CC BY
14
УДК 534.014 Елисеев Сергей Викторович,
профессор, д. т. н., директор НИИ современных технологий, системного анализа и моделирования ИрГУПС,
тел. 598428 Елисеев Андрей Владимирович,
аспирант, Иркутский государственный университет путей сообщения (ИрГУП^, тел. 89501435533,
e-mail: eavsh@ya.ru
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ЧАСТИЦЫ С ВИБРИРУЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ СИЛЫ ВЯЗКОГО ТРЕНИЯ В МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ С НЕУДЕРЖИВАЮЩИМИ СВЯЗЯМИ
S. V. Eliseev, A. V. Eliseev
STUDY OF INTERACTION MATERIAL PARTICLES WITH A VIBRATING SURFACE IN THE PRESENCE OF VISCOUS FORCES IN THE MODEL PROBLEM WITH UNILATERAL CONSTRAINTS
Аннотация. Рассматривается задача определения условий нарушения контакта и характеристик движения в модельной системе, содержащей неудерживающие связи, при наличии силы тяжести и вязкого трения. Сформулированы необходимые и достаточные условия отрыва материальной частицы от поверхности. Получены аналитические соотношения для определения фазы отрыва, высоты и длительности подлета. Показана возможность реализации режима кратного подбрасывания. Приведено выражение амплитуды колебания, при которой возможен кратный режим подбрасывания.
Ключевые слова: неудерживающие связи, взаимодействие материальных частиц с вибрирующей поверхностью, влияние сил трения на условия безопорного движения.
Abstract. The problem of determining the conditions of rupture in a model system containing unilateral constraints, with the force of gravity and viscous friction, is considered. The necessary and sufficient conditions for the separation of a particle from the surface are formulated. The analytical relations for determining the phase, height and duration of rupture, are obtained. The possibility of implementing the regime of multi-period rupture is substantiated. An expression of the amplitude of multi-period rupture is represented.
Keywords: not holding ties, interaction of a material particle with a vibrating surface, influence of damping forces on conditions nonsupport forms of movements.
Введение
Задачи определения влияния вибрации на механическую систему возникают при исследовании процессов динамического взаимодействия твердых тел. Динамика механических систем предполагает внимание к связям как ключевому фактору процесса взаимодействия между элементами одной или нескольких систем, что отражено в работах по теоретической [1] и аналитической механике [2], теории механизмов и машин. Теория вибрационного переноса [3] активно используется для изучения поведения систем при неудержива-ющих связях. Специальные исследования контактного взаимодействия, динамики колебательного процесса с неудерживающими связями, условий нарушения и существования контакта частично позволяют решить задачу обеспечения надежности работы различных машин [4, 5]. Методы исследования влияния вибрирующей среды на движение представлены в [9]. В работах [6, 10] исследованы условия нарушения контакта материальной частицы с вибрирующей поверхностью при наличии силы тяжести, получены аналитические условия реализации режимов периодического подбрасывания материальной частицы с кратным периодом. В работе [11] представлены результаты исследования влияния дополнительной постоянной силы на характеристики взаимодействия частицы с поверхностью колебания.
Несмотря на то, что многие вопросы взаимодействия материальной частицы и поверхности глубоко исследованы, в части вопросов не достигнута достаточная детализация, необходимая для
моделирования процесса. В частности, не достаточно детально отражены вопросы момента нарушения контакта, максимальной высоты подлета в зависимости от параметров колебания поверхности, не раскрыты вопросы реализации режимов подбрасывания в одно касание с перелетом через один и более период колебания при наличии силы вязкого трения.
Цель работы - получить аналитическое представление об условиях возникновения отрыва и охарактеризовать возникший зазор между материальной частицей и поверхностью колебания в зависимости от параметров системы, оценить условия соответствия используемой математической модели физическим представлениям.
