CC BY
19
УДК 534.014,621.802 Елисеев Андрей Владимирович,
м. н. с. НОЦ современных технологий, системного анализа и моделирования, ИрГУПС,
тел. 8(3952)638326, +7 950 1435533, e-mail: [email protected]
ВИБРАЦИОННЫЕ РЕЖИМЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ И ВИБРИРУЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ С УЧЕТОМ НЕУДЕРЖИВАЮЩИХ СВЯЗЕЙ: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, ФОРМЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ, ФАКТОРЫ РЕАЛИЗАЦИИ
A. V. Eliseev
VIBRATIONAL MODES OF INTERACTION OF THE GRANULAR MEDIUM AND A VIBRATING SURFACE WITH THE UNILATERAL CONSTRAINTS: MATHEMATICAL MODELS, INTERACTION FORMS, IMPLEMENTATION FACTORS
Аннотация. Рассматриваются вопросы построения математических моделей для режимов взаимодействия рабочей среды, сформированной стальными шариками, с вибрирующей поверхностью в процессах вибрационного упрочнения поверхностей длинномерных деталей. Развиты методологические подходы к построению математических моделей процесса вибрационного взаимодействия с учетом неудерживающего характера связей. Разработаны теоретические основы формирования аналитических соотношений, определяющих факторы и основные характеристики реализации процессов взаимодействия с непрерывным подбрасыванием. Сформулированы условия возникновения режимов с подбрасыванием поверхностью колебания материальной частицы на основе использования метода функции зазора. Показана возможность классификации вариантов отрыва материальной точки от поверхности колебания на основе метода функции зазора. Изучены зависимости характеристик вибрационных процессов от силовых факторов. На единой методологической основе рассмотрены частные постановки задач определения реализации режимов с учетом гравитационных сил, постоянных дополнительных сил и сил вязкого трения. Предложены обобщенные характеристики вибрационного поля. Представлены графики формирования режимов кратного подбрасывания для задачи с учетом гравитационных сил. Представлены аналитические зависимости параметров системы, обеспечивающих реализацию режима кратного подбрасывания. Приведены графики характерных параметрических зависимостей.
Ключевые слова: неудерживающие связи, вибрационное упрочнение, вибрация сыпучей среды, вибрации твердого тела, непрерывное подбрасывание, вибрационного поле.
Abstract. Questions of construction of mathematical models for the mode of interaction of the working environment, formed by steel balls, with the vibrating surface of the vibrating surface hardening of long details are considered. Methodological approaches to the construction of mathematical models of vibratory interaction with the unilateral constrains are expanded. The theoretical basis for the formation of analytic relations that define the feasibility of interaction processes with continuous tossing is developed. The possibility of classifying options of the material point detachment from oscillations surface on the basis of the function of the gap is shown. Conditions for the occurrence of regimes with tossing are formulated. The dependence of the characteristics of vibrating processes from power factors is explored. Generalized characteristics of the vibration field are proposed. Graphs of multiple modes of formation for tossing task considering gravitational forces are presented. The analytical dependence of the parameters of the system, ensuring the implementation of the regime fold toss is submitted. The graphs of typical parametric dependencies are demonstrated.
Keywords: unilateral constraints, vibration hardening, granular medium vibration, the vibration of a solid, the continuous tossing, vibrational field.
Введение
Вибрационные режимы с подбрасыванием рабочей среды представляют основу многих вибрационных технологических процессов, используемых при реализации широкого круга производственных задач в различных отраслях техники [12]. Особую роль вибрационные режимы играют в процессах упрочнения поверхностей деталей при взаимодействии с вибрирующей рабочей средой. Такие процессы получили распространение с целью обеспечения надежности работы машин и оборудования, работающего в условиях интенсивного динамического нагружения. Вопросы взаимодействия сыпучей среды с твердыми телами нашли отражения в работах, относящихся к теории вибрационного перемещения и транспортирования, теории вибрационных систем, динамике колебательных систем [3-6]. Теоретические основы современных подходов рассмотрены в работе [7]. В теоретическом плане процессы вибрацион-
ного упрочнения представляют собой комплексные динамические взаимодействия, формируемые движением рабочих органов вибростендов и сыпучими средами в замкнутых пространствах, что предполагает установившиеся виброударные процессы и различные формы самоорганизации движения и элементов рабочей среды при свободных контактированиях. Обоснование устойчивых технологических процессов требует внимания к формированию математических моделей, определению условий возникновения режимов вибрационного воздействия, изменению факторов, сопровождающих процесс взаимодействия рабочей среды с вибрирующей поверхностью. С одной стороны, используемые математические модели должны быть достаточно простыми, чтобы иметь явное аналитическое решение, с другой стороны, процессы вибрационного взаимодействия должны отражаться в моделях, позволяющих определять су-
щественные характеристики установившихся процессов.
