Режимы подбрасывания материальной частицы на вибрирующей поверхности в модельной задаче с неудерживающими связями Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.014 Елисеев Сергей Викторович,

профессор, д. т. н., директор НИИ современных технологий, системного анализа

и моделирования ИрГУПС, тел.: 598428 Елисеев Андрей Владимирович, аспирант ИрГУПС, тел. 89501435533, e-mail: eavsh@ya.ru

РЕЖИМЫ ПОДБРАСЫВАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ЧАСТИЦЫ НА ВИБРИРУЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ В МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ С НЕУДЕРЖИВАЮЩИМИ СВЯЗЯМИ

S.V. Eliseev, A.V. Eliseev

MODES OF TOSSING MATERIAL PARTICLES ON A VIBRATING SURFACE IN THE MODEL TASK WITH «NOT HOLDING» TIES

Аннотация. Рассматриваются задачи определения характеристик режимов подбрасывания материальной частицы, содержащих не-удерживающие связи с поверхностью колебания. Получены аналитические формулы основных характеристик режимов подбрасывания материальной частицы в зависимости от параметров колебания поверхности.

Ключевые слова: неудерживающие связи, взаимодействие материальной частицы с вибрирующей поверхностью, режим подбрасывания в одно касание.

Abstract. Tasks of determining the characteristics of a particle flipping mode on the vibrating surface with «not holding» ties are considered. Analytical formulas of basic characteristics of a particle flip modes depending on the parameters of the surface fluctuations were obtained.

Keywords: not holding ties, interaction of a material particle with a vibrating surface, a mode of a material particle tossing with one contact.

Введение

Динамика механических систем предполагает внимание к связям как ключевому фактору процесса взаимодействия между элементами одной или нескольких систем, что отражено в работах по теоретической [1] и аналитической механике [2], теории механизмов и машин [3]. Теория вибрационного переноса [4] активно используется для изучения поведения систем при неудерживающих связях. Специальные исследования контактного взаимодействия, динамики колебательного процесса с неудерживающими связями, условий нарушения и существования контакта частично позволяют решить задачу обеспечения надежности работы различных машин [5-7].

Несмотря на то, что многие вопросы взаимодействия материальной частицы и поверхности глубоко исследованы, в части вопросов не достигнута достаточная детализация, необходимая для

моделирования процесса. В частности, недостаточно детально отражены вопросы возникновения режимов подлета материальной частицы с перелетом через целое число периодов в зависимости от параметров колебания поверхности.

1. Общие положения и постановка задачи исследования

Рассмотрим поверхность Н и материальную частицу массы т, которая лежит на данной поверхности. Предполагаем, что на частицу т действует сила тяжести Q. Для каждого значения амплитуды А и частоты а рассмотрим гармонический закон движения поверхности Н () = Л$>\п(Ш) в зависимости от времени t. Полагаем, что в некоторый начальный момент времени ?0 точка т

находится в контакте с поверхностью Н и не удерживается на поверхности Н никакими силами, кроме силы тяжести. Дополнительно полагаем, что в момент контакта скорости частицы и поверхности совпадают. Очевидно, что при некоторых значениях амплитуды А и частоты а материальная частица т может оторваться от поверхности и опять упасть на поверхность в определенный момент времени. Полагаем, что удар о поверхность является абсолютно неупругим. После падения частица либо сразу отрывается от поверхности, либо лежит на поверхности некоторое время. Далее происходят повторы промежутков подбрасывания и контакта материальной частицы с поверхностью.

Возникший процесс подбрасывания имеет свойства, которые определяются как начальным состоянием материальной частицы, так и параметрами колебания поверхности. Требуется определить типы возможных режимов, сформулировать условия реализации режимов, определить зависимость основных характеристик режимов от параметров колебания поверхности, исследовать взаимосвязи между различными режимами.

1 --

(3)

Я

СО8(ш?0) > 0. Второй тип - отрыв второго порядка, это отрыв точки без предварительного пролеживания. Параметры системы в точке такого типа отрыва отрыва ?о удовлетворяют уравнению:

1 --

A—2

g

•sin(—t0) < 0.

(4)

На рис. 1 графически представлены точки

отрыва второго и третьего порядка.

