CC BY
16
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 24, № 4. С. 692-717 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) d https://doi.org/10.14498/vsgtu1779
Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
УДК 521.182
Математическое моделирование движения астероидов, принадлежащих к группам Аполлона и Атона
© А. Ф. Заусаев, М. А. Романюк, А. А. Заусаев
Самарский государственный технический университет,
Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
Аннотация
Проведена оценка точности решений дифференциальных уравнений движения с учетом релятивистских эффектов, полученных на основе нового принципа взаимодействия, на примере исследований эволюции орбит пяти астероидов. Проведено численное интегрирование уравнений движения астероидов с начальными данными, отнесенными к различным моментам времени. На основании сопоставления полученных результатов исследования выявлены определенные закономерности. На интервалах времени при отсутствии сближений астероида с Землей менее 0.1 а.е. можно с одинаковой эффективностью применять приведенные в работе дифференциальные уравнения. Потеря точности численного интегрирования находится в прямой зависимости от величины сближения астероида с Землей. Вследствие того, что в правых частях уравнений движения присутствуют разности координат астероида и планеты, при достаточной их близости относительная точность координат астероида и планеты во много раз превосходит относительную точность их разности. Для исследуемых астероидов при сближении их с Землей относительная погрешность разности координат астероида и Земли примерно
Научная статья
3 ©® Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования
Заусаев А. Ф., Романюк М. А., Заусаев А. А. Математическое моделирование движения астероидов, принадлежащих к группам Аполлона и Атона // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2020. Т. 24, № 4. С. 692-717. https://doi.org/10.14498/vsgtu1779. Сведения об авторах
Анатолий Федорович Заусаев А https://orcid.org/0000-0002-5035-9615 доктор физико-математических наук; профессор; каф. прикладной математики и информатики; e-mail: zausaev_af@mail.ru
Мария Анатольевна Романюк © https://orcid.org/0000-0003-0796-2061 кандидат технических наук; доцент; каф. прикладной математики и информатики; e-mail: zausmasha@mail.ru
Артем Анатольевич Заусаев © https://orcid.org/0000-0002-5184-3943 кандидат физико-математических наук; доцент; каф. прикладной математики и информатики; e-mail: zausaevaa@mail.ru
692
© Самарский государственный технический университет
от 227 до 44900 раз превышает предельную относительную погрешность самих координат астероида. Прогнозирование движение Апофиса после его тесного сближения с Землей на основе решения уравнений движения современными методами приводит к большим ошибкам, уменьшение которых возможно только путем улучшения начальных данных элементов орбит астероида. О возможности тесного сближения Апофиса с Землей на интервале времени с 14 апреля 2029 г. по 1 января 2100 г. можно утверждать лишь с определенной степенью вероятности. Результаты проведенных исследований можно обобщить на все астероиды групп Аполлона и Атона.
Ключевые слова: численное интегрирование, дифференциальные уравнения движения, астероиды, (99942) Апофис, (367943) Дуэнде, 2012 иЕз4, 1999 Л^о, 2001 ^№N5.
Получение: 6 апреля 2020 г. / Исправление: 3 ноября 2020 г. / Принятие: 16 ноября 2020 г. / Публикация онлайн: 18 декабря 2020 г.
Основные положения и расчетные формулы. В настоящее время определены элементы орбит более чем у 20 тысяч астероидов, входящих в группы Аполлона, Амура и Атона. Большинство астероидов групп Аполлона, Амура и Атона в процессе эволюции могут сближаться с внутренними планетами, при этом не исключена вероятность столкновения с ними. Исследование эволюции орбит астероидов, сближающихся с Землей, важно для решения проблемы, связанной с астероидной опасностью [1—3].
Движение небесных тел в Солнечной системе описывается различными дифференциальными уравнениями [4-6]. От выбора конкретных дифференциальных уравнений существенно зависит точность прогнозирования движения исследуемого объекта. На примере движения больших планет и Луны показано, что решения уравнений в форме Ньютона не обладают достаточной точностью для прогнозирования движения Меркурия и Луны [7]. Решение дифференциальных уравнений движения с учетом релятивистских эффектов без использования дополнительных уравнений, учитывающих форму Земли и Луны, недостаточно точны для прогнозирования движения Луны [8].
В отличие от ньютоновых и релятивистских уравнений, решение уравнений, основанных на взаимодействии движущихся материальных тел с окружающим пространством, полностью согласуются с данными координат больших планет и Луны, полученных с использованием банка данных БЕ405 [9].
Уравнения движения, основанные на взаимодействии движущихся материальных тел с окружающим пространством, имеют следующий вид [10,11]:
(й2Х Xi - X \ ЗаогГ?
(И2
£( ^)
0í
А? + А,3Д? - г^ + 3(Д.? - г03г)2
А2У = у. / У г - У \_3ар^_
^ * А ^Д? + А V А? - г& + ^ (А? - г^2' (1)
(!2г ^ - 2 ч 3ао^
4Л А; У
^ * А Ч2 + Аг ЗА - ^ + 3 А - Г0г)2 '
где А| = (Хг - X)2 + (Уг - У)2 + (21 - 2)2, г0 — эффективный радиус г-того
тела; а0 — соответствующее ускорение для ¿-того тела на расстоянии г^ от центра массы; X, К, ^ — барицентрические координаты возмущаемого тела; Хг, Уг, Ег — барицентрические координаты возмущающих тел.
Следует отметить, что произведение аогт^ по размерности и значениям полностью совпадает с k2mi, где к — постоянная Гаусса, а тг — масса г-той планеты. Данное совпадение значительно упрощает решение уравнений (1), которые по своей форме близки к уравнениям движения задачи п тел, однако по сравнению с задачей п тел, в уравнениях (1) отсутствует наличие масс и силовых взаимодействий.
Уравнения движения небесных тел с учетом релятивистских поправок более сложны по сравнению с уравнениями (1). В барицентрической системе координат эти уравнения в векторной форме имеют следующий вид [12]:
Г = \ ■ ЫЪ—П)^ _ 2(0 + 7)^ Vк 2@ - 1 ^ ^ , V,
у^ N(гз - П) \ 2(Р + 7) у^ ^ _ 20 - 1 у^ ^ + ^ Г Щ у+
Г'3 I С2 Так С2 Г,к 1с/
0=г %3 У к=г гк к= ,к
./ V, \2 2(1+ 7).. 3 Г (п - Ту)Тг ]2 1 . ...}
(1 + Пт) - ^ - 2^ -Л?-. +2^- +
+ 1 Е Ч(г* - ) К2 + 21)тг - (1 + 27)г,КП - т,) +
С з=% ^
+ 3+47 ^ щ + ^ Ц,т(тт - п) (2)
= ГЧ т=1 Г3т
где Гг, Гг, Г — векторы положения, скорости и ускорения ¿-того тела в барицентрической системе координат; = к2т,, к2 — гравитационная постоянная и т, — масса ^'-того тела; г^ = |г/ - г»|; ¡8 и 7 — релятивистские параметры; с — скорость света; @ = 7 = 1; Уг = |г^|.
Данные уравнения до 2018 г. использовались при создании каталога орбитальной эволюции астероидов групп Аполлона, Амура, Атона и короткопери-одических комет, размещенного на сайте smallbodies.ru [13]. После 2018 г. при исследовании эволюции элементов орбит этих астероидов используются уравнения (1).
При исследовании эволюции орбит небесных тел важно, чтобы применяемый метод решения обладал высокой степенью точности и устойчивости. В качестве метода решения использовался модифицированный метод Эвер-харта [14, 15]. Модификация метода Эверхарта заключалась в увеличении его порядка с 19-го по 33 [16]. Быстродействие работы программы достигалось путем создания банка данных барицентрических координат планет Луны и Солнца на интервале времени с 1600 по 2200 гг. Для удобства, связанного с интерполяцией, в банке данных вместо координат и скоростей возмущающих тел хранятся коэффициенты полиномов Эверхарта. Для нахождения координат и компонент скоростей на определенный момент времени в банке данных с шагом 10 дней хранятся коэффициенты полиномов Эверхар-та. Внутри десятидневных интервалов координаты и компоненты скоростей находятся с помощью интерполяционных полиномов Эверхарта.
Разработанные алгоритмы и программный комплекс для исследования эволюции орбит небесных тел позволяют своевременно производить необходимые расчеты и результаты вычислений размещать на сайте smallbodies. ги.
Известно, что при численном решении обыкновенных дифференциальных уравнений значения начальных данных существенно отражаются на точности полученных результатов. В работе [11] показано, что начальные данные небесных тел при использовании уравнений (1) нуждаются в коррекции по формулам [11]
2 = 2(с*+с*) 1 ^О + с*г 3 с0 + с* ^ = 2а(С0 + с*) (3)
г +6 г4 а ' аУ2 + с* + с*' ()
где V и г — скорость и радиус-вектор астероида в барицентрической системе координат; а — большая полуось орбиты астероида; а0г2 = с0, а\Г2 = с*; а0, а*, Го, г* — ускорения и эффективные радиусы Солнца и астероида.
Цели данной работы следующие:
а) оценка влияния коррекции начальных данных по формулам (3) на эволюцию орбит астероидов, сближающихся с Землей;
б) исследование влияния сближения астероида с Землей на точность результатов интегрирования уравнений (1) и (2);
в) сравнение результатов численного интегрирования на основе решения уравнений (1) и (2).