В предлагаемой статье развивается научно-методологическая основа построения математических моделей, в рамках которых можно было бы определять условия реализации режимов установившихся периодических вибрационных взаимодействий и оценивать влияния факторов, формирующих специфику вибрационного взаимодействия.
1. Общие положения. Особенности постановки задачи исследования
Процесс вибрационного упрочнения в ряде случаев представляет собой режим динамического взаимодействия вибрирующей поверхности детали в замкнутом пространстве с рабочей средой, сформированной стальными шариками.
С целью формирования научно-методологической базы представлений о взаимодействии среды и поверхности рассматриваются частные варианты взаимодействия. Опорная поверхность совершает гармонические колебания. Рабочая среда, образованная стальным шариком, сведена к модели твердого тела, имеющего одну точку контакта и одну степень свободы движения. Модельным вариантом рассмотрения является идеализированный процесс взаимодействия горизонтальной поверхности, совершающей вертикальные гармонические движение, с материальной точкой, находящейся под воздействием различных силовых факторов. Взаимодействие рабочей среды определяется неудерживающим характером связи, реализующейся между вибрирующей поверхностью и рабочей средой. Фазами взаимодействия рабочей среды и поверхности вибрационной машины являются контакт, подлет и удар. Удар считается абсолютно неупругим.
Траектория движения материальной частицы в зависимости от различных параметров системы и факторов среды формирует вибрационное поле. Среди широкого круга факторов, формирующих вибрационное поле, следует выделить ключевые: силы тяжести, постоянные или кусочно-постоянные силы, не зависящие от массы частицы, силы вязкого трения, зависящие от скорости движения частицы.
Задачей исследования является определение вибрационного поля, условий отрыва, характеристик различных фаз взаимодействия рабочей среды и поверхности, определение характера влияния постоянных сил и сил вязкого трения на характеристики вибрационного взаимодействия, определение условий реализации режимов кратного подбрасывания, для которых период подлета среды
над поверхностью кратен периоду колебания поверхности вибрационной машины.
2. Построение математической модели. Характеристики взаимодействия
Основой метода построения математической модели является рассмотрение взаимодействия вибрирующей поверхности и рабочей среды в различных фазах. Особенность построения модели заключается в определении фазы контакта и подлета среды с использованием ряда предположений о характере отрыва материальной частицы от поверхности. В общем случае для каждой фазы взаимодействия составляется система дифференциальных уравнений на основе принципа Даламбера. Решения полученных уравнений определяют положение материальной точки в каждый момент времени в зависимости от амплитуды и частоты колебания горизонтальной поверхности.
Моделирование движения материальной частицы осуществляется с учетом предположений о том, что в начальный момент времени и в фазе контакта материальная частица обладает положением и скоростью, заданными законом движения поверхности. Таким образом, оказавшись на поверхности, частица приобретает кинематические характеристики с момента контакта. После падения на поверхность частица, приняв характеристики поверхности, может либо оставаться некоторое время на поверхности, либо совершить немедленный отрыв. Переход частицы из фазы контакта в фазу подлета может произойти только при возникновении определенных условий.
Критерий разделения фаз взаимодействия среды и вибрационной поверхности. Для определения момента отрыва рассматривается траектория движения частицы Х(0. Амплитуда А и частота ю - параметры движения поверхности колебания И(1) = Asin(Ш) . Момент отрыва частицы . В этом случае часть траектории движения материальной частицы, которая в момент подброшена и некоторое время находится над поверхностью, удовлетворяет системе
Х(() = -8,(>(0,
х(г0)=т0),
Х(Т0)=Н(Т0).
(1)
В данном случае процесс движения частицы состоит из двух чередующихся этапов: этап движения частицы без контакта с поверхностью, который описывается системой дифференциальных уравнений (1), и этап движения частицы в контакте с поверхностью, который описывается гармонической функцией Х(£) = А8т(. Критерием
Механика
разделения этапов служит наличие контакта. Состояние контакта может быть также разделено на этапы в соответствии с равенством или неравенством нулю контактной реакции. При такой детализации выделяются три фазы взаимодействия.