0.02 1 П. и

Рис. 1. Точки отрыва третьего порядка А и второго порядка - (А,В)

Изображенная функция гармонического колебания имеет параметры: амплитуда колебания А = 0,02 м, круговая частота 30 рад/с. Кривая АСВ без точек А и В представляет собою множество точек отрыва второго порядка. Крайняя точка А -это точки отрыва третьего порядка. Реакция опоры равна нулю в точках А и В, но отрыв происходит

2. Режимы подбрасывания материальной частицы поверхностью колебания

Траектория движения частицы S после отрыва от поверхности колебания с законом движения

H (t) = Asin( at) описывается системой уравнений:

'S(t) = -g,t>t0;

<S(t0) = H(t0); (1)

S(t0) = H(t0). Решение системы (1) имеет аналитический

вид:

S (t) = A sin( —) + Aacos—10 )(t -10) -

- ^g(t - to)2. (2)

Для поверхности H(t) существует только два типа отрыва. Первый тип - это отрыв третьего порядка, который реализуется в момент t o с нулевой

реакцией опоры. Параметры системы в точке отрыва такого типа удовлетворяют уравнению:

A— . . . _

-sin—10) = 0;

только в точке А. Уровень прямой АВ определяет

- О Я величиной £0 =—-.

ш

Режим подбрасывания с отрывом из точки третьего порядка

Реализация отрыва из точки третьего порядка происходит по траектории (2) с учетом условий отрыва третьего порядка (3).

S^) = А8т( шШ0) + Лшсо$(ш^- ¿0) -

" 1Я(' - ^о)2.

В результате получаем вид для траектории отрыва:

£ = А8т(ш^0) + Аш со$(ш^ - ¿0) --1ЯЦ - О2 =

= — + A— 1 -

Aa2

(t - to) -- g (t - to)2

arcsin

to =

g Aa2

a

Для фиксированной амплитуды и частоты получаем единственную точку отрыва третьего порядка для каждого промежутка периода колеба-

г 2л

ния Т =-.

ш

На рис. 2 представлена траектория 1 материальной частицы, которая отрывается из точки Y.

-{1}

0.3: 0 10 t,c \о 15 0 2<У

Рис. 2. Траектория отрыва из точки третьего порядка

Общий вид точки максимального подлета для траектории (2) имеет вид

(Ашсо8(ш?0))2

Smax = Asin(ato) + -

2g

После подстановки условий (3) получаем значение максимальной высоты подлета частицы:

S„„ =

g

+ -

a2—2

2ш2 2я

Для оценки относительной величины подлета материальной частицы по сравнению с амплитудой колебания поверхности рассмотрим динамический коэффициент V, который показывает, во

2

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

сколько раз высота подлета превышает величину колебания поверхности А:

Ла2

D =-

g

2 A а2

2g

(5)

Из формулы (5) видно, что с ростом амплитуды и частоты высота подлета многократно превышает амплитуду колебания поверхности.

Режим подбрасывания с отрывом из точки второго порядка

Отрыв второго порядка реализуется из точек

поверхности колебания, которые находятся выше д

уровня = —- . Множество всех моментов отры-а

ва второго порядка может быть параметризовано в зависимости от те (—1,1) следующим образом:

( о \

Ж

2а

tr =

Я

2а

■ + т

Aa¿

arcsin( f 2)

a

(6)

V /

Для удобства введем обозначение:

е =

g

я - 2 arcsin( )

_Aa

2я '

Высота подлета каждой траектории данного семейства определяется в зависимости от параметра. Для отрицательных значений те (-1, 0) траектория полета имеет локальный внутренний максимум:

J 2 2

Smx(tx) = A cosM)+-^(sinM))2.

2 g

Для положительных значений т е (0,1) траектории с точками отрыва являются монотонно убывающими и поэтому имеют максимум в точке отрыва:

Smax (tт ) = A COsM).

Полученные значения высот подлета для всего параметрического семейства траекторий позволят рассчитать коэффициент динамичности в виде:

cos (тяе) +--(sin ;

D(r) =

2 g

cos (тяе) ,т е (0,1).

Параметр в означает долю сектора отрыва точек второго порядка в периоде колебания поверхности.

После подстановки момента отрыва (6) в общее выражение траектории движения (2) получаем множество всех траекторий отрыва второго порядка в зависимости от параметра т :

1

£(0 = Л$,т(а^ ) + Ла сова )(? — ^ ) — - д(I — ^ )2.

На рис. 3 представлены характерные траектории 1 отрыва второго порядка. При фиксированной амплитуде и частоте каждой точке области отрыва второго порядка соответствует своя траектория отрыва. При этом траектория с большей фазой отрыва находится ниже, чем траектория с меньшей фазой отрыва. При приближении точки отрыва к точке А траектория отрыва приближается к траектории отрыва из точки отрыва третьего порядка, при приближении точки отрыва к точке В траектория отрыва вырождается в точку. Точки падения траекторий распределяются на промежутке кривой ВИ.

