CC BY
13
Math-Net.Ru
А. Ф. Заусаев, М. А. Романюк, Сравнение различных математических моделей на примере решения уравнений движения больших планет и Луны, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2019, том 23, номер 1, 152-185
001: https://doi.org/10.14498/vsgtu1663
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 109.252.26.93
29 ноября 2019 г., 20:55:17
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 23, № 1. С. 152-185 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) d https://doi.org/10
УДК 521.182
Сравнение различных математических моделей на примере решения уравнений движения больших планет и Луны
А. Ф. Заусаев, М. А. Романюк
Самарский государственный технический университет,
Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
Аннотация
Проведено исследование точности решения различных дифференциальных уравнений, описывающих движение больших планет, Луны и Солнца. На интервале времени с 31 года до нашей эры по 3969 год нашей эры проведено численное интегрирование ньютоновых, релятивистских дифференциальных уравнений и уравнений, полученных на основе взаимодействия окружающего пространства с движущимися материальными телами. Выявлена область применимости рассмотренных дифференциальных уравнений для исследуемых объектов. Путем сравнения координат Луны, найденных с помощью решения различных дифференциальных уравнений и банка данных DE405, показано, что наибольшая точность в элементах орбит больших планет и Луны достигается путем решения дифференциальных уравнений, полученных на основе взаимодействия окружающего пространства с движущимися материальными телами. Решение релятивистских уравнений обеспечивает высокую точность элементов орбит для Меркурия и внешних планет на всем интервале интегрирования. Однако для остальных внутренних планет и Луны точность элементов орбит, полученных с помощью решения релятивистских уравнений, сопоставима с точностью, полученной путем решения ньютоновых уравнений. Полагается, что использование гармонической системы координат является обоснованным лишь для Меркурия с точки зрения скорости векового смещения долготы его перигелия, однако для других внутренних планет (Венеры, Земли+Луны и Марса) скорости вековых смещений долгот перигелиев оказываются завышенными. Показано, что решение дифференциальных уравнений, полученных на основе взаимодействия окружающего пространства с движущимися материальными телами, обеспечивает более высокую точность по сравнению с решениями ньютоновых и релятивистских уравнений получения
Научная статья
3 ©® Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования
Заусаев А. Ф., Романюк М. А. Сравнение различных математических моделей на примере решения уравнений движения больших планет и Луны // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2019. Т. 23, № 1. С. 152-185. doi: 10.14498/vsgtu1663. Сведения об авторах
Анатолий Федорович Заусаев& https://orcid.org/0000-0002-5035-9615 доктор физико-математических наук; профессор; каф. прикладной математики и информатики; e-mail: zausaev_af@mail.ru
Мария Анатольевна Романюк© https://orcid.org/0000-0003-0796-2061 кандидат технических наук; доцент; каф. прикладной математики и информатики; e-mail: zausmasha@mail.ru
.14498/vsgtu1663
элементов орбит для всех рассматриваемых объектов на исследуемом интервале времени.
Ключевые слова: элементы орбит, численное интегрирование, дифференциальные уравнения движения.
Получение: 6 декабря 2018 г. / Исправление: 27 февраля 2019 г. / Принятие: 4 марта 2019 г. / Публикация онлайн: 15 марта 2019 г.
Целью данной работы является сравнение различных математических моделей, описывающих движение небесных тел в Солнечной системе. К таким моделям относятся: дифференциальные уравнения движения в ньютоновой форме, релятивистские уравнения движения и уравнения, основанные на взаимодействии окружающего пространства с движущимися материальными телами.
Дифференциальные уравнения движения в ньютоновой форме в задаче п тел в прямоугольных координатах с началом в центре масс всей системы п материальных точек имеют следующий вид [1,2]:
( й2 X ^ 2 / Хг - X \
( уг - У \
— £ кт< -щ-), (1)
^ = V к2т-( 1
М2 — ЬкгПг{ дз )'
где А2 - (Хг - X)2 + (Уг - У)2 + (гг - г)2; X, У, Я-барицентрические координаты возмущаемого тела, а тг, Хг, Уг, Zг — массы и барицентрические координаты возмущающих тел.
Дифференциальные уравнения движения в барицентрической системе координат с учетом релятивистских членов представляются в виде [3]
Гг — Е
з=г
»3 (гз - гг)\х_ 2(Р + 7) V- ^ ^ - 1
Е
к=г
ггк
Е-+-г(-) 2+
с2 ^ Г^к \ с )
к=
\2 2(1 + -у)лл
+ (1 + 7К 2 - ° ПГ" -
2 'г'3 2 С2
( Гг - Гу ) Гг
+ (Гз - Г г)¥з} +
+ 1 Е (гг - Г1) [(2 + 27)Гг - (1 + 27)г3] ( п - г3) +
С з=г гч
+
3 + 47 ^ р., гз
у^ ^3 < 3 + ^ №т(Гт - Тг) (2)
2 г
3=г
т=1
з
гт
где Гг, Гг, Гг — координаты, скорости, ускорения в барицентрической системе координат г-того тела; ^^ — k2mj, к2 — гравитационная постоянная, т^ — масса ^'-того тела; гг^ — |г^ - гг\; релятивистские параметры [3 и 7 в заданной
2
3
системе координат принимают следующие значения: /3 = 7 = 1, Vi = |г^|; с — скорость света.
При вычислении координат Луны наряду с гравитационными и релятивистскими эффектами учитывается влияние несферичности фигур Земли и Луны в математической модели. Дифференциальные уравнения для учета ускорения Луны в геоцентрической системе координат ) имеют вид [3]
V
С
{П1
п= 1
+
П2 п
+ Е ( : )" Е
п= 1 т= 1
(п + 1) Рп (sin (fi) 0
1 г — cos вР'п (sin р)
— (п + 1) Р? (sin р) [Спп m sec fP™ (sin ф) [—С, cos (pPñm (sin ip) [Cnm cos mX + Sn
cos mX + Snrr¡ nm sin ^X + Snm
.sinmA] cos mX] sinmA]
(3)
где ось направлена из начала координат в центр Луны; ось перпендикулярна оси £ и направлена на восток; ось ( перпендикулярна плоскости £ц и направлена на север; у — гравитационная постоянная, умноженная на массу Земли; г — расстояние между центрами масс двух тел; п\ и П2 — максимальные степени зональных и тессеральных гармоник несферичных тел соответственно; Рп^тр) — полином Лежандра степени п; — присоединенный полином Лежандра степени п и порядка т; ,1п — зональные гармоники от несферичности тела; Спт, Бпт — коэффициенты тессеральных гармоник; р — широта притягиваемого тела в фиксированной системе координат X — восточная долгота притягиваемого тела.
