CC BY
8
2021 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Т. 8 (66). Вып. 3
МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. АСТРОНОМИЯ
АСТРОНОМИЯ
УДК 521.14 МБС 70Р15
Ретроспективный анализ орбит сталкивающихся с Землей астероидов*
К. С. Холшевников, И. А. Баляев, Л. Л. Соколов, Б. Б. Эскин
Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9
Для цитирования: Холшевников К. С., Баляев И. А., Соколов Л. Л., Эскин Б. Б. Ретроспективный анализ орбит сталкивающихся с Землей астероидов // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2021. Т. 8(66). Вып. 3. С. 523-532. https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.313
В настоящей работе рассматриваются траектории реальных и модельных астероидов, ведущие к соударениям с Землей. На них выделяются предваряющие соударения тесные сближения с Землей. Наличие таких сближений позволяет заблаговременно обнаружить опасный объект, уточнить его орбиту, а также использовать эффект гравитационного маневра для экономного предотвращения соударения астероида с Землей. В статье рассмотрены различные семейства траекторий соударения: возможные траектории реальных опасных астероидов, а также модельные траектории, не привязанные к конкретному объекту. Показано, что в первом случае сближений, предваряющих соударение, заметно больше.
Ключевые слова: астероидная опасность, траектории, соударения, сближения.
1. Введение. Предпосылкой для данной работы является доклад А. В. Елькина и Л. Л. Соколова, представленный на международной конференции «Астероидная опасность — 95» в мае 1995 г. в Санкт-Петербурге [1]. В этом докладе фигурирует утверждение о том, что астероиды, сталкивающиеся с Землей, обычно имеют до этого как минимум одно тесное сближение с ней в обозримом прошлом. Для обоснования этого утверждения проводилось численное моделирование, при этом астероид
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 19-32-90149) и с использованием оборудования ресурсного центра Научного парка СПбГУ «Вычислительный центр».
(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2021
двигался по кеплеровой орбите. С другой стороны, приведенное утверждение можно считать справедливым из самых общих математических соображений, связанных с эргодической теорией, теоремой о возвращении и т. п. С практической точки зрения, связанной с проблемой обеспечения астероидно-кометной безопасности, важны конкретные значения понятий «тесное сближение», «обозримое прошлое», «обычно». Тесные сближения, предшествующие соударению, позволяют заблаговременно обнаружить опасный объект, в том числе ранее потерянный, уточнить его орбиту и предсказать опасные сценарии для его будущих возможных траекторий. Кроме того, тесные сближения, предшествующие соударениям, предоставляют потенциальную возможность использования эффекта гравитационного маневра для энергетически экономного целесообразного изменения его орбиты, в частности, увода астероида от соударения с Землей. В связи с этим рассматриваемый вопрос представляет несомненный интерес.
Уточним терминологию. Смысл понятия «траектория соударения» очевиден: на этой траектории существуют точки с геоцентрическим расстоянием, меньшим радиуса Земли. Но и здесь возможны нюансы, требующие уточнения. Нам встречались ситуации, когда минимальное геоцентрическое расстояние получалось равным 6450 км. Будет естественным в таких редких случаях взять несколько увеличенный радиус Земли с учетом атмосферы. В настоящей статье этого делать не понадобилось. Астероид сталкивается с Землей, если все его возможные траектории являются траекториями соударения. Понятие сближения можно формализовать как наличие минимума геоцентрического расстояния, большего радиуса Земли, на возможной траектории астероида при условии, что этот минимум не слишком велик. Понятие тесного сближения требует уточнения в зависимости от рассматриваемой задачи. Так, установленное сближение Апофиса с Землей в 2029 г. на расстояние 38 тыс. км позволяет экономить 4-5 порядков в величине импульса скорости, необходимой для предотвращения последующих соударений (если скорость астероида изменить до 2029 г.). Это, несомненно, тесное сближение. Такой же эффект гравитационного маневра может составлять 1-3 десятичных порядка, если имело место сближение на расстояние 2-0.2 млн км [5]. Чтобы подчеркнуть важность экономии скорости, можно и такие сближения называть тесными. В конце 2020 г. и начале 2021 г. начались новые наблюдения знаменитого астероида Апофис. Минимальное геоцентрическое расстояние было достигнуто в марте этого года, оно составило около 14 млн км. Однако это сближение уже позволило провести высокоточные радиолокационные наблюдения, что привело к существенному уточнению орбиты Апофиса. В результате этот астероид стал безопасным; соответствующее изменение на сайте НАСА было произведено 26 марта сего года. Мы обычно считаем сближение тесным, если расстояние составляет меньше 100 тыс. км, иногда — меньше 10 млн км.