Из формулы видно, что если параметр т стремится к нулю, то точка отрыва имеет фазу,

Ж

близкую к —. Это показывает, что коэффициент

динамичности стремится к единице независимо от величины амплитуды и частоты колебания. При стремлении параметра т к -1 коэффициент динамичности стремится к величине:

Ла2

D = -

g

■ + -

Рис. 3. Траектории отрыва из точек второго порядка

2Л а2 2д Полученное предельное значение равно величине коэффициента динамичности для точек отрыва третьего порядка (5).

3. Режим подбрасывания материальной частицы с отрывом в одно касание

Под режимом подбрасывания материальной точки будем понимать значения параметров колебания поверхности, при которых остается постоянным определенная характеристика процесса подбрасывания материальной частицы.

Условие реализации режима в одно касание

Примером специального режима подбрасывания материальной частицы является режим подбрасывания в одно касание. Такой режим подбрасывания определяется значениями параметров поверхности колебания, при которых фаза колебания в момент отрыва г0 равна фазе в момент падения ^. В результате материальная точка оказывает в момент падения на поверхности вновь в условиях мгновенного отрыва, в которых она находилась в момент отрыва . При таком режиме частица

S(t) > A sin(at), t > t > 10; g

sin(at0) =--,cos(at0) > 0;

Aa

S (t )| t=to = S (t )| ,=, + M

sin (at0 ) + cos (at0) =

g

+

= 1.

Аш2) \ Аш2 В итоге получаем соотношение между параметрами колебания поверхности и значением к -количеством перебрасываемых периодов колебания:

1 (8)

g

1

VT

+ м k

2,2

Момент времени отрыва:

arcsin

1

t0k = '

л/i + M2k2

находится на поверхности колебания только в момент г0.

Режим подбрасывания с точкой отрыва третьего порядка

Пусть отрыв происходит из точки отрыва третьего порядка. Траектория полета материальной частицы определяется выражением свободного полета (2). Дополнительными условиями являются полет частицы над поверхностью, условие отрыва третьего порядка и условие совпадения фаз отрыва и падения:

Характерная траектория подлета материальной частицы будет иметь вид

Sk (t)=4

a

Mkg , . 1 . ч2

+ — (t" tok) --g(t" tok)2. a 2

На рис. 4 представлена характерная траектория 2 перелета через два периода при отрыве от поверхности колебания 1 на уровне 3.

(7) Рис. 4. Характерная траектория перелета через 2 периода

Условия (7) позволяют получить следующие соотношения:

g Mkg

sin( ato) = —y ,cos(ato) = ——.

Aa Aa

Разрешение данных уравнений позволяет выделить семейство траекторий подбрасывания материальной точки в одно касание с поверхностью колебания. Возведем в квадрат оба равенства из соотношения и получим:

- о

Mkg

Высота подлета материальной частицы составит:

Sk,max = A sin(ato) +

( Aa cos(at0 ))2

2g

g

+ -

M k2

f

1 -

M k

a 2 a a

ч /

Величина коэффициента динамичности будет равна:

Dk =

S„

g

a

(

1 +

n2k

2 + n2k2

A g -síl + Mk2 + M2k2

a

Аш л/1 + л2к2

Для каждого натурального к однозначно определяется траектория отрыва и ключевые характеристики: момент времени отрыва от поверхности, фаза отрыва, уровень отрыва, высота точки подлета.

Для расчета этих характеристик фиксируем параметры колебания поверхности и коэффициента к с учетом соотношения (8). В этом случае материальная частица подбрасывается над поверхностью в режиме в одно касание и перелетает через к периодов колебания. Основные характеристики подлета будут представлять следующие выражения.

Фаза отрыва:

( 1 ^

(Рок = агсэт

В результате получаем, что с ростом количества перебрасываемых периодов коэффициент динамичности также неограниченно возрастает, что свидетельствует о многократном превышении высоты подлета амплитуды колебания.

Режим подбрасывания с точкой отрыва второго порядка

Рассмотрим отрыв из точки второго порядка. Траектория движения материальной частицы при отрыве второго порядка имеет вид (2) с учетом следующих дополнительных условий:

S(t) > Asin(at), tj > t >t0;

g .

sin( at0) >

Aa2

(9)

S(t) _ = S(t) _ 2Mk

n = to I?! = to + .

a

Как было показано ранее, требование падения точки через целое число периодов к на поверхность на уровне отрыва с необходимостью влечет:

cos(ato) =

Aa2

Данное выражение разрешимо при условии

Mkg

a

Aa2

< 1.