Дифференциальные уравнения движения, основанные на взаимодействии окружающего пространства с движущимися материальными телами в барицентрической системе координат, имеют следующий вид [4-7]:
d2X ^^ f Xi — X
dt2
d2Y dt2
dd?_Z_ dt2
3 aoi
E
г
E
. - Д2 + A¿ 3 ДЗ — г30г + 3 (A? — r^)2 ' (Yi — Y^
V A
(zг — z
v Ai
3a0ir 2
Qi
Д2 + a¿ 3 Ai — r3i + 3 (A3 — rQ^)2
(4)
3aQi r^
Д2 + a ^д? — г1г + 3 (Д — гэг)2 :
где Ai — расстояние от начала координат до материального объекта; rQi — эффективный радиус г-того тела; aQi — соответствующее ускорение для ¿-того тела на расстоянии rQi от центра массы; X, Y, Z — барицентрические координаты возмущаемого тела; X¿, Y¿, Z% — барицентрические координаты возмущающих тел.
В настоящее время разработан ряд высокоточных численных теорий движения больших планет [8-17]. Наиболее известной из них является численная теория [3], созданная сотрудниками НАСА Ньюхалом (X. X. Newhall), Стендиншем (E. M. Standish), Вильямсом (J. G. Williams). Ими создан банк данных координат больших планет, Луны и Солнца — DE405 на интервале
времени с 2305424.5 J.D. (1599 Dec 9) по 2525008.5 J.D. (2201 Feb 20). Координаты планет в банке данных хранятся в форме коэффициентов полиномов Чебышева, которые обеспечивают достаточно плотную форму записи на диске. Координаты и скорости внутренних планет, полученные с помощью банка данных DE405, согласованы с радиолокационными наблюдениями, а все планеты согласованы с оптическими наблюдениями.
Под эффективностью математической модели в дальнейшем понимается быстродействие и точность результатов решения, полученных на основе использования данной модели.
Проверка эффективности математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями (1)—(4), проводилась путем сравнения результатов вычисления, полученных на их основе, с банком данных DE405.
С целью проверки эффективности математической модели, описывающей движение больших планет, Луны и Солнца системой дифференциальных уравнений (4), нами проведены исследования движения этих объектов на интервале времени с 1602 по 2193 гг. и результаты вычислений сопоставлены с банком данных DE405. Для исследования развития погрешностей математических моделей методом Эверхарта проведено численное интегрирование уравнений движения данных объектов на более длительный период времени, охватывающий интервал с 7 марта 31 г. до н.э. по 21 октября 3969 г. н.э. [18].
Важно знать, насколько результаты вычислений координат и компонент скоростей планет, Луны и Солнца, полученные с помощью описанных здесь математических моделей, согласуются друг с другом.
Наиболее сложным объектом для исследования движения являются Меркурий и Луна, поэтому из рассматриваемых математических моделей следует отдать предпочтение модели, с помощью которой лучше всего представлено движение этих объектов.
В табл. 1 на интервале времени с 1602 по 2193 гг. представлены координаты и компоненты скоростей Меркурия. Данные координат и компонент скоростей приведены на 0 часов гринвичского времени соответствующей даты, при этом в первой строке — данные банка DE405, во второй строке таблицы— координаты и компоненты скоростей, полученные путем решения уравнений (4).
В табл. 2 приведены элементы орбит Меркурия. Здесь М — средняя аномалия (в градусах), а — большая полуось (в а.е.), е — эксцентриситет, ш — аргумент перигелия (в градусах), Q —долгота восходящего узла (в градусах), г — наклонение (в градусах). В первой строке табл. 2 — элементы орбит Меркурия, найденные по данным банка DE405, во второй и третьей строках — полученные путем решения уравнений (4) и (1).
Из сопоставления элементов орбит, найденных с помощью решения уравнений (4) и банка данных DE405, следует, что различие в элементах орбит находится в пределах ошибок наблюдений.
В табл. 3 представлены элементы орбит Меркурия на интервале времени 4000 лет с 7 марта 31 г. до н.э. по 21 октября 3969 г. н.э. В первой, второй и третьей строках — элементы орбит Меркурия, полученные путем решения уравнений (4), (2) и (1) соответственно.
Сравнение координат и элементов орбит Меркурия, полученных с помощью решения уравнений (2) и (4) (см. табл. 1-3), указывает на удовлетво-
Координаты и компоненты скоростей Меркурия, вычисленные по ОЕ405 и с помощью решения уравнений (4)
[Coordintes and velocity components of the Mercury calculated by the DE405 and the Eqs. (4)]
Current date Data sources (calculated by) Л' (in au) Y (in au) Z (in au) Л' (in au/day) Y (in au/day) Z (in au/day)
1602 08 11 JD 2306400.5 by the DE405 by the Eqs. (4) -0.0198081 -0.0198088 0.4068445 0.4068449 -0.2148856 -0.2148857 0.0224551 0.0224551 0.0007397 0.0007397 -0.0019606 -0.0019606
1701 03 05 JD 2342400.5 by the DE405 by the Eqs. (4) 0.3366723 0.3366719 -0.1437933 -0.1437940 -0.1127282 -0.1127284 0.0074835 0.0074835 0.0235400 0.0235400 0.0117803 0.0117803
1799 09 27 JD 2378400.5 by the DE405 by the Eqs. (4) 0.0472475 0.0472477 0.2651303 0.2651301 0.1373714 0.1373713 -0.0334593 -0.0334593 0.0033352 0.0033352 0.0052703 0.0052703
1898 04 21 JD 2414400.5 by the DE405 by the Eqs. (4) -0.3878790 -0.3878791 -0.0595675 -0.0595675 0.0087525 0.0087525 -0.0020408 -0.0020408 -0.023652 -0.023652 -0.0012419 -0.0012419
1996 11 13 JD 2450400.5 by the DE405 by the Eqs. (4) -0.1550256 -0.1550256 -0.3899433 -0.3899433 -0.1932507 -0.1932507 0.0209929 0.0209929 -0.0059767 -0.0059767 -0.0053699 -0.0053699
2095 06 07 JD 2486400.5 by the DE405 by the Eqs. (4) 0.2786154 0.2786156 -0.2713622 -0.2713622 -0.1732480 -0.1732480 0.0153830 0.0153830 0.0183374 0.0183374 0.0082076 0.0082076
2193 06 07 JD 2522400.5 by the DE405 by the Eqs. (4) 0.2222982 0.2222987 0.2095351 0.2095352 0.0892206 0.0892205 -0.0258345 -0.0258345 0.0173614 0.0173614 0.0119439 0.0119439
Элементы орбит Меркурия, вычисленные по DE405 и формулам (4), (1)
[The elements of the orbits of the Mercury calculated by the DE405, and by the Eqs. (4), (1)]
Current date Data sources (calculated by) M (in degrees) a (in au) e ш (in degrees) fi (in degrees) г (in degrees)