1. Общие положения и постановка задачи исследования
Рассмотрим поверхность Н и материальную частицу массы т, которая лежит на данной поверхности. Предполагаем, что на частицу т действует сила тяжести Q и сила вязкого трения Ер,
которая направлена в противоположную сторону к скорости относительного движения материальной частицы по отношению к среде и пропорциональна разнице скоростей частицы и среды. Коэффициент пропорциональности р - некоторое неотрицательное число. Уравнение движения среды имеет вид J(?) = В ). Среда ./совершает колебания относительной нулевого уровня Н = 0. Для каждого значения амплитуды А и частоты ф
рассмотрим гармонический закон движения поверхности Н (?) = ) в зависимости от времени t. На рис. 1 представлена расчетная схема действующих на частицу сил для двух стадий движения: (а) - движение частицы в контакте с поверхностью, (Ь) - бесконтактное движение.
С учетом данной схемы проекция силы трения на ось X принимает вид
^ =-р(х -./).
Полагаем, что в некоторый начальный момент времени ?0 точка т находится в контакте
с поверхностью Н и не удерживается на поверхности Н никакими силами, кроме обозначенных сил. В момент контакта скорости частицы и поверхности совпадают. Очевидно, что при некоторых значениях амплитуды А и частоты ф частица т может оторваться от поверхности и опять упасть на поверхность в определенный момент времени. Полагаем, что удар о поверхность является абсолютно неупругим. После падения частица либо сразу отрывается от поверхности, либо лежит на поверхности некоторое время. Далее происходят повторы подбрасывания и моментов контакта материальной частицы с поверхностью. На рис. 2 представлена характерная траектория периодического подбрасывания материальной частицы массой т = 1 кг на поверхности колебания с амплитудой А = 0,196 м, w = 10 рад/с и коэффициентом вязкого трения р = 1 кг/с.
Требуется сформулировать условия отрыва
Рис. 1. Расчетная схема для стадии контакта (а) и стадии бесконтактного движения (Ь) материальной частицы т с поверхностью Н при наличии среды 3. N - реакция опоры, Q - сила тяжести, Ер - сила трения, V - скорость
движения материальной частицы
Рис. 2. Характерная траектория подбрасывания материальной частицы
х
н
Системный анализ. Математика. Механика и машиностроение
тХ(!) + р(Х - ./) = -mg, ? > Г0
(1)
)=#(*„).
В общем случае процесс движения частицы состоит из двух чередующихся этапов: этапа движения частицы без контакта с поверхностью, который описывается системой дифференциальных уравнений (1), и этапа движения частицы в контакте с поверхностью, который описывается гармонической функцией X (,) = А ).
В зависимости от параметров амплитуды и частоты колебания поверхности, среды, массы и коэффициента трения p частица двигается по различным траекториям, отрываясь в различных квадрантах. Пример траектории с отрывом во втором квадранте представлен на рис. 3 пунктирной линией. Система имеет параметры: A =2,42 м, СО = 2 рад/с, m = 1 кг, p = 2,59 кг/с, среда неподвижна.
К основным характеристикам взаимодействия материальной частицы и поверхности отнесем условия отрыва материальной частицы от поверхности в некоторый момент времени, функцию
ш
частицы от поверхности, определить максимальный размер и длительности зазора, возникающего после отрыва частицы от поверхности, определить условия реализации режима кратного подбрасывания.
2. Математическая модель
Для решения задач обозначим за X(t) траекторию движения частицы. Фиксируем A и ю - амплитуду и частоту поверхности колебания Н (,) = Авт(ш,). Будем считать, что в момент отрыва ,0 частица находится в таком контакте с поверхностью. Это означает, что значение точки траектории X(,0) и её производной X(,0) совпадают со значениями поверхности Н(,0) и Н(,0)
соответственно. В этом случае часть траектории движения материальной частицы, которая в момент подброшена и некоторое время находится над поверхностью, удовлетворяет системе:
зазора, которая описывает расстояние между материальной частицей и поверхностью в каждый момент времени, высоту подлета материальной частицы над поверхностью, длительность подлета частицы над уровнем A, условие реализации режима кратного подбрасывания.