Для определения момента отрыва материальной частицы предлагается использование метода функции зазора [8], основанного на том, что момент отрыва частицы от поверхности рассматривается как варьируемый параметр. В основе метода лежит идея о том, что вне зависимости от того, является ли момент времени г0 моментом отрыва, можно определить все множество возможных траекторий движения точек, которые двигались только на основе заданных в момент г0 начальных условий. Для рассматриваемой модели семейство таких траекторий строится в соответствии с системой дифференциальных уравнений:
а2 хн (г, г0)
дг2 дХн (г, О
я, г ^ ¿о
дг
- юА С08(ш^ ). .
(2)
хя (г,г0) - А зт(юг0).
дг'
' - 0..<х> существовал к е N такой, что
40- 0,4р о,...$к_х= 04к> о.
(3)
Доказательство. Необходимость. Пусть г0 - точка отрыва, но условие (3) не выполнено. Рассмотрим условие
40 - 0, 4 - 0,..., - 0, ^ < 0. (4) Разложение функции зазора в ряд Тейлора с остаточным членом в асимптотической форме Пе-ано [9] имеет вид
Дн (г, г0) =
1 д'Ян (г, г0)
дг'
(г - г0у + о[(г - г0)к ],
(5)
откуда следует, что Дн (г, г0) < 0 для г е (г0, г0 + 3). Но это означает, что г0 не является точкой отрыва. Если V' - 0 , то г0 - не точка отрыва.
Достаточность. Пусть для некоторого к е N выполнено условие
4 - 0,4 - 0,..., - 0,4 > 0. (6) Разложение функции зазора в ряд Тейлора форме Пеано имеет вид
Дн (г, г0) -к 1 д'Дн (г, г0)
-Е1-
'-0
дг
(г - г0)' + о[(г - г0)к ].
(7)
Действительная траектория движения х (г) материальной частицы состоит из промежутков поверхности колебания, когда частица находится в контакте с поверхностью, и из кусков возможных траекторий (2).
В соответствии с методом функции зазора величина Дн (г, г0) - Хн (г, г0) - Н(г) как функция г представляет собой расстояние между точками траектории движения материальной частицы и поверхности колебания. Если частица оторвалась от поверхности, то зазор в некоторой окрестности момента отрыва справа представляет собой положительное значение; если частица находится в контакте с поверхностью, то зазор равен нулю.
Для определения момента времени, в который происходит отрыв, формулируется дифференциальный критерий положительности функции зазора в бесконечно малой окрестности точки г0 справа следующим образом.
Теорема. Пусть функция зазора бесконечно-дифференцируема в Д2. Для отрыва частицы в момент г0 необходимо и достаточно, чтобы для
бесконечной последовательности 4 _ д Дн
Откуда следует, что
Дн (г, ^ 1 д кДн (г, г0)
(г - г0)к к! дгк
Это означает, что
Дн (г, г0) , 1 д кДн (г, г0)
+ о(1).
(8)
(г - г0)к
к! дгк
> 0 при г ^ г0. (9)
То есть 33 > 0 такое, что для Уг е (г0,г0 + 3) вы-
Дн (г, г0)
полнено
(г - г0)к
> 0 или Дн (г, г0) > 0. Это значит,
что г0 является моментом возникновения зазора.
Определение 1. Пусть в точке г0 реализуется зазор. Натуральное число к е N называется порядком зазора.
Определение 2. Пусть в точке г0 реализует-
д' Дн (г, О
ся зазор. Величина 4 .= -
дг
,' - 0,...,<х>
называется 7-й локальной характеристикой зазора.
Обобщенный подход рассмотрения фаз движения с возникающим зазором предполагает дифференцирование постановок на задачи с силами тяжести, на задачи с добавлением к силе тяжести дополнительной постоянной силы и на задачи с силами вязкого трения, чтобы охватить основные факторы формирования вибрационного взаи-
к
г-г
0
г-г
0
г-г
0
г-г
модействия рабочей среды и вибрирующей поверхности с учетом неудерживающего характера связей.
Особенности постановки задачи для вибрационных процессов с учетом сил тяжести.
Траектория движения частицы после отрыва от поверхности колебания с законом движения Н{1:) = А 8т(о)/) описывается системой уравнений
S(t) = -g,t>t0,
(10)
S(t0) = H(t0), S(t0) = H(t0).