1602 08 11 JD 2306400.5 by the DE405 by the Eqs. (4) by the Eqs. (1) 194.9607 194.9605 194.9745 0.3870977 0.3870977 0.3870977 0.2055527 0.2055527 0.2055527 27.9945 27.9945 28.0382 48.8278 48.8278 48.8279 7.0287 7.0287 7.0287
1701 03 05 JD 2342400.5 by the DE405 by the Eqs. (4) by the Eqs. (1) 278.9902 278.9901 279.0003 0.3870983 0.3870984 0.3870984 0.2055658 0.2055658 0.2055658 28.2804 28.2804 28.3124 48.7047 48.7047 48.7047 7.0227 7.0227 7.0227
1799 09 27 JD 2378400.5 by the DE405 by the Eqs. (4) by the Eqs. (1) 3.0384 3.0383 3.0448 0.3870987 0.3870988 0.3870988 0.2055913 0.2055915 0.2055915 28.5565 28.5566 28.5768 48.5818 48.5818 48.5818 7.0169 7.0169 7.0169
1898 04 21 JD 2414400.5 by the DE405 by the Eqs. (4) by the Eqs. (1) 87.0813 87.0812 87.0840 0.3870991 0.3870992 0.3870992 0.2056005 0.2056005 0.2056005 28.8334 28.8334 28.8419 48.4581 48.4581 48.4581 7.0111 7.0111 7.0111
1996 11 13 JD 2450400.5 by the DE405 by the Eqs. (4) by the Eqs. (1) 171.1156 171.1155 171.1145 0.3870975 0.3870975 0.3870975 0.2056409 0.2056408 0.2056408 29.1179 29.1179 29.1147 48.3353 48.3353 48.3353 7.0051 7.0051 7.0051
2095 06 07 JD 2486400.5 by the DE405 by the Eqs. (4) by the Eqs. (1) 255.1597 255.1598 255.1550 0.3870976 0.3870977 0.3870977 0.2056549 0.2056549 0.2056549 29.3959 29.3959 29.3809 48.2110 48.2110 48.2110 6.9993 6.9993 6.9993
2193 12 30 JD 2522400.5 by the DE405 by the Eqs. (4) by the Eqs. (1) 339.1927 339.1928 339.1842 0.3870977 0.3870979 0.3870979 0.2056674 0.2056676 0.2056675 29.6797 29.6797 29.6529 48.0869 48.0869 48.0870 6.9934 6.9934 6.9934
[The elements of the orbits of the Mercury calculated by the Eqs. (4), (2), and (1)]
Current date Data sources (calculated by) M (in degrees) a (in au) e ш (in degrees) fi (in degrees) г (in degrees)
-31 03 07 JD 1709800.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) 228.2249 228.2258 228.3007 0.3870983 0.3870976 0.3870977 0.2052108 0.2052109 0.2052109 23.3831 23.3827 23.6205 50.8434 50.8434 50.8449 7.1258 7.1258 7.1258
969 04 26 JD 2075100.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) 78.0028 78.0032 78.0408 0.3870983 0.3870982 0.3870983 0.2054204 0.2054204 0.2054204 26.2004 26.2002 26.3194 49.6146 49.6146 49.6149 7.0664 7.0664 7.0664
2969 08 24 JD 2805700.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) 137.5432 137.5432 137.5050 0.3871001 0.3871001 0.3871001 0.2058252 0.2058253 0.2058252 31.8915 31.8916 31.7719 47.1066 47.1066 47.1070 6.9473 6.9473 6.9473
3969 10 21 JD 3171000.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) 347.3278 347.3276 347.2510 0.3870987 0.3870987 0.3870988 0.2060198 0.2060196 0.2060202 34.7546 34.7549 34.5150 45.8246 45.8246 45.8261 6.8884 6.8884 6.8884
oo
Ю
рительное согласие координат и элементов орбит на всем рассматриваемом интервале интегрирования.
Наибольшие расхождения в элементах орбит Меркурия имеет место 7 марта 31 г. до н.э. В средней аномалии оно составляет 0.0009° (градусов), что соответствует 3'' (секундам дуги); в большой полуоси — 0.0000007 а.е., что соответствует 104.7 км; в аргументе перигелия — 0.0004°, что соответствует 1''; остальные элементы орбит практически совпадают. Невязка векового смещения долготы перигелия Меркурия, найденная путем решения уравнений (4) и (1) составляет 42.92'', а при решении уравнений (2) и (1) 42.99''. Подобные расхождения в элементах орбит и в вековом смещении перигелия Меркурия, полученных при решении дифференциальных уравнений (4) и (2), не могут быть выявлены с помощью наблюдений, поэтому их можно считать вполне удовлетворительными.
Точность решения релятивистских уравнений существенным образом зависит от выбора системы координат. Для релятивистских уравнений часто используется гармоническая система координат, которая является наиболее подходящей для согласования векового смещения долготы перигелия Меркурия [19-25]. Как показывают проведенные исследования, решение релятивистских уравнений (2) для Меркурия согласуется с решением уравнений (4) на всем исследуемом интервале времени с 31 г. до н.э. по 3969 г. н.э. (см. табл. 1-3). Подобного совпадения решений уравнений (2) и (4) следовало ожидать и для планет Венеры, Земли+Луны и Марса, поскольку их орбиты являются более удаленными от Солнца, чем орбита Меркурия. Однако этого не происходит по причине завышенных скоростей смещения долгот перигелиев этих планет, полученных на основании решения уравнений (2) по сравнению со скоростями, полученными на основании решения уравнений (4).
В табл. 4-9 на интервале времени с 31 г до н.э. по 3969 г н.э. представлены элементы орбит и расхождения в элементах для Венеры, Земли+Луны и Марса, найденные с использованием уравнений (4), уравнений (2), путем совместного решения уравнений (2) и (3) и уравнений (1) на четыре момента времени.
Как следует из проведенных вычислений (см. табл. 4-9), расхождения вековых смещений долгот перигелиев Венеры, Земли+Луны и Марса, полученных с помощью решения уравнений (4) и (1), составляют 2.14'', 0.53'', 0.07''. Расхождения, найденные с помощью решения уравнений (2) и (1), составляют 8.58'', 3.87'', 1.33'' соответственно.
В работе [23] отмечается, что ошибки релятивистских поправок в вековом движении перигелиев Венеры и Земли велики и составляют для Венеры ±5.28'', для Земли ±1.79'', для Марса ±0.025''. Расхождения в смещении перигелиев этих планет, найденные с помощью решения уравнений (2) и (4), составляют 6.44'', 3.34'', 1.26'' соответственно. Как следует из результатов вычислений, вековые смещения долгот перигелиев Венеры, Земли+Луны и Марса, найденных путем решения уравнений (4) и (2), различаются на 6.44'', 3.34'', 1.26'' соответственно. Хотя эти различия незначительные и на ограниченных интервалах времени в пределах столетия их трудно обнаружить с помощью наблюдений, с течением времени в силу векового характера движения перигелиев Венеры, Земли+Луны и Марса, имеют место заметные различия элементов орбит, найденных с помощью решений уравнений (4) и (2).
