CC BY
20Радиотехнические средства передачи, приема и обработки сигналов
. „ ..Г.. „.,... , . REVIEW ARTICLE
Radio electronic facilities for signal transmission, reception and processing
УДК 621.396.9 https://doi.org/10.32603/1993-8985-2019-22-4-6-17
Ретроспективный обзор троичных последовательностей с идеальной периодической автокорреляцией и устройств их генерации
Е. И. Кренгельн
АО "СБТ"
ул. Генерала Алексеева, д. 16, Москва, 124460, Россия
н evg.krengel@gmail.com
Аннотация
Введение. Идеальные многофазные унимодулярные последовательности, т. е. последовательности с идеальной периодической автокорреляцией и единичной амплитудой символов, широко используются в современной радиосвязи и радиолокации. Особое место среди них занимают идеальные троичные последовательности (ИТП) с элементами {-1, 0, 1}. Фактически это двоичные последовательности с алфавитом {-1, 1}, но с нулевыми символами на некоторых позициях. ИТП достаточно многочисленны, а их длина в отличие от идеальных двоичных последовательностей не ограничена сверху. Платой за это является пик-фактор, имеющий значение, большее единицы, что равносильно энергетическим потерям в приемнике. Исследованию ИТП посвящено большое число научных статей и книг. В частности, широкую известность получил справочник по проектированию последовательностей Фана и Дарнелла (1996), в котором дается обзор некоторых известных тогда семейств ИТП. Однако за прошедшие два десятилетия были открыты новые многочисленные семейства ИТП, получены теоремы об их существовании, а также установлены связи между ними и циркулянтными взвешенными матрицами. Поэтому возникла необходимость в проведении нового обзора существующих на сегодня ИТП.
Цель работы. Статья посвящена ретроспективному обзору имеющихся сегодня ИТП и устройствам их генерации.
Материалы и методы. Рассмотрены и проанализированы отечественные и зарубежные источники информации (книги, журнальные статьи, труды конференций, патенты).
Результаты. Наряду с решением информационно-библиографической задачи в обзоре показана взаимосвязь полученных в разное время ИТП, их эквивалентность циркулянтным взвешенным матрицам, а также рассмотрены блок-схемы генераторов некоторых семейств ИТП.
Заключение. Представлен краткий ретроспективный обзор ИТП за их почти шестидесятилетнюю историю; рассмотрены генераторы некоторых семейств ИТП. Результаты исследования актуальны для применения в современных системах радиосвязи и радиолокации, в частности в CW- и 1_Р!-радарах.
Ключевые слова: радиосигналы, идеальные троичные последовательности, генераторы последовательностей
Для цитирования: Кренгель Е. И. Ретроспективный обзор троичных последовательностей с идеальной периодической автокорреляцией и устройств их генерации // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2019. Т. 22, № 4. С. 6-17. с1оП 10.32603/1993-8985-2019-22-4-6-17
Конфликт интересов. Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.
Статья поступила в редакцию 24.06.2019; принята к публикации после рецензирования 03.07.2019; опубликована онлайн 27.09.2019
© Кренгель Е. И., 2019
Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License
CCJ
0
Радиотехнические средства передачи, приема и обработки сигналов
REVIEW
Radio electronic facilities for signal transmission, reception and processing
Retrospective Review of Perfect Ternary Sequences and Their Generators
Evgeny I. KrengeP
JSC "NWT"
16, Generala Alekseeva Str., 124460, Moscow, Russia
H evg.krengel@gmail.com
Abstract
Introduction. Perfect polyphase unimodular sequences, i. e. sequences with ideal periodic autocorrelation and single amplitude of symbols are widely used in modern radio communications and radar. A special place among them is occupied by perfect ternary sequences (PTSs) with elements {-1, 0, 1}. In fact, these are binary sequences with the alphabet {-1, 1}, but with zero symbols in some positions. It is known that PTSs are quite numerous and their length in comparison with perfect binary sequences is not limited from above. The charge for this is a peak factor greater than one, which causes energy losses in the receiver. A large number of research papers and books are devoted to the design of PTSs and the study of their properties. In particular, the handbook on sequence design by Fan and Darnell (1996) which provides an overview of the then known PTS families has become widely famous. However, over the past two decades, numerous new PTS families were discovered, some theorems on their existence were obtained, and connections were established between them and circulant weighing matrices. Therefore, there is a need for a new review of existing PTSs. Objective. The article is devoted to a retrospective review of existing PTSs and their generation devices. Materials and methods. Considered and analyzed domestic and foreign sources of information (books, journal papers, conference proceedings, patents).
Results. Along with solving an informational bibliographic problem, the review shows the relationship between PTSs obtained at different times, their connection with circulant weighing matrices, and also describes the block diagrams of generators of some PTS families.
Conclusion. A brief retrospective review of PTSs for their almost 60 years history is presented and the generators of some PTS families are considered. The results of the study are relevant for use in modern radio communications and radar systems and in particular, in CW and LPI radars.
Key words: radio signals, perfect ternary sequences, sequence generators
For citation: Krengel E. I. Retrospective Review of Perfect Ternary Sequences and their Generators. Journal of the Russian Universities. Radioelectronics. 2019, vol. 22, no. 4, pp. 6-17. doi: 10.32603/1993-8985-2019-22-4-6-17
Conflict of interest. The author declares no conflict of interest.
Submitted 24.06.2019; accepted 03.07.2019; published online 27.09.2019
Введение. Идеальные многофазные унимоду- последовательностей является увеличение объема
лярные последовательности, т. е. последователь- алфавита с ростом их длины.
ности с идеальной периодической автокорреля- В то же время имеются многочисленные се-
цией и единичной амплитудой символов, широко мейства идеальных многофазных последователь-
используются в современной радиосвязи и ра- ностей с нулями, объем алфавита которых не за-
диолокации [1-4]. В радиолокации наиболее пер- висит от их длины. Цена, которую мы вынуждены
спективным видится их применение в радарах с платить за это, - пик-фактор больше 1 и, соответ-
непрерывным излучением (CW-радары) [3] и низ- ственно, энергетические потери в приемнике. К
кой вероятностью перехвата (LPI-радары) [4]. таким последовательностям с нулями относятся
Наибольшую известность среди многофазных хорошо известные троичные последовательности
последовательностей получили идеальные мно- [1, 2], 4-фазные обобщенные последовательности
гофазные последовательности Франка (Frank), ^ ( m , А _ ^
^ ^ v Ли длины \p +1/, где p > 2, простое; m > 1, це-
Задова-Чу (Zadoff-Chu), Милевского (Milewski) и
их модификации [2, 3]. Общим свойством всех этих лое, причем (pm +1) = 2mod4 [5]; 8-фазные после-
Радиотехнические средства передачи, приема и обработки сигналов
. „ ..Г.. „.,... , . REVIEW ARTICLE
Radio electronic facilities for signal transmission, reception and processing
довательности Люке длины (рп -!)/(рт -1) = = 4шо<18, где р > 2, простое; п > 2; т > 1; п, т -целые, причем т\п (запись т\п означает, что т является делителем п) [6]; 4-фазные последовательности Шоттена-Люке длины (рп - !)/(рт -1), где р = 4t +1 > 1, простое; п > 1, т - целые, причем т\п и п Ф 2т [7]; а также 4- и 8-фазные последовательности длины N = 2 (рп - !)/(рт -1), где р > 2, простое; п = тк; т > 1; к > 1, целые,
причем 4 (рт -1) [8] и др.