Для поверхности H(t) существует только два типа отрыва. Первый тип - это отрыв третьего порядка, который реализуется в момент 10 с нулевой реакцией опоры. Параметры системы в точке отрыва такого типа удовлетворяют уравнению
1 -
Arn1
sin( at0) = 0,
(11)
1
Arn2
g
sin( (t0) < 0.
(12)
в сложном силовом поле. На рис. 1 представлена расчетная схема рассматриваемых сил, действующих в одном направлении.
В соответствии с рис. 1, а представлена расчетная схема стадии отрыва материальной частицы от поверхности. На рис. 1, Ь представлена расчетная схема для стадии контакта с поверхностью, где N - нормальная реакция опоры, Е - дополнительная сила, Q - сила тяжести.
Связь между частицей и поверхность полагается неудерживающей. При определенных параметрах колебания поверхности возможен отрыв частицы. Характерная траектория подбрасывания 5 формируется из стадии подлета над поверхностью и стадии непрерывного контакта.
§
С08(<) > 0.
Второй тип - отрыв второго порядка, это отрыв точки без предварительного пролеживания. Параметры системы в точке такого типа отрыва отрыва 10 удовлетворяют уравнению
Выражение (12) может рассматриваться как условие на параметры системы, обеспечивающие заданный тип отрыва.
Детальное рассмотрение постановки рассматриваемой задачи, представленное в работах авторов [8], для вибрационных процессов взаимодействия материальной частицы и поверхности с учетом гравитационных сил предполагает ряд гипотез о фазах взаимодействия элементов колебательной системы, включающих контакт, отрыв, подлет и удар.
Особенности постановки задачи для вибрационных процессов с учетом постоянных сил. Рассматривается математическая модель процесса подбрасывания материальной частицы с массой т горизонтальной поверхностью Н при вертикальных гармонических колебаниях Н(/) = Asin(at) с учетом силы гравитации Q и некоторой постоянной силы Е.
Полагается, что сила Е может действовать как в одном направлении с силой Q, так и в противоположном. Дополнительно считается, что возможно переключение направления и модуля силы Е в точке максимального подлета частицы. Такие ситуации возникают при подбрасывании частицы
Рис. 1. Движение частицы с учетом сил Q и Г, действующими в одном направлении: а) стадия подлета; Ь) стадия контакта
В стадии контакта с поверхностью, силы, действующие на частицу, определяются на основе принципа Даламбера. Если 5 - траектория движения частицы в процессе контакта с поверхностью, то справедливо равенство
т5 = Ы + 0 ± (13)
Полагается, что сила Е действует в направлении силы тяжести Q, в этом случае значение имеет верхний знак перед силой, а - Е действует в противоположном направлении, и значение имеет нижний знак.
Дополнительная постоянная сила Е выступает параметром в системе и формирует условия отрыва для точек второго и третьего порядка. Требование на реализацию режима с подбрасыванием, в свою очередь, накладывает ограничения на модуль и направление дополнительной постоянной силы. Детализированный учет вариантов постоянных сил в процессе вибрационного взаимодействия частицы с поверхностью представлен в работе [11].
Особенности постановки задачи для вибрационных процессов с учетом сил вязкого трения. Предполагается, что на частицу т действует сила тяжести Q и сила вязкого трения ¥р,
Механика
которая направлена в противоположную сторону к скорости относительного движения материальной частицы по отношению к среде и пропорциональна разнице скоростей частицы и среды. Коэффициент пропорциональности р - некоторое неотрицательное число. Уравнение движения среды имеет вид J(г) - Бзт(^г). Среда ./совершает колебания относительно нулевого уровня Н = 0. Для каждого значения амплитуды А и частоты ю рассматривается гармонический закон движения поверхности н(г) - А$т(ю>г) в зависимости от времени I. На рис. 2 представлена расчетная схема действующих на частицу сил для двух стадий движения: (а) - движение частицы в контакте с поверхностью, (Ь) - бесконтактное движение.
Рис. 2. Расчетная схема для стадии контакта (а) и стадии бесконтактного движения (Ь) материальной частицы т
с поверхностью Н при наличии среды 3. N - реакция опоры, Q - сила тяжести, ¥р - сила трения, V - скорость
движения материальной частицы С учетом данной схемы проекция силы трения на ось X принимает вид
Рр --Р(х - J).