2

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Относительно количества перелетаемых периодов к выражение принимает вид

Ла2

к <■

Ж

При этом имеем: вт(а0) = ^

1 —

к

я

^Ла ) Ла Данное выражение накладывает дополнительные ограничения на параметр перелета. С учетом ранее полученного ограничения получаем:

к < I.

Ж

— 1;

к <

Ла2 жя

В результате получаем:

к < 1 ж

я

— 1 <

Ла2

жд

1

ж

'Ла^

я

— 1.

Тогда для фиксированных амплитуды и круговой частоты существует ровно К траекторий с отрывом в точке второго порядка вида

^ = Л $т(а10к) + Ла сов(а 10к — ^) —

—1Я ('— *ок )2 =

-ЛаЖкд1(Г — О —1Я (Г — О2 = Ла 2

= Л„

1 —

жкя Ла2

'П

л2 —

жкя

жкд а—О—1 Я ц—о2

Ла2

д

ШШв

>уЦ+ж2к2.

ш, рад'<

20

II

\

1у

(к= и)

-т-1-1—

0.01 0.02 0.«

0.04 0.05 0.06 0.07 А. М

0.03 0.09 0.10

Данное выражение означает, что для фиксированных параметров поверхности колебания существует набор траекторий отрыва. Обозначим за К максимальное целое число, которое меньше

Рис. 5. Области отрыва с перелетом через целое количество периодов. Кривая (к=0) - граница области отрыва с перебрасыванием через один период

Кривая (к = 0) определяет нижнюю границу области реализации отрыва третьего порядка. Любая точка плоскости, которая находится выше этой кривой, определяет частоту и амплитуду режима с отрывом из точки третьего порядка. Кривая (к = 1) определяет область параметров системы: Ла2

+ ж

Я

К примеру, из графика видно, что при частоте колебания 50 рад/с и амплитуде колебания 3 см. происходит отрыв из области второго порядка с перелетом через один период и реализуется режим с отрывом третьего порядка.

Из уравнения траектории движения можно определить уровень отрыва материальной частицы, который определяется высотой поверхности колебания в момент отрыва:

8к = Лвт(а^ок ) = Л.

а ) а

ри этом к является натуральным числом и лежит в диапазоне от 1 до К.

На рис. 5 изображены кривые, которые определяют области параметров системы с перебрасываем через заданное количество периодов. По оси ординат отложено значение частоты колебания а поверхности. По оси абсцисс отложена амплитуда колебания поверхности А. Каждая из кривых представляет собою множество параметров системы, которые для некоторого значения к удовлетворяют равенству (8). Множество параметров системы, при которых происходит отрыв с перебрасыванием через к периодов, удовлетворяет неравенству

1

1 —

жкя

Ла2

На рис. 6 представлена первая четверть траектории колебания (1) с амплитудой колебания 3 см и частотой колебания 60 рад/с. Прямая 2 определяет уровень отрыва из точки третьего порядка для данных параметров поверхности колебания. Траектория отрывается в точке (ё). Горизонтальные уровни к = 1, к = 2, к = 3 при пересечении с поверхностью колебания 1 определяют точки отрыва второго порядка, обозначенные соответственно а, Ь, с. При отрыве из точки а частица перелетает через один период, при отрыве из точки Ь частица перелетает через два периода, при отрыве из точки с материальная частица перелетает через три периода. Так как К = 3, то всего реализуется три режима с перелетом через целое количество периодов.

2

2

2

2

2

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

Н,м

<■=—!>-----

(к -2 Г""

Тк=3) / ч / (с)

1 / (2)

Зя 1 [124

2:5 1,1

: я 1324

3 и 512

Рис. 6. Уровни отрыва с подбрасыванием в одно касание из области второго порядка

Момент времени отрыва составляет: Аш2

агссо8

*0к ='

ш

лк + агссо8

С

Аш2

ш

На рис. 7 представлены три траектории отрыва для поверхности колебания 1 с амплитудой А = 0,2 м и круговой частотой ш = 84 рад/с. Для траектории к = 1 происходит перелет только через один период, для к = 2 перелет происходит уже через два периода. Высота подлета каждой следующей траектории выше предыдущей.