3. Характеристики взаимодействия
Контакт частицы с поверхностью нарушается в момент отрыва. Дальнейшее движение частицы определяется начальными условиями на смещение и скорость, которые сформированы в момент отрыва.
Условия отрыва материальной частицы от поверхности колебания. Для определения условия отрыва в общем случае для двух траекторий в произвольной точке ,0 сформулируем,
в первую очередь, условия отрыва в точке ,0 неотрицательной траектории R от постоянной траектории 0. Полагаем, что рассматриваемая траектория R - бесконечно дифференцируемая функция. Пусть R разлагается в ряд Тейлора с остаточным членом в асимптотической форме Пеано [8]:
я«0+д,) = Ё
7=0
л "(О
7!
(ДО7 + о[(дои ]. (2)
Для того чтобы точка ,0 являлась моментом отрыва, необходимо и достаточно, чтобы для некоторого п выполнялась система условий:
Л(к) = 0,к = 0..п -1
Л п Ч) > о
(3)
Доказательство данного утверждения следует из соотношения для п, полученного из разложения Тейлора (2):
ЛЪ+Д) = +0(1), д, ^ о.
(Д)п п!
На основании представленных условий дадим определение порядка разрыва в точке.
Определение. Пусть в точке разрыва ,0 для некоторого п выполнена система неравенств (3), тогда точка называется точкой разрыва п-го по-
Характерная траектория под&расьшания. (.с
/ \ - N
/ \ I / \ / N / /
/ \ V \ / \ 0 / / /
о: 1, С'О \ 30 3, У ф 4, С'О N 5, \ 6, 7 / 7, 00 \ ю\ 1 9, Ю / 10 00
\ / / / \ V \ /
V
Рис. 3. Характерная траектория X подбрасывания материальной частицы с отрывом во 2-м квадранте
рядка.
Полученные условия отрыва в точке для одной траектории Я от нулевой траектории обобщаются на случай двух произвольных бесконечно дифференцируемых траекторий X и Н путем рассмотрения условий отрыва для траектории Я=Х- Н. В результате получаем необходимые и достаточные условия отрыва траектории X от Н в виде системы условий на производные в точке ?0 для некоторого п:
(X(к)(?0) = Н(к)(?0), к = 0...п -1,
[X(п%) >Н(п)(?о).
Рассмотрим возможные порядки отрывов для траектории X, которая является решением системы дифференциальных уравнений (1). Так как система (1) предполагает равенство значений смещения и производных в точке отрыва для траектории движения частицы и поверхности, то рассмотрим п >1.
Пусть п = 2. Условия отрыва второго порядка принимают вид
[X (?о) = Н (?о), X (1)(?о) = Н (1)(0,
X(2)(?о) > Н(2)(?о).
Из системы (1) и начальных условий следует, что
X(2Ч) = -ё-Р(Н(1)(?о)- J(1)(?о)) .
т
В результате получаем условия на отрыв в виде неравенства:
-ё-Р(Н(1)(?о) - J(1)(?о)) > Н(2)(?о). т
После упрощения получаем необходимые и достаточные условия реализации отрыва второго порядка траектории X, которая является решение системы (1), в виде
тН2)(?о) + рН(1)(?о) + ёт < pJ(1)(?о) . (4)
Полученное выражение показывает, что множество точек отрыва второго порядка является открытой областью и может быть определено без определения траектории движения частицы.
Пусть п = 3. Условия отрыва третьего порядка принимают вид
' X (?о) = Н (?о),
X (1)(? о) = Н (1)(?о), X (2)(?о) = Н (2)(?о),
_X(3)(?о) > Н(3)(?о).