(14)
В этом случае часть траектории движения материальной частицы, которая в момент /0 подброшена и некоторое время находится над поверхностью, удовлетворяет системе дифференциальных уравнений
тХ(Г) + р{Х - ./) = Г > Г(),
Мч )=#(а
Ш ) = Н(Г0).
(15)
В зависимости от параметров амплитуды и частоты колебания поверхности, среды, массы и коэффициента трения р частица двигается по различным траекториям, отрываясь в различных квадрантах.
Учет вязкого трения в процессе взаимодействия предполагает рассмотрение широкого спектра вопросов, в частности рассмотрения вариантов среды, колеблющейся одновременно с поверхностью колебания, и среды, колеблющейся независимо от вибрирующей поверхности.
Ряд особенностей взаимодействия материальной частицы с вибрирующей поверхностью в зависимости от сил вязкого трения рассмотрен в работе [10].
Согласно методологическому подходу, представленные постановки задач в зависимости от гравитационных, постоянных сил и сил вязкого трения предполагают детализированное рассмотрение режимов взаимодействия среды с вибрирующей поверхностью соответственно с учетом выбранных силовых факторов при наличии неудер-живающего характера связей.
3. Вибрационные режимы подбрасывания рабочей среды поверхностью колебания. Возможность реализации повторяющихся подбрасываний рабочей среды опорной поверхностью колебания позволяет рассматривать режимы взаимодействия материальной частицы и поверхности, которые обладают определенными устойчивыми признаками.
В качестве основного режима можно выделить режим с подбрасыванием, когда материальная частица отрывается от поверхности и через некоторое время падает на поверхность без конкретизации свойств точки падения. Можно предположить, что после падения материальная частица некоторое время не отрывается от поверхности, - реализуется режим с пролеживанием. В зависимости от целей и задач исследований возможны различные подходы к классификации режимов взаимодействия частицы и вибрирующей поверхности [6].
В рамках рассматриваемой модели взаимодействия материальной частицы с поверхностью полагаются возможными три принципиальных варианта контактного взаимодействия материальной частицы. Первый вариант предполагает, что точка некоторый интервал времени пролежала на поверхности до области достаточных условий отрыва, в частности до момента равенства нулю контактной реакции. Такой вариант взаимодействия может быть назван «отрыв по реакции». Второй вариант - материальная точка упала на поверхность в момент немедленного отрыва, который определен условиями отрыва, при этом взаимодействие в течение некоторого интервала времени перед отрывом частицы также приводит к отрыву от поверхности. Такой вариант отрыва условно может быть назван «отскоком». Третий вариант взаимодействия является граничным для двух первых. В этом варианте материальная частица падает в момент отрыва с нулевой контактной реакцией.
<
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
5(г) > А$т(юг),гГ > г >г0; §
81п( «г0) = ,со8(®г0) > 0;
Аю 5 (г)1 = 5 (г )|
(16)
2пк
Разрешение системы (18) приводит к аналитическим условиям режима кратного подбрасывания для движения частицы среды в условиях гравитационных сил:
§ 1
Аю1
л/Г
(17)
+ ж2 к2
где к - количество перебрасываемых периодов колебания опорной поверхности колебания.
Условия реализации кратного режима для точек отрыва второго порядка имеют вид
5(г) > А 8т( юг), гх > г >г0; § .
зт(юго) >
Аю
5 (г )| = 5 (г )| г = +М
" г0 "1 '0+ •
(18)
Для точек отрыва второго порядка множество параметров системы, при которых происходит отрыв с перебрасыванием через к периодов, удовлетворяет неравенству Аю2
• >
§
л/Г+Л2 •
(19)
Зависимость между частотой колебания и высотой подлета материальной частицы с учетом траекторий отрыва в одной касание из области отрыва второго порядка представлена на рис. 3.
Кривая 5 показывает высоту подлета частицы из области отрыва третьего порядка в зависимости от частоты колебания при фиксированной амплитуде колебания А = 5 мм. Кривые к = 1, ..., к = 5 представляют высоты подлета частиц при отрыве из области отрыва второго порядка.
В качестве примеров приводятся результаты теоретических исследований режимов взаимодействия материальной частицы с поверхностью колебания с учетом неудерживающих связей.
Режимы подбрасывания с учетом гравитационных сил. Предполагается, что режим подбрасывания 5(г) реализуется при условии приложения только сил гравитации. Режим кратного подбрасывания определяется значениями параметров поверхности колебания, при которых фаза колебания в момент отрыва г равна фазе в момент падения г .
