CC BY
6
УДК 621.391
А.В.Минин
ЛИНЕЙНАЯ СЛОЖНОСТЬ КЛАССА БИНАРНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ С ОПТИМАЛЬНОЙ
АВТОКОРРЕЛЯЦИЕЙ
Исследована линейная сложность почти сбалансированных двоичных последовательностей с оптимальной автокорреляцией, образованных чередованием конкатенации двоичной последовательности Сидельникова с оптимальной автокорреляцией и почти идеальной последовательности.
Ключевые слова: линейная сложность, автокорреляция, бинарные последовательности
Введение
Сбалансированные и почти сбалансированные двоичные последовательности с оптимальной
автокорреляцией широко используются в цифровой связи, радарах и в системах потокового шифрования. В [1] Е.И.Кренгель и П.В.Иванов предложили метод синтеза почти сбалансированных двоичных последовательностей длины 4/У с оптимальной по автокорреляцией, образованных чередованием конкатенации двоичной последовательности Сидельникова с оптимальной автокорреляцией и почти идеальной последовательности. Авторы предположили, что такие последовательности обладают высокой линейной сложностью и могут быть использованы в системах связи и криптографии. В этой работе докажем предположение о высокой линейной сложности последовательности.
Линейная сложность L является важным парамером оценки двоичной последовательности (si) при её применении в качестве ключевого поточного шифра для криптографичесих приложений. Над полем второго порядка она определяется как наименьшее натуральное число L, для которого существуют константы ci =0,1; I = 1,К , Ь такие, что выполняется рекуррентное соотношение
si = _1 + С2si_2 +К + ClS^_ь для всех I > Ь.
Многочлен т(х) = ХЬ + С\хЬ 1 + С2ХЬ 2 +К + Сь называют минимальным многочленом последовательности [2].
Минимальный полином т(х) и линейную сложность (Ь) последовательности ) с периодом Т можно вычислить по следующим формулам [3]:
т(х) = (хТ _ 1)/НОД(хТ _ 1, £(х)), Ь = Т _ НОД(хТ _ 1,5(х)), (1)
где £ (х) = £0 + £1 х + ... + 8Т _1 хТ _ — многочлен последовательности.
1. Определение последовательности
Пусть ОЕ (р1) — конечное поле порядка р1, где р1 - простое число и а его примитивный элемент
ОЕ (рк). Тогда сбалансированная двоичная последовательность Сидельникова периода р\ _ 1 с оптимальной автокорреляцией задается выражением
[1, если а ' +1 не квадрат в ОЕ (рк),
У' = 1 * (2)
[0, если а +1 является квадратом.
Бинарная последовательность х с периодом М называется почти идеальной, если её периодическая корреляционная функция Я(т) = 0 для всех Т 0(шоёМ) за исключением одного [4]. Такие
последовательности существуют только тогда, когда период N = 2( р'2 +1), где р2 — простое число. Далее,
всегда предполагаем, что N = р1к _ 1 = р2 +1, согласно [1], такие р1, р2, к, I существуют.
Пусть у - последовательность Сидельникова с периодом N, определенная по (2). Путем конкатенации
сформируем последовательность г с периодом 2N ; г = s • s, то есть г = s0,..., sN_1, s0,..., sN_1.
Пусть И — почти идеальная двоичная последовательность. Рассмотрим последовательность s, сформированную по правилу
12,, если к = 2/,
£ = 1 , (3)
[Ик, если к = 2г +1.
то есть 5 = I(г,И), где I — оператор чередования. Согласно [1], последовательность £ обладает оптимальной автокорреляцией и имеет период 4N .
2. Линейная сложность последовательности
Для Т = 4N формула (1) над полем второго порядка примет следующий вид:
т(х) = (х11 -1)4 / НОД((х11 -1)4, £(х)), Ь = 4N - НОД((х1 -1)4,5(х)), (4)
О/ \ 4N-1
где S ( x) = s0 + s1 x +... + s4 N-1 x
Введём вспомогательные многочлены Sz (x) = ^ =0 ziX' , Sh (x) = ^ =0 hixi . Тогда, согласно
[5], справедливо соотношение
S ( x) = Sz ( x 2) + xSh ( x 2) (5)
Теорема. Если последовательность s определена по (3), тогда L = 4N.