Дифференцирование т£ + р(X - J) = -тё из системы (1) приводит к выражению
шшт
mX(3) + р( X(2)- J(2)) = о.
Учитывая условия X(2)(?0) = Н(2)(?0), получаем, что
mX3)(tо) = -рН (2)(?о) + pJ (2Ч).
После соответствующей замены получаем неравенство:
тН(3)(?о) + рН(2)(?о) <pJ(2)(?о).
В итоге условия отрыва третьего порядка принимают вид
(тН(2) (?о) + рН(1) (?о) + ёт = pJ(1) (?о)
тН(3)(?о) + рН(2)(?о) <pJ(2)(?о)
. (5)
'о) 1 рН ('о) < р" (?о)
Полученные условия (5) позволяют определить параметры, при которых происходит отрыв траектории X от поверхности колебания Н при наличии среды J.
Фаза отрыва. Вариант с неподвижной средой. Рассмотрим вариант взаимодействия материальной частицы с поверхностью колебания при наличии неподвижной среды, то есть J = 0. Условия отрыва третьего порядка (5) принимают вид
I- та2 А$1п(а?0 ) + раА С08(а?0 ) + ёт = о
I з 2 . (6)
[-та Асо8(а?0) - ра А81п(а?0) < о
Данную систему запишем в виде
8Ш(®?0 )--— СО8(®?0 ) =
та
а2 А
р
СО8(ф?0) + 81п(а?0) > о та
Введем обозначения: СО8(^) =
1
V
1 +
р
та р
(7)
{ г, \2
та. 1+1 —I
^ та )
В данных обозначениях запишем систему:
8т(а?0)С08(^) - СО8(а?0)81п(^) =
ё
/ „ Л2
а2 А^ 1+1^1 ^ та )
(8)
С08(а?0)со8(^) + 81п(а?0)81п(^) > о.
В итоге получаем условие отрыва в точке ?о в виде
2
Системный анализ. Математика. Механика и машиностроение
8т(а?0 - Р) = -
ё
а2 А
1 +
та
С08(а?0 - Р) > о.
Система (8) позволяют однозначно определить величины 8т(а?о) и С08(а?о) с учетом обозначений (7):
\2 ё ,
8ш(ф?0 ) = (С08(Р))
а2 А
81П(Р). 1 -
а2А
СО8(а?0 ) = - 81п(Р)с08(Р)
ё
а2А
+
Если
+ С08(Р),Д -I ¿^С08(Р) | .
ё ^ 1 \ ^ (\ ё
а2 А
> 1, то С08(а?о) < о. Если
а2 А
> 1,
ё
то С08(а?о) < о. Если —^ = 1, то С08(а?о) = о. а А
Если
и. Если —= 1, то ^•з^о; а А
Справедливо следующее утверждение:
ё
а2 А
< 1, то для любого параметра р е [о, да)
отрыв происходит в 1-м квадранте.
Если
ё
а2 А
= 1, то отрыв происходит в фазе
п
а?о = — для любого параметра р е (о,да).
2
Если
ё
а2 А
> 1, то отрыв происходит во 2-м квад-
ранте при условии, что коэффициент трения р превышает некоторое критические значение Ро:
р > Р0 = та
ё
Аа2
-1.
Фаза отрыва определяется выражением:
( \ (
а?0 = агсзт
а А. 1 +
та
+ агсзт
та1 + | -р— та
Пусть
ё
а2 А
< 1. Справедливы следующие пре-
дельные соотношения для фазы отрыва:
ш
а?о ^ агс81п|
ё
а2 А
если р ^ о ;
п
а?о ^ —, если р ^ да.
2
Пусть
ё
а2 А
> 1. Справедливы соотношения:
п
а?п ^ —+ агс81п
о 2
если р ^ та
п
1 -
^Аа2^2
ё
ё
Ааг
-1 .
Рассмотрим предельные случаи фазы отрыва для частицы фиксированной массы т.