Рис. 7. Набор характерных траекторий для режима с подбрасыванием для точек отрыва второго порядка

Максимальное значение подлета в зависимости от параметра к составляет:

ч 2

£ = А

тах,к 1

1 -

лкя | Я ( лк

Аш ) 2 ^ ш Соответствующий коэффициент динамичности принимает вид

Фаза отрыва составляет:

( лкЯ

Рок = аГссо8| —"Г

^ Аш

Каждая траектория достигает максимума в точке:

лкЯ

Б =-

Формула коэффициента динамичности позволяет сделать вывод, что с ростом амплитуды и частоты всегда найдется режим с периодическим подбрасыванием. В частности, для к = 1 это будет режим с перебрасыванием частицы через один период, при котором частица не будет подлетать на значительное расстояние по сравнению с амплитудой. Можно показать, что величина динамического коэффициента ограничена величиной независящей от параметров поверхности колебания, а зависит только от коэффициента к:

Б, < IVкV + 4. к 2

Динамический коэффициент достигает своего максимума при выполнении соотношения на амплитуду и частоту:

Аш2

Я

■ = 4к

2 2 , л

л + 4.

К примеру, можно утверждать, что независимо от частоты и амплитуды колебания поверхности всегда найдется режим, при котором подлет материальной частицы не превысит амплитуды колебания более чем в 1,9 раза.

На рис. 8 представлены показатели динамических коэффициентов при амплитуде А = 0,02 м, рассчитанные в диапазоне частот, которые завися от количества перебрасываемых периодов к:

шк > ш.

ок

= Я 4К+Тк

А

2 2 Л .

01 рад/с.

Рис. 8. Динамический коэффициент при реализации отрыва второго порядка

к

к

Начиная с частоты 40 рад/с, реализуется режим к = 1, при котором подбрасывание частицы происходит не более, чем в два разы выше амплитуды, при частоте колебания 60 рад/с. реализуется уже два режима подбрасывания: режим к=1, при котором подлет частицы превышает амплитуду в 1,5 раза; режим к = 2, при котором частица подбрасывается уже на высоту более, чем три амплитуды колебания.

Из графика видно, что с ростом частоты количество режимов с перебрасыванием частицы хотя бы через один период растет. С другой стороны, с ростом амплитуды динамический коэффициент режима подбрасывания через фиксированное число периодов стремиться к единице.

4. Семейство режимов подбрасывания с фиксированной амплитудой колебания поверхности

Фиксируем амплитуду колебания поверхности Л и будем изменять частоту колебания поверхности а от нуля до бесконечности.

В промежутке

а е

0.

1

Л

(10)

отрыва материальной частицы не происходит. Для значений частоты больше некоторого критического значения

а >

V

Лп

принимает пограничное значение

ч,

то возни-

кает одна точка В с нулевой реакцией опоры, отрыв из которой также не реализуется. Если к меньше амплитуды, то возникает промежуток отрыва. На рисунке промежуток представлен частью (а, с) кривой Н1. В точках (а) и (с) реакция опоры равна нулю, но отрыв реализуется только в точке (а).

Рис. 9.Точки отрыва при фиксированной амплитуде колебания

Основные характеристики для точек отрыва третьего прядка как функции частоты имеют вид: Фаза отрыва:

Г Я Л

<р0 (а) = агсвт

Л а

Момент времени отрыва:

агсвт

* о(а) = -

Я

Л а

Уровень отрыва:

а

Я

£ о(а)

происходит отрыв материальной частицы.

На рис. 9 представлены три поверхности колебания Н, Н0, Н1 с соответствующими частотами колебания а = 18 рад/с., а0 = 22 рад/с.,

ах = 37 рад/с. Фиксированная амплитуда колебания поверхности Л составляет 0,02 м. Дополнительно на рисунке изображены вспомогательные прямые к, к0, к1, которые соответствуют частотам и вычислены по формуле

*=А.

а

При к больше амплитуды колебания или при выполнении условий (10) отрыва не происходит. Если к равно амплитуде колебания или частота

Высота подлета:

а

2 2

£ тах(а) = +

Я , Ло а

,а >

2аг 2я ¥ ^

Аналогичные показатели для точек отрыва второго порядка могут быть вычислены путем подстановки параметризованных моментов времени (6) в общие формулы траектории движения (2).

По мере дальнейшего роста частоты колебания возникает режим в одно касание с перебрасыванием через один период. Для определения частоты данного режима выразим частоту из формулы (8) и получим

а.

= д4/1 + ж2к2.