[The elements of the orbits of the Venus obtained using various calculation methods]
Current date Data sources (calculated by) M (in degrees) a (in au) e ш (in degrees) Q (in degrees) г (in degrees)
-31 03 07 JD 1709800.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 39.5049 39.5016 39.5016 39.5072 0.7233359 0.7233359 0.7233359 0.7233359 0.0077807 0.0077805 0.0077805 0.0077805 48.7763 48.7421 48.7421 48.7905 82.2686 82.2686 82.2686 82.2685 3.3985 3.3985 3.3985 3.3985
969 04 26 JD 2075100.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 297.1664 297.1648 297.1648 297.1679 0.7233352 0.7233351 0.7233351 0.7233352 0.0072777 0.0072777 0.0072777 0.0072777 52.0940 52.0770 52.0770 52.1007 79.5320 79.5320 79.5320 79.5320 3.4001 3.4001 3.4001 3.4001
2969 08 24 JD 2805700.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 93.6422 93.6434 93.6434 93.6398 0.7233264 0.7233263 0.7233263 0.7233264 0.0063359 0.0063359 0.0063359 0.0063358 57.6692 57.6867 57.6867 57.6634 73.9732 73.9732 73.9732 73.9732 3.3834 3.3834 3.3834 3.3834
3969 10 21 JD 3171000.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 352.6807 352.6810 352.6810 352.6745 0.7233292 0.7233291 0.7233291 0.7233292 0.0058937 0.0058935 0.0058935 0.0058935 59.7003 59.7376 59.7376 59.6907 71.1451 71.1452 71.1452 71.1451 3.3653 3.3653 3.3653 3.3653
о
CO
[The elements of the orbits of the Earth & the Moon obtained using various calculation methods]
Current date Data sources (calculated by) M (in degrees) a (in au) e ш (in degrees) Q (in degrees) г (in degrees)
-31 03 07 JD 1709800.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 93.8283 93.8300 93.8301 93.8293 1.0000063 1.0000063 1.0000063 1.0000063 0.0175522 0.0175523 0.0175523 0.0175522 96.7164 96.6981 96.6985 96.7195 359.7943 359.7948 359.7943 359.7941 0.2687 0.2687 0.2687 0.2687
969 04 26 JD 2075100.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 133.7662 133.7672 133.7673 133.7666 1.0000027 1.0000026 1.0000026 1.0000027 0.0171054 0.0171055 0.0171055 0.0171054 102.2445 102.2350 102.2354 102.2461 357.3343 357.3347 357.3343 357.3341 0.1355 0.1355 0.1355 0.1355
2969 08 24 JD 2805700.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 213.3090 213.3076 213.3075 213.3085 1.0000168 1.0000167 1.0000167 1.0000168 0.0162732 0.0162732 0.0162732 0.0162732 113.4665 113.4756 113.4760 113.4650 352.5708 352.5712 352.5708 352.5709 0.1256 0.1256 0.1256 0.1256
3969 10 21 JD 3171000.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 252.9511 252.9481 252.9480 252.9502 0.9999924 0.9999923 0.9999923 0.9999924 0.0158194 0.0158194 0.0158194 0.0158193 119.2571 119.2759 119.2763 119.2539 350.1358 350.1362 350.1358 350.1360 0.2534 0.2534 0.2534 0.2534
[The elements of the orbits of the Mars obtained using various calculation methods]
Current date Data sources (calculated by) M (in degrees) a (in au) e ш (in degrees) Q (in degrees) г (in degrees)
-31 03 07 JD 1709800.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 130.0035 130.0053 130.0050 130.0057 1.5237190 1.5237190 1.5237190 1.5237190 0.0914539 0.0914512 0.0914538 0.0914539 271.6744 271.6673 271.6673 271.6748 55.2973 55.2973 55.2973 55.2973 2.0061 2.0061 2.0061 2.0061
969 04 26 JD 2075100.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 34.7303 34.7300 34.7300 34.7304 1.5236170 1.5236170 1.5236170 1.5236170 0.0933231 0.0933231 0.0933231 0.0933231 278.8837 278.8802 278.8801 278.8839 52.5377 52.5377 52.5377 52.5377 1.9314 1.9314 1.9314 1.9314
2969 08 24 JD 2805700.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 204.1224 204.1226 204.1227 204.1223 1.5236338 1.5236337 1.5236337 1.5236338 0.0942530 0.0942542 0.0942530 0.0942530 293.7593 293.7627 293.7628 293.7591 46.6349 46.6348 46.6349 46.6349 1.7685 1.7685 1.7685 1.7685
3969 10 21 JD 3171000.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 109.0052 109.0058 109.0058 109.0050 1.5236700 1.5236700 1.5236700 1.5236700 0.0951984 0.0952007 0.0951983 0.0951984 301.2539 301.2607 301.2609 301.2535 43.4829 43.4829 43.4829 43.4829 1.6802 1.6802 1.6802 1.6802
01
CO
Расхождения в элементах орбит Венеры при численном интегрировании уравнений движения, полученных с помощью различных методов вычисления, от найденных с помощью решения уравнений (4)
[Discrepancies in the elements of the orbits of the Venus in the numerical integration of the equations of motion obtained using various calculation methods from those found by solving Eqs. (4)]
Current date Data sources (calculated by) AM (in degrees) Да. (in au) Ae Аш (in degrees) Afi (in degrees) Ai (in degrees)
-31 03 07 JD 1709800.5 by the Eqs. (2) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) -0.0033 -0.0033 0.0023 0 0 0 -0.0000002 -0.0000002 -0.0000002 -0.0342 -0.0342 0.0142 0 0 -0.0001 0 0 0
969 04 26 JD 2075100.5 by the Eqs. (2) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) -0.0016 -0.0016 0.0015 -0.0000001 -0.0000001 0 0 0 0 -0.0170 -0.0170 0.0067 0 0 0 0 0 0
2969 08 24 JD 2805700.5 by the Eqs. (2) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 0.0012 0.0012 -0.0024 -0.0000001 -0.0000001 0 0 0 -0.0000001 0.0175 0.0175 -0.0058 0 0 0 0 0 0
3969 10 21 JD 3171000.5 by the Eqs. (2) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 0.0003 0.0003 -0.0062 -0.0000001 -0.0000001 0 -0.0000002 -0.0000002 -0.0000002 0.0373 0.0373 -0.0096 0.0001 0.0001 0 0 0 0
Расхождения в элементах орбит Земли+Луны при численном интегрировании уравнений движения, полученных с помощью различных методов вычисления, от найденных с помощью решения уравнений (4)
[Discrepancies in the elements of the orbits of the Earth & the Moon in the numerical integration of the equations of motion obtained using various calculation methods from those found by solving Eqs. (4)]
Current date Data sources (calculated by) AM (in degrees) Да. (in au) Ae Аш (in degrees) Afi (in degrees) Ai (in degrees)
-31 03 07 JD 1709800.5 by the Eqs. (2) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 0.0017 0.0018 0.0010 0 0 0 0.0000001 0.0000001 0 -0.0183 -0.0179 0.0031 0.0005 0 -0.0002 0 0 0
969 04 26 JD 2075100.5 by the Eqs. (2) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 0.0010 0.0011 0.0004 -0.0000001 -0.0000001 0 0.0000001 0.0000001 0 -0.0095 -0.0091 0.0016 0.0004 0 -0.0002 0 0 0
2969 08 24 JD 2805700.5 by the Eqs. (2) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) -0.0014 -0.0015 -0.0005 -0.0000001 -0.0000001 0 0 0 0 0.0091 0.0095 -0.0015 0.0004 0 0.0001 0 0 0