Для сопоставления результатов численного интегрирования с использованием уравнений (1) и (2) были отобраны пять астероидов (см. табл. 1) из групп Аполлона и Атона, имеющих различные размеры и минимальные сближения с Землей.
Таблица 1
Данные об астероидах, сближающихся с Землей [Data for the near-Earth asteroids]
Asteroids Earth close approaches date Earth close approaches distance, r (in au) Earth close approaches distance, r (in km) Diameter (in m)
(99942) Apophis 2029 04 13 0.000253 37 833 440
2012 DA14 2013 02 15 0.000227 33 991 42
2012 UE34 2041 04 08 0.000717 107 188 63
1999 AN10 2027 08 07 0.002590 390 080 700
2001 WN5 2028 06 26 0.001660 249 805 610
Астероид (99942) Апофис (2004 Астероид открыт в 2004 году.
Исследованию его движения посвящен ряд работ [17-19]. Он является потенциально опасным для Земли астероидом, т.к. его диаметр около 440 м и 13 апреля 2029 г. он пройдет от Земли на расстоянии около 38 000 км (см. табл. 1). К настоящему времени по нему накоплен большой объем наблюдений, по которым регулярно вычисляются элементы орбит. На сайте smallbodies.ru данные об элементах орбит астероида Апофис приведены начиная с 2005 года. По мере накопления наблюдений точность элементов орбит астероида Апофис улучшается. Для определения элементов орбит астероида Апофис на момент 13 ноября 2019 г. использовалось 4 443 наблюдения. Представляет интерес, насколько согласуются элементы орбит Апофиса, найденные с помощью численного интегрирования различными методами, с данными элементами, полученными на основании наблюдений.
В первом блоке табл. 2 представлены элементы орбит астероида Апофис, полученные с использованием наблюдений и путем численного интегрирования уравнений (1), (2) и с учетом коррекции начальных данных на интервале времени с 5 августа 2019 г. по 13 ноября 2019 г.
Во втором блоке табл. 2 представлены аналогичные результаты вычислений с начальными данными на момент 5 августа 2019 г. Здесь интегрирование проводилось в обратном направлении — с 5 августа 2019 г. по 13 ноября 2019 г.
В первой строке блоков табл. 2 находятся элементы орбит, найденные по данным наблюдений, во второй, третьей и четвертой строках блока — элементы орбит, полученные с помощью интегрирования уравнений (1), (2) и с учетом коррекции (3).
Из сопоставления данных табл. 2 следует, что элементы орбит астероида Апофис, полученные с помощью численного интегрирования различными методами, вполне удовлетворительно согласуются с результатами оптических наблюдений.
На момент 13 ноября 2019 г. разность между вычисленными с помощью решения уравнений (1) (вторая строчка блока) и оптическими наблюдениями (первая строчка блока) составляет следующие величины: ДМ = = -0.000001°, Да = 0.00000002 а.е., Де = 0.00000002, Дш = 0.000002°, ДО = 0°, Дг = 0°, а на момент 5 августа 2019 г. — ДМ = -0.000003°, Да = -0.00000002 а.е., Де = -0.00000002, Дш = -0.000002°, ДО = 0°, Дг = 0°. Для других методов интегрирования (см. табл. 2) различия между результатами наблюдений и полученными данными также малы. Данные разности можно рассматривать как абсолютные погрешности решений уравнений (1) и (2) на интервале времени 100 дней (с 5 августа 2019 г. по 13 ноября 2019 г.).
В табл. 3 представлены элементы орбит астероида Апофис, найденные с использованием решения уравнений движения (1) и (2) при различных начальных данных. Элементы орбит в первом блоке табл. 3 получены с помощью решения уравнений (1) и (2) с использованием начальных данных на эпоху 5 августа 2019 г. Во втором блоке табл. 3 приведены элементы орбит астероида Апофис, полученные при начальных данных на эпоху 13 ноября 2019 г. При этом календарной дате соответствуют элементы орбит астероида, найденные с использованием решения уравнений движения (1), а юлианской дате соответствуют элементы орбит, полученные на основании решения уравнений (2). Юлианская и календарная даты в табл. 2 соответствуют одному и тому же моменту времени. Элементы орбит астероида в первом и втором блоках табл. 3 приведены на начальный и конечный момент интервала интегрирования, а также на моменты до и после сближения с Землей.
Элементы орбит астероида Апофис через каждые 100 дней, найденные с использованием интегрирования дифференциальных уравнений (1) на стандартные даты, размещены на сайте smallbodies.ru.
Из сравнения элементов орбит астероида первого и второго блоков табл. 3, найденных с помощью решения уравнений (1), видно, что они отличаются между собой. Поскольку начальные данные элементов орбит на моменты 5 августа 2019 г. и 13 ноября 2019 г. имеют почти одинаковую точность, нельзя сказать, какие результаты, приведенные в этих блоках, более точные. По количеству совпадающих разрядов в элементах орбит, представленных в этих блоках, можно оценить степень точности проводимых исследований, а по разности соответствующих элементов найти погрешность численного интегрирования относительно различных начальных данных.
Сложность прогнозирования движения астероида Апофис связана с проблемой численной устойчивости при сближении астероида с Землей. Как видно из результатов численного интегрирования (см. табл. 1), 13 апреля 2029 г. Апофис сблизится с Землей на расстояние 0.000253 а.е. Правые части диф-
Элементы орбит Апофиса, полученные решением уравнений движения (1) и (2) и с учетом коррекции (3)
[Apophis' orbital elements calculated by the motion equations (1) and (2) with correction (3)]
Current, date Initial date Data sources (calculated by) M (in degrees) a (in au) e ш (in degrees) П (in degrees) г (in degrees)
2019 11 13 2019 08 05 observations by the Eq. (1) by the Eq. (2) by the Eqs. (1), (3) 25.696976 25.696975 25.696976 25.697016 0.92253315 0.92253317 0.92253315 0.92253317 0.19145964 0.19145966 0.19145963 0.19145964 126.676052 126.676054 126.676052 126.676013 204.053469 204.053469 204.053469 204.053469 3.336838 3.336838 3.336838 3.336838
2019 08 05 2019 11 13 observations by the Eq. (1) by the Eq. (2) by the Eqs. (1), (3) 274.463322 274.463319 274.463322 274.463285 0.92252716 0.92252714 0.92252716 0.92252714 0.19146827 0.19146825 0.19146828 0.19146843 126.676625 126.676623 126.676625 126.676656 204.054436 204.054436 204.054436 204.054436 3.336876 3.336876 3.336876 3.336876
Таблица 3
Элементы орбит Апофиса, полученные по различным начальным данным
[Apophis' orbital elements calculated from different initial data]
Data sources
Current, date (calculated by) M (in degrees) a (in au) e ш (in degrees) П (in degrees) г (in degrees)
Initial date — August 5, 2019
1900 03 22 by the Eq. (1) 279.1268 0.9260468 0.1903993 122.4825 207.7302 3.2884
JD 2415100.5 by the Eq. (2) 279.2317 0.9260726 0.1903836 122.4730 207.7298 3.2887
1979 01 27 by the Eq. (1) 48.6918 0.9259608 0.1904005 124.1617 205.3005 3.3245
JD 2443900.5 by the Eq. (2) 48.6931 0.9259609 0.1904004 124.1611 205.3005 3.3245
2019 08 05 by the Eq. (1) 274.463322 0.92252716 0.19146827 126.676625 204.054436 3.336876
JD 2458700.5 by the Eq. (2) 274.463322 0.92252716 0.19146827 126.676625 204.054436 3.336876
2029 03 05 by the Eq. (1) 207.9739 0.9223315 0.1912153 126.6981 203.8631 3.3420
JD 2462200.5 by the Eq. (2) 207.9738 0.9223315 0.1912152 126.6982 203.8631 3.3420
2029 06 13 by the Eq. (1) 359.6064 1.1040638 0.1893350 71.2000 203.5599 2.2126
JD 2462300.5 by the Eq. (2) 359.5451 1.1036803 0.1892226 71.2914 203.5601 2.2149
2100 02 01 by the Eq. (1) 27.7405 1.1002096 0.1882431 74.2430 202.0987 2.2504
JD 2488100.5 by the Eq. (2) 198.4852 1.1189026 0.1939314 69.2533 201.0609 2.1555
Ci
о
ос
Окончание табл. 3 [End of the Table 3]
Data sources
Current, date (calculated by) M (in degrees) a (in au) e ш (in degrees) П (in degrees) г (in degrees)
Initial date — November 13, 2019
1900 03 22 by the Eq. (1) 278.5161 0.9258978 0.1904898 122.5298 207.7331 3.2866
JD 2415100.5 by the Eq. (2) 279.2301 0.9260723 0.1903838 122.4731 207.7298 3.2887
1979 01 27 by the Eq. (1) 48.6875 0.9259603 0.1904009 124.1622 205.3002 3.3245
JD 2443900.5 by the Eq. (2) 48.6931 0.9259609 0.1904004 124.1611 205.3005 3.3245
2019 11 13 by the Eq. (1) 25.696976 0.92253315 0.19145964 126.676052 204.053469 3.336838
JD 2458800.5 by the Eq. (2) 25.696976 0.92253315 0.19145964 126.676052 204.053469 3.336838
2029 03 05 by the Eq. (1) 207.9741 0.9223315 0.1912152 126.6981 203.8631 3.3420