Особое место среди них занимает класс идеальных троичных последовательностей (ИТП) с элементами {-1, 0, 1}. Фактически это двоичные последовательности с алфавитом {-1, 1}, но с нулевыми символами на некоторых позициях. Однако имеются существенные отличия. Во-первых, их длина не ограничена сверху, как у идеальных двоичных последовательностей. Во-вторых, эти последовательности достаточно многочисленны, причем их пик-фактор стремится к единице с ростом длины. В-третьих, генераторы ИТП в отличие от генераторов других идеальных многофазных последовательностей с объемом алфавита больше трех аппаратно проще. И наконец, в режиме непрерывной передачи ИТП могут компенсировать отсутствие идеальных бинарных последовательностей. С этой целью Леванон и Фридман предложили заместить нули в периодически передаваемой ИТП через период единицами и минус единицами [9]. При этом в качестве опорной последовательности в корреляторе применяется исходная ИТП, а время интегрирования в нем выбирается равным четному числу периодов последовательности. В этом случае пик-фактор передаваемого сигнала становится равным единице, значения боковых лепестков на выходе кор -релятора равны нулю. В результате платой за несогласованную фильтрацию будут энергетические потери в приемнике, но и эти потери стремятся к нулю с ростом длины ИТП.
Конструированию ИТП и исследованию их свойств посвящено большое число научных статей и книг. Широкую известность получили монография Ипатова [1] о периодических дискрет-
ных сигналах с оптимальными корреляционными свойствами (1991) и справочник Фана и Дарнелла [2] по проектированию последовательностей для приложений связи (1996), в которых рассмотрены известные на то время семейства ИТП. За прошедшие с тех пор годы были открыты новые многочисленные семейства ИТП, доказаны теоремы об их существовании, установлены связи между ними и идеальными троичными циркулянтными взвешенными матрицами (circulant weighing matrices) CW (N, K) порядка N (совпадающего с длиной последовательности) и веса K.
С учетом вышеизложенного и возросшего за последние годы интереса к ИТП в настоящей статье дан ретроспективный обзор ИТП за их почти 60-летнюю историю и рассмотрены некоторые конструкции генераторов этих последовательностей.
Идеальные троичные последовательности (краткий обзор). История ИТП насчитывает около 60 лет. В 1960 г. Томпкинс, используя метод исчерпывающего поиска, генерировал ИТП вплоть до длины 18 [5], [10]. Затем в 1967 г. Чанг [10] на основе m-последовательностей над GF (3)
построил ИТП с длиной N = (3n - 0/2 (N нечетно). Отметим, что подобный метод построения ИТП также предложили Грин и Келсч [11]. В 1977 г. Мохарир [12] нашел необходимые условия существования ИТП и, используя циклические разностные множества, получил несколько новых ИТП. В 1979 г. Шедд и Сарват на основе свойств корре -ляционной идентичности двух последовательностей (Сарват и Персли [13]), применимых к парам m-последовательностей с трехуровневой взаимной корреляцией (Голд [14], Нихо [15], Касами [16], Хеллесет [17]), построили семейство ИТП
длины pn -1 (p > 2 - простое число) [18].
Затем с интервалом в несколько лет были найдены две систематические конструкции ИТП
длины (pn - \)Кpm -1), где p - простое число; n = mk; m > 1 - целое, причем к > 3 - нечетно. Первая конструкция для p > 2 была получена
Ипатовым в 1979 г. на основе pm -ичных m-последовательностей [19]. Вторая конструкция для p = 2 получена Хохолдтом и Джастесеном в 1983 г. на основе разностных множеств Зингера [20].
Радиотехнические средства передачи, приема и обработки сигналов REVIEW ARTICLE „ ,. . . . „ „ . ' . . .. ,
Radio electronic facilities for signal transmission, reception and processing
Впоследствии Ипатов, Платонов, Самойлов [21] и Камалетдинов [22] нашли другие ИТП с такими же параметрами (длиной и пик-фактором), как ИТП [19]. В дальнейшем было установлено, что ИТП Чанга и Грина-Келсча [10, 11] являются подмножеством ИТП Ипатова для p = 3, ИТП Хохолдта-Джастесена [20] совпадают с ИТП Шедда-Сарвата [18] для p = 2, m = 1 и нечетного n, а ИТП Маха-рира [12] принадлежат семейству ИТП Ипатова или Хохолдта и Джастесена. Более подробные сведения об этом можно найти в [2].
В последующие годы с открытием новых идеальных бинарных последовательностей с двухуровневой автокорреляцией (последовательностей GMW, последовательностей степенных функций Касами, последовательностей Велча-Гонг и гиперовальных последовательностей Машиетти [23]) появился ряд работ, посвященных исследованию их взаимно-корреляционных свойств. В связи с этим необходимо упомянуть работы [24-31], благодаря которым найдены различные пары двоичных и недвоичных последовательностей с трехуровневой взаимной корреляцией, удовлетворяющие условиям конструкции Шедда-Сарвата. В результате этого стало возможным построение большего числа ИТП [30].
В 1986 г. Геймс [32], используя аппарат разностных множеств и квадрик в проективной геометрии, построил семейство троичных последовательностей длины (qn - 1)/(q -1), где q - степень простого числа. Геймс доказал, что ИТП Хо-холдта-Джастесена являются подмножеством полученной им конструкции. В 1992 г. Джексон и Вильд [33] показали, что ИТП Ипатова также являются подмножеством ИТП Геймса. Однако оставался открытым вопрос, можно ли на основе предложенной Геймсом конструкции генерировать ИТП для четных n. Эта проблема, известная как проблема Waterloo, была разрешена Арасу, Диллоном, Джангникелем и Поттом в 1995 г. с помощью относительных разностных множеств и весовых матриц [34, 35]. В результате стало очевидным, что с помощью предложенной Геймсом конструкции можно строить ИТП только для нечетных n.
С тех пор ИТП Ипатова переоткрывались еще не единожды. Так, Ли [5] показал, что эти ИТП представляют собой подмножество идеальных q-ич-ных последовательностей, найденных с помощью
мультипликативных характеров над полем GF (p).