3969 10 21 JD 3171000.5 by the Eqs. (2) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) -0.0030 -0.0031 -0.0009 -0.0000001 -0.0000001 0 0 0 -0.0000001 0.0188 0.0192 -0.0032 0.0004 0 0.0002 0 0 0
Расхождения в элементах орбит Марса при численном интегрировании уравнений движения, полученных с помощью различных методов вычисления, от найденных с помощью решения уравнений (4)
[Discrepancies in the elements of the orbits of the Mars in the numerical integration of the equations of motion obtained using various calculation methods from those found by solving Eqs. (4)]
Current date Data sources (calculated by) AM (in degrees) Aa (in au) Ae Аш (in degrees) Afi (in degrees) Ai (in degrees)
-31 03 07 JD 1709800.5 by the Eqs. (2) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 0.0018 0.0015 0.0022 0 0 0 -0.0000027 -0.0000001 0 -0.0071 -0.0071 0.0004 0 0 0 0 0 0
969 04 26 JD 2075100.5 by the Eqs. (2) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) -0.0003 -0.0003 0.0001 0 0 0 0 0 0 -0.0035 -0.0036 0.0002 0 0 0 0 0 0
2969 08 24 JD 2805700.5 by the Eqs. (2) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 0.0002 0.0003 -0.0001 -0.0000001 -0.0000001 0 0.0000012 0 0 -0.0034 -0.0035 -0.0002 -0.0001 0 0 0 0 0
3969 10 21 JD 3171000.5 by the Eqs. (2) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 0.0006 0.0006 -0.0002 0 0 0 0.0000023 -0.0000001 0 0.0068 0.0070 -0.0004 0 0 0 0 0 0
Наибольшие отклонения наблюдаются в средних аномалиях и аргументах перигелиев. Как показывают результаты вычислений (см. табл. 4—6 и 7— 9), расхождения в средней аномалии у Венеры, Земли+Луны и Марса составляют, соответственно, ДМ = 12'', 6'' и 6'', а в аргументах перигелиев — Дш = -0.0342°, -0.0183° и -0.0071° в 31 г. до н.э. В 3969 г. расхождения в средней аномалии у Венеры, Земли+Луны и Марса достигнут Дш = 0.0373°, 0.0188° и 0.0068° соответственно. С увеличением интервала интегрирования эти отклонения будут увеличиваться, что непосредственно отразится на расхождении элементов орбит планет, найденных с помощью решения уравнений (4) и (2).
Проведенные исследования показывают, что решение релятивистских уравнений не обеспечивает одинаковой точности для всех объектов. По этой причине прогнозирование движений Венеры, Земли+Луны и Марса путем решения уравнений (2) не является таким же точными, как для Меркурия. Для обоснования данного предположения необходимо показать преимущество использования уравнений (4) по сравнению с уравнениями (2) при исследовании движения этих небесных тел. Для сравнения эффективности использования уравнений (4) и (2) наиболее подходящим объектом для исследования является Луна.
Геоцентрические координаты и компоненты скоростей Луны, найденные путем решения уравнений (4) и с помощью банка данных БЕ405, приведены в табл. 10.
Следует отметить, что для согласования геоцентрических координат Луны с наблюдениями при создании БЕ405 ее авторы наряду с уравнениями (2) решают совместно уравнения, учитывающие форму Луны и Земли, а также земные приливы. Подобный прием, учитывающий форму небесных тел и приливные взаимодействия, не является строго обоснованным, т.к. эти уравнения получены на основе ньютоновой теории. Кроме того, данные уравнения содержат много свободных параметров, значения которых определены с невысокой точностью. При согласовании численной теории движения больших планет и Луны БЕ405 с наблюдениями происходит существенное усложнение релятивистской модели движения небесных тел по сравнению с ньютоновой моделью.
Из результатов вычислений, представленных в табл. 10, следует, что координаты и скорости Луны, полученные путем решения уравнений (4), в основе которых лежит принцип взаимодействия окружающего пространства с движущимся материальным телом, отличаются от данных БЕ405 несущественно на интервале времени ±100 лет от начального момента интегрирования. Например (см. табл. 10), 21 апреля 1898 г. и 13 ноября 1996 г. максимальное отклонение в координатах, найденных с помощью БЕ405 и полученных с помощью решения уравнений (4), составляет 0.0000003 а.е., что соответствует 45 км. Отклонение компонент скоростей также незначительное, не превышающее 0.0000001 а.е./сут. или 1.7 ■ 10-4 км/сек. Максимальное расхождение двух методов для геоцентрических координат Луны имеет место 11 августа 1602 г. При этом различия в вычислениях составляют следующие величины: ДХ = 0.0000003 а.е., ДГ = 0.0000006 а.е. Д^ = -0.0000021 а.е., что соответствует ДХ = 45 км, ДУ = 90 км и Д2 = -314 км. Максимальное расхождение компонент скоростей — 0.0000002 а.е./сут. Полученные отклонения
Геоцентрические координаты и компоненты скоростей Луны, вычисленные по ОЕ405 и с помощью решения уравнений (4)
[Geocentric coordintes and velocity components of the Moon calculated by the DE405 and the Eqs. (4)]
Current date Data sources (calculated by) X (in au) Y (in au) Z (in au) Л' (in au/day) Y (in au/day) Z (in au/day)
1602 08 11 JD 2306400.5 by the DE405 by the Eqs. (4) 0.0014164 0.0014167 0.0018818 0.0018824 0.0009088 0.0009067 -0.0005116 -0.0005116 0.0003020 0.0003021 0.0000764 0.0000763
1701 03 05 JD 2342400.5 by the DE405 by the Eqs. (4) 0.0012062 0.0012055 -0.0022376 -0.0022374 -0.0008259 -0.0008275 0.0005148 0.0005148 0.0002315 0.0002314 0.0000541 0.0000539
1799 09 27 JD 2378400.5 by the DE405 by the Eqs. (4) -0.0022184 -0.0022181 0.0008843 0.0008850 0.0006053 0.0006051 -0.0002337 -0.0002339 -0.0005126 -0.0005125 -0.0002511 -0.0002513
1898 04 21 JD 2414400.5 by the DE405 by the Eqs. (4) 0.0022073 0.0022074 0.0012309 0.0012307 0.0007815 0.0007813 -0.0002965 -0.0002965 0.0004566 0.0004567 0.0001902 0.0001901
1996 11 13 JD 2450400.5 by the DE405 by the Eqs. (4) -0.0006733 -0.0006732 -0.0022780 -0.0022780 -0.0007632 -0.0007635 0.0005917 0.0005917 -0.0001430 -0.0001430 -0.0000404 -0.0000403
2095 06 07 JD 2486400.5 by the DE405 by the Eqs. (4) -0.0017538 -0.0017538 0.0017107 0.0017108 0.0009556 0.0009551 -0.0004465 -0.0004465 -0.0003460 -0.0003460 -0.0001137 -0.0001136
2193 06 07 JD 2522400.5 by the DE405 by the Eqs. (4) 0.0024990 0.0024990 -0.0004538 -0.0004540 -0.0001083 -0.0001100 0.0000779 0.0000781 0.0005201 0.0005200 0.0002783 0.0002784
в геоцентрических координатах и компонентах скоростей Луны находятся в пределах ошибок как оптических, так и радиолокационных наблюдений, поэтому можно сказать, что при определении геоцентрических координат и компонент скоростей Луны с помощью банка данных БЕ405 и путем решения уравнений (4) результаты на всем интервале интегрирования получаются практически с одинаковой точностью.