JD 2462200.5 by the Eq. (2) 207.9738 0.9223315 0.1912152 126.6981 203.8631 3.3420
2029 06 13 by the Eq. (1) 359.8071 1.1053400 0.1897284 70.9019 203.5589 2.1994
JD 2462300.5 by the Eq. (2) 359.5430 1.1036667 0.1892185 71.2946 203.5601 2.2151
2100 02 01 by the Eq. (1) 200.5921 1.1170329 0.1930831 70.7095 201.2504 2.2217
JD 2488100.5 by the Eq. (2) 169.4976 1.1252839 0.1960322 68.2933 201.5017 2.0865
Initial date — August 5, 2019
1900 03 22 by the Eq. (1) 279.1268 0.9260468 0.1903993 122.4825 207.7302 3.2884
JD 2415100.5 by the Eqs. (1), (3) 279.1250 0.9260463 0.1903996 122.4826 207.7302 3.2884
1979 01 27 by the Eq. (1) 48.6918 0.9259608 0.1904005 124.1617 205.3005 3.3245
JD 2443900.5 by the Eqs. (1), (3) 48.6918 0.9259608 0.1904004 124.1616 205.3005 3.3245
2019 08 05 by the Eq. (1) 274.463322 0.92252716 0.19146827 126.676625 204.054436 3.336876
JD 2458700.5 by the Eqs. (1), (3) 274.463364 0.92252716 0.19146825 126.676584 204.054436 3.336876
2029 03 05 by the Eq. (1) 207.9739 0.9223315 0.1912153 126.6981 203.8631 3.3420
JD 2462200.5 by the Eqs. (1), (3) 207.9740 0.9223315 0.1912152 126.6981 203.8631 3.3420
2029 06 13 by the Eq. (1) 359.6064 1.1040638 0.1893350 71.2000 203.5599 2.2126
JD 2462300.5 by the Eqs. (1), (3) 359.6005 1.1040255 0.1893213 71.2084 203.5600 2.2137
2100 02 01 by the Eq. (1) 27.7405 1.1002096 0.1882431 74.2430 202.0987 2.2504
JD 2488100.5 by the Eqs. (1), (3) 119.8925 1.0686945 0.1821959 82.8993 202.0349 1.9236
ференциальных уравнений движения (1) и (2) содержат разности координат Земли и астероида. При тесном сближении Апофиса с Землей на расстояние 0.000253 а.е. при вычислении правых частей уравнений (1) или (2) теряются три старших разряда в разностях радиус-векторов. Дальнейшие расчеты будут проводиться при потере трех разрядов в начале числа. Известно, что большие потери точности происходят при вычитании двух близких чисел [20, 21].
Для оценки влияния тесного сближения Апофиса с Землей вычислим относительные погрешности разности между координатами астероида и Земли.
13 апреля 2029 г. Апофис пройдет от Земли на расстоянии 0.000252898 а.е. Обозначим через Хэ, УЗ, ^э барицентрические координаты Земли, а через Ха, Уа, ^а —барицентрические координаты астероида.
В момент сближения астероида с Землей имеем следующие значения координат:
Хэ = -0.916328637 а.е., Уэ = -0.372523621 а.е., ^э = -0.161395076 а.е., Ха = -0.916213075 а.е., Га = -0.372708794 а.е., 2а = -0.161522802 а.е.
Найдем разности координат: Хэ - Ха = -0.000115562 а.е., УЗ - УА = = -0.000185173 а.е., ^э - ^а = = -0.000127726 а.е.
Полагая, что полученные координаты Земли и астероида имеют одинаковую точность — до шести значащих цифр после запятой, найдем предельную абсолютную погрешность разности координат Земли и астероида:
Дх = Ахз + ДХа , Ду = Дуз + ДУа , Д^ = Д^З + Д^А, Дх = Ду = Д^ = 0.0000005 а.е. + 0.0000005 а.е. = 0.000001 а.е.
Вычислим предельные относительные погрешности координат астероида:
5Ха = 0.0000005/0.916213075 = 5.45725 ■ 10-7, 5¥а = 0.0000005/0.372708794 = 1.34153 ■ 10-6, = 0.0000005/0.161522802 = 3.09554 ■ 10-6.
Получим предельные относительные погрешности разности координат астероида и Земли:
5Х = 0.000001/0.000115562 = 8.65336 ■ 10-3, 5у = 0.000001/0.000185173 = 5.40036 ■ 10-3, 6г = 0.000001/0.000127726 = 7.82926 ■ 10-3.
Определим, во сколько раз предельная относительная погрешность разности координат Земли и астероида Апофис больше предельной относительной погрешности координат астероида: 5х~ 15857, 5у/6уА ~ 4026, Ь2/<^А - 2 562.
Предельная относительная погрешность разности координат радиус-вектора Апофиса примерно в 15 857 раз больше его предельной относительной погрешности величины координат радиус-вектора.
Большие относительные погрешности разностей координат радиус-векторов астероида в процессе интегрирования приводят к значительным погрешностям полученных результатов.
Из первых двух блоков табл. 3 видно, что до момента тесного сближения 5 марта 2029 г. элементы орбит Апофиса, вычисленные с помощью численного интегрирования уравнений (1), практически совпадают независимо от даты, на которую брались начальные данные для решения уравнений движения. После тесного сближения разности элементов орбит, полученных с помощью решения уравнений (1) на момент 13 июня 2029 г., составят следующие величины: ДМ = 0.2007°, Да = 0.0012762 а.е., Де = 0.0003934, Дш = -0.2981°, ДО = -0.001°, Дг = -0.0132°.
Полученные разности характеризуют устойчивость применяемого метода, т.е. определяют влияние погрешности начальных данных на результаты решения при тесном сближении астероида с Землей. По величине разности элементов орбит можно судить о порядке точности решения. До сближения астероида с Землей большие полуоси и эксцентриситеты, найденные с помощью решения уравнений (1), совпадали до шестого знака включительно после запятой (см. табл. 3). После тесного сближения астероида с Землей большие полуоси и эксцентриситеты сохранили совпадения до двух и трех знаков после запятой соответственно.
Таким образом, после сближения Апофиса с Землей произошла потеря точности в большой полуоси и эксцентриситете орбиты астероида на четыре и три порядка соответственно, т.е. большая полуось и эксцентриситет в дальнейшем будут определены с точностью до двух и трех верных знаков после запятой. Угловые элементы (средняя аномалия М и аргумент перигелия ш) будут определены с точностью до градусов.
Потеря точности численного интегрирования уравнений движения (1) и (2) на участках тесного сближении Апофиса с Землей является наиболее сложной проблемой при прогнозировании движения астероида после его сближения с Землей. Для сохранения заданной точности необходимо координаты астероида и Земли брать с достаточным числом «запасных» верных знаков. Для этого следует повысить точность начальных данных элементов орбит Земли и астероида.
Третий блок табл. 3 содержит элементы орбит Апофиса, полученные с учетом коррекции начальных данных элементов орбит астероида и без учета коррекции. Результаты вычислений в строках, соответствующих календарной дате, получены без учета коррекции, в строках, соответствующих юлианской дате, — с учетом коррекции начальных данных с применением формул (3).
Из данных третьего блока табл. 3 видно, что в результате коррекции начальных данных элементы орбит астероида изменились незначительно. Истинная аномалия М возросла на 0.000042°, эксцентриситет е и аргумент перигелия ш уменьшились соответственно на 0.00000002° и 0.000041°, остальные элементы орбит не претерпели существенных изменений. Полученные невязки, как видно из данных третьего блока табл. 3, на интервале времени с 1900 г. по 2029 г. существенно не отражаются на результатах интегрирования.
Из сравнения элементов орбит Апофиса, найденных с начальными данными на различные моменты (см. первый и второй блоки табл. 3), следует, что на левом конце интервала интегрирования (22 марта 1900 г.) угловые элементы получены с точностью до градусов, а большие полуоси а и эксцентриситеты е — с точностью до двух значащих цифр после запятой. На интервале времени с 1971 г. по 2029 г. имеет место совпадение больших полуосей и эксцентриситетов до шести знаков и до двух знаков после запятой в угловых элементах. На правом конце интервала интегрирования (1 февраля 2100 г.)
элементы орбит астероида отличаются друг от друга более значительно по сравнению с левым концом, достигая в средней аномалии М свыше 170°, а большая полуось а и эксцентриситет е совпадают лишь до двух значащих цифр.
Возникает вопрос: каким образом можно повысить точность прогнозирования движения астероида Апофис после его тесного сближения с Землей?
Как было показано ранее, в результате тесных сближений астероида с Землей происходит потеря точности при численном интегрировании уравнений движения (1) и (2). Данный факт указывает на необходимость повышения точности начальных данных координат и компонент скоростей для получения более точных решений уравнений (1) и (2). Повышение точности начальных данных элементов орбит Апофиса на несколько порядков является сложновыполнимой проблемой. Однако к решению данной проблемы можно вернуться после 13 апреля 2029 г., т.е. после тесного сближения астероида с Землей. Тогда элементы орбит астероида после его сближения с Землей с учетом новых наблюдений будут определены с большей точностью по сравнению с настоящим прогнозированием.