Затем в 1996 г. Люке и Шоттен [7] получили те же самые ИТП из w-циклически идеальных последовательностей. ИТП Ипатова при q = 3 оказались также подмножеством идеальных многофазных последовательностей с нулями, построенных Бозтасом и Парампалли [36].
Параллельно с ИТП изучались также идеальные троичные массивы (perfect ternary array -PTA) и, в частности, циркулянтные взвешенные матрицы CW (N, K) порядка N и веса K с элементами из множества {-1, 0, 1}. Изучение CW (N, K) представляется особенно важным,
так как существует взаимно-однозначное соответствие между ними и ИТП д лины N с K ненулевыми элементами. Подробные обзоры PTA и матриц CW (N, K) содержатся в работах Араса и Дил-лона [37, 38]. В 1990 г. Антвейлер и Люке предложили новый метод построения PTA и ИТП [39]. Для этого они использовали кронекеровские произведения известных ИТП и PTA с идеальной апериодической автокорреляцией. С помощью этого метода и компьютерного поиска они получили новую ИТП длины 33 с энергической эффективностью 0.76.
В настоящее время доказан целый ряд теорем существования и несуществования CW (N, K) с заданными параметрами N и K [37, 38]. С помощью этих теорем и компьютерного поиска были найдены CW(24, 9), CW(71, 25), CW(87, 49), CW (96, 36) и CW (142, 100).
Несомненный интерес представляют комбинированные ИТП, образованные посимвольным произведением двух ИТП с взаимно простыми периодами или произведением идеальной двоичной последовательности 111-1 длины 4 и любой ИТП нечетной длины [1, 2]. В этой связи следует упомянуть метод построения ИТП длины 4N, предложенный Кренгелем в 2007 г. [40]. Согласно этому методу новые ИТП длины 4N образуются в результате смешивания идеальной троичной последовательности и троичной последовательности с нечетно идеальной автокорреляцией, имеющих нечетную длину N и одинаковое число нулей.
Наконец, последняя по времени в этом списке конструкция ИТП нечетной длины N = NN2 по-
Радиотехнические средства передачи, приема и обработки сигналов
. „ ..Г.. „.,... , . REVIEW ARTICLE
Radio electronic facilities for signal transmission, reception and processing
строена Кренгелем в 2017 г. [41, 42]. Новые ИТП образуются на основе последовательностей сдвига длины N1, соответствующих т-последо-
вательностям длины рп -1 над ОБ (р), и ИТП нечетной длины N2, где р > 2 - простое число; п = тк, т > 1 - целое, к > 3 - нечетно;
Щ =(ртк -1)/(рт -1) и 2N|(рт -1). Заметим, что число формируемых этим методом ИТП существенно увеличивается, если использовать расширенные последовательности сдвига, получаемые на основе разностных балансных функций со свойствами ^-форм [43, 44].
Генераторы идеальных троичных последовательностей. В [1] достаточно подробно описаны устройства, генерирующие ИТП Ипатова длины (ртк - 1)/(рт -1), р > 3, простое и Хо-
холдта-Джастесена длины (2тк - 1))(2т -1) при т > 1 и нечетном к > 3. Причем в [1] ИТП Хо-холдта-Джастесена представлены с помощью использования следовых функций и преобразований над ними, что существенно упрощает их аппаратную реализацию.
ИТП Ипатова g = {g-} длины N =
pmk -1 pm -1
строится в соответствии c выражением gi =(-1)' V
Trm (а'Л, 0 < i < N,
где - двузначный мультипликативный ха-
рактер поля GF (pm );
nlm-1 -m
Trm (X)= E xp
i=0
- след элемента x из поля тельно поля m
относи-
Галуа ОБ (рп ) ОБ (рт ); п = тк; а - примитивный
элемент поля ОБ (рп), причем т > 1; к > 3 - нечетно. Напомним, что двузначным мультипликативным характером поля ОБ (д) является отображение мультипликативной группы ОБ (д) основного поля (т. е. всех д -1 ненулевых элементов
поля) на множество {-1, 1} вида где 8еОБ (д); 1о§р8 - логарифм 8 по основанию в (в - примитивный элемент поля ОБ (д)). Очевидно, что 1о§р 8 принимает одно из значений 0, 1, 2, ..., д - 2. Для ИТП Ипатова д = рт и мультипликативный характер для нулевого элемента поля 8 = 0 доопределен до нуля.
Генератор ИТП Ипатова, блок-схема которого представлена на рис. 1, состоит из последовательно соединенных генератора 1 д-ичной т-последова-
тельности длины дк -1, д = рт, т > 1, к > 3 -нечетное; блока преобразователя 2, выполняющего операцию преобразования входного ненулевого символа (ненулевого элемента поля ОБ (д)) в
символ двузначного мультипликативного характера, имеющего значение -1 или 1, а нулевого символа (нулевого элемента поля ОБ (д)) - в ноль.
Выход преобразователя подключен к первому входу умножителя 3, второй вход которого подключен к выходу генератора меандра 4.
Принцип работы и блок-схема генератора д-ич-
ной т-последовательности длины дк -1 подробно описаны в литературе, в частности в книгах Ипатова [1], Фана и Дарнелла [2] и Голомба и Гонг [23]. Преобразователь, в котором вычисляется двузначный мультипликативный характер элемента поля Галуа, можно реализовать с помощью различных устройств. В частности, для этой цели может быть использовано устройство непосредственного вычисления двузначного мультипликативного характера любого ненулевого элемента поля ОБ(д) [45]. Однако такая реализация
требует значительных аппаратных и временных ресурсов. С другой стороны, конструкция преоб-
1 2 3
4
Рис. 1. Блок-схема генератора ИТП Ипатова
Fig. 1. Block diagram of Ipatov PTS generator: 1 - q-ary m-sequence generator; 2 - converter; 3 - multiplier; 4 - meander generator
Радиотехнические средства передачи, приема и обработки сигналов REVIEW ARTICLE „ ,. . . . „ „ . ' . . .. ,
Radio electronic facilities for signal transmission, reception and processing
разователя может быть существенно упрощена при использовании заранее вычисленной таблицы
отображения ненулевых рт элементов XI в один
из символов {-1, 0, 1}, реализованной на постоянном запоминающем устройстве (ПЗУ), как это предложено в [1].
ИТП Хохолдта-Джастесена а = {а{} длины
N = (2п - 1)/(2т -1), п = тк, т > 1, к > 3 - нечетное, в предложенной Ипатовым интерпретации [1] имеет вид
IV
1 1г,
.(«')
= 0;
di (Trm
q-3
Trm ( ) 0,
( 1 )Tr1m (A5)
где e (5) = (-1) 1 - аддитивный характер поля GF(q) (A, 5 e GF(q)); 0 < i < N, q = 2m,
di =
(k-1V 4
X
t=1 (k-3)/4
X
t=1
Tr
n {¿q(8t+1}}, k s 1mod4; m {{q(8t+* ^}, k . 1mod4;
£ - примитивный элемент ОБ (дк); 5 - некоторое целое число, причем (5, к) = 1, что является записью того, что наибольший общий делитель чисел 5 и к равен единице.