Чтобы уточнить приведенное выше утверждение о том, что соударениям обычно предшестуют сближения, в настоящей работе проведено численное моделирование движения различных семейств сталкивающихся с Землей астероидов. Результаты этого моделирования сравниваются с аналогичными результатами, полученными в других работах.
2. Интегрирование в прошлое: модель движения. Введем две системы отсчета: O с центром в центре Солнца O и осями X, Y, Z, параллельными осям инерциальной системы ICRF для эпохи to = январь 1.2000; Oí с центром в центре масс Земли T и осями x,y, z, параллельными осям системы O.
Рис. 1. Схематичное расположение начального положения астероида, участвующего в моделировании, и направления вектора начальной скорости.
\
/ \
Г Л
Пусть К — поверхность куба с центром в точке Т и ребрами длиной 26, параллельными осям (Э\. Расположим точки Лпкт, где п, к, т — целые числа, т = 1,..., 6, п, к = 1, 2,..., 12, на К, так, чтобы выполнялись равенства
т =1 ^ х = -6, т = 2 ^ х = 6, т = 3 ^ у = -6, т = 4 ^ у = 6, т = 5 ^ г = -6, т = 6 ^ г = 6,
где 6 имеет значение 500 тыс. км, а п и к выбраны так, что точки образуют равномерную прямоугольную сетку на каждой грани. Всего мы имеем 12 • 12 • 6 = 864
точки Л„кт.
Точки Рпкт, являющиеся радиальными проекциями точек Лпкт на поверхность сферы ^, вписанной в куб К, примем за начальные положения модельных астероидов на момент ¿о. Начальные геоцентрические скорости равны Упкт и направлены в точку T вдоль единичных векторов Рпкт^/6 (см. рис. 1).
Произведем численное интегрирование уравнений движения модельных астероидов от эпохи ¿о на временной интервал 100 лет назад. Предполагается, что астероиду сообщаются следующие ускорения:
1) ускорение, вызванное притяжением Солнца, по модулю определяемое как
Ста
го о = ——, г = \ицпкт\,
(1)
2) ускорения, вызванные притяжением восьми планет от Меркурия до Нептуна: ускорение от планеты с индексом р по модулю определяется как
гР |°р^пкт1,
(2)
где Ор — точка, совпадающая с центром масс соответствующей планеты, а Qnkm текущее положение модельного астероида.
=
р
г
Здесь, как обычно, О — гравитационная постоянная, шо — масса Солнца, шр, p — 1, 2,..., 8, — массы восьми планет от Меркурия до Нептуна.
Планеты считаются движущимися по кеплеровым окружностям радиусов ар с сидерическими периодами обращения Рр. Для каждой планеты элементы орбиты ар (большая полуось), Хр (средняя долгота), Рр (период обращения), гр (наклон к эклиптике), Пр (долгота восходящего узла), ОМр (гравитационная постоянная планеты) взяты с сайта Государственного астрономического института имени П. К. Штернберга МГУ [3, 4] на момент 01.01.2000 00:00 и приведены в таблице.
Элементы орбит планет
р ар Хр %р £~1р РР СМР
(а. е.) (град.) (град.) (град.) (сут.) (км3/сек2)
1 0.3870983098 252.25090552 7.00498625 48.33089304 87.96843362 22032.08
2 0.7233298200 181.97980085 3.39466189 76.67992019 224.6954354 324858.60
3 1.0000010178 100.46645683 0.13054803 174.87317577 365.24218985 398600.44
4 1.5236793419 355.43299958 1.84972648 49.55809321 686.92970957 42828.314
5 5.2026032092 34.35151874 1.30326698 100.46440702 4330.5957654 126686537
6 9.5549091915 50.07744430 2.48887878 113.66550252 10746.940442 37931200
7 19.2184460618 314.05500511 0.77319689 74.00595701 30588.740354 5793939.3
8 30.1103868694 304.34866548 1.76995259 131.78405702 59799.900456 6835107
Численное интегрирование проводится методом Рунге — Кутты четвертого порядка с шагом в 10 минут. Фактором окончания процесса интегрирования является факт сближения с Землей астероида менее чем на 0.01 а. е. или окончание временного интервала интегрирования. Для контроля ошибок для модельного астероида на момент окончания интегрирования проводится обратный процесс интегрирования до момента ¿о и производится проверка попадания модельного астероида в окрестность 0.001 а. е. от начального положения. Под фактом тесного сближения здесь понимается приближение астероида к Земле на расстояние, меньшее чем 0.05 а. е.; также рассмотрен случай сближений на 0.01 а. е.