" к

При к = 1 значение частоты составит:

а

= М

+ ж

На рис. 10 представлен пример характерной траектории с подбрасыванием в одно касание. Амплитуда колебания поверхности Л = 5 мм. Критической частотой возникновения отрыва при такой амплитуде является частота 44,7 рад/с или 7,5 Гц., с которой начинается режим подбрасыва-

ния. Характерная траектория представлена кривой 81, которая отрывается от поверхности колебания Н1 на уровне к1. При достижении частоты 81 рад/с или 13 Гц реализуется режим подбрасывания

в одно касание.

Н,м

Рис. 10. Характерная траектория с подбрасыванием в одно касание

Фаза отрыва составляет:

(Рок = агсвт

1

.Л

+ ж2 к2

к = 1.

Для амплитуды колебания 5 мм фаза составит 0,31 радиан, или 17 градусов.

Момент времени отрыва составит:

Г 1 ^

агсвт . ^

л/1 + ж2к2

*0к —'

-, к = 1.

а

При к = 1 получаем момент отрыва траектории подбрасывания в одно касание примерно 0,003 с. При этом период колебания равен 0,08 с. В момент отрыва частица находится на высоте:

Л0

£0,к = ■

к = 1.

£

2 + ж2 к2

к ,тах

гЛ).

2л/Т+ж2к2

Для рассматриваемого пример а максимальная высота подлета составит 9 мм, что примерно в два раза выше амплитуды колебания поверхности. При этом коэффициент динамичности будет иметь значение

£к ,тах 2 + ж2" 2

Ок =

, к = 1.

дов для определенной фиксированной амплитуды колебания от частоты.

А= =5мм

АН 1-мм

А=3мц|

р ^.=2мм \

А-1 ММ у

71+ж2 к2

Для представленного примера уровень отрыва составляет 1,5 мм. После отрыва частица поднимается на максимальную высоту, которая составляет:

и', рад/с.

Рис. 11. Частоты отрывов при перебрасывании через к периодов в одно касание

Кривая А = 5 мм позволяет определить частоты возникновения режима и частоты реализации подбрасывания через целое количество периодов. К примеру, частота возникновения режима подбрасывания - это частота, при которой значение ординаты графика равно нулю. Из графика видно, что данная частота лежит в диапазоне между 40 и 50 рад/с. Частота режима подбрасывания через один период в одно касание определяется точкой на оси абсцисс, в которой ордината графика функции равна 1. Из графика видно, что частота режима составляет примерно 80 рад/с. Следует заметить, что с уменьшением амплитуды колебания для обеспечения отрыва требуются более высокие частоты. К примеру, режим отрыва для А = 1 мм возникает с частоты 100 рад/с. А для реализации режима с перебрасыванием через период потребуется частота в 180 рад/с.

На рис. 12 показаны функции максимальной высоты подлета для различных фиксированных амплитуд колебания в зависимости от круговой частоты.

Н,м -0.18

Л 2л/1 + ж2к2 ' При к = 1 коэффициент динамично сти будет равен 1,8.

Дальнейший рост частоты приводит к реализации режимов с подбрасыванием через все большее количество периодов. На рис. 11 представлены графики функций, которые отображают зависимость количества перебрасываемых перио-

3.14 0.12 3.13 0.03 0.06 0.04 0.02

А=5 мм.

Л 1

А

А-1 VIМ.

100 200 Рис. 12. Зависимость высоты подлета от частоты

300 400

и-1, рад/с.

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

0.0+

0.03

Н.м

0.02

0.01

к =5

3

к^ 4

к- -1 к =3

1. :2

50

100

150

200

На рисунке представлено 5 графиков функций максимальных высот подлета, которые соответствуют амплитудам колебания от 1 мм (график А = 1 мм), до 5 мм (график А = 5 мм).

Из относительного расположения кривых видно, что с ростом амплитуды колебания поверхности значительно возрастает и высота подлета.

Зависимость между частотой колебания и высотой подлета материальной частицы с учетом траекторий отрыва в одной касание из области отрыва второго порядка представлена на рис. 13.

0.05

А е

Я

отрыва не происходит.

При превышении амплитудой критического значения

А >

Я

шо

происходит отрыв материальной частицы от поверхности.

Фаза отрыва имеет вид:

Г Я л

р0(ш) = а1тат

Аш

Момент времени отрыва:

агс8т

* 0(ш) = ■

Я

Аш.

0 )

ш

Уровень отрыва:

£0(ш) =

Высота подлета:

ох рад/с.

