента давления находится из решения задачи о сухом контакте цилиндра с упругим покрытием и жёсткого основания.

В асимптотической ситуации Уо ^ 1, Яо ^ ^ 1, Яом% ^ 1 дополнительно возникают еще два участка, отделяющие погранслои от центрального участка (см. рис. 3, пунктир соответствует предыдущему случаю Уо ^ 1, Яо ^ 1)- В них «включается» и «выключается» зависимость (3) вязкости от давления. Толщина смазочного слоя внутри центрального участка постоянна и равна (экспоненциально близка) своему расходному знаНо

щины смазочной пленки в этой ситуации оказываются такими же, как и в предыдущем случае (Уо ^ 1, Яо ^ 1) т0 есть по-прежнему определяются соответственно максимальным входным и минимальным выходным градиентами давления, которые находятся из решения задачи о сухом контакте цилиндра и полупространства, и не зависят (в главном приближении) от пьезокоэффициента а

достигнуть максимума прежде, чем становится заметным изменение вязкости, а выходной градиент достигает минимума уже после того, как норма-

лизуется вязкость. Таким образом, асимптотическую ситуацию Уо С 1, Яо ^ 1 Я^уУо ^ 1 можно рассматривать совместно с ситуацией Уо ^ ^ 1, Яо ^ 1 как обобщенный режим изовязкой смазки жестких тел с упругим покрытием (обобщенный режим 1УЕС): Уо ^ 1, Яо%/Уо ^ 1.

Наконец, в случае Уо С 1, Я^уУо ^ 1 ЯоУо ^ ^ 1 (режим РУЕС) погранслои меняются местами с участками «включения» («выключения») зависимости (3) вязкости от давления (т. е. на входе в УГД-контакт рост вязкости смазочного материала начинается раньше, чем успевают проявиться упругие свойства покрытия цилиндра; на выходе из контакта, наоборот, сначала исчезают упругие деформации покрытия, а потом приходит в норму вязкость). В этом случае подачу смазочного материала в контакт можно считать обильной, если размеры входного участка значительно превосходят размеры участка «включения» зависимости (3) вязкости от давления: \а\—с ^ ЯоУзЬ*. Следует также отметить, что при Яо%/Уо ^ 1 толщина смазочного слоя внутри центрального участка также постоянна с большой степенью точностью и равна (экспоненциально близка) своему Но

деляется из интегрального соотношения

QoVo

hh

h3

dx = 1 ,

Н - Но = х2 - с2 х < -с вует форме входного зазора вне сухого контакта. Минимальная толщина Нт;п смазочного слоя при этом определяется из другого интегрального соотношения

QoVq

h - ho h3

dh = 1 ,

Н — Но « 2с(х — с), х < с.

Таким образом, в соответствии с соотношением (6) значение расходной толщины смазочного слоя зависит от того, успевают ли проявиться упругие свойства покрытия цилиндра или заметно измениться вязкость смазочной жидкости и в какой последовательности это произойдет прежде, чем входной (приведенный) градиент давления достигнет максимума. Искомая характеристика контакта — минимальная толщина смазочной пленки Нт'т — определяется минимальным выходным (приведенным) градиентом давления и для ее значения согласно [3] справедливы следующие приближенные выражения (возвращаемся к размерным переменным):

обобщенный режим обильной изовязкой смазки жестких тел с упругим покрытием (обобщенный 1УЕС):

НтУпЕС) = 0, 8941Но1УЕС) = 0, 243/Уо5* при Уо < 1, ЯоVУо < 1 \а\ — с » ^УоЬ*;

режим обильной пьезовязкой смазки жестких тел с упругим покрытием (РУЕС):

h

(PVEC)

h

(PVEC)

S*

= QoVo -*■

при

Уо ^ 1, ЯоуУо ^ 1,

ЯоУо ^ 1, |а| — с ^ ЯоУоЬ*.

Эти результаты согласуются с результатами В.П. Ковалёва [6], решавшим аналогичную задачу асимптотическими методами, и результатами Д.С. Коднира [7], численно решавшим аналогичную задачу.

Видно, что в тяжело нагруженном гидродинамическом контакте (Уо ^ 1) цилиндра с упругим покрытием и жесткого полупространства слой смазочной жидкости постоянной вязкости (Яо ^ С 1) оказывается существенно более толстым (режим IVНС), чем слой жидкости постоянной вязкости, разделяющий жёсткий цилиндр (без упругого покрытия) и жёсткое полупространство (режим 1\'Н) при прочих равных условиях нагружения:

= 0, 816НоіУЙ) = 4, 895 Ш =0,153Уо<5*.

С другой стороны, смазочные материалы с большим пьезокоэффициентом вязкости (режим РУЕС: Яо%/Уо ^ 1, ЯоУо С 1) обеспечивают существенно большую толщину смазочной пленки, чем жидкости с постоянной вязкостью (Яо ^ 1).