а?о ^ —, если р ^ да.
На рис. 4 представлены графики зависимости фазы отрыва от коэффициента трения р для режимов подбрасывания материальной частицы с различным показателем интенсивности колеба-
ё
ния поверхности . В частности, рассмотрено
множество режимов подбрасывания с разными частотами и фиксированной амплитудой колебания А = 0,089 м. Масса подбрасываемых частицы составляет т = 0,5 кг. Частоты колебания ф принимают целые значения из диапазона 1.. .20 рад/с. Каждая кривая на рис. 4 показывает фазу отрыва частицы в зависимости от коэффициента трения. Для кривых из множества I показатель интенсивности меньше 1, для кривых из множества II показатель интенсивности больше 1. Кривая (а) обозначает пограничный режим, для которого показатель интенсивности равен 1.
В частности, в соответствии с рис. 4, для всех режимов с высокой интенсивностью отрыв происходит для любого коэффициента трения р. Фаза отрыва с ростом коэффициента трения монотонно увеличивается от некоторого ненулевого
п ^
значения фазы до величины —. Для режимов
с низкой интенсивностью из области II отрыв происходит, начиная с некоторого критического коэффициента трения Ро. По мере увеличения коэффициента трения фаза отрыва приближается п
к величине —. В результате получаем, что в независимости от интенсивности режима подбрасывания рост коэффициента трения р определяет фазу
отрыва и приближает её к ^ .
2
2
2
2
2
V
Фаза отрыва. Вариант с относительно неподвижной средой. Полагаем, что среда двигается одновременно с поверхностью колебания. Это означает, что 3(,) = А8т(С) . Условия отрыва третьего порядка (5) принимают вид \шН (2)(0 + gm = 0, \тН(3)(,0) < 0.
После подстановки Н(,) = АзтО получаем:
|-тю2 А 8т(С0) + gm = 0, [-т®3Асо8(С0) < 0.
Полученные условия эквивалентны условию отрыва при отсутствии трения. Данный вариант отрыва рассмотрен в работе [10].
Фаза отрыва. Вариант неподвижной поверхности колебания. Определенный промежуточный интерес представляет вариант, когда поверхность неподвижна, но колеблется среда. Это означает, что 3(,) = В , H = 0. Условия (5)
принимают вид
jgm = р3 (1)(0, [0 < р3(2)(,0).
После подстановки функции колебания среды получаем:
| gm = рВ^со8(^,0), [0 <- рВ^28т(^?0).
Из данной системы следует, что фаза отрыва
определяется соотношением
?/?0 = 2п - агссо8
gm
Л
gm
рВц I рВц
< 1.
Данное выражение означает, что отрыв материальной частицы от неподвижной поверхности колебания при колебании среды происходит в четвертом квадранте колебания среды при условии, gm
что
gm рВц
рВц
< 1. При выполнении равенства
= 1 отрыва не происходит.
Траектория подлета. Вариант движения поверхности колебания при неподвижной среде. Рассмотрим неподвижную среду J = 0 и поверхность колебания H.
Система (1) в данном варианте принимает
вид
mX (,) + рХ = -mg,, > ,0
X (О = Н (О
х (о = Н (О.
Данная система имеет решение в виде
m
р
gm
V
Х(0=-^ + Я(у 1-ехр -Чг-О
р
р
m
- ^ (, -,0) + Н (О. р
Высота подлета. Производная по времени от траектории имеет вид
^ р - ) у т ' ) р Производная равна нулю в точке
т, Г эти ^
'шах '0
р
&п + рН(Т0);
Подстановка точки максимума в формулу траектории позволяет определить точку максимального подлета в виде
( Л2 ( \
,,, . т • . »7 , Р7И
Р КР) у&п + рНЦ0))
Если производная в точке отрыва отрицательна, частица после отрыва продолжает снижаться.