Рис. 13. Высота подлета для точек второго и третьего порядка при реализации режима подбрасывания в одно касание

Кривая £ показывает высоту подлета частицы из области отрыва третьего порядка в зависимости от частоты колебания при фиксированной амплитуде колебания А = 5мм. Кривые к = 1,... 5 представляют высоты подлета частиц при отрыве из области отрыва второго порядка.

Из графика видно, что с частотой растет высота подлета траектории отрыва в точке третьего порядка.

По мере роста частоты возникают все новые траектории отрыва с подбрасыванием в одно касание из области второго порядка.

Каждая из траекторий отрыва из области второго порядка с ростом частоты асимптотически убывает до величины амплитуды колебания поверхности. Из графиков видно, что при достижении частоты колебания 180 рад/с в области отрыва второго порядка реализуется пять траекторий с перебрасыванием через 1, 2, . , 5 периодов колебания.

5. Семейство режимов подбрасывания с фиксированной частотой колебания поверхности

Фиксируем частоту колебания поверхности ш0. Будем изменять амплитуду колебания поверхности А от нуля до бесконечности. В промежутке

£ тах(ш) = "

Я

2шп

■ +

л 2 2

А ш0

А >

Я

-0 2я ш0 На рис. 14 представлены три поверхности колебания 1, 2, 3 с фиксированной частотой ш0 = 58 рад/с, но с разными амплитудами, которые соответственно равны 2, 3 и 4 мм. Критическая амплитуда, начиная с которой отрыв составляет 3 мм, показана в виде прямой 4. При достижении этой прямой поверхность касается критического уровня в одной точке Ь. При дальнейшем росте амплитуды колебания на поверхности 3 появляется часть (а, с), на которой происходит отрыв точек.

Рис. 14. Области отрыва при фиксированной частоте и переменной амплитуде колебания

После достижения критической частоты колебания, с которой начинается отрыв, достигается амплитуда, которая обеспечивает перебрасывание материальной частицы через один период колебания поверхности. Характеристики данного режима

0

2

2

2

в зависимости от амплитуды колебания имеют следующий аналитический вид.

Амплитуда в зависимости от количества периодов колебания к при фиксированной частоте о0 составит:

Ак = л/1 + ж2к2.

При к = 1 амплитуда, которая будет обеспечивать перебрасывание через один период, будет иметь вид

А =41+л2-

На рис. 15 представлена зависимость числа целых перелетов от амплитуды для частот, находящихся в диапазоне от 10 до 100 рад/с.

А, м

Рис. 15. Число целых перелетов в зависимости от амплитуды колебания

По горизонтали отложена амплитуда колебания от 1 см до 20 см. Графики кривых отображают зависимость величины к (количества перебрасываемых периодов колебания) от амплитуды колебания при фиксированной частоте. Абсцисса точек графиков, у которых ордината равна нулю, обозначает амплитуды, при которой для данной частоты возникает отрыв. В частности, для материальной частицы, размещенной на поверхности колебания с частотой 10 рад/с, амплитуда отрыва составит 10 см. А для точки, которая подбрасывается на поверхности с частой 100 рад/с, режим перебрасывания через один период возникнет при амплитуде примерно в 1 см. Режим перебрасывания через два периода реализуется при колебании поверхности с амплитудой в 4 см.

После прохождения амплитуды колебания, которая обеспечивает реализацию режима в одно касание с перебрасыванием через один период, возникает промежуток амплитуд, при которых реализуется режим с подбрасыванием в одно касание при отрыве из точки второго порядка. Как бы-

ло показано ранее, фаза возникшей точки отрыва второго порядка определяется выражением

( якя \ е

<Р0к = агссо81, 8Ш(Ч0) >—1, к = 1.

С дальнейшим ростом амплитуды колебания возникает режим с подбрасыванием в одно касание с перелетом через два периода. После прохождения и этой амплитуды в области отрыва второго порядка возникает точка отрыва с перелетом через два периода. Так процесс повторяется. При прохождении амплитудой значения, в котором реализуется процесс с перебрасыванием через большее количество периодов колебания, в области отрыва второго порядка добавляется точка отрыва в одно касание. В этой новой точке отрыва реализуется режим перебрасывания через то количество периодов, через которое перебрасывается частица из точки отрыва третьего порядка. На рис. 16 представлены графики функций фазы отрыва с перебрасыванием через целое число периодов колебания в зависимости от амплитуды колебания.