В табл. 11 приведены геоцентрические координаты и скорости Луны, вычисленные с учетом релятивистских эффектов и ньютоновых уравнений, но без учета фигуры Земли, т.е. получены путем решения дифференциальных уравнений движения (2) и уравнений (1). Сопоставление данных, приведенных в табл. 10 и 11, показывает, что на интервале времени ±100 лет от начального момента интегрирования расхождения координат, найденных путем решения уравнений (2) и с помощью банка данных БЕ405, значительно превышают расхождения координат, полученных с помощью решения уравнений (4) и банка данных БЕ405. Так, на момент 21 апреля 1898 г. максимальное отклонение в координатах, найденных с помощью БЕ405 и полученных с помощью решения уравнений (2), составляет 0.0000035 а.е., что соответствует 554 км. Отклонение компонент скоростей также значительное и равно 0.0000008 а.е./сут., или 6.9 ■ 10-4 км/сек.
Из сравнения данных, приведенных в табл. 12 и 13, следует, что наибольшие расхождения координат, найденных путем решения уравнений (2) и с помощью банка данных БЕ405, имеют место 11 августа 1602 г. и составляют ДХ = -0.000019 а.е., ДГ = 0.0000128 а.е. и Д^ = 0.0000012 а.е., что соответствует ДХ = -2887 км, ДУ = 1915 км и Д2 = 180 км. Аналогичные расхождения координат, найденных с помощью решения уравнений (1) и БЕ405 (см. табл. 12 и 13), составляют ДХ = -0.0000267 а.е., ДГ = -0.0000174 а.е. и Д^ = -0.0000023 а.е., что соответствует ДХ = -3994 км, ДГ = 2603 км и Д^ = 344 км.
Из проведенного сопоставления следует, что расхождения координат Луны, полученные на основе банка данных БЕ405 и путем решения дифференциальных уравнений движения (1) и (2), превышают более чем на порядок аналогичные расхождения координат Луны, полученные с помощью БЕ405 и на основании решения уравнений (4). Проведенные исследования указывают на ограниченную возможность ньютоновых и релятивистских уравнений без совместного решения дополнительных уравнений (3) для исследования движения Луны на интервале времени порядка нескольких столетий.
В табл. 14 приведены геоцентрические координаты Луны, полученные с помощью решения дифференциальных уравнений (4) и путем совместного решения уравнений (2) и (3), а также уравнений (2) и (1). В первой строке табл. 14 находятся координаты Луны, найденные с помощью совместного решения уравнений (2) и (3), во второй, третьей и четвертой — координаты, полученные с помощью решения уравнений (4), (2) и (1).
В табл. 15 и 16 представлены расхождения геоцентрических координат и компонент скоростей Луны, полученных с помощью математических моделей (4), (2) и (1), от координат, найденных путем совместного решения уравнений (2) и (3). В первой строке табл. 15 и 16 находятся расхождения координат Луны, найденных с помощью совместного решения уравнений (2) и (3), во второй строке — координат, полученных с помощью решения диффе-
Геоцентрические координаты и компоненты скоростей Луны, вычисленные по формулам (1) и (2)
[Geocentric coordintes and velocity components of the Moon calculated by the Eq. (1), and (2)
Current date Data sources (calculated by) X (in au) Y (in au) Z (in au) Л' (in au/day) Y (in au/day) Z (in au/day)
1602 08 11 JD 2306400.5 by the Eqs. (1) by the Eqs. (2) 0.0013974 0.0013894 0.0018946 0.0018992 0.0009100 0.0009111 -0.0005146 -0.0005158 0.0002977 0.0002961 0.0000742 0.0000734
1701 03 05 JD 2342400.5 by the Eqs. (1) by the Eqs. (2) 0.0012215 0.0012273 -0.0022295 -0.0022269 -0.0008256 -0.0008249 0.0005132 0.0005126 0.0002347 0.0002359 0.0000551 0.0000555
1799 09 27 JD 2378400.5 by the Eqs. (1) by the Eqs. (2) -0.0022229 -0.0022246 0.0008756 0.0008719 0.0006006 0.0005988 -0.0002313 -0.0002304 -0.0005134 -0.0005138 -0.0002519 -0.0002522
1898 04 21 JD 2414400.5 by the Eqs. (1) by the Eqs. (2) 0.0022047 0.0022038 0.0012344 0.0012358 0.0007828 0.0007834 -0.0002973 -0.0002977 0.0004562 0.0004560 0.0001898 0.0001897
1996 11 13 JD 2450400.5 by the Eqs. (1) by the Eqs. (2) -0.0006749 -0.0006756 -0.0022775 -0.0022773 -0.0007633 -0.0007633 0.0005917 0.0005916 -0.0001434 -0.0001436 -0.0000405 -0.0000405
2095 06 07 JD 2486400.5 by the Eqs. (1) by the Eqs. (2) -0.0017472 -0.0017449 0.0017164 0.0017182 0.0009570 0.0009576 -0.0004477 -0.0004482 -0.0003447 -0.0003443 -0.0001129 -0.0001126
2193 06 07 JD 2522400.5 by the Eqs. (1) by the Eqs. (2) 0.0024966 0.0024958 -0.0004660 -0.0004709 -0.0001165 -0.0001191 0.0000815 0.0000828 0.0005195 0.0005193 0.0002783 0.0002783
Таблица 12
Расхождения геоцентрических координат и компонент скоростей Луны, полученных с помощью различных методов вычисления, от найденных с помощью DE405 [Discrepancies in the geocentric coordinates and the components of velocities of Moon
obtained using various calculation methods from those found by the DE405]
Current date Data sources (calculated by) ДЛ' (in au) AY (in au) AZ (in au) ДЛ' (in au/day) AY (in au/day) AZ (in au/day)
1602 08 11 JD 2306400.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) 0.0000003 -0.000019 -0.0000267 0.0000006 0.0000128 0.0000174 -0.0000021 0.0000012 0.0000023 0 -0.0000038 -0.0000042 0.0000001 -0.0000043 -0.0000059 -0.0000001 -0.0000022 -0.0000030
1701 03 05 JD 2342400.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) -0.0000005 0.0000153 0.0000211 0.0000002 0.0000081 0.0000107 -0.0000016 0.0000003 0.0000010 0 -0.0000016 -0.0000022 -0.0000001 0.0000033 0.0000044 -0.0000002 0.0000010 0.0000014
1799 09 27 JD 2378400.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) 0.0000003 0.0000045 0.0000062 0.0000007 -0.0000087 -0.0000124 -0.0000002 -0.0000047 -0.0000065 -0.0000002 0.0000024 0.0000033 0.0000001 -0.0000008 -0.0000012 -0.0000002 -0.0000008 -0.0000011