Это означает, что максимум траектории после отрыва равен уровню отрыва. Если же частица отрывается от поверхности колебания в первом квадранте, то вначале она двигается вверх, в момент ? достигает максимального значения и падает на поверхность. На рис. 5 представлены графики функций высоты максимального подлета в зависимости от коэффициента трения p для частиц, масса которых принимает значения от 1 до 10 кг. Частота колебания поверхности составляет а =60 рад/с, амплитуда колебания составляет A = 0,005 м. В соответствии с рисунком 5 высота подлета всех частиц при нулевом коэффициенте трения составляет величину B = 0,0086 м. По мере роста коэффициента трения p высота всех частиц начинает уменьшаться. Более легкие частицы подлетают на меньшую высоту, чем тяжелые.
Длительность подлета. Отрыв частицы от поверхности колебания приводит к бесконтактному движению частицы в течение определенного промежутка времени. После отрыва в первом квадранте частица поднимается на уровень выше амплитуды колебания и после достижения максимального значения проходит уровень амплитуды колебания и падает обратно на поверхность. Длительность бесконтактного движения частицы
определяется как разница между моментом падения и моментом отрыва. Длительность бесконтактного движения всегда больше длительности подлета частицы над уровнем амплитуды колебания поверхности А. Длительность подлета частицы над уровнем А определяется как интервал времени нахождения частицы над уровнем A в процессе бесконтактно движения частицы от момента отрыва до момента падения. Пусть X - траектория движения частицы после отрыва, тогда длительность подлета определяется выражением тА=тг-тх , где моменты тх<тгудовлетворяют системе
X = А, X (71) = А.
Данная система позволяет однозначно определить длительность подлета ТА . Уравнение X(т) = А для точки отрыва в первом квадранте имеет два решение, выражается через Ж-функцию Ламберта [8] и позволяет однозначно выразить длительность подлета для р > 0. На рис. 6 представлены графики функций длительности подлета в зависимости от параметра трения р для частиц различной массы.
Графики функций а, Ь, с определяют длительность подлета частиц с массами 1, 11, 21 кг соответственно при подбрасывании на поверхности колебания с частотой а = 60 рад/с и амплитудой А = 0,006 м. В соответствии с рис. 6 в независимости от массы частицы при трении, близком к нулю длительность подлета всех части одинакова. Данный факт согласуется с моделью подбрасывания частицы без учета силы трения. По мере уве-
Рис. 5. Высота подбрасывания материальной частицы в зависимости от коэффициента трения р
личения коэффициента трения длительность подлета уменьшается и стремится к нулю. При этом легкие частицы находятся в подлете меньшее время, чем тяжелые частицы.
Режим подбрасывания в одно касание. Определим амплитуду колебания поверхности, которая обеспечивает режим в одно касание. Предположим, что для выбранного режима реализуется режим в одно касание с перебрасыванием через k периодов колебания. Тогда выполняется равенство
х С )|,=, 0 = х (0|,=, 0+—.
О
Сделаем замену , = 0+ — в уравнении траектории движения материальной частицы и получим выражение
m
р
р
V
1-ехр -
р 2як
m а
Л
2 як
р О
= 0.
Разрешение полученного равенства относительно A с учетом условий отрыва третьего порядка в точке ,0 приводим к выражению
А =
2 gякp
3 | | 2 ряк
со m I 1 - exp I -
com
2 gяk
а211 - exp| -
com
mg
2ряк || ра
Полученное выражение позволяет определить амплитуду колебания поверхности, при кото-
рой реализуется режим с кратным подбрасыванием с перелетом через целое количество периодов колебания поверхности при условии, что коэффициент трения p достаточно мал.
На рис. 7 представлена траектория подлета X частицы массой 1 кг с перебрасыванием через 3 периода колебания поверхности с частой колебания а = 60 рад/с, коэффициент трения p = 10. Расчетная амплитуда, при которой реализуется режим с кратным перебрасыванием k = 3, составляет A = 0,038 м. Необходимо отметить, что режим с кратным подбрасыванием реализуется только при определенных значениях p.