Генератор ИТП Хохолдта-Джастесена, реализованный в соответствии с представленными выражениями, блок-схема которого показана на рис. 2, состоит из двух генераторов линейных последовательностей: 1 - формирующего т-после-
Рис. 2. Блок-схема генератора ИТП Хохолдта-Джастесена
Fig. 2. Block diagram of Hoholdt-Justesen PTS generator:
1 - generator of the m-sequence {т^
2 - generator of the sequence {d,}; 3-converter
довательность вида {т^ ( )}, 2 - формирующего последовательность {^}, а также преобразователя 3, который в случае {тг^^ ()} Ф 0 возводит элемент Тг^^ (е/) в степень д - 3, умножает на сформированный в генераторе 2 элемент йу, а затем вычисляет аддитивный характер полученного произведения. В противном случае на выходе преобразователя 3 формируется символ нуля. С целью упрощения схемы преобразователь 3 предложено реализовать на ПЗУ [1].
Рассмотрим теперь генерацию ИТП [41], частным случаем которых являются ИТП Ипатова. В [42] описан генератор ИТП нечетной длины
ртк -1 рт -1 NN^2, где N = --; N = — - длина
pm -1
2h
некоторой известной ИТП нечетной длины, причем р > 2 - простое число; п = тк; т > 1, Ь > 1 - целые; к > 3 - нечетно. Метод построения этих ИТП подробно описан в [41].
Пусть d = {йу} есть р-ичная т-последова-
П 1
тельность длины р -1 с элементами
( Л п-1 ■ I = Тг^(а')=х«'р , п = тк, 0<■ <рп -1
I=0
и Ь = {Ь} есть д-ичная т-последовательность
пт длины р -1, д = р с элементами
( л п/т-\ ■ т Ь■ = Тгт (а' )= X а'р , п = тк, 0 <' < рп -1, I=0
где а - примитивный элемент поля ОБ (рп).
Рассмотрим матрицу декомпозиции последовательности d, состоящую из Т = (рп - 1)/)pm -1)
строк и рт -1 столбцов. Строками этой матрицы являются последовательности из всех нулей или циклические сдвиги некоторой короткой р-ичной
т-последовательности длины рт - 1. Значения
этих сдвигов определяются последовательностью сдвигов е [23, 24], определенной выражением
ai =<
REVIEW ARTICLE
Radio electronic facilities for signal transmission, reception and processing
-{e } =
>, Trm (ai ) = 0,
logp[Trmm (а'^, Trm ^Ь 0,
где 0 < г < Т, а символ да обозначает последовательность из всех нулей.
Алгоритм построения ИТП длины N[N2 состоит из четырех шагов:
1. Для некоторой ИТП а нечетной длины N2 выбираются параметры р > 2, простое; т > 1;
к > 3, нечетно, причем (2^ )(рт -1), и некоторый примитивный полином степени п = кт над ОБ (р).
2. Вычисляется последовательность сдвигов е длины N1 = (рп - 1))(рт -1) р-ичной т-после-
Йп л
длины р -1, соответствующей выбранному полиному.
3. Формируется матрица V порядка N1 х N2, г-я строка которой определяется как
[(-1)(г +ег )т°а2 1ег N2 (а), е.
stri = '
Ф да,
10...0,
0 < i < N1,
где I (а) - оператор циклического сдвига последовательности а влево на 5 разрядов.
4. Матрица V распаковывается по столбцам в последовательность V, которая является ИТП длины NN2.
Анализ показывает, что если (N1, N2) = 1, то
ИТП V являются новыми, причем их длина совпадает с длиной комбинированных ИТП. В случае (N1, N2 ) Ф1 длина полученных ИТП V может
совпадать с длиной ИТП Ипатова или быть уникальной. Совпадение длин имеет место, когда ИТП а является последовательностью Ипатова длины
N2 =(ре/ -1)/(р/ -1), где е > 3, нечетно; / > 1, целое; т = е/. Заметим, что в этом случае только одна из множества ИТП V длины N = (рп -1)/(р/ -1) совпадает с ИТП Ипатова.
Во всех остальных случаях ИТП V отличаются от известных ИТП, т. е. являются новыми. В этой
связи необходимо отметить, что если последовательность а = {1}, то последовательность V совпадает с ИТП Ипатова длины N1. Пик-фактор этих последовательностей равен произведению пик-факторов ИТП длин N1 и N2. Поскольку N1 » N2, пик-фактор (и, соответственно, энергетические потери) новой последовательности будет главным образом определяться пик-фактором ИТП длины N2.
Для генерации периодических ИТП поступим следующим образом. Образуем из (рт - l)/N2 периодов последовательности а последовательность а длины рт -1. Далее, используя зависимость Ь+т =Р'Ь, получим, что общий член троичной последовательности V' = {уг-}, 0 < г < ртк -1, образованной из (рт - l)/N2 периодов ИТП V длины NN2, может быть представлен как
, |(-1)г+2гАг, Ьг Ф 0; 0 < г < ртк -1,
0,
bi = 0;
где х = 1°§р Ьг, Ь Ф 0 и х = ег для 0 < г < Т. Положив
/ (Ьг )=\{-1Г' аХг , Ьг Ф 0; 0 < г < ртк - 1, [0, Ь = 0;
окончательно имеем V' = (-1)г /(Ьг-).
Вычисление / (Ьг-) можно существенно упростить, если вместо таблицы логарифмов использовать таблицу, ставящую в соответствие символу
Ь £ ОБ (рт ) двухразрядное двоичное число, принимающее значение 10 при / (Ьг- ) = 1, значение 01 при / (Ьг- ) = -1 и значение 00 при / (Ь ) = 0.
Элемент с поля ОБ (д), д = рт, может быть представлен в виде суммы
^т-1Рт-1 + Ст-2Рт-1 + - + О, где с г £ ОБ (р), а в - примитивный элемент поля
ОБ (рт). Поэтому любому элементу с из ОБ (рт) можно поставить в соответствие т-разрядное р-ич-
ei=CC
Радиотехнические средства передачи, приема и обработки сигналов REVIEW ARTICLE „ ,. . . . „ „ . ' . . .. ,
Radio electronic facilities for signal transmission, reception and processing
и равно ^cm_xpm 1 + cm_2pm 1 + ... + c0 )2. С уче
ное число вида (ст_1, ст_2, ..., сд). В двоичном виде это число состоит из |~т 1о§2 (р)~| разрядов
( с
том этого таблица отображения может быть реализована с помощью перепрограммируемого постоянного запоминающего устройства (ППЗУ)
объемом рт х 2, адресным входом в которое служит двоичное представление элемента с из ОБ (рт). В результате блок преобразователя будет состоять из последовательно соединенных формирователя адреса, преобразующего т-раз-рядное р-ичное представление элемента поля ОБ (д) на выходе генератора д-ичной т-после-
довательности в |т 1о§2 (р)~| -разрядное двоичное число, блока памяти объема д х 2 и кодопреобразователя двухразрядного двоичного числа в символ троичного кода {-1, 0, 1}. Заметим, что при д = р адресом для ППЗУ является непосредственно значение символа с. Поэтому формирователь адреса в блоке преобразователя отсутствует.