Астероид (367943) Дуэнде (2012 ЮА^). Астероид в прошлом до 2013 г. принадлежал группе Аполлона [22]. После тесного сближения с Землей 15 февраля 2013 г. он стал членом группы Атона. Находясь вблизи афелия, астероид может тесно сближаться с Землей в будущем. Его диаметр около 42 м, элементы орбит найдены с учетом 1007 наблюдений.
Табл. 4 содержит элементы орбит Дуэнде, полученные с помощью наблюдений и численного интегрирования уравнений (1) и (2) на интервале времени с 5 августа 2019 г. по 13 ноября 2019 г. В первой строке табл. 4 представлены элементы орбит, полученные из наблюдений, в последующих строках — полученные интегрированием уравнений (1) и (2).
Из сравнения элементов орбит, представленных в табл. 4, следует, что элементы орбит астероида, полученные с помощью численного интегрирования различными методами, вполне удовлетворительно согласуются с орбитальными элементами, найденными на основании наблюдений. На момент 13 ноября 2019 г. разности между результатами наблюдений и данными, вычисленными с помощью решения уравнений (1), следующие: ДМ = 0.000008°, Да = 0 а.е., Де = 0, Дш = -0.000018°, ДО = 0°, Дг = 0°.
В табл. 5 представлены элементы орбит Дуэнде, найденные с использованием решений уравнений (1) и (2) с начальными данными, взятыми на эпоху 5 августа 2019 г. (первый блок) и 13 ноября 2019 г. (второй блок).
Согласно данным табл. 5, элементы орбит Дуэнде вблизи момента сближения 18 апреля 2013 г., найденные с использованием решений уравнений (1) и (2) с начальными данными на эпоху 5 августа 2019 г. и 13 ноября 2019 г., практически совпадают. Показано, что в момент сближения предельная относительная погрешность разности координат Земли и астероида многократно превосходит предельную относительную погрешность координат астероида: ¿х/¿Ха - 7377, ¿У/5уа - 44 857, 52/^ - 19 668.
Табл. 5 содержит элементы орбит астероида до и после его сближения с Землей. После их тесного сближения различия элементов орбит астероида, найденные с использованием решений по уравнениям (1) и (2) на дату 8 января 2013 г., отличаются друг от друга существенно. Отличия элементов орбит, найденных с использованием уравнений (1) с начальными данными на
-J
о to
Элементы орбит Дуэнде, полученные решением уравнений движения (1) и (2) [Duende's orbital elements calculated by the motion equations (1) and (2)]
Current, date Initial date Data sources (calculated by) M (in degrees) a (in au) e ш (in degrees) П (in degrees) г (in degrees)
2019 11 13 2019 08 05 observations by the Eq. (1) by the Eq. (2) 74.709248 74.709240 74.709247 0.91036549 0.91036549 0.91036549 0.08936581 0.08936580 0.08936580 195.507297 195.507308 195.507298 146.944755 146.944755 146.944755 11.607740 11.607740 11.607740
Таблица 5
Элементы орбит Дуэнде, полученные по различным начальным данным [Duende's orbital elements calculated from different initial data]
Data sources
Current, date (calculated by) M (in degrees) a (in au) e ш (in degrees) П (in degrees) г (in degrees)
Initial date — August 5, 2019
1900 03 22 by the Eq. (1) 162.2988 1.0228855 0.1117962 277.4281 149.0732 10.0440
JD 2415100.5 by the Eq. (2) 336.9756 0.9840126 0.1053103 262.8024 148.9084 10.4523
1979 01 27 by the Eq. (1) 204.7295 1.0093180 0.1116128 273.0079 148.1818 10.2243
JD 2443900.5 by the Eq. (2) 172.2459 1.0073312 0.1123408 274.1891 148.2698 10.2096
2013 01 08 by the Eq. (1) 38.3992 1.0017544 0.1084522 270.9329 147.2452 10.3312
JD 2456300.5 by the Eq. (2) 38.2685 1.0020331 0.1081971 271.1125 147.2451 10.3392
2013 04 18 by the Eq. (1) 231.0973 0.9103249 0.0893984 195.5350 146.9958 11.6077
JD 2456400.5 by the Eq. (2) 231.0975 0.9103249 0.0893984 195.5348 146.9958 11.6077
2019 08 05 by the Eq. (1) 321.196373 0.91036338 0.08935289 195.553046 146.950882 11.608706
JD 2458700.5 by the Eq. (2) 321.196373 0.91036338 0.08935289 195.553046 146.950882 11.608706
2029 03 05 by the Eq. (1) 333.0554 0.9105411 0.0892248 195.7011 146.8704 11.6111
JD 2462200.5 by the Eq. (2) 333.0551 0.9105411 0.0892248 195.7012 146.8704 11.6111
2075 03 04 by the Eq. (1) 266.8389 0.9128199 0.0867882 196.7834 146.3949 11.6314
JD 2479000 by the Eq. (2) 266.8446 0.9128197 0.0867882 196.7841 146.3950 11.6314
2100 02 01 by the Eq. (1) 344.8062 0.9269469 0.0708289 200.3959 146.0308 11.7001
JD 2488100.5 by the Eq. (2) 342.5807 0.9271769 0.0705351 200.4170 146.0329 11.7011
Окончание табл. 5 [End of the Table 5]
Data sources
Current date (calculated by) M (in degrees) a (in au) e ш (in degrees) П (in degrees) г (in degrees)
Initial date — November 13, 2019
1900 03 22 by the Eq. (1) 331.0415 1.0118908 0.1125797 273.4893 148.9899 10.1931
JD 2415100.5 by the Eq. (2) 294.2665 1.0206520 0.1110296 280.9070 148.9649 10.2859
1979 01 27 by the Eq. (1) 203.2924 1.0092187 0.1117550 273.0543 148.1848 10.2199
JD 2443900.5 by the Eq. (2) 175.2188 1.0074368 0.1124126 274.1113 148.2408 10.2065
2013 01 08 by the Eq. (1) 38.3880 1.0017781 0.1084243 270.9490 147.2452 10.3321
JD 2456300.5 by the Eq. (2) 38.2997 1.0019662 0.1082419 271.0715 147.2451 10.3378
2013 04 18 by the Eq. (1) 231.0973 0.9103249 0.0893984 195.5350 146.9958 11.6077
JD 2456400.5 by the Eq. (2) 231.0975 0.9103249 0.0893984 195.5349 146.9958 11.6077
2019 11 13 by the Eq. (1) 74.709248 0.91036549 0.08936581 195.507297 146.944755 11.607740
JD 2458800.5 by the Eq. (2) 74.709248 0.91036549 0.08936581 195.507297 146.944755 11.607740
2029 03 05 by the Eq. (1) 333.0554 0.9105411 0.0892248 195.7011 146.8704 11.6111
JD 2462200.5 by the Eq. (2) 333.0552 0.9105411 0.0892248 195.7012 146.8704 11.6111
2075 03 04 by the Eq. (1) 266.8400 0.9128199 0.0867882 196.3874 146.3949 11.6314
JD 2479000 by the Eq. (2) 266.8433 0.9128198 0.0867882 196.7841 146.3950 11.6314
2100 02 01 by the Eq. (1) 344.4539 0.9269831 0.0707824 200.3984 146.0312 11.7002
JD 2488100.5 by the Eq. (2) 343.0403 0.9271291 0.0705961 200.4124 146.0325 11.7009
о со
моменты 5 августа 2019 г. и 13 ноября 2019 г., следующие:
ДМ = 0.0112°, Да = -0.0000237 а.е., Де = -0.0000279, Аш = -0.0167°, ДО = 0°, Дг = 0°.
Подобные различия элементов орбит, найденных с использованием уравнений (2), также велики:
ДМ = 0.0312°, Да = 0.0000669 а.е., Де = -0.0000448, Дш = -0.0410°, ДО = 0°, Дг = 0.0014°.
Полученные разности элементов орбит указывают на значительные расхождения элементов орбит в результате тесного сближения астероида с Землей. При этом большая полуось а и эксцентриситет е орбиты астероида сохраняют четыре верных знака, а угловые элементы — один знак после запятой.
Сравнение элементов орбит астероида на концах интегрирования, полученных с использованием решений уравнений (1) и (2), указывает на значительные различия элементов орбит.
На момент 22 марта 1900 г. отклонения в средней аномалии М достигают сотен градусов, в аргументе перигелия ш —десятков градусов, а в большой полуоси а и эксцентриситете е расхождения также значительные — 0.039 а.е. и 0.0067. На другом конце интервала интегрирования 1 февраля 2100 г. различие элементов орбит, вычисленных с использованием решений уравнений (1) и (2), менее значительное по сравнению с предыдущими значениями.
Из сравнения элементов орбит Дуэнде, приведенных в табл. 5, следует, что при интегрировании с различными начальными данными на интервале времени с 18 апреля 2013 г. по 4 марта 2075 г. большие полуоси а и эксцентриситеты е совпадают до шести, а угловые элементы — до двух значащих цифр после запятой. При этом важно отметить, что подобное совпадение результатов вычислений не зависит от того, какие дифференциальные уравнения — (1) или (2) — используются для получения элементов орбит этого астероида.