>z (x) = Sy <
Доказательство. Согласно определению, получаем, что Sz (x) = Sy (x) + xNSy (x) , где Sy(x) —
многочлен последовательности Сидельникова.
N a xN (xN -1) Далее, в [6] было показано, что Sh (x) = T(x)(1 - x ) + x + -
x -1
где вспомогательный многочлен T(x) = ^i=0 ^ ^o hixi и a : ha = 0 и a < N -1. Таким образом,
S(x) = Sz (x2 ) + xSh (x2 ) = Sy (x2) + x2NSy (x2 ) + xT(x2 )(1 - x2N ) + x2a + x2N (x2N -1) /(x2 -1) S(x) = (x2N -1) /(x2 - 1)(Sy (x2 )(x2 -1) + xT(x2 )(x2 -1) + x2N ) + x2a,
или
У
так как линейная сложность последовательности исследуется над полем второго порядка.
Далее, из последней формулы получаем, что £(1) = 1, то есть £(х) не делится на х -1.
Следовательно, НОД(( х1 -1)4, £ (х)) = 1 и утверждение теоремы следует из (4).
Таким образом, высказанное в [1] предположение о высокой линейной сложности раасматриваемых последовательностей справедливо.
Заключение
В работе представлены результаты исследования линейной сложности почти сбалансированных двоичных последовательностей с оптимальной автокорреляцией. Доказано предположение, что такие последовательности обладают высокой линейной сложностью.
1. Кренгель Е.И, Иванов П.В. Об одной конструкции двоичных последовательностей с оптимальной по модулю автокорреляцией. // 18-я Международная конференция «Цифровая обработка сигналов и ее применение — DSPA-2016». 2016. Т. 1. С. 176-182.
2. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. М.: Мир, 1988. 808 с.
3. Cusick T., Ding С., Renvall A. Stream Ciphers and Number Theory. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1998. 430 p.
4. Wolfmann J. Almost perfect autocorrelation sequences // IEEE Transaction on Information Theory. 1992. Vol. IT-38. № 4. P. 1412-1418.
5. Wang Q., Du X. N. The linear complexity of binary sequences with optimal au-tocorrelation // IEEE Trans. Inf. Theory. 2010. Vol. 56. N° 12. P. 6388-6397.
6. Edemskiy V., Minin A. About the linear complexity of the almost perfect sequences // International Journal of Communications. 2016. Vol. 1. P. 223-226.
References
1. Krengel' E.I, Ivanov P.V. Ob odnoy konstruktsii dvoichnykh posledovatel'nostey s optimal'noy po modulyu avtokorrelyatsiey. // 18-ya Mezhdunarodnaya konferentsiya «Tsifrovaya obrabotka signalov i ee primenenie — DSPA-2016». 2016. T. 1. S. 176-182.
2. Lidl R., Niderrayter G. Konechnye polya. M.: Mir, 1988. 808 s.
3. Cusick T., Ding C., Renvall A. Stream Ciphers and Number Theory. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1998. 430 p.
4. Wolfmann J. Almost perfect autocorrelation sequences // IEEE Transaction on Information Theory. 1992. Vol. IT-38. № 4. P. 1412-1418.
5. Wang Q., Du X. N. The linear complexity of binary sequences with optimal au-tocorrelation // IEEE Trans. Inf. Theory. 2010. Vol. 56. N° 12. P. 6388-6397.
6. Edemskiy V., Minin A. About the linear complexity of the almost perfect sequences // International Journal of Communications. 2016. Vol. 1. P. 223-226.
Minin A.V. Linear complexity of a class of binary sequences with optimal autocorrelation. We study the linear complexity of almost balanced binary sequences with optimal autocorrelation formed by the interleaving of the concatenation a Sidelnikov binary sequence with optimal autocorrelation and an almost perfect sequence.
Keywords: linear complexity, autocorrelation, binary sequences.
Сведения об авторе. А.В.Минин — магистрант каф. ПМИ НовГУ; научный руководитель В.А.Едемский, профессор КПМИ НовГУ; s208076@std.novsu.ru.
Статья публикуется впервые. Поступила в редакцию 16.05.2017.