Генератор периодических идеальных троичных последовательностей длины N[N2, блок-схема которого представлена на рис. 3, содержит последовательно соединенные генератор 1 д-ичной
к л т
т-последовательности длины д -1, д = р , т > 1 и к > 3 - нечетно, и преобразователь д-ич-ного символа т-последовательности в символ троичного кода, состоящий из последовательно соединенных формирователя адреса 2, ППЗУ 3 и кодопреобразователя 4 двухразрядного двоичного кода в символ троичного кода. Выход кодопреобразовате-
2 3 4
I
1 6 5
Рис. 3. Блок схема генератора ИТП длины NjN2
Fig. 3. Block diagram of PTS generator of length N1N2 :
1 - generator of the m-sequence with length qk _ 1;
2 - address builder; 3 - PROM; 4 - code converter;
5 - multiplier; 6 - meander generator
ля подключен к первому входу умножителя 5, ко второму входу которого подключен генератор меандра 6.
Генератор комбинированных последовательностей длины состоит из двух генераторов ИТП с длинами N1 и N2, выходы которых подключены к входам умножителя. Несколько более изощренной выглядит блок-схема генератора ИТП учетверенной длины [40]. В этом случае ИТП длины 4N строится на основе интерливинга (перемежения) двух последовательностей: последовательности, состоящей из двух периодов ИТП нечетной длины N и почти идеальной троичной последовательности длины 2N, имеющей в 2 раза большее число нулей, чем ИТП длины N.
Для построения генератора воспользуемся тем, что, во-первых, почти идеальная троичная последовательность является конкатенацией нечетно-идеальной троичной последовательности длины N и ее инверсии, во-вторых, результат умножения элементов нечетно-идеальной последовательности нечетной длины на знакопеременную последовательность вида (_1)г есть идеальная последовательность той же длины [40, 41]. Генератор ИТП длины 4N (рис. 4) состоит из генератора 1 знакопеременной последовательности, генераторов 2 и 3 ИТП нечетной длины N с тактовой частотой /т, умножителя 4 и мультиплексора 5, объединяющего две входные последовательности в одну выходную. В результате на выходе мультиплексора образуется ИТП длины 4N с удвоенной частотой 2 /т.
1 4 5
Г 2
Рис. 4. Блок-схема генератора ИТП длины 4N
Fig. 4. Block diagram of PTS with length 4N: 1 - meander generator; 2, 3 - generators of the PTPs with odd length N and clock frequency fT;
4 - multiplier; 5 - multiplexer
Заключение. В статье дан краткий ретроспективный обзор ИТП за их почти 60-летнюю историю и рассмотрены некоторые конструкции генераторов ИТП. Необходимость данной работы
2
3
REVIEW ARTICLE
Radio electronic facilities for signal transmission, reception and processing
назревала уже несколько лет, поскольку последний обзор ИТП был сделан в 1996 г., а за прошедшие два десятилетия были открыты и исследованы новые многочисленные семейства ИТП. Интерес к ИТП вызван в первую очередь тем, что они обладают идеальными автокорреляционными свойствами, а их энергетическая эффективность с ростом длины стремится к единице, что делает возможным их применение в современных системах радиосвязи и радиолокации, в частности в CW- и LPI-радарах.
Список
1. Ипатов В. П. Периодические дискретные сигналы с оптимальными корреляционными свойствами. М.: Радио и связь, 1992. 151 с.
2. Fan P., Darnell M. Sequence Design for Communications Applications. London: Research Studies Press Ltd, 1996. 493 p.
3. Levanon N., Mozenson E. Radar Signals. New Jersey: John Wiley & Sons, 2004. 411 p.
4. Pace P. E. Detecting and Classifying Low Probability of Intercept Radar. London: Artech House, 2009. 893 p.
5. Lee C. E. Perfect q-ary Sequences from Multiplicative Characters over GF(p) // Electronics Lett. 1992. Vol. 28, № 9. P. 833-835. doi: 10.1049/el:19920527
6. LGke H. D. BTP-transform and Perfect Sequences with Small Phase Alphabet // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst. 1996. Vol. AES-32, № 1. P. 497-499. doi:10.1109/7.481295
7. Schotten H. D., LGke H. D. New Perfect and w-Cyclic-Perfect Sequences // Proc. 1996 IEEE Inter. Symp. on Information Theory. Victoria, British Columbia, Canada, 17-20 Sept. 1996. Piscataway: IEEE, 1996. P. 82-85.
8. Кренгель Е. И. Новые идеальные 4- и 8-фазные последовательности с нулями // Радиотехника. 2007. № 5. С. 3-7.
9. Levanon N., Freedman A. Periodic Ambiguity Function of CW Signals with Perfect Periodic Autocorrelation // IEEE Trans. on Aerosp. and Electron. Syst. 1992. Vol. AES-28, № 2. P. 387-395. doi:10.1109/7.144564
10. Chang J. A. Ternary Sequences with Zero-correlation // Proc. of the IEEE. 1997. Vol. 55, № 7. P. 1211-1213. doi: 10.1109/PR0C.1967.5793
11. Green D. H., Kelsch R. G. Ternary pseudonoise sequences // Electronics Lett. 1972. Vol. 8, № 5. P. 112113. doi: 10.1049/el:19720081
12. Moharir P. S. Generalized PN sequences // IEEE Trans. on Inform. Theory. 1977. Vol. IT-23, iss. 6. P. 782784. doi: 10.1109/TIT.1977.1055782
13. Sarwate D. V., Pursley M. B. Crosscorrelation of Pseudorandom and Related Sequences // Proc. of IEEE. 1980. Vol. 68, iss. 5. P. 593-619. doi: 10.1109/PR0C.1980.11697
14. Gold R. Maximal Recursive Sequences with 3-valued Recursive Cross-Correlation Functions // IEEE
В представленном обзоре наряду с решением чисто информационно-библиографической задачи показана взаимосвязь полученных в разное время ИТП и их эквивалентность циркулянтным взвешенным матрицам.
Обзор может быть полезен для разработчиков систем различного назначения, в которых используются идеальные троичные последовательности.