т>

гр3Г

7060 -5040302010-

0.02 0.04 0.06 0.0S 0.10 0.12 0.14 .0.15 0.1S 020

А,м

Рис. 16. Фазы режимов с перебрасыванием через определенное количество периодов

Кривая 1 показывает фазу отрыва в градусах для поверхности колебания с частотой 30 рад/с. Точки (a-e) показывают фазу в градусах для обеспечения отрыва с перебрасыванием через 1, 2, ...5 периодов.

Из графика видно, что перебрасывание через 1 период произойдет при амплитуде 4 см в фазе примерно 17 градусов. После этого в области отрыва второго порядка возникнет точка с перебрасыванием через один период, фаза которой будет изменяться от 17 до 90 градусов. При амплитуде колебания 7 см реализуется режим с перебрасыванием через 2 периода. В этот момент в области отрыва второго порядка реализуется режим с отрывом через один период и фазой отрыва примерно 60 градусов. В диапазоне изменения амплитуд от 7 см до 11 см реализуется два режима. Один

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

0.04-

0.03-

0.02-

0.01-

0.01

(3) //

/

(2) \

\ /

(1) /

/ /

0.02

0.03

0.04

А,м

0.05

режим - с перебрасыванием частицы через один период, второй - с перебрасыванием частицы через два периода. С дальнейшим ростом амплитуды колебания добавляются новые режимы с перебрасыванием через большее количество периодов. Из представленных графиков видно, что фазы любой точки отрыва второго порядка перемещается с ростом амплитуды к 90 градусам.

На рис. 17 представлены функции величин уровней отрыва материальных частиц в зависимости от амплитуды при фиксированной частоте 60 рад/с., которые обеспечивают последовательную реализацию режимов с подбрасыванием через 1-5 периодов колебания.

0.05-Н,м

1. Для задачи подбрасывания материальной частицы с учетом только силы тяжести режим с подбрасыванием в одно касание с перелетом через один и более период реализуется с ростом ве-

личины перегрузки

Лаг

Я

Рис. 17. Уровни реализации отрывов с подбрасыванием

в одно касание через целое количество периодов в зависимости от частоты: (3) - значения величин отрыва с перебрасыванием через 1, 2, 3, 4, 5 периодов (слева направо); (1) - уровень отрыва третьего порядка

Прямая 1 обозначает уровень отрыва из точки третьего порядка. Видно, что данный уровень не зависит от амплитуды колебания. Данный уровень определяется исключительно частотой колебания. С ростом амплитуды колебания возникают точки отрыва второго порядка, которые перемещаются от уровня отрыва до максимальной точки колебания поверхности.

Прямая 2 обозначает величину амплитуды колебания поверхности. Из графика видно, что все точки отрыва с перебрасыванием через целое число периодов смещаются к максимальной точке колебания поверхности.

Заключение

Проведенный анализ режимов подбрасывания материальной частицы позволяет сделать следующие выводы:

2. При реализации отрыва частицы из точки с нулевой реакцией опоры с ростом коэффициента перегрузки высота подлета частицы многократно возрастает по сравнению с амплитудой колебания, что означает возникновение существенного зазора между поверхностью колебания и частицей.

3. При отрыве материальных частиц из области второго порядка реализуется семейство траекторий с подбрасыванием в одно касание с разным числом перебрасываемых периодов колебания.

4. При увеличении параметров колебания поверхности в системе непрерывно увеличивается количество одновременно реализуемых режимов, обеспечивающих подбрасывание частиц через 1, 2, 3 и более периодов.

5. Для режима с фиксированным количеством перебрасываемых периодов колебания динамический коэффициент ограничен и стремится к единице по мере роста коэффициента перегрузки.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лойцянский Л. Г. Курс теоретической механики: в 2 т. Т 2 Динамика / Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье. М. : Наука. 1968. 638 с.

2. Лурье А. И. Аналитическая механика. М. : Наука. 1986. 516 с.

3. Артоболевский И. И. Теория механизмов и машин. М. : Наука. 1978. 640 с.

4. Блехман И. И., Джаналидзе Г. Ю. Вибрационное перемещение. М. : Наука. 1968. 316 с.

5. Сельвинский В. В. Динамика контактного взаимодействия твердых тел. Благовещенск : Изд-во Амур. гос. у-та. 2009. 164 с.

6. Елисеев С. В., Марков К. К. Некоторые вопросы динамики колебательного процесса при не-удерживающих связях // Механика и процессы управления. Иркутск : ИПИ. 1971. С. 71-83.

7. Елисеев С. В., Лоткин О. И. Условия существования и нарушения контакта для систем с не-удерживающими связями // Труды ОМИИТа. Вып. 69. Омск : ОМИИТ. 1966. С. 93-99.