3. Интегрирование в прошлое: зависимость числа сближений от скорости астероидов. В соответствии с работой [5] наиболее вероятные начальные скорости астероидов лежат в диапазоне от 3 до 30 км/с. На первом этапе возьмем значения начальной скорости Упкт от 3 до 30 км/с с шагом 3 км/с. Для каждого значения начальной скорости рассмотрим семейство из 864 модельных астероидов с начальными положениями в точках Рпкт.
Точки Рпкт являются радиальными проекциями на сферу Бпкт точек Апкт, расположенных следующим образом:
ш — 1 ^ Апкт — ш 2 ^^ Апкт ш — 3 Апкт —
Ш — 4 ^ Апкт =
22
—Ь: Ь--п: Ъ--к
13 ' 13
22
Ь:Ь--п: Ъ--к
13 ' 13
(2 2
т = 5 => Апкт = I Ь - —и; Ь - —к; -Ь
I 2 2
т = 6 => Апкт = ( Ь - — п; Ь - —А;; Ь ) .
Для каждого модельного астероида произведем поиск тесных сближений на временном интервале предыдущих ста лет. Для каждого семейства модельных астероидов с одинаковыми по модулю начальными скоростями рассчитаем процент астероидов, имевших тесные сближения с Землей за интервал интегрирования, от общего количества астероидов в семействе.
На рис. 2 представлена зависимость доли астероидов с зафиксированным сближением (от общего количества астероидов, участвующих в моделировании) на указанное расстояние от значения их начальной геоцентрической скорости.
10--
о -I-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1—
D 3000 6000 9000 12000 15000 1Е000 21000 2400D 27DDD 30000
Начальная геоцентрическая скорость (м/с)
Рис. 2. Зависимость доли астероидов с зафиксированным сближением на указанное расстояние от значения их начальной геоцентрической скорости.
Данная модель включает в себя как астероиды с замкнутой эллиптической, так и с гиперболической орбитами. Последние не имеют ни одного тесного сближения, предшествующего соударению. С целью отбраковки таких астероидов в процессе интегрирования на расстоянии в 10 млн км от Земли была произведена оценка параметров орбиты. Астероиды, имеющие гиперболическую орбиту, были исключены из моделирования, так как в условиях поставленной задачи тела, прибывшие в Солнечную систему извне, не учитываются. После исключения гиперболических орбит диаграмма принимает вид, представленный на рис. 3.
4. Интегрирование в прошлое: среднее по скорости число сближений.
На следующем этапе исследования примем во внимание распределение астероидов по начальным скоростям. Это распределение, его свойства, характеристики и особенности, в частности для сближающихся с Землей астероидов, были рассмотрены в работе [5], результаты которой мы используем в настоящей статье.
Считаем, что модуль скорости V подчинен распределению Максвелла [5]. Пусть V = ax. Значение a « 17 км/с уточним позже. Плотность вероятности случайной величины x и функция распределения даются формулами
о 2 4
/(ж) = Ах2е~х , А = -=, 0 < ж < 0, (3)
Рис. 3. Зависимость доли астероидов с зафиксированным сближением на указанное расстояние от значения их начальной геоцентрической скорости после исключения гиперболических орбит.
X
Е (х) = Л/(
2е = 1 - —же х~ - — [ е 2 2
Л.
(4)
Моменты
СЮ
Мк Чхк/(х,"х-
(5)
где к — порядковый номер момента, при к > 0 существуют и определяются как
2 1 + к
М0 = 1, М1 = Ч=, Мк = -±-Мк-2, (6)
л/п 2
так что
М2 =
Мз =
(7)
2
=М2 - М2 =
34
2 п
(8)
где а — среднеквадратическое отклонение случайной величины х.