Trans. Inform. Theory. 1968. Vol. IT-14, iss. 1. P. 154-156. doi: 10.1109/TIT.1968.1054106
15. Niho Y. Multivalued Cross-Correlation Functions between Two Maximal Linear Recursive Sequences: Ph. D. dissertation / Univ. Southern Calif. Los Angeles, 1972. 150 p. URL: http://digitallibrary.usc.edu/cdm/ref/collection /p15799coll37/id/51150 (дата обращения: 30.07.2019)
16. Kasami T. The Weight Enumerators for Several Classes of Subcodes of the 2nd Order Binary Reed-Muller Codes // Information and Control. 1971. Vol. 18, № 4. P. 369-394. doi: 10.1016/S0019-9958(71)90473-6
17. Helleseth T. Some Results about the Cross-Correlation Function between Two Maximal Linear Sequences // Discrete Mathematics. 1976. Vol. 16, iss. 3. P. 209-232. doi: 10.1016/0012-365X(76)90100-X
18. Shedd D. A., Sarwate D. V. Construction of Sequences with Good Correlation Properties // IEEE Trans. on Inform. Theory. 1979. Vol. IT-25, iss. 1. P. 94-97. doi: 10.1109/TIT.1979.1055998
19. Ипатов В. П. Троичные последовательности с идеальными периодическими автокорреляционными свойствами // Радиотехника и электроника. 1979. Т. 24, № 10. С. 2053-2057.
20. Hoholdt T., Justesen J. Ternary sequences with perfect periodic autocorrelation (Corresp.) // IEEE Trans. on Inform. Theory. 1983. Vol. IT-29, iss. 4. P. 597-600. doi: 10.1109/TIT.1983.1056707
21. Ипатов В. П., Платонов В. Д., Самойлов И. М. Новый класс троичных последовательностей с идеальными периодическими автокорреляционными свойствами// Изв. вузов СССР. Сер. Математика. 1983. № 3. С. 47-50.
22. Камалетдинов Б. Ж. Троичные последовательности с идеальными периодическими автокорреляционными свойствами // Радиотехника и электроника. 1987. Т. 32, № 1. С. 77-82.
23. Golomb S. W., Gong G. Signal Design for Good Correlation: for Wireless Communication, Cryptography, and Radar. Cambridge: Cambridge University Press, 2005. 455 p.
24. Games R. A. Crosscorrelation of m-Sequences and GMW Sequences with the Same Primitive Polynomi-
Радиотехнические средства передачи, приема и обработки сигналов
REVIEW ARTICLE
Radio electronic facilities for signal transmission, reception and processing
al // Discrete Applied Mathematics. 1985. Vol. 12, iss. 2. P. 139-146. doi: 10.1016/0166-218X(85)90067-8
25. Antweiler M. Cross-correlation of p-ary GMW Sequences // IEEE Trans. on Inform. Theory. 1984. Vol. IT-40, iss. 4. P. 1253-1261. doi: 10.1109/18.335941
26. Cusick T. W., Dobbertin H. Some New Three-Valued Crosscorrelation Functions for Binary m-Se-quences // IEEE Trans. on Inform. Theory. 1996. Vol. 42, iss. 4. P. 1238-1240. doi: 10.1109/18.508848
27. Canteaut A., Charpin P., Dobbertin H. Binary m-Sequences with Three-Valued Crosscorrelation: a Proof of Welch's Conjecture // IEEE Trans. on Inform. Theory. 2000. Vol. 46, iss. 1. P. 4-8. doi: 10.1109/18.817504
28. Hollmann H. D. L., Xiang Q. A Proof of the Welch and Niho Conjectures on Crosscorrelations of Binary m-Sequences // Finite Fields and Their Applications. 2001. Vol. 7, iss. 2. P. 253-286. doi: 10.1006/ffta.2000.0281
29. Helleseth T. On the Crosscorrelation of m-Sequences and Related Sequences with Ideal Autocorrelation // Sequences and Their Applications - SETA'01. Bergen, 2001. London: Springer, 2002. P. 34-45. doi: 10.1007/978-1-4471-0673-9_3
30. Hertel D. Cross-Correlation Properties of Perfect Binary Sequences // Proc. 2004 Inter. Conf. on Sequences and Their Applications - SETA'04. Seoul, Korea, 2004. Berlin: Springer, 2005. P. 208-219. (LNCS, vol. 3486)
31. Yu N. Y., Gong G. Crosscorrelation Properties of Binary Sequences // Sequences and Their Applications -SETA 2006. Lecture Notes in Computer Science, 2006, vol. 4086. Berlin, Heidelberg: Springer, 2006. P. 104-118. (LNCS, vol. 4086). doi: 10.1007/11 863854_9
32. Games R. A. The Geometry of Quadrics and Correlations of Sequences (Corresp.) // IEEE Trans. on Inform. Theory. 1986. Vol. 32, iss. 3. P. 423-426. doi: 10.1109/TIT.1986.1057184
33. Jackson W.-A., Wild P. R. Relations between Two Perfect Ternary Sequence Constructions // Design, Codes and Cryptography. 1992. Vol. 2, iss. 4. P. 325-322. doi: 10.1007/BF00125201
34. The Solution of the Waterloo Problem / K. T. Arasu, J. F. Dillon, D. Jungnickel, A. Pott // J. Combin. Theory. Ser. A. 1995. Vol. 71, iss. 2. P. 316-331. doi: 10.1016/0097-3165(95)90006-3
35. Jungnickel D., Pott A. Perfect and Almost Perfect Sequences // Discrete Appl. Math. 1999. Vol. 95, iss. 1-3. P. 331-359. doi: 10.1016/S0166-218X(99)00085-2
36. Boztas S., Parampalli U. Nonbinary sequences with perfect and nearly perfect autocorrelations // 2010 IEEE Inter. Symp. on Inform. Theory. Austin, TX, USA, 13-18 June 2010. Piscataway: IEEE, 2010. P. 1300-1304. doi: 10.1109/ISIT.2010.5513729
37. Arasu K. T., Dillon J. F. Perfect Ternary Arrays // Difference Sets, Sequences and Their Correlation Properties (Bad Windsheim, 1998). Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1999. P. 1-15. (NATO ASIC, vol. 542). doi: 10.1007/978-94-011-4459-9_1
38. Arasu K. T. Sequences and Arrays with Desirable Correlation Properties // NATO Science for Peace and Security Series. D: Information and Communication Security. 2011. Vol. 29: Coding Theory and Related Combinatorics. P. 136-171. doi: 10.3233/978-1-60750-663-8-136
39. Antweiler M., Bomer L., Luke H. D. Perfect Ternary Arrays // IEEE Trans. on Inform. Theory. 1990. Vol. 36, iss. 3. P. 696-705. doi: 10.1109/18.54895
40. Krengel E. I. New Polyphase Perfect Sequences with Small Alphabet // Electron. Lett. 2008. Vol. 44, № 17. P. 1013-1014. doi: 10.1049/el:20081401
41. Кренгель Е. И. Построение новых идеальных троичных последовательностей // Сб. докл. 19-й Меж-дунар. конф. "Цифровая обработка сигналов и ее применение". Москва, 29-31 марта 2017 г. / ИПУ РАН. М., 2017. С. 61-65.