Для точек отрыва третьего порядка условие кратного режима подбрасывания имеет вид
0.05-
0.0+
о.оз-
Н.м
0.02-
0.01
к =5
5
к^ 4
к -[ к =3
т*4
50
100
150
200
01 рад/с.
Рис. 3. Высота подлета для точек второго и третьего порядка при реализации режима подбрасывания в одно касание
Реализация режима кратного подбрасывания накладывает ограничение на амплитуду и частоту колебания вибрационной поверхности. При условии, что частота колебания поверхности фиксирована, аналитические соотношения задают множество амплитуд, которые обеспечивают режим заданной кратности. Аналитические зависимости частоты и амплитуды кратных режимов от периода колебания опорной поверхности позволяют определить параметры колебания, обеспечивающие заданную длительность периода подлета материальной частицы или максимальную высоту подлета.
Рассматриваемая идеализированная математическая модель приводит к представлениям о том, что время контакта материальной частицы и поверхности равно нулю, что не соответствует представлениям о реальных процессах, происходящих в технологических вибрационных машинах, но может служить приближением.
Одной из модификаций рассматриваемых математических моделей является добавление показателя длительности отрыва. Такая модель учитывает тот факт, что отрыв материальной частицы после падения происходит не мгновенно, а в течение некоторого малого промежутка времени.
Детальное представление теоретических результатов в области исследования режимов взаимодействия материальной частицы и вибрирующей поверхности приведено в работе [8].
Особенности взаимодействия материальной частицы с вибрирующей поверхностью в зависимости от дополнительной силы. Рабочая среда, образованная стальными шариками в процессе взаимодействия с вибрирующей поверхно-
ш
Механика
стью, может находиться под воздействием постоянных сил или сил, которые постоянны на определенных фазах. В качестве модельного варианта задачи рассматриваются силы, приложенные к материальной точке и сохраняющие некоторые значения на фазе подлета и падения. Величина и направление постоянной силы оказывают существенное влияния на возможность реализации как отрыва материальной частицы, так и на сам факт реализуемости режима с подбрасыванием. В идеализированном варианте сила, приложенная к материальной частице и действующая от поверхности в сторону движущейся частицы, может нарушить режим периодического подбрасывания, устранив возможность падения частицы на поверхность. Таким образом, необходимость рассмотрения режимом с подбрасыванием накладывает определенные ограничения на силы, которые, с одной стороны, обеспечивают возврат частицы на поверхность, с другой стороны предполагают реализацию самого факта отрыва частицы от поверхности.
Траектории движения отдельных материальных частиц, подбрасываемых вибрирующей поверхностью, формируют вибрационное поле. Приложение постоянных сил к рабочей среде, представленной стальными шариками, может рассматриваться как воздействие постоянной силы на вибрационное поле. Изменение высоты подлета материальной частицы под действием постоянной или кусочно-постоянной силы, направленной вертикально, может быть интерпретировано как деформация вибрационного поля. В свою очередь, отношение приложенной постоянной силы и величины деформации вибрационного поля может быть расценено как коэффициент жесткости вибрационного поля или рабочей среды.
Условия на амплитуду и частоту, при которых реализуется режим кратного подбрасывания, имеют вид
Аю2
8 (1 ±—) тя
-V1 + %гк2
(20)
М - 2
8 (1 ± —) тя
(21)
Для исследования характеристик процесса подбрасывания материальной частицы в зависимости от массы частицы т и дополнительной силы ^ необходимо определить соответствующие производные момента времени отрыва, высоты и длительности подлета частицы. Знаки полученных производных позволяют оценить характер изменения исследуемых характеристик для частиц с различными массами и частиц, на которые действуют различные силы. В частности, если дополнительная сила действует в направлении силы тяжести, то производная функции длительности подлета (5) по массе частицы имеет вид
АдГ = 2 Аю— дт (тя + — )2
(22)
Для демонстрации методологического подхода с использованием полученных аналитических результатов в качестве временной характеристики зазора будем использовать длительность нахождения материальной точки выше амплитуды колебания поверхности. Можно показать, что данная величина составляет
Аю 2
Если — > 0, то есть на частицы действует сила в направлении действия силы тяжести, из положительности полученной производной (22) следует, что частицы с большей массой находятся в подлете дольше, чем частицы с меньшей массой. Если — < 0, то есть дополнительная сила действует в противоположном направлении к силе тяжести, частицы с большей массой находятся в подлете меньшее время, чем частицы меньшей массы.