Для сравнения следует отметить, что в случае Уо ^ 1, ЯоУо ^ 1 минимальная толщина смазочного слоя

hrnin = о, 816ho = 0, 252(QoVo)2/3S,

2 Rl1/3

= 1, 666[(a.Mou) R]

не зависит от упругих свойств покрытия цилиндра, нагрузки, действующей на него, и имеет такое же значение, как и в случае качения жесткого h(!VR)

цилиндра ( ш^п = 0,153Vo » 1) по тонкому слою вязкой несжимаемой жидкости с большим пьезокоэффициентом вязкости (ap^a? = 2,119 -Я= »

V Vo

» 1), нанесенному на жесткое неподвижное основание (что соответствует режиму пьезовязкой смазки жестких тел (режим PVR) по классификации Джонсона [5]). На самом деле, последнюю формулу можно применять, если одновременно выполнены два условия (обобщенный режим пьезовязкой смазки жестких тел (обобщенный режим

PVR)):

apmtVR) = 2,119 -% » 1

(PVR)

vV0

0, 252(QoVo)2/3 » 1,

2

С

о

h

s

*

то есть если толщина слоя жидкости с большим пьезокоэффициентом вязкости существенно превышает упругие деформации поверхности цилиндра.

V. Выводы

Таким образом, в полном соответствии с классификацией Джонсона [5] можно выделить четыре асимптотических режима обильной смазки контакта цилиндра с упругим покрытием и жесткого полупространства:

1) режим изовязкой смазки жестких тел (1У11):

h(IVR)

hmin

= 0,153Vo » 1,

ар<™ =2,119 Я, « 1, И » \/2ЯНтУ,Е), Н™ = 0,8Ш1о1™> = 4,895 МоиЯ = 0,153Уо5*;

2) обобщенный режим изовязкой смазки жестких тел с упругим покрытием (обобщенный 1УЕС):

Уо « 1, Яол/УЪ « 1, \а\ — с » л/УоЬ*,

Нтгг = 0, 8941Но]уес) = 0,243/45,;

3) режим пьезовязкой смазки жестких тел с упругим покрытием (РУЕС):

Уо « 1, Яол/Уо » 1,

ЯоУо « 1, \а\ — с » ЯоУоЬ*,

4) обобщенный режим пьезовязкой смазки жестких тел (обобщенный PVR):

=2,119 Q, » 1,

h(PVR)

= 0,252(QoVo)2/3 » 1,

S*

1 (PVEC) h(PVEC) = ho hmin = 2

Qo Vo S*

M »yj, hmPiVR) = 0,816ho = 0,252(Qo Vo)2/3S* =

= 1, 666[(a^ou)2R]1/3.

Видно, что на режимах изовязкой смазки жестких тел без упругого покрытия (1У11) и жестких тел с упругим покрытием (обобщенный 1УЕС) безразмерная минимальная толщина смазочной пленки определяется (в главном приближе-

нии) только лишь значением безразмерного пара-Уо

ких тел без упругого покрытия (обобщенный РУ11) и жестких тел с упругим покрытием (РУЕС) зависит (в главном приближении) от произведения

Яо Уо

четыре указанных режима могут быть наглядно представлены в виде схематической диаграммы (аналог диаграммы Джонсона [5]) в плоскости безразмерных параметров Уо и ЯоУо (см« Рис« 4). На рис. 4 сплошные линии — линии уровня безразмерной минимальной толщины смазочной пленки для соответствующих асимптотических режимов смазки, пунктирные линии — интерполяция.

Рис. 4. Линии уровня безразмерной минимальной толщины пленки

S

*

8

Литература

1. Галахов М.А., Гусятников П.Б., Новиков А.П. Математические модели контактной гидродинамики. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985. - 296 с.

2. Анфёров О.Ю., Беспорточный А.И., Га-

лахов М.А. Изнашивание и смазывание узлов трения: учеб. пособие для слушателей заоч.

курсов повышения квалификации инженеров-конструкторов в машиностроении. - М.: Машиностроение, 1989. - 72 с.

3. Беспорточный А.И., Галахов М.А. Математическое моделирование в триботехнике: учеб. пособие. - М.: МФТИ, 1991. - 88 с.

4. Dowson D., Higginson G.R. Elastohydrody-namie Lubrication. - Oxford: Pergamon Press, 1966.

5. Johnson K.L. Regimes of elastohydrodynamic lubrication // J. Mech. Engng. Science. - 1970. -V. 12. - P. 9-16.

6. Галахов M.A., Ковалев В.П., Лапин Ю.А., Терентьев Е.Д. Прикладные задачи теории смазки и механики контакта / Сообщения по прикладной математике. - М.: ВЦ АН СССР, 1982. -66 с.

7. Коднир Д. С., Жильников Е.П., Байборо-дов Ю.И. Эластогидродинамический расчет деталей машин. - М.: Машиностроение, 1988. - 160 с.

Поступила в редакцию 15.01.2011