42. Пат. RU 2665290 C1 МПК G06F 7/58 (2006.01). Генератор периодических идеальных троичных последовательностей / Е. И. Кренгель; опубл. 28.08.2018. Бюл. № 25.
43. Yang Y., Gong G., Tang X. H. Odd Perfect Sequences and Sets of Spreading Sequences with Zero or Low Odd Periodic Correlation Zone // Proc. 2010 Inter. Conf. on Sequences and Their Applications (SETA 2012). Waterloo, Canada, 4-8 June 2012. Berlin: Springer, 2012. P. 1-12. (LNCS, vol. 7280). doi: 10.1007/978-3-642-30615-0_1
44. Yang Y., Tang X. H., Gong G. New Almost Perfect, Odd Perfect, and Perfect Sequences from Difference Balanced Functions with d-Form Property // Advances in mathematics on communication. 2017. Vol. 11, № 1. P. 67-76. doi: 10.3934/amc.2017002
45. Пат. SU 1244658 A1 G06F 7/00 (2000.01). Устройство для определения двузначного характера элементов конечного поля/ В. П. Ипатов, В. И. Кор-ниевский, О. И. Корнилов, В. Д. Платонов; опубл. 15.07.1986. Бюл. № 26.
Информация об авторе
Кренгель Евгений Ильич - кандидат технических наук (2002), ведущий научный сотрудник Акционерного общества "Современные беспроводные технологии" (АО "СБТ"). Автор 75 научных работ. Сфера научных интересов - широкополосные системы связи с многостанционным доступом; псевдослучайные последовательности и их применение в радиотехнических системах. E-mail: krengel@sbtcom.ru, evg.krengel@gmail.com https://orcid.Org/0000-0002-9116-8057
REVIEW ARTICLE
Radio electronic facilities for signal transmission, reception and processing
References
1. Ipatov V. P. Periodicheskie diskretnye signaly s opti-mal'nymi korrelyatsionnymi svoistvami [Periodic discrete signals with optimal properties]. Moscow, Radio i svyaz, 1992, 151 p. (In Russ.)
2. Fan P., Darnell M. Sequence Design for Communications Applications. London, Research Studies Press Ltd, 1996, 493 p.
3. Levanon N., Mozenson E. Radar Signals. New Jersey, John Wiley & Sons, 2004, 411 p.
4. Pace P. E. Detecting and Classifying Low Probability of Intercept Radar. London, Artech House, 2009, 893 p.
5. Lee C.E. Perfect q-ary Sequences from Multiplicative Characters over GF(p). Electronics Letters. 1992, vol. 28, no. 9, pp. 833-835. doi: 10.1049/el:19920527
6. Lüke H. D. BTP-transform and Perfect Sequences with Small Phase Alphabet. IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst. 1996, vol. AES-32, no. 1, pp. 497-499. doi:10.1109/7.481295
7. Schotten H. D., Lüke H. D. New Perfect and w-Cyclic-Perfect Sequences. Proc. 1996 IEEE Inter. Symp. on Information Theory. Victoria, British Columbia, Canada, 1720 September, 1996. Piscataway, IEEE, 1996, pp. 82-85.
8. Krengel E. I. New Perfect 4- and 8-Phase Sequences with Zeros. Radiotekhnika [Radioengineering]. 2007, no. 5, pp. 3-7. (In Russ.)
9. Levanon N., Freedman A. Periodic Ambiguity Function of CW Signals with Perfect Periodic Autocorrelation. IEEE Trans. on Aerospace and Electronic Systems. 1992, vol. AES-28, no. 2, pp. 387-395. doi:10.1109/7.144564
10. Chang J. A. Ternary Sequences with Zero-correlation. Proc. of the IEEE. 1997, vol. 55, no. 7, pp. 1211-1213. doi: 10.1109/PR0C.1967.5793
11. Green D. H., Kelsch R. G. Ternary pseudonoise sequences. Electronics letters. 1972, vol. 8, no. 5, pp. 112-113. doi: 10.1049/el:19720081
12. Moharir P. S. Generalized PN sequences. IEEE Trans. on Information Theory. 1977, vol. IT-23, iss. 6, pp. 782-784. doi: 10.1109/TIT.1977.1055782
13. Sarwate D. V., Pursley M. B. Crosscorrelation of Pseudorandom and Related Sequences. Proc. of IEEE. 1980, vol. 68, iss. 5, pp. 593-619. doi: 10.1109/ PR0C.1980.11697
14. Gold R. Maximal Recursive Sequences with 3-valued Recursive Cross-Correlation Functions. IEEE Trans. Inform. Theory. 1968, vol. IT-14, iss. 1, pp. 154-156. doi: 10.1109/TIT.1968.1054106
15. Niho Y. Multivalued Cross-Correlation Functions between Two Maximal Linear Recursive Sequences: Ph. D. dissertation. Univ. Southern Calif. Los Angeles, 1972. 150 p. Available at: http://digitallibrary.usc.edu/cdm/ref/ collection/p15799coll37/id/51150 (accessed 30.07.2019)
16. Kasami T. The Weight Enumerators for Several Classes of Subcodes of the 2nd Order Binary Reed-Muller
Codes. Information and Control. 1971, vol. 18, no. 4, pp. 369-394. doi: 10.1016/S0019-9958(71)90473-6
17. Helleseth T. Some Results about the Cross-Correlation Function between Two Maximal Linear Sequences. Discrete Mathematics. 1976, vol. 16, iss. 3, pp. 209-232. doi: 10.1016/0012-365X(76)90100-X
18. Shedd D. A., Sarwate D. V. Construction of Sequences with Good Correlation Properties. IEEE Trans. on Information Theory. 1979, vol. IT-25, iss. 1, pp. 94-97. doi: 10.1109/TIT.1979.1055998
19. Ipatov V. P. Troichnye posledovatel'nosti s ide-al'nymi periodicheskimi avtokorrejacionnymi svojstvami [Ternary Sequences with Ideal Periodic Autocorrelation Properties]. Radio Eng. Electron. 1979, vol. 24, no. 10, pp. 2053-2057. (In Russ.)
20. Hoholdt T., Justesen J. Ternary sequences with perfect periodic autocorrelation (Corresp.). IEEE Trans. on Information Theory. 1983, vol. IT-29, iss. 4, pp. 597-600. doi: 10.1109/TIT.1983.1056707
21. Ipatov V. P., Platonov V. D., Samoilov I. M. A New Class of Triple Sequences with Ideal Periodic Autocorrelation Properties. Izvestiya vyzov USSR. Mathematics. 1983, no. 3, pp 47-50. (In Russ.)
22. Kamaletdinov B. S. Troichnye posledovatel'nosti s ideal'nymi periodicheskimi avtokorrejacionnymi svojstvami [Ternary Sequences with Ideal Periodic Autocorrelation Properties]. Radio Eng. Electron. 1987, vol. 32, no. 1, pp. 77-82. (In Russ.)