Функция / имеет единственный максимум при х = хо = 1 и две точки перегиба
х1
5 - у/17
х2
5 +
(9)
Отсюда получаем
х! = 0.4682, х2 = 1.5109.
(10)
Отбросим «хвосты» распределения. Для этого найдем точки х* и х*, такие что Е(х*) = 0.01, Е(х*) = 0.99. Прямое вычисление дает
х* = 0.236, х* = 2.4.
(11)
Левый промежуток [0, х*] отброшен, так как в нем есть геоцентрические эллипсы, а правый [х*, то) содержит нереалистично большие скорости.
С
3
2
4
4
В [5] вычислено значение параметра а на бесконечности (аС) для УС = аСх. Интеграл энергии для гиперболы запишем в виде
где г — расстояние до притягивающего центра, а УС — гиперболическая избыточная скорость. Там же показано, что а = -Х-, так что
Введем генератор случайных чисел, распределенных по вышеизложенному закону. Для этого возьмем значение р, полученное стандартным генератором случайных чисел с равномерным распределением на интервале [Е(х*),Е(х*)], и найдем х такой, что Е(х) = р. Как и на предыдущем этапе, возьмем 864 модельных астероида, расположенных в точках Рпкт. Но начальные скорости теперь будем задавать, используя вышеописанный генератор случайных чисел:
где хр — результат работы генератора.
Произведем поиск тесных сближений для каждого астероида за предшествующие 100 лет по ранее описанному алгоритму. Для накопления статистических данных выполним построение семейства начальных положений и последующий поиск тесных сближений за предшествующие 100 лет 10 раз, используя в качестве модулей начальных скоростей различные результаты работы вышеописанного генератора случайных чисел.
На основе полученной информации подсчитаем процент тесных сближений для 8640 модельных астероидов. Процент астероидов, имеющих сближение менее чем на 0.05 а. е., равен 60, менее чем на 0.01 а. е. — 31.
В данном случае также имеет смысл произвести исключение гиперболических орбит, используя только такие Упкт, при которых орбита будет являться гелиоцентрическим эллипсом. Тогда процент тесных сближений будет равен 74 и 39 соответственно.
Таким образом, можно сказать, что «в среднем» около 3/4 сталкивающихся с Землей модельных астероидов подходили к Земле в течение предыдущих 100 лет ближе, чем на 0.05 а. е.; а около 2/5 — ближе, чем на 0.01 а. е.
5. Интегрирование в будущее: выделение соударений и предшествующих сближений. Рассмотрим альтернативный подход к решению рассматриваемой в настоящей статье задачи. Выберем исходную кеплерову орбиту астероида (модельного или реального астероида, сближающегося с Землей), рассмотрим множество в том или ином смысле близких траекторий и выделим среди них траектории, ведущие в будущем к соударению. На этих траекториях соударения найдем предшествующие тесные сближения, если они есть.
В настоящей статье мы представляем результаты такого подхода для семейства модельных астероидов, выбранного следующим образом. Рассмотрим область эксцентриситетов от 0.0 до 0.8, перигелиев от 0.3 до 1.3 а. е., наклонений от 0 до 15 градусов. Эта область содержит большинство опасных астероидов, сближающихся с
(12)
(13)
пкт — хр а
(14)
Землей. В ней берем 10 равноотстоящих значений эксцентриситета, 10 равноотстоящих значений перигелийного расстояния и 5 равноотстоящих значений наклонения. Для каждой из 500 получившихся комбинаций эксцентриситета, перигелийного расстояния и наклонения вычисляем начальные данные 105 астероидов со случайными значениями трех оставшихся угловых переменных. Движение каждого из полученных 5 • 107 модельных астероидов численно прогнозируется на 200 лет в будущее, находятся сближения и соударения с Землей, Луной и планетами. Используется разработанная И. А. Баляевым модификация интегратора Эверхарта [6], значительно увеличившая быстродействие за счет использования однотипности проводимых вычислений. Учитываются только гравитационные возмущения в движении астероидов, используется модель движения планет БЕ430.