Заключение
Исследование условия отрыва и характеристик движения материальной частицы после отрыва от поверхности с учетом силы вязкого трения позволяет сделать следующие выводы:
1. Предложенная математическая модель с учетом сил трения позволяет учитывать различные динамические условия взаимодействия материальной частицы с вибрирующей поверхностью.
2. Полученные необходимые и достаточные условия отрыва частицы от поверхности позволяют определить фазы отрыва с учетом сил трения. Наличие силы вязкого трения оказывает влияние на отрыв только при существовании относительного движения среды и поверхности колебания.
3. Добавление силы вязкого трения в модель
подбрасывания частицы с интенсивным колебани-
g
ем (—-— < 1) приводит к запаздыванию отрыва а А
в первом квадрате по сравнению с фазой отрыва, которая реализуется при отсутствии силы трения. Если колебания обладают низкой интенсивностью
2
2
Рис. 7. Траектория движения с 3-кратным подбрасыванием. 1 - поверхность колебания Н; 2 - траектория движения X с перелетом через 3 периода колебания поверхности Н
ё
(—-— > 1), то отрыв происходит во втором квад-а А
ранте только при условии, что коэффициент трения р превышает критическое значение Ро:
Р = та.
ё
Аа2
-1.
4. В системе с вязким трением возможен режим с кратным подбрасыванием, при котором материальная частица после отрыва перелетает через целое количество периодов колебания.
5. Амплитуда режима с кратным подбрасыванием однозначно определяется кратностью подбрасывания, массой материальной частицы, частотой колебания поверхности только для определенного диапазона коэффициента вязкого трения.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лойцянский Л. Г. Курс теоретической механики : В 2 т. Т 2 Динамика. М. : Наука, 1983. 640 с.
2. Лурье А. И. Аналитическая механика. М. : Наука. 1986. 516 с.
3. Вибрации в технике : справочник. Т 4. Вибрационные процессы и машины / под ред. Э. Э. Лавендела. М. : Машиностроение, 1981. 509 с.
4. Елисеев С. В., Лоткин О. И. Условия существования и нарушения контакта для систем с неудерживающими связями // Тр. ОМИИТа. 1966. Вып. 69. С. 93-99.
5. Сельвинский В. В. Динамика контактного взаимодействия твердых тел. Благовещенск : Изд-во Амурск. гос. ун-та, 2009. 164 с.
6. Елисеев С. В., Ситов И. С., Елисеев А. В. Движение материальной частицы с подбрасыванием на примере модельной задачи с не-удерживающими связями // Машиностроение и безопасность жизнедеятельности. 2012. Вып. №3. С. 53-59.
7. Шведов И. А. Компактный курс математического анализа : Ч 1. Функции одной переменной : учеб. пособие // Новосибирск, Новоси-бир. гос. ун-т. 2001. 112 с.
8. Дубинов А. Е., Дубинова И. Д., Сайков С. К. Ж-функция Ламберта и её применение в математических задачах физики : учеб. пособие для вузов. Саратов : ФГУП РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2006. С.160
9. Сорокин В. С., Влияние вибрации на движение деформируемых включений в жидкости : автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. СПб, 2011. 22 с.
10. Елисеев С. В., Елисеев А. В. Режимы подбрасывания материальной частицы на вибрирующей поверхности в модельной задаче с не-удерживающими связями // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2012. №3(35). С. 86-96.
11. Елисеев С.В., Ситов И.С., Елисеев А.В. Характеристики взаимодействия материальной частицы и поверхности колебания в зависимости от постоянной силы с учетом неудер-живающей связи // Техника и технологии новые перспективы развития : материалы VII Междунар. науч.-практ. конф. (Москва, 26 но-яб. 2012). М. : Спутник+, 2012. 248 с.
2