В результате коррекции орбиты начальных данных астероида Дуэнде с использованием формул (3) средняя аномалия М увеличилась на 0.000075, аргумент перигелия ш уменьшился на 0.000075, а эксцентриситет е увеличился на 0.00000013, остальные элементы остались без изменения. Вследствие малых изменений начальных данных элементов орбит астероида коррекция существенно не влияет на результаты численного интегрирования.
Астероид 2012 иЕз4. Астероид принадлежит группе Аполлона. Его диаметр около 63 м, количество наблюдений — 48.
В табл. 6 приведены элементы орбит астероида 2012 UEз4 на эпоху 13 ноября 2019 г., полученные путем решения уравнений движения (1) и (2), начальные данные взяты на эпоху 5 августа 2019 г. В первой строке табл. 6 находятся элементы орбит, полученные на основе наблюдений, в последующих строках — найденные с помощью интегрирования уравнений (1) и (2).
Из сравнения элементов орбит астероида 2012 UEз4, найденных с помощью наблюдений на эпоху 13 ноября 2019 г. и с использованием решения уравнений (1), следует, что разность между элементами орбит составляет: ДМ = -0.001956°, Да = 0.00000076 а.е., Де = 0.00000041, Дш = -0.000258°, ДО = 0.000003°, Дг = 0.000049°. Столь значительное расхождение элементов орбит, по-видимому, связано с малым количеством наблюдений, с помощью
Элементы орбит астероида 2012 иЕз4, полученные решением уравнений движения (1) и (2)
[Orbital elements of asteroid 2012 UE34 calculated by the motion equations (1) and (2)]
Current, date Initial date Data sources (calculated by) M (in degrees) a (in au) e ш (in degrees) П (in degrees) г (in degrees)
2019 11 13 2019 08 05 observations by the Eq. (1) by the Eq. (2) 200.756740 200.758696 200.756694 1.10525592 1.10525516 1.10525516 0.09926301 0.09926260 0.09926260 18.372284 18.372542 18.372544 198.474899 198.474893 198.474892 9.658314 9.658265 9.658265
Таблица 7
Элементы орбит астероида 2012 UE34, полученные по различным начальным данным [Orbital elements of asteroid 2012 UE34 calculated from different initial data]
Data sources
Current, date (calculated by) M (in degrees) a (in au) e ш (in degrees) П (in degrees) г (in degrees)
Initial date — August 5, 2019
1900 03 22 by the Eq. (1) 210.9873 1 1303638 0.1198196 17.6157 199.8203 9.3454
JD 2415100.5 by the Eq. (2) 206.1183 1 1266540 0.1170861 18.1807 199.8882 9.3743
1991 02 13 by the Eq. (1) 301.5303 1 1366802 0.1247145 17.7198 198.9093 9.3001
JD 2448300.5 by the Eq. (2) 301.5301 1 1368536 0.1247091 17.7194 198.9093 9.3002
1991 05 24 by the Eq. (1) 23.3741 1 1063198 0.0999897 18.2661 198.6802 9.6508
JD 2448400.5 by the Eq. (2) 23.3743 1 1063198 0.0999896 18.2659 198.6802 9.6508
2019 08 05 by the Eq. (1) 115.912364 1 1057793 0.0992948 18.392565 198.476118 9.658458
JD 2458700.5 by the Eq. (2) 115.912364 1 1057793 0.0992948 18.392565 198.476118 9.658458
2041 03 22 by the Eq. (1) 330.1970 1 1069045 0.1005231 18.6453 198.1965 9.6633
JD 2466400.5 by the Eq. (2) 330.1969 1 1069045 0.1005231 18.6454 198.1965 9.6633
2041 06 30 by the Eq. (1) 72.8574 1 1219000 0.1086517 355.0058 197.9322 9.8664
JD 2466400.5 by the Eq. (2) 72.8514 1 1219418 0.1086846 355.0081 197.9322 9.8660
2100 02 01 by the Eq. (1) 212.0540 1 1153689 0.1033083 355.3024 197.3397 9.9263
JD 2488100.5 by the Eq. (2) 201.2951 1 1144423 0.1025756 355.4725 197.2419 9.9310
-J о
Ci
Окончание табл. 7 [End of the Table 7]
Data sources
Current date (calculated by) M (in degrees) a (in au) e ш (in degrees) П (in degrees) г (in degrees)
Initial date — November 13, 2019
1900 03 22 by the Eq. (1) 147.70643 1.1160869 0.1105149 22.0528 199.9363 9.3860
JD 2415100.5 by the Eq. (2) 175.9209 1.1194219 0.1124193 20.8269 199.9037 9.3885
1991 02 13 by the Eq. (1) 301.5133 1.1358656 0.1238800 17.6435 198.9070 9.3166
JD 2448300.5 by the Eq. (2) 301.5130 1.1358631 0.1238782 17.6436 198.9070 9.3166
1991 05 24 by the Eq. (1) 23.3790 1.1063200 0.0999896 18.2661 198.6802 9.6509
JD 2448400.5 by the Eq. (2) 23.3792 1.1063200 0.0999896 18.2658 198.6802 9.6509
2019 11 13 by the Eq. (1) 200.756740 1.10525592 0.09926301 18.372284 198.474899 9.658314
JD 2458800.5 by the Eq. (2) 200.756740 1.10525592 0.09926301 18.372284 198.474899 9.658314
2041 03 22 by the Eq. (1) 330.1933 1.1069042 0.1005226 18.6450 198.1966 9.6634
JD 2466400.5 by the Eq. (2) 330.1931 1.1069042 0.1005226 18.6452 198.1966 9.6634
2041 06 30 by the Eq. (1) 71.2048 1.1304986 0.1153238 356.0294 197.9337 9.7898
JD 2466400.5 by the Eq. (2) 71.2037 1.1305110 0.1153335 356.0292 197.9337 9.7897
2100 02 01 by the Eq. (1) 312.1139 1.1278948 0.1132990 356.7267 197.3405 9.8165
JD 2488100.5 by the Eq. (2) 312.0451 1.1279291 0.1133267 356.7264 197.3418 9.8162
которых определялись элементы орбит астероида 2012 UE34 на моменты 5 августа 2019 г. и 13 ноября 2019 г.
В табл. 7 представлены элементы орбит астероида 2012 UE34 на моменты времени вблизи сближения астероида с Землей и Луной, а также на концах интервала интегрирования 1900 г. и 2100 г., полученные с использованием решений уравнений (1) и (2).
В момент сближения астероида с Землей предельная относительная погрешность разности координат астероида 2012 UE34 с Землей значительно превосходит предельную относительную погрешность координат астероида: 5х/$хА ~ 2 980, 5у/Sya ~ 1736, Sz/$zA ~ 6 080, что непосредственно отражается на результатах численного интегрирования. Если до момента сближения астероида 2012 UE34 с Землей элементы его орбит, найденные с использованием дифференциальных уравнений (1) и (2), практически совпадают, то после сближения они существенно различаются (см. табл. 7). Различие элементов орбит на момент 30.6.2041 достигает следующих значений: ДМ = -1.6526°, Да = 0.0085986 а.е., Де = 0.0066721, Дш = 1.0236°, ДО = 0.0015°, Дг = -0.0766°.
Из результатов сравнения следует, что большая полуось а и эксцентриситет е сохраняют совпадение до двух значащих цифр после запятой, расхождения средних аномалий М и аргументов перигелиев ш составляют свыше 1°. Полученные расхождения элементов орбит связаны как с наличием сближения астероида 2012 UE34 с Землей, так и с точностью начальных данных на моменты 5 августа 2019 г. и 13 ноября 2019 г.
Дальнейшее улучшение точности прогнозирования движения астероида 2012 UE34 возможно с увеличением точности начальных данных его элементов орбит.
Астероид 1999 AN10. Астероид является членом группы Аполлона. Его диаметр составляет около 700 м, количество наблюдений — 165. Он относится к числу опасных астероидов в случае столкновения с Землей. Астероид 1999 AN10 имеет умеренное сближение с Землей на расстоянии 0.00259 а.е. 7 августа 2017 г. Для астероида 1999 AN10 элементы орбит, найденные на моменты 5 августа 2019 г. и 13 ноября 2019 г. с помощью наблюдений, на сайте NASA1 отсутствуют, поэтому для оценки погрешности смещения начальных данных на эти моменты использовались данные, соответствующие эпохе 1 июля 2018 г. Элементы орбит астероида 1999 AN10 на момент 1 июля 2018 г. имеют следующие значения: М = 330.165037°, a = 1.45869566 а.е., е = 0.56221500, ш = 268.322903°, О = 314.389797°, г = 38.931932°.
В табл. 8 приведены элементы орбит астероида 1999 AN10 на момент 5 августа 2019 г., полученные путем решения уравнений движения (1) и (2). Начальные данные астероида брались на эпоху 1 июля 2018 г. В первой строке табл. 8 представлены начальные данные элементов орбит астероида 1999 AN10 на эпоху 5 августа 2019 г., размещенные на сайте smallbodies.ru, во второй и третьей строках — элементы орбит, найденные с помощью решения уравнений движения (1) и (2).
Из сопоставления элементов орбит астероида 1999 AN10, представленных в табл. 8, следует, что они различаются между собой незначительно, так как разность между соответствующими элементами находится в пределах погрешностей наблюдений.