Приведем некоторые результаты численного интегрирования 5 • 107 модельных астероидов, имеющие отношение к рассматриваемому в настоящей статье вопросу. Всего было найдено 868 траекторий соударения, из них 147 — с Землей, 2 — с Луной, 81 — с Венерой, 14 — с Меркурием, 6 — с Марсом, 616 — с Юпитером, 2 — с Сатурном. Из них были выделены соударения, происходящие более чем через 100 лет после начала интегрирования. Для Земли таких оказалось 72; из них 20 имели предварительные сближения с Землей на расстояние до 0.01 а. е., 70 — на расстояние до 0.05 а. е. Для 5 из 72 соударений предваряющее сближение имеет место за 358-365 суток до соударения, т. е. соударение происходит с резонансной 1/1 орбиты, имеет место «резонансный возврат». Для Венеры было выделено 33 соударения, проходящие через 100 и более лет после начала интегрирования; все они имели предварительные сближения на расстояние до 0.05 а. е., а 18 — на расстояние до 0.01 а. е. С Юпитером более чем через 100 лет происходит 327 соударений, и только в 28 случаях имеются предваряющие их сближения на расстояние до 0.05 а. е.
6. Сравнение с результатами других исследований. В работе [7] семейство модельных астероидов, имеющих соударения с Землей, строилось с использованием интегрирования в прошлое способом, похожим на наш. Именно, были взяты 104 виртуальных астероидов, имеющих соударения с Землей. Взяты их начальные данные за 30 дней до соударения и построены траектории с помощью численного интегрирования в прошлое. В основном авторы работы [7] интересовались величиной изменения скорости астероида, необходимой для предотвращения соударения, и ее зависимостью от времени до соударения. Сближения на расстояние ближе радиуса Хилла (0.01 а.е.) имели место за 30 лет в 518 случаях из 10000, т.е. примерно в 5 процентах случаев, что позволяет уменьшить потребное для увода от соударения астероида с Землей изменение его скорости примерно на два десятичных порядка.
В работе [2] тот же вопрос исследовался с использованием интегрирования в будущее. Брался реальный опасный астероид, определялся наиболее полный список его возможных (исходя из точности орбиты) соударений с Землей, на полученных траекториях соударения искались предваряющие их сближения. Оказалось, что при таком (в некотором смысле более естественном) подходе сближений перед соударениями заметно больше. В частности, сближения на орбитах соударения обычно более тесные, чем на номинальной орбите. Например, для астероида 2008 ЕХ5 на кафедре небесной механики СПбГУ было найдено 56 возможных соударений с Землей в текущем столетии [2]. Из них 9 имели перед соударениями сближения на расстояние менее 0.1 млн км, 21 — от 0.1 до 0.5 млн км, 11 — от 0.5 до 1.0 млн км, 15 — от 1.0
до 3.0 млн км. Номинальная орбита этого астероида не имела в текущем столетии сближений теснее, чем 3.0 млн км.
В «исходной» работе [1] сформулировано утверждение о том, что опасный астероид обычно появляется в окрестности Земли радиуса 0.1 а. е. за несколько (1-30) лет до соударения с ней. Можно сказать, что если рассматриваются возможные соударения конкретного астероида в будущем, то это утверждение недалеко от истины.
7. Заключение. Подводя общие итоги, можно сделать вывод о том, что тенденция наличия тесных сближений астероидов с Землей перед соударением с ней несомненно имеет место. Получаемые оценки числовых характеристик этого явления таковы, что его можно использовать как для экономного увода астероидов от соударения с Землей, так и для обнаружения опасных объектов. Несомненно, вопрос нуждается в дальнейших исследованиях. Это важно еще и потому, что наблюдается неустойчивость результатов (числа предваряющих сближений) по отношению к выбранному для исследования множеству траекторий соударения. Особенно важно проводить эти исследования для конкретных опасных астероидов.
Литература
1. Елькин А. В., Соколов Л. Л. О последовательных прохождениях АСЗ в окрестностях Земли. Международная конференция «Астероидная опасность — 95», 23—25 мая 1995 г., Санкт-Петербург. Т. 2, 41 (1995).
2. Sokolov L., Kuteeva G., Petrov N., Eskin B. Hazardous near-Earth asteroids approach. AIP Conference Proceedings 2171, 13019 (2019). https://doi.org/10.1063/L5133286
3. Орбитальные параметры планет. Доступно на: www.sai.msu.ru/neb/rw/natsat/plaorbw.htm (дата обращения: 27.05.2021).
4. Физические данные планет. Доступно на: www.sai.msu.ru/neb/rw/natsat/plaphyw.htm (дата обращения: 27.05.2021).