23. Golomb S. W., Gong G. Signal Design for Good Correlation: for Wireless Communication, Cryptography, and Radar. Cambridge, Cambridge University Press, 2005, 455 p.
24. Games R. A. Crosscorrelation of m-Sequences and GMW Sequences with the Same Primitive Polynomial. Discrete Applied Mathematics. 1985, vol. 12, iss. 2, pp. 139-146. doi: 10.1016/0166-218X(85)90067-8
25. Antweiler M. Cross-correlation of p-ary GMW Sequences. IEEE Trans. on Information Theory. 1984, vol. IT-40, iss. 4, pp. 1253-1261. doi: 10.1109/18.335941
26. Cusick T. W., Dobbertin H. Some New Three-Valued Crosscorrelation Functions for Binary m-Se-quences. IEEE Trans. on Information Theory. 1996, vol. 42, iss. 4, pp. 1238-1240. doi: 10.1109/18.508848
27. Canteaut A., Charpin P., Dobbertin H. Binary m-Sequences with Three-Valued Crosscorrelation: a Proof of Welch's Conjecture. IEEE Trans. on Information Theory. 2000, vol. 46, iss. 1, pp. 4-8. doi: 10.1109/18.817504
28. Hollmann H. D. L., Xiang Q. A Proof of the Welch and Niho Conjectures on Crosscorrelations of Binary m-Sequences. Finite Fields and Their Applications. 2001, vol. 7, iss. 2, pp. 253-286. doi: 10.1006/ffta.2000.0281
29. Helleseth T. On the Crosscorrelation of m-Sequences and Related Sequences with Ideal Autocorre-
Радиотехнические средства передачи, приема и обработки сигналов
REVIEW ARTICLE
Radio electronic facilities for signal transmission, reception and processing
lation. Sequences and Their Applications - SETA'01. 2001, Bergen. London, Springer, 2002, pp. 34-45. doi: 10.1007/978-1-4471-0673-9_3
30. Hertel D. Cross-Correlation Properties of Perfect Binary Sequences. Proc. 2004 Inter. Conf. on Sequences and Their Applications - SETA'04. Seoul, Korea, 2004. Berlin, Springer, 2005, pp. 208-219. (LNCS, vol. 3486)
31. Yu N. Y., Gong G. Crosscorrelation Properties of Binary Sequences. Sequences and Their Applications -SETA 2006. Lecture Notes in Computer Science, 2006, vol. 4086. Berlin, Heidelberg, Springer, 2006, pp. 104118. (LNCS, vol. 4086). doi: 10.1007/11863854_9
32. Games R. A. The Geometry of Quadrics and Correlations of Sequences (Corresp.). IEEE Trans. on Information Theory, 1986, vol. 32, iss. 3, pp. 423-426. doi: 10.1109/TIT.1986.1057184
33. Jackson W.-A., Wild P. R. Relations between Two Perfect Ternary Sequence Constructions. Design, Codes and Cryptography. 1992, vol. 2, iss. 4, pp. 325-322. doi: 10.1007/BF00125201
34. Ara su K. T., Dillon J. F., Jungnickel D., Pott A. The Solution of the Waterloo Problem. J. Combin. Theory. Ser. A. 1995, vol. 71, iss. 2, pp. 316-331. doi: 10.1016/0097-3165(95)90006-3
35. Jungnickel D., Pott A. Perfect and Almost Perfect Sequences. Discrete Appl. Math. 1999, vol. 95, iss. 1-3, pp. 331-359. doi: 10.1016/S0166-218X(99)00085-2
36. Boztas S., Parampalli U. Nonbinary sequences with perfect and nearly perfect autocorrelations. 2010 IEEE Inter. Symp. on Information Theory. 13-18 June 2010, Austin, TX, USA. Piscataway, IEEE, 2010, pp. 1300-1304. doi: 10.1109/ISIT.2010.5513729
37. Arasu K. T., Dillon J. F. Perfect Ternary Arrays. Difference Sets, Sequences and Their Correlation Properties (Bad Windsheim, 1998). Dordrecht, Kluwer Acad.
Publ., 1999, pp. 1-15. (NATO ASIC, vol. 542). doi: 10.1007/978-94-011-4459-9_1
38. Arasu K. T. Sequences and Arrays with Desirable Correlation Properties. NATO Science for Peace and Security Series. D: Information and Communication Security. Vol. 29: Coding Theory and Related Combinatorics. 2011, pp. 136-171. doi: 10.3233/978-1-60750-663-8-136
39. Antweiler M., Bomer L., Luke H. D. Perfect Ternary Arrays. IEEE Trans. on Information Theory. 1990, vol. 36, iss. 3, pp. 696-705. doi: 10.1109/18.54895
40. Krengel E. I. New Polyphase Perfect Sequences with Small Alphabet. Electron. Lett. 2008, vol. 44, no. 17, pp. 1013-1014. doi: 10.1049/el:20081401
41. Krengel E. I. Construction of New Perfect Ternary Sequences. Proc. of 19th Intern. Conf. on Digital Signal Processing (DSPA-2017), 29-31 March, 2017, Moscow. Institute of Control Sciences RAS. Moscow, 2017, pp. 61-65. (In Russ.)
42. Krengel E. I. Periodic Ideal Ternary Sequence Generator. Pat. RU 2665290 C1, Priority date 2017-08-17 (In Russ.)
43. Yang Y., Gong G., Tang X. H. Odd Perfect Sequences and Sets of Spreading Sequences with Zero or Low Odd Periodic Correlation Zone. Proc. 2010 Inter. Conf. on Sequences and Their Applications (SETA 2012). 4-8 June 2012, Waterloo, Canada. Berlin, Springer, 2012, pp. 1-12. (LNCS, vol. 7280). doi: 10.1007/978-3-642-30615-0_1
44. Yang Y., Tang X.H., Gong G. New Almost Perfect, Odd Perfect, and Perfect Sequences from Difference Balanced Functions with d-Form Property. Advances in mathematics on communication. 2017, vol. 11, no. 1, pp. 67-76. doi: 10.3934/amc.2017002
45. Ipatov V. P., Kornievskii V. I., Kornilov O. I., Pla-tonov V. D. Device for Determining the Two-Digit Nature of the Elements of the Final Feld. Pat. SU 1244658 A1. Priority date 1984-01. (In Russ.)
Information about the author
Evgeny I. Krengel - Cand. Sci. (Engineering) (2002), leading researcher of the JSC "Modern wireless technologies". The author of 75 scientific publications. Area of expertise: broadband communication systems with multiple access; pseudorandom sequences and their application in radio systems. E-mail: krengel@sbtcom.ru, evg.krengel@gmail.com
https://orcid.Org/0000-0002-9116-8057