1https://asteroid.lowell.edu/main/astorb
Элементы орбит астероида 1999 А]\Гю, полученные решением уравнений движения (1) и (2)
[Orbital elements of asteroid 1999 ANio calculated by the motion equations (1) and (2)]
Current date Initial date Data sources (calculated by) M (in degrees) a (in au) e ш (in degrees) П (in degrees) г (in degrees)
2019 08 05 2018 07 01 observations by the Eq. (1) by the Eq. (2) 193.950022 193.950034 193.950022 1.45870900 1.45870860 1.45870867 0.56212000 0.56212010 0.56212010 268.330505 268.330498 268.330505 314.383261 314.383261 314.383261 39.930942 39.930942 39.930942
Таблица 9
Элементы орбит астероида 1999 ANio, полученные по различным начальным данным Orbital elements of asteroid 1999 ANio calculated from different initial data]
Data sources
Current date (calculated by) M (in degrees) a (in au) e ш (in degrees) П (in degrees) г (in degrees)
Initial date — July 1, 2018
1900 03 22 by the Eq. (1) 230.3963 1.4547088 0.5616555 267.7807 315.2951 39.9666
JD 2415100.5 by the Eq. (2) 230.5500 1.4547165 0.5616536 267.7812 315.2951 39.9667
1946 06 29 by the Eq. (1) 8.1235 1.4533749 0.5615438 267.8509 314.9451 39.9688
JD 2433200.5 by the Eq. (2) 8.1209 1.4534137 0.5615467 267.8527 314.9450 39.9687
1946 10 07 by the Eq. (1) 64.0458 1.4577505 0.5620291 268.0734 314.9428 39.9480
JD 2432100.5 by the Eq. (2) 64.0439 1.4577505 0.5620291 268.0730 314.9428 39.9480
2018 07 01 by the Eq. (1) 330.165037 1.45869566 0.56221500 268.322903 314.389797 39.931932
JD 2458300.5 by the Eq. (2) 330.165037 1.45869566 0.56221500 268.322903 314.389797 39.931932
2027 07 14 by the Eq. (1) 16.5546 1.4586290 0.5620482 268.3269 314.3215 39.9320
JD 2461600.5 by the Eq. (2) 16.5545 1.4586289 0.5620482 268.3270 314.3215 39.9320
2027 10 22 by the Eq. (1) 73.3845 1.4482730 0.5603545 267.8858 314.3186 40.0090
JD 2461700.5 by the Eq. (2) 73.3853 1.4482631 0.5603529 267.8854 314.3187 40.0091
2100 02 01 by the Eq. (1) 244.5575 1.4481036 0.5605158 267.9977 313.7713 39.9979
JD 2488100.5 by the Eq. (2) 244.4425 1.4481178 0.5605133 267.9919 313.7712 39.9981
Окончание табл. 9 [End of the Table 9]
Data sources
Current, date (calculated by) M (in degrees) a (in au) e ш (in degrees) П (in degrees) г (in degrees)
Initial date — August 5, 2019
1900 03 22 by the Eq. (1) 231.9169 1.4548032 0.5616446 267.7910 315.2948 39.9674
JD 2415100.5 by the Eq. (2) 231.8607 1.4547992 0.5616450 267.7899 315.2948 39.9674
1946 06 29 by the Eq. (1) 8.1022 1.4536585 0.5615644 267.8664 314.9450 39.9681
JD 2433200.5 by the Eq. (2) 8.1003 1.4536814 0.5615661 267.8678 314.9450 39.9681
1946 10 07 by the Eq. (1) 64.0296 1.4577506 0.5620290 268.0728 314.9428 39.9480
JD 2432100.5 by the Eq. (2) 64.0281 1.4577507 0.5620290 268.0728 314.9428 39.9480
2019 08 05 by the Eq. (1) 193.950022 1.45870900 0.56212000 268.330505 314.383261 39.930942
JD 2458700.5 by the Eq. (2) 193.950022 1.45870900 0.56212000 268.330505 314.383261 39.930942
2027 07 14 by the Eq. (1) 16.5539 1.4586294 0.5620481 268.3269 314.3215 39.9320
JD 2461600.5 by the Eq. (2) 16.5539 1.4586292 0.5620481 268.3270 314.3215 39.9320
2027 10 22 by the Eq. (1) 73.3905 1.4481961 0.5603405 267.8827 314.3186 40.0097
JD 2461700.5 by the Eq. (2) 73.3903 1.4481987 0.5603412 267.8828 314.3186 40.0096
2100 02 01 by the Eq. (1) 247.3241 1.4466384 0.5601487 267.8496 313.7704 40.0171
JD 2488100.5 by the Eq. (2) 247.3926 1.4466092 0.5601593 267.8515 313.7704 40.0165
о о
В табл. 9 представлены элементы орбит астероида 1999 Л^о, найденные с использованием решения уравнений движения (1) и (2) с начальными данными, отнесенными к эпохе 1 июля 2018 г. и 5 августа 2019 г. При этом календарной дате соответствуют элементы орбит, полученные с использованием решений уравнений (1), а юлианской дате — с помощью решения уравнений (2). Элементы орбит астероида 1999 Л^о в табл. 9 представлены около моментов сближения с Землей, т. е. в 1946 г. и 2027 г., а также на концах интервала интегрирования — в 1900 г. и 2100 г.
Из сравнения элементов орбит астероида 1999 Л^о, приведенных в табл. 9, следует, что различие элементов в большей степени зависит от эпохи, на которую выбираются начальные данные, чем от метода численного интегрирования. При использовании уравнений движения (1) и (2), где начальные данные взяты на одну и ту же эпоху, расхождение элементов орбит менее значительное, чем при выборе начальных данных на различные моменты (см. табл. 9). На интервале времени с 7 октября 1946 г. по 4 июля 2017 г. элементы орбит, полученные с помощью решения уравнений (1) и (2), практически совпадают. На левом конце интервала интегрирования 22 марта 1900 г. различие элементов орбит астероида 1999 Л^о несколько меньше, чем на правом конце 1 февраля 2100 г., что находится в прямой зависимости от величины сближения астероида с Землей. Потеря точности численного интегрирования происходит в основном на участках сближения астероида с Землей на интервалах времени с 29 июня 1946 г. по 7 октября 1946 г. и с 4 июля 2027 г. по 22 октября 2017 г. В результате сближения астероида с Землей относительная погрешность величины разности координат астероида и Земли примерно в 5х/$хА ~ 637, 5у/6уА ~ 1291, 5г/$гА ~ 699 раз превышает предельную относительную погрешность координат астероида, что непосредственно отражается на результатах численного интегрирования. Как видно из табл. 9, разность между элементами орбит на момент 22 октября 2027 г. следующая: ДМ = 0.0060°, Да = 0.0000769 а.е., Де = 0.000014, Дш = -0.0031°, ДО = 0°, Дг = 0.0007°.
В результате на концах этих интервалов потеря точности в большой полуоси и эксцентриситете составляет два порядка от начальной точности (см. табл. 8 и 9).
Астероид 2001 WN5. Астероид принадлежит группе Аполлона. Его примерный диаметр составляет 610 м, количество наблюдений — 544. Тесные сближения с большими планетами астероида 2001 WN5 не обнаружены, однако 26 июля 2028 г. он пройдет от Земли на расстоянии 0.00166 а.е.
В табл. 10 приведены элементы орбит астероида 2001 WN5, полученные путем решения уравнений движения (1) и (2), где начальные данные взяты на эпоху 1 июля 2018 г. По разности элементов орбит в табл. 10 можно определить погрешность начального смещения для каждого метода решения. Так, например, разности элементов орбит, полученных с помощью решения уравнений (1), и орбитой, полученной с помощью наблюдений, на момент 5 августа 2019 г. составляют следующие величины: ДМ = 0.000017°, Да = -0.00000012 а.е., Де = 0.00000016, Дш = -0.000094°, ДО = 0.000094°, Дг = 0°.
В табл. 11 представлены элементы орбит астероида 2001 WN5, найденные с использованием решения уравнений (1) и (2).