Представленный подход является методом определения чувствительности характеристик вибрационного режима к настроечным параметрам, в качестве которых могут выступать массы частиц, постоянные силы, вязкое трение, начальные условия отрыва.
Результаты теоретических исследований режимов взаимодействия материальной частицы и вибрирующей поверхности с учетом кусочно-постоянных дополнительных сил приведены в работе авторов [11].
Взаимодействие материальной частицы с вибрирующей поверхностью при наличии сил вязкого трения. Взаимодействие рабочей среды с поверхностью может также находиться под воздействие вязкой силы трения. Приложение вязкой силы трения к материальной частице существенным образом оказывает воздействие на формирование условий отрыва, траекторию движения материальной частицы и режимы подбрасывания. Так, приложение сил вязкого трения может изменить фазу отрыва. Если рассматривать силы вязкого трения как результат взаимодействия материальной частицы с некоторой средой, то возможны два принципиальных варианта. Первый вариант заключается в том, что среда, с которой взаимодействует материальная частица, двигается вместе с поверхностью колебания. В таком случае ключевым фактором взаимодействия выступает относи-
ю
тельная скорость частицы. Если же среда, с которой взаимодействует материальная частица, неподвижна и не колеблется вместе с поверхностью колебания, то основным фактором, характеризующим взаимодействие вибрационной поверхности и точки, является уже абсолютная скорость материальной частицы.
Коэффициенты сил вязкого трения существенным образом влияют на реализацию режима кратного подбрасывания. Добавление в систему сил вязкого трения может привести либо к исключению кратного режима, либо к его появлению.
Условия отрыва второго порядка принимают
вид
тн(2)(г0) + рн(1)(г0) + 8т < pJ(1)(г0). (23) Приведенное выражение показывает, что множество точек отрыва второго порядка является открытой областью и может быть определено без определения траектории движения частицы.
Условия отрыва третьего порядка принимают вид
\тн(2) (О + рн(1) (г0) + 8т - pJ(1) (О, \тн (3\г0) + рн (2)(0 < pJ (2)(д.
лем интенсивности колебания поверхности
ю2 А
Рис. 10. Фаза отрыва в зависимости от коэффициента трения р при наличии неподвижной среды 3 = 0 В частности, рассмотрено множество режимов подбрасывания с разными частотами и фиксированной амплитудой колебания А = 0,089 м. Мас-
са подбрасываемых частицы составляет т = 0,5 кг. Частоты колебания ю принимают целые значения из диапазона 1, ..., 20 рад/с. Каждая кривая на рис. 10 показывает фазу отрыва частицы в зависимости от коэффициента трения. Для кривых из множества I показатель интенсивности меньше 1, для кривых из множества II показатель интенсивности больше 1. Кривая (а) обозначает пограничный режим, для которого показатель интенсивности равен 1.
Для определения режима подбрасывания в одно касание с перебрасыванием через к периодов колебания рассматривается условие на параметры траектории:
Х(г)|г-г0 - Х(г)|г-г0+- . (25)
ю
Учет условий отрыва третьего порядка в точке г0 позволяет определить в явном виде зависимость амплитуды:
(24)
г0) 1 рн (г0) < р (г0).
Условия (24) позволяют определить параметры, при которых происходит отрыв траектории X от поверхности колебания Н при наличии среды 3.
Влияние сил трения, как показывают исследования, отличается разнообразием форм их проявления, требующих детализированного исследования. В качестве примера можно привести, представленные на рис. 10 зависимости фазы отрыва от коэффициента трения р для режимов подбрасывания материальной частицы с различным показате-
8
А -
(26)
Полученное выражение позволяет определить амплитуду колебания поверхности, при которой реализуется режим с кратным подбрасыванием с перелетом через целое количество периодов колебания поверхности при условии, что коэффициент трения р достаточно мал.
Необходимо отметить, что вопрос реализуемости режима с кратным подбрасыванием требует дополнительной детализации в зависимости от коэффициента вязкого трении.
Результаты теоретических исследований в области режимов взаимодействия материальной частицы и вибрирующей поверхности с учетом сил вязкого трения, в частности, посвященные вопросам возможности реализации кратных режимов и определения соответствующих коэффициентов вязкого трения, представлены в работе [10].