1898 04 21 JD 2414400.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) 0.0000001 -0.0000026 -0.0000035 -0.0000002 0.0000037 0.0000049 -0.0000002 0.0000015 0.0000019 0 0.0000008 0.0000012 0.0000001 -0.0000004 -0.0000006 -0.0000001 -0.0000004 -0.0000005
1996 11 13 JD 2450400.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) 0.0000001 -0.0000016 -0.0000024 0 0.0000005 0.0000007 0.0000003 -0.0000001 -0.0000001 0.0000001 0 -0.0000001 0 -0.0000004 -0.0000006 0.0000001 -0.0000001 -0.0000001
2095 06 07 JD 2486400.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) 0 0.0000066 0.0000089 0.0000001 0.0000057 0.0000075 -0.0000005 0.0000014 0.0000020 0 0.0000012 0.0000017 0 0.0000013 0.0000017 0.0000001 0.0000008 0.0000011
2193 06 07 JD 2522400.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) 0 -0.0000024 -0.0000032 -0.0000002 -0.0000122 -0.0000171 -0.0000017 -0.0000083 -0.0000108 0.0000002 0.0000036 0.0000047 -0.0000001 -0.0000006 -0.0000008 0.0000001 0 0
Таблица 13
Расхождения геоцентрических координат и компонент скоростей Луны, полученных с помощью различных методов вычисления, от найденных с помощью DE405 [Discrepancies in the geocentric coordinates and the components of velocities of the Moon obtained using various calculation methods from those found by the DE405]
Current date Data sources (calculated by) ДЛ' (in km) AY (in km) AZ (in km) ДЛ' (in km/s) AY (in km/s) AZ (in km/s)
1602 08 11 JD 2306400.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) 45 -2842 -3994 90 1915 2603 -314 180 344 0 -66 • 1(Г4 -73 • 1(Г4 1.7- Ю-4 -74 • Ю-4 -102 • Ю-4 -1.7- Ю-4 -38 • Ю-4 -52 • Ю-4
1701 03 05 JD 2342400.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) -75 2289 3156 30 1211 1600 -239 45 150 0 -28 • Ю-4 -38 • Ю-4 -1.7- Ю-4 57 • Ю-4 76 • Ю-4 -3.4 • Ю-4 17- Ю-4 24 • Ю-4
1799 09 27 JD 2378400.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) 45 673 928 105 -1301 -1855 -30 -703 -972 -3.4 • Ю-4 42 • Ю-4 57 • Ю-4 1.7- Ю-4 -14 • Ю-4 -21 • Ю-4 -3.4 • Ю-4 -14 • Ю-4 -19 • Ю-4
1898 04 21 JD 2414400.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) 15 -389 -524 -30 554 733 -30 224 284 0 14 • Ю-4 21 • 1(Г4 1.7- Ю-4 -6.9 • Ю-4 -10•10~4 -1.7- Ю-4 -6.9 • Ю-4 -9 • 10~4
1996 11 13 JD 2450400.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) 15 -239 -359 0 75 105 45 -15 -15 1.7- Ю-4 0 -1.7- Ю-4 0 -6.9 • Ю-4 -ю • ю-4 1.7- Ю-4 -1.7- Ю-4 -1.7- Ю-4
2095 06 07 JD 2486400.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) 0 987 1331 15 853 1122 -75 209 299 0 21 • Ю-4 29 • Ю-4 0 23 • Ю-4 29 • Ю-4 1.7- Ю-4 14 • Ю-4 19 • Ю-4
2193 06 07 JD 2522400.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) 0 -359 -479 -45 -1825 -2558 -254 -1242 -1616 3.4 • Ю-4 62 • Ю-4 81 • Ю-4 -1.7- Ю-4 -ю • ю-4 -14 • Ю-4 1.7- Ю-4 0 0
Геоцентрические координаты и компоненты скоростей Луны, полученные с помощью различных методов вычисления
[Geocentric coordintes and velocity components of Moon obtained using various calculation methods]
Current date Data sources (calculated by) X (in au) Y (in au) Z (in au) Л' (in au/day) Y (in au/day) Z (in au/day)
-31 03 07 JD 1709800.5 by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) 0.0025162 0.0025079 0.0024611 0.0024349 0.0004578 0.0005171 0.0006867 0.0007785 0.0002045 0.0002114 0.0002674 0.0002978 -0.0000901 -0.0001032 -0.0001440 -0.0001656 0.0005577 0.0005550 0.0005469 0.0005404 0.0001852 0.0001841 0.0001807 0.0001782
969 04 26 JD 2075100.5 by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) -0.0016082 -0.0016153 -0.0016878 -0.0017232 0.0020328 0.0020295 0.0019784 0.0019512 0.0007352 0.0007272 0.0006977 0.0006823 -0.0004377 -0.0004364 -0.0004238 -0.0004171 -0.0003023 -0.0003044 -0.0003190 -0.0003267 -0.0001768 -0.0001767 -0.0001819 -0.0001845
2969 08 24 JD 2805700.5 by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) 0.0023278 0.0023195 0.0023550 0.0023709 0.0010745 0.0010938 0.0010163 0.0009740 0.0002601 0.0002653 0.0002272 0.0002068 -0.0002101 -0.0002146 -0.0001950 -0.0001845 0.0004922 0.0004907 0.0004989 0.0005034 0.0002423 0.0002407 0.0002425 0.0002435
3969 10 21 JD 3171000.5 by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) -0.0019659 -0.0020106 -0.0018832 -0.0018170 0.0016886 0.0016415 0.0017749 0.0018413 0.0006167 0.0005903 0.0006306 0.0006506 -0.0003674 -0.0003561 -0.0003863 -0.0004009 -0.0004171 -0.0004263 -0.0004009 -0.0003863 -0.0001256 -0.0001300 -0.0001209 -0.0001157
Расхождения геоцентрических координат и компонент скоростей Луны, полученных с помощью различных методов вычис-
ления, от найденных с помощью решения уравнений (2) и (3) [Discrepancies in the geocentric coordinates and the components of the velocities of the Moon obtained using various calculation methods from those found by solving Eqs. (2), and (3)]
Current date Data sources (calculated by) ДЛ' (in au) AY (in au) AZ (in au) ДЛ' (in au/day) AY (in au/day) AZ (in au/day)
-31 03 07 JD 1709800.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) -0.0000083 -0.0000551 -0.0000813 0.0000593 0.0002989 0.0003207 0.0000069 0.0000629 0.0000933 -0.0000131 -0.0000539 -0.0000755 -0.0000027 -0.0000081 -0.0000173 -0.0000011 -0.0000045 -0.0000070
969 04 26 JD 2075100.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) -0.0000071 -0.0000796 -0.0001150 -0.0000033 -0.0000544 -0.0000816 -0.0000080 -0.0000375 -0.0000529 0.0000013 0.0000099 0.0000206 -0.0000021 -0.0000167 -0.0000244 -0.0000001 -0.0000051 -0.0000077