Таблица 10
Элементы орбит астероида 2001 WN5, полученные решением уравнений движения (1) и (2)
[Orbital elements of asteroid 2001 WN5 calculated by the motion equations (1) and (2)]
Current date Initial date Data sources (calculated by) M (in degrees) a (in au) e ш (in degrees) П (in degrees) г (in degrees)
2019 08 05 2018 07 01 observations by the Eq. (1) by the Eq. (2) 354.331175 354.331192 354.331193 1.71226200 1.71226188 1.71226175 0.46717200 0.46717216 0.46717215 44.526790 44.526696 44.526700 277.502911 277.503006 277.503006 1.920025 1.920025 1.920025
Таблица 11
Элементы орбит астероида 2001 WN5, полученные по различным начальным данным [Orbital elements of asteroid 2001 WN5 calculated from different initial data]
Data sources
Current date (calculated by) M (in degrees) a (in au) e ш (in degrees) П (in degrees) г (in degrees)
Initial date — July 1, 2018
1900 03 22 by the Eq. (1) 234.0925 1.7096245 0.4664074 40.9102 280.5116 1.9493
JD 2415100.5 by the Eq. (2) 234.0922 1.7096243 0.4664074 40.9098 280.5116 1.9493
1979 01 27 by the Eq. (1) 318.5067 1.7118063 0.4675718 43.5168 278.2692 1.9298
JD 2443900.5 by the Eq. (2) 318.5068 1.7118063 0.4675718 43.5167 278.2692 1.9298
2018 07 01 by the Eq. (1) 178.265600 1.71171424 0.46705841 44.550160 277.509563 1.920008
JD 2458300.5 by the Eq. (2) 178.265600 1.71171424 0.46705841 44.550160 277.509563 1.920008
2028 05 09 by the Eq. (1) 322.4042 1.7120438 0.4669588 44.8912 277.2136 1.9172
JD 2461900.5 by the Eq. (2) 322.4042 1.7120437 0.4669588 44.8912 277.2136 1.9172
2028 08 17 by the Eq. (1) 6.2353 1.6835907 0.4597311 46.3609 276.6918 2.3957
JD 2462000.5 by the Eq. (2) 6.2352 1.6835804 0.4597289 46.3613 276.6919 2.3956
2100 02 01 by the Eq. (1) 265.6257 1.6827648 0.4595992 47.9946 275.2588 2.3860
JD 2488100.5 by the Eq. (2) 265.4845 1.6827846 0.4596081 47.9774 274.2758 2.3855
Окончание табл. 11 [End of the Table 11]
Data sources
Current, date (calculated by) M (in degrees) a (in au) e ш (in degrees) П (in degrees) г (in degrees)
Initial date — August 5, 2019
1900 03 22 by the Eqs. (1) 234.0954 1.7096253 0.4663944 40.9138 280.5117 1.9493
JD 2415100.5 by the Eqs. (2) 234.0977 1.7096256 0.4664076 40.9094 280.5119 1.9493
1979 01 27 by the Eqs. (1) 318.5071 1.7118061 0.4675715 43.5169 278.2691 1.9298
JD 2443900.5 by the Eqs. (2) 318.5074 1.7118059 0.4675715 43.5168 278.2692 1.9298
2019 08 05 by the Eqs. (1) 354.331175 1.71226200 0.46717200 44.526790 277.502911 1.920025
JD 2458700.5 by the Eqs. (2) 354.331175 1.71226200 0.46717200 44.526790 277.502911 1.920025
2028 05 09 by the Eqs. (1) 322.4040 1.7120438 0.4669586 44.8913 277.2135 1.9172
JD 2461900.5 by the Eqs. (2) 322.4039 1.7120439 0.4669586 44.8913 277.2135 1.9172
2028 08 17 by the Eqs. (1) 6.2360 1.6836639 0.4597467 46.3582 276.6908 2.3970
JD 2462000.5 by the Eqs. (2) 6.2366 1.6837321 0.4597615 46.3556 276.6899 2.3982
2100 02 01 by the Eqs. (1) 244.6168 1.6826817 0.4595428 48.2220 275.0543 2.3896
JD 2488100.5 by the Eqs. (2) 242.8628 1.6937600 0.4622248 47.9212 274.9574 2.3826
Как видно из табл. 11, на интервале времени с 22 марта 1900 г. по 9 мая 2028 г. элементы орбит астероида 2001 WN5, найденные с использованием различных методов, практически совпадают. В результате сближения астероида 2001 WN5 с Землей 26 июня 2028 г. (см. табл. 1) относительная погрешность разности координат астероида и Земли примерно в 5х/$хА ~ 227, 5у/6уА ~ 3 998, 5z/$гА ~ 574 раза превысит предельную относительную погрешность самих координат астероида. В результате сближения астероида 2001 WN5 с Землей разность между соответствующими элементами орбит на момент 26 июня 2028 г. (см. табл. 11) достигает следующих значений: ДМ = 0.0007°, Да = 0.0000732 а.е., Де = 0.0000156, Aw = -0.0027°, ДО = = 0.0010°, Ai = 0.0022°. Из сравнения элементов орбит следует, что большая полуось а и эксцентриситет е сохраняют совпадение до четырех, а расхождения средних аномалий М и аргументов перигелиев ш —до двух значащих цифр после запятой.
Повышение точности численного интегрирования уравнений движения астероида 2001 WN5, как и в предыдущих случаях, связано с улучшением точности начальных данных его элементов орбит.
Заключение. На основании проведенных исследований можно сделать следующие выводы:
а) учет коррекции начальных данных оказал на эволюцию орбит исследуемых астероидов несущественное влияние;
б) наибольшая потеря точности численного интегрирования уравнений движения (1) и (2) происходит на участках сближения астероида с Землей, при этом точность результатов интегрирования находится в прямой зависимости от величины сближения;
в) для исследуемых астероидов при сближении их с Землей относительная погрешность разности координат астероида и Земли превышает предельную относительную погрешность самих координат астероида на несколько порядков (от 227 до 44 900 раз);
г) при отсутствии сближения астероида с Землей на расстояние менее 0.1 а.е. решение уравнений (1) и (2) приводит практически к одинаковым результатам;
д) результаты исследований можно обобщить на все астероиды групп Аполлона и Атона.
Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем.
Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.
Библиографический список
1. Астероидно-кометная опасность: вчера, сегодня, завтра/ ред. Б. М. Шустов, Л. В. Рыхлова. М.: Физматлит, 2010. 384 с.
2. Krasinsky G. A., Pitjeva E. V., Vasilyev M. V., Yagudina E. I. Hidden mass in the asteroid belt // Icarus, 2002. vol. 158, no. 1. pp. 98-105. https://doi.org/10.1006/icar.2002.6837.
3. Адушкин В. В., Басиев Э. У., Зыков Ю. Н. и др. Катастрофические воздействия космических тел. М.: Академкнига, 2005. 310 с.
4. Чеботарев Г. А. Аналитические и численные методы небесной механики. М., Л.: Наука, 1965. 368 с.
5. Субботин М. Ф. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука, 1968. 800 с.
6. Брумберг В. А. Релятивистская небесная механика. М.: Наука, 1972. 384 с.
7. Заусаев А. Ф. Исследование движения планет, Луны и Солнца, основанное на новом принципе взаимодействия // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. №3(36). С. 118-131. https://doi.org/10.14498/vsgtu1304.
8. Заусаев А. Ф., Романюк М. А. Сравнение различных математических моделей на примере решения уравнений движения больших планет и Луны // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2019. Т. 23, №1. С. 152-185. https://doi.org/ 10.14498/vsgtu1663.
9. Standish E. M. JPL Planetary and Lunar Ephemerides: DE405/LE405. Interoffice memorandum: JPL IOM 312. F-98-048, 1998, August 26. 18 pp. ftp://ssd.jpl.nasa.gov/pub/ eph/planets/ioms/de405.iom.pdf.
10. Заусаев А. Ф., Заусаев А. А. Математическое моделирование орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы. М.: Машиностроение-1, 2008. 250 с.
11. Заусаев А. Ф., Романюк М. А. Численные методы в задачах математического моделирования движения небесных тел в Солнечной системе. Самара: СамГТУ, 2017. 265 с.
12. Newhall X. X., Standish E M., Williams J. G. DE 102: A numerically integrated ephemeris of the Moon and planets spanning forty-four centuries // Astron. Astrophys, 1983. vol. 125, no. 1. pp. 150-167.
13. Заусаев А. Ф., Абрамов В. В., Денисов С. С. Каталог орбитальной эволюции астероидов, сближающихся с Землей с 1800 по 2204 гг. М.: Машиностроение, 2007. 608 с.
14. Everhart E. Implicit single-sequence methods for integrating orbits // Celestial Mech., 1974. vol.10, no. 1. pp. 35-55. https://doi.org/10.1007/BF01261877.
15. Бордовицина Т. В. Современные численные методы в задачах небесной механики. М.: Наука, 1984. 136 с.
16. Заусаев А. Ф., Заусаев А. А, Ольхин А. Г. Численное интегрирование уравнений движения больших планет (Меркурий-Плутон) и Луны с учетом радиолокационных наблюдений // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2004. №26. С. 43-47. https://doi.org/10.14498/vsgtu175.
17. Соколов Л. Л., Башаков А. А., Питьев Н. П. Особенности движения астероида 99942 Апофис // Астроном. вестн., 2008. Т. 42, №1. С. 18-27.
18. Заусаев А. Ф., Деревянка А. Е. Сравнительный анализ математических моделей для оценки вероятности столкновения с Землей астероида Апофис // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. №2(27). С. 192-195. https://doi.org/ 10.14498/vsgtu1058.
19. Шор В. А., Кочетова О. М., Соколов Л. Л. Опасный астероид (99942) Апофис / Астероидно-кометная опасность: вчера, сегодня, завтра; ред. Б. М. Шустов, Л. В. Рыхлова. М.: Физматлит, 2010. С. 206-223.
20. Hamming R. W. Numerical Methods for Scientists and Engineers. New York, NY: Dover Publ., 1986. xii+721 pp.
21. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Физматлит, 1963. 660 с.
22. Заусаев А. Ф., Деревянка А. Е., Денисов С. С. Исследование эволюции астероида 2012 DA14// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. №3(28). С. 211-214. https://doi.org/10.14498/vsgtu1082.
Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki
[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2020, vol. 24, no. 4, pp. 692-717 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) d https://doi.org/10.14498/vsgtu1779
MSC: 70F15, 70M20, 65L05
Mathematical modeling of the asteroids' motion belonging to the Apollo and Aten groups
© A. F. Zausaev, M. A. Romanyuk, A. A. Zausaev
Samara State Technical University,
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation.
Abstract
This article evaluates the accuracy of solutions to differential equations of motion, taking into account relativistic effects obtained on the basis of a new principle of interaction, using the example of studies of the evolution of the orbits of five asteroids. A numerical integration of equations of the asteroids' motion with the initial data referred to different points in time is carried out. Based on a comparison of the results of the study, certain patterns are revealed. At time intervals in the absence of rapprochement of the asteroid with the Earth less than 0.1 au it is possible to apply with equal efficiency the differential equations given in the paper. The loss of accuracy of numerical integration is directly dependent on the magnitude of the rapprochement of the asteroid width the Earth. Due to the fact that in the right sides of the equations of motion we have differences of the coordinates of the asteroid and the planet, with sufficient proximity, the relative accuracy of the coordinates is many times greater than the relative accuracy of the difference. For the studied asteroids, when they approach the Earth, the relative error of the difference in the coordinates of the asteroid and the Earth is approximately 227 to 44900 times higher than the limiting relative error of the coordinates of the asteroid itself. Predicting the motion of Apophis after its close approach to the Earth based on the solution of the equations of motion by modern methods leads to large errors, the reduction of which is possible only by improving the initial data of the elements of the orbits of the asteroid. About the possibility of close approach of Apophis with the Earth on a time interval from April 14, 2029 to January 1, 2100 it can be argued with a certain degree of probability. The results of the research can be generalized to all asteroids of Apollo and Aten groups.
Research Article
3 ©® The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) Please cite this article in press as:
ZausaevA. F., RomanyukM. A., ZausaevA. A. Mathematical modeling of the asteroids' motion belonging to the Apollo and Aten groups, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2020, vol. 24, no. 4, pp. 692-717. https://doi.org/10.14498/vsgtu1779 (In Russian). Authors' Details:
Anatoliy F. Zausaev https://orcid.org/0000-0002-5035-9615
Dr. Phys. & Math. Sci.; Professor; Dept. of Applied Mathematics & Computer Science;
e-mail: zausaev_af@mail.ru
Mariya A. Romanyuk © https://orcid.org/0000-0003-0796-2061
Cand. Tech. Sci.; Associate Professor; Dept. of Applied Mathematics & Computer Science; e-mail: zausmasha@mail.ru
Artem A. Zausaev © https://orcid.org/0000-0002-5184-3943
Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of Applied Mathematics & Computer Science; e-mail: zausaevaa@mail.ru
© Samara State Technical University
715
Keywords: numerical integration, differential motion equations, asteroids, (99942) Apofis, (367943) Duende, 2012 UE34, 1999 AN10, 2001 WN5.
Received: 6th April, 2020 / Revised: 3rd November, 2020 / Accepted: 16th November, 2020 / First online: 18th December, 2020
Competing interests. We declare that we have no conflicts of interest in the authorship and publication of this article.
Authors' contributions and responsibilities. Each author has participated in the article concept development and in the manuscript writing. The authors are absolutely responsible for submitting the final manuscript in print. Each author has approved the final version of manuscript.
Funding. This research received no specific grant from any funding agency in the public, commercial, or not-for-profit sectors.
References
1. Asteroidno-kometnaia opasnost': vchera, segodnia, zavtra [Asteroid-Comet Hazard: Yesterday, Today, and Tomorrow], ed. B. M. Shustov, L. V. Rykhlova. Moscow, Fizmatlit, 2010, 384 pp. (In Russian)
2. Krasinsky G. A., Pitjeva E. V., Vasilyev M. V., Yagudina E. I. Hidden mass in the asteroid belt, Icarus, 2002, vol.158, no. 1, pp. 98-105. https://doi.org/10.1006/icar.2002.6837.
3. Adushkin V. V., Basiev E. U., Zykov Yu. N., et al. Katastroficheskie vozdeistviia kosmich-eskikh tel [Catastrophic Impacts of Cosmic Bodies]. Moscow, Akademkniga, 2005, 310 pp. (In Russian)
4. Chebotarev G. A. Analytical and Numerical Methods of Celestial Mechanics, Modern Analytic and Computational Methods in Science and Mathematics, vol. 9, American Elsevier Publishing Co., Inc., 1967, xviii+331 pp.
5. Subbotin M. F. Vvedenie v teoreticheskuiu astronomiiu [Introduction to Theoretical Astronomy]. Moscow, Nauka, 1968, 800 pp. (In Russian)
6. Brumberg V. A. Reliativistskaia nebesnaia mekhanika [Relativistic Celestial Mechanics]. Moscow, Nauka, 1972, 384 pp. (In Russian)
7. Zausaev A. F. The Investigation of the Motion of Planets, the Moon, and the Sun Based on a New Principle of Interaction, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2014, no. 3(36), pp. 118-131 (In Russian). https://doi.org/10.14498/vsgtu1304.
8. Zausaev A. F., Romanyuk M. A. Comparison of various mathematical models on the example of solving the equations of the movement of large planets and the Moon, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2019, vol. 23, no. 1, pp. 152-185 (In Russian). https://doi.org/10.14498/vsgtu1663.
9. Standish E. M. JPL Planetary and Lunar Ephemerides, DE405/LE405. Interoffice memorandum: JPL IOM 312. F-98-048, 1998, August 26, 18 pp. ftp://ssd.jpl.nasa.gov/pub/ eph/planets/ioms/de405.iom.pdf.
10. Zausaev A. F., Zausaev A. A. Matematicheskoe modelirovanie orbital'noi evoliutsii malykh tel Solnechnoi sistemy [Mathematical Modelling of Orbital Evolution of Small Bodies of the Solar System]. Moscow, Mashinostroenie-1, 2008, 250 pp. (In Russian)
11. Zausaev A. F., Romanyuk M. A. Chislennye metody v zadachakh matematicheskogo mod-elirovaniia dvizheniia nebesnykh tel v Solnechnoi sisteme [Numerical Methods in the Problems of Mathematical Modeling of the Motion of Celestial Bodies in the Solar System]. Samara, Samara State Technical Univ., 2017, 265 pp. (In Russian)
12. Newhall X. X., Standish E M., Williams J. G. DE 102: A numerically integrated ephemeris of the Moon and planets spanning forty-four centuries, Astron. Astrophys, 1983, vol. 125, no. 1, pp. 150-167.
13. Zausaev A. F., Abramov V. V., Denisov S. S. Katalog orbital'noi evoliutsii asteroidov, sblizhaiushchikhsia s Zemlei s 1800 po 2204 gg■ [Catalog of Orbital Evolution for Asteroid Approaching the Earth since 1800 until 2204]. Moscow, Mashinostroenie, 2007, 608 pp. (In Russian)
14. Everhart E. Implicit single-sequence methods for integrating orbits, Celestial Mech■ , 1974, vol.10, no. 1, pp. 35-55. https://doi.org/10.1007/BF01261877.
15. Bordovitsyna T. V. Sovremennye chislennye metody v zadachakh nebesnoi mekhaniki [Modern Numerical Methods in Celestial Mechanics Problems]. Moscow, Nauka, 1984, 136 pp. (In Russian)
16. Zausaev A. F., Zausaev A. A., Ol'khin A. G. The numerical integration of the equations of motion for large planets (Mercury and Pluto) and the Moon with the radar observations, Vestn■ Samar■ Gos■ Tekhn■ Univ., Ser■ Fiz.-Mat■ Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2004, no. 26, pp. 43-47 (In Russian). https://doi.org/ 10.14498/vsgtu175.
17. Sokolov L. L., Bashakov A. A., Pitjev N. P. Peculiarities of the motion of asteroid 99942 Apophis, Sol Syst Res■, 2008, vol.42, no. 1, pp. 18-27. https://doi.org/10.1134/ S0038094608010036.
18. Zausaev A. F., Derevyanka A. E. Comparative analysis of mathematical models for estimating the impact probability of asteroid Apophis, Vestn Samar\ Gos■ Tekhn■ Univ■, Ser Fiz^-Mat Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2012, no. 2(27), pp. 192-196 (In Russian). https://doi.org/10.14498/vsgtu1058.
19. Shor V. A., Kochetova O. M., Sokolov L. L. Dangerous asteroid (99942) Apophis, In: Asteroidno-kometnaia opasnost': vchera, segodnia, zavtra [Asteroid-Comet Hazard: Yesterday, Today, and Tomorrow]; ed. B. M. Shustov, L. V. Rykhlova. Moscow, Fizmatlit, 2010, pp. 206-223 (In Russian).
20. Hamming R. W. Numerical Methods for Scientists and Engineers. New York, NY, Dover Publ., 1986, xii+721 pp.
21. Demidovich B. P., Maron I. A. Computational Mathematics. Moscow, Mir Publ., 1981, 688 pp.
22. Zausaev A. F., Denisov S. S., Derevyanka A. E. Research of the orbital evolution of asteroid 2012 DA14, Vestn■ Samara Gos■ Tekhn Univ■, Ser\ Fiz^-MaL Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2012, no. 3(28), pp. 211-214 (In Russian). https://doi.org/ 10.14498/vsgtu1082.