Заключение
Проведенные исследования позволяют сделать следующие выводы:
1. При всём многообразии вибрационных взаимодействий, в том числе связанных со взаимодействием частиц с рабочей средой, создающей различные силы сопротивления для технологиче-
Механика
ских приложений, большой интерес представляют периодические процессы с подбрасыванием, обеспечивающим длительность свободного подлета, кратную периоду вибрации контактирующей поверхности.
2. Воспроизводимость процессов непрерывного подбрасывания в одно касание существенно зависит от точности соблюдения начальных параметров отрыва. Для оценки влияния настроечных параметров на качество процессов подбрасывания предложено введение функции чувствительности к изменению условия отрыва.
3. Использование математических моделей для обоснования процессов непрерывных вибрационных взаимодействий, в частности для реализации процессов, связанных с деформацией контактирующих поверхностей, требуют предварительного определения условий, связанных с учетом особенностей ударного взаимодействия падающей частицы с последующим контактом с поверхностью.
4. Обобщение возможностей математических моделей в плане их использования для оценки параметров взаимодействия слоя допустимо с определенными ограничениями, что требует согласованных теоретических и соответствующим образом собранных и обработанных экспериментальных данных.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Блехман И.И. Вибрационная механика. М. : Наука, 1994. 400 с.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Бохоева Л.А., Пнев А.Г., Дамдинов Т.А. Моделирование и технология изготовления лопасти вертолета из композиционных материалов // Системы. Методы. Технологии. 2011. № 10. С. 16-20 Бабицкий В.И. Теория виброударных систем. М. : Наука, 1972. 358 а
Блехман И.И. Джанелидзе Г.Ю. Вибрационное перемещение. М. : Наука, 1964. 410 с. Быховский. И.И.Основы теории вибрационной техники. М. : Машиностроение. 1968. 362 с Вибрации в технике : справочник. Т 4. Вибрационные процессы и машины / под ред. Э.Э. Лавендела. M. : Машиностроение. 1981. 509 с. Лурье А.И. Аналитическая механика. М. : Наука, 1968. 720 с.
Елисеев А.В., Ситов И.С. Теоретические основы процессов взаимодействия материальной частицы с вибрирующей поверхностью с неудерживающими связями // Системы. Методы. Технологии. 2012. № 4. С. 19-29.
Шведов И.А. Компактный курс математического анализа. Ч. 1. Функции одной переменной : учеб. пособие. Новосибирск : Изд-во Новосиб. гос. ун-та. 2001. 112 С
10.Елисеев С.В., Елисеев А.В. Определение коэффициента вязкого трения для режима кратного подбрасывания материальной частицы в модельной задаче с неудерживающей связью // Системы. Методы. Технологии. 2013. № 1 (17) С. 22-27.
11. Елисеев А.В. Особенности взаимодействия материальной частицы с вибрирующей поверхностью в зависимости от дополнительной силы с неудержива-ющей связью // Междунар. журн. приклад. и фундамент. исслед. 2013. №3. С.9-15.
9.
УДК 517.93 Димов Алексей Владимирович,
к. т. н., доцент кафедры «Математика», Иркутский государственный университет путей сообщения,
тел. 89834646875, e-mail: [email protected] Донская Елена Юрьевна,
к. т. н., доцент кафедры «Математика», Иркутский государственный университет путей сообщения,
тел. 89149098354, e-mail: [email protected]
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ СВЯЗЯМИ. МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
A. V. Dimov, E. Yu. Donskaya
DYNAMICAL SYSTEMS WITH ADDITIONAL LINKS. MODELING AND DYNAMIC PROBLEMS
Аннотация. В статье рассмотрены некоторые задачи динамики и моделирования динамических систем с дополнительными связями. Рассмотрены особенности винтового механизма, в котором кроме упругой силы и силы вязкого трения к объекту защиты приложены силы, вызванные инерцией гайки-маховика и силы сухого трения в винтовой паре. Составлено дифференциальное уравнение движения рассматриваемой системы. Сделан вывод о том, что включение в обычную виброзащитную систему устройства с преобразованием движения эквивалентно в данном случае введению в структурную схему дополнительной пассивной связи по ускорению, которая, по существу, является дополнительной обратной связью по относительному ускорению. Динамические свойства системы характеризуются ее амплитудно-частотной характеристикой. Дано качественное представление о виде амплитудно-частотной характеристики при различных значениях ее параметров. Введение дополнительных связей в механические колебательные системы является одним из направлений поиска и разработки новых конструктивно-технических средств для решения задач виброзащиты и виброизоляции.