5. Kholshevnikov K. V., Shor V. A. Velocity distribution of meteoroids in the vicinity of planets and satellites. Earth, Moon, and Planets 72, 419-423 (1996).
6. Баляев И. А. Об ускорении численного интегрирования уравнений движения астероидов. Астрономический вестник 54 (6), 567-576 (2020). https://doi.org/10.31857/S0320930X20330014
7. Loucks M.E., Carrico J. P., Lu E.T., Chapman C.R. Asteroid Deflection Requirements as a Function of Warning Time. "Asteroids, Comets, Meteors 2017", April 2017, Montevideo, Uruguay (2017).
Статья поступила в редакцию 10 октября 2020 г.;
после доработки 26 октября 2020 г.; рекомендована в печать 19 марта 2021 г.
Контактная информация:
Холшевников Константин Сергеевич — аспирант; kholshevnikov@yandex.ru
Баляев Иван Александрович — аспирант; balasteravan@yandex.ru
Соколов Леонид Леонидович — проф.; l.sokolov@spbu.ru
Эскин Борис Борисович — ст. преп.; esk@astro.spbu.ru
Retrospective analysis of the orbits of asteroids colliding with the Earth*
K. S. Kholshevnikov, I. A. Balyaev, L. L. Sokolov, B. B. Eskin
St. Petersburg State University, 7—9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation
For citation: Kholshevnikov K. S., Balyaev I. A., Sokolov L. L., Eskin B. B. Retrospective analysis of the orbits of asteroids colliding with the Earth. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2021, vol. 8(66), issue 3, pp. 523-532. https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.313 (In Russian)
In this paper, we consider the trajectories of real and model asteroids that lead to collisions with the Earth. They highlight the close approaches to the Earth that precede the impact. The presence of such approaches allows you to detect a dangerous object in advance, clarify its orbit, and also use the effect of a gravitational maneuver to economically prevent an asteroid from hitting the Earth. The article considers various families of collision trajectories: possible trajectories of real dangerous asteroids, as well as model ones trajectories that are not linked to a specific object. It is shown that in the first case, the approaches preceding the collision are noticeably greater.
Keywords: asteroid hazard, trajectories, collisions, approaches. References
1. Elkin A. V., Sokolov L. L. On successive passes of ASZ in the vicinity of the Earth. International Conference "Asteroid Hazard — 95", May 23-25, 1995, St. Petersburg. Vol.2, 41 (1995). (In Russian)
2. Sokolov L., Kuteeva G., Petrov N., Eskin B. Hazardous near-Earth asteroids approach. AIP Conference Proceedings 2171, 13019 (2019). https://doi.org/10.1063/L5133286
3. The orbital parameters of the planets. Available at: www.sai.msu.ru/neb/rw/natsat/plaorbw.htm (accessed: May 27, 2021).
4. Physical data of the planets. Available at: www.sai.msu.ru/neb/rw/natsat/plaphyw.htm (accessed: May 27, 2021).
5. Kholshevnikov K. V., Shor V. A. Velocity distribution of meteoroids in the vicinity of planets and satellites. Earth, Moon, and Planets 72, 419-423 (1996).
6. Balyaev I. A. Acceleration of numerical integration of the equations of motion of asteroids. Astronomicheskii vestnik 54 (6), 567-576 (2020). https://doi.org/10.31857/S0320930X20330014 (In Russian) [Engl. transl.: Solar System Research 54 (6), 557-566 (2020). https://doi.org/10.1134 /S0038094620330011].
7. Loucks M.E., Carrico J. P., Lu E.T., Chapman C.R. Asteroid Deflection Requirements as a Function of Warning Time. "Asteroids, Comets, Meteors 2017", April 2017, Montevideo, Uruguay (2017).
Received: October 10, 2020 Revised: October 26, 2020 Accepted: March 19, 2021
Authors' information:
Konstantin S. Kholshevnikov — kholshevnikov@yandex.ru Ivan A. Balyaev — balasteravan@yandex.ru Leonid L. Sokolov — l.sokolov@spbu.ru Boris B. Eskin — esk@astro.spbu.ru
*This work is supported by Russian Foundation for Basic Research (grant No. 19-32-90149) and using the equipment of the resource center of the St. Petersburg State University Science Park "Computing Center".