2969 08 24 JD 2805700.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) -0.0000083 0.0000272 0.0000431 0.0000193 -0.0000582 -0.0001005 0.0000052 -0.0000329 -0.0000533 -0.0000045 -0.0000151 0.0000256 -0.0000015 0.0000067 0.0000112 -0.0000016 0.0000002 0.0000012
3969 10 21 JD 3171000.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) -0.0000447 0.0000827 0.0001489 -0.0000471 0.0000863 0.0001527 -0.0000264 0.0000139 0.0000339 0.0000113 -0.0000189 -0.0000335 -0.0000092 0.0000162 0.0000308 -0.0000044 0.0000047 0.0000099
Расхождения геоцентрических координат и компонент скоростей Луны, полученных с помощью различных методов вычисления, от найденных с помощью решения уравнений (2) и (3) [Discrepancies in the geocentric coordinates and the components of the velocities of the Moon obtained using various calculation methods from those found by solving Eqs. (2), and (3)]
Current date Data sources (calculated by) ДЛ' (in km) AY (in km) AZ (in km) ДЛ' (in km/s) AY (in km/s) AZ (in km/s)
-31 03 07 JD 1709800.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) -1242 -8243 -12162 8871 44715 47976 1032 9410 13957 -0.023 -0.09 -0.13 -0.005 -0.01 -0.03 -0.002 -0.008 -0.012
969 04 26 JD 2075100.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) -1062 -11908 -17204 -494 -8138 -12207 -1197 -5670 -7914 0.002 0.017 0.036 -0.004 -0.029 -0.042 -0.0002 -0.009 -0.013
2969 08 24 JD 2805700.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) -1242 4069 6448 2887 -8707 -15035 778 -4922 -7974 -0.008 -0.026 0.044 -0.003 0.012 0.019 -0.003 0.0003 0.002
3969 10 21 JD 3171000.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) -6687 12337 22275 -7046 12910 22844 -3949 2079 5071 0.02 0.032 0.058 -0.016 0.028 0.05 -0.008 0.008 0.017
ренциальных уравнений (4), в третьей и четвертой — расхождения координат, полученных с помощью решения уравнений (2) и уравнений (1).
На концах интервала интегрирования различия в координатах X, У и 2 на дату 7 марта 31 г. до н.э., полученных с помощью решения дифференциальных уравнений (4) и найденных с помощью совместного решения уравнений (2) и (3), составляют АХ = 1242 км, АУ = -8871 км и Д^ = 1032 км соответственно. Полученные различия в геоцентрических координатах Луны, найденных с помощью совместного решения уравнений (2) и (3) и путем решения уравнений (4), являются следствием различных вековых смещений перигелиев Земли+Луны, найденных с помощью решения этих уравнений.
Расхождения геоцентрических координат Луны, найденных путем решения уравнений (2), от координат, найденных с помощью совместного решения уравнений (2) и (3) на дату 7 марта 31 г. до н.э., еще более значительны по сравнению с предыдущим случаем, т.к. по координатам X, У и 2 отклонения составляют минус 8243 км, 44715 км и 9410 км соответственно.
Поскольку точность геоцентрических координат Луны, найденных путем решения уравнений (4), значительно превышает точность координат Луны, найденных с помощью решения уравнений (2), это указывает на то, что решение уравнений (4) обеспечивает более высокую точность при исследовании движения больших планет и Луны по сравнению с решениями уравнений (2).
Как видно из данных, представленных в табл. 4-9, скорости вековых смещений долгот перигелиев Венеры, Земли+Луны и Марса, полученные с помощью решения уравнений (2) и найденные путем совместного решения уравнений (2) и (3), практически совпадают.
Принимая во внимание, что элементы орбит Венеры, Земли+Луны и Марса получены путем решения уравнений (4), точнее — решений уравнений (2), можно сделать следующие выводы:
а) решение релятивистских уравнений (2) не приводит к повышению точности координат и элементов орбит Венеры, Земли+Луны и Марса по сравнению с решениями уравнений (1);
б) на интервале времени порядка ±100 лет от начального момента интегрирования элементы орбит Венеры, Земли+Луны и Марса, найденные с помощью решения уравнений (1), (2) и (4), отличаются друг от друга в пределах погрешности оптических наблюдений;
в) с увеличением интервала интегрирования различия в координатах Венеры, Земли+Луны, Марса и Луны, найденных с помощью решения уравнений (4) и путем совместного интегрирования уравнений (2) и (3), учитывающих релятивистские эффекты и отклонение фигуры Земли от сфероида, возрастают; это указывает на ограниченные возможности применения современных математических моделей, описываемых уравнениями (1), (2) и (3), для исследования эволюции орбит Венеры, Земли, Марса и Луны на больших интервалах времени порядка 1 000 и более лет;
г) в результате численного интегрирования уравнений (2) и (4) различия в элементах орбит Меркурия на интервале времени с 31 г. до н.э. по 3969 г. н.э. находятся в пределах ошибок наблюдений.
The elements of the orbits of the Jupiter obtained using various calculation methods]
Current date Data sources (calculated by) M (in degrees) a (in au) e ш (in degrees) Q (in degrees) г (in degrees)
-31 03 07 JD 1709800.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 312.8228 312.8231 312.8228 5.2074821 5.2074820 5.2074821 0.0453923 0.0453923 0.0453923 272.1519 272.1516 272.1519 97.2532 97.2532 97.2532 1.3562 1.3562 1.3562
969 04 26 JD 2075100.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 61.5105 61.5107 61.5106 5.2081435 5.2081434 5.2081434 0.0479516 0.0479516 0.0479516 275.0554 275.0552 275.0554 98.7440 98.7440 98.7440 1.3279 1.3279 1.3279
2969 08 24 JD 2805700.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 284.8327 284.8325 284.8327 5.2075551 5.2075551 5.2075551 0.0498764 0.0498764 0.0498764 274.3641 274.3643 274.3641 102.2956 102.2956 102.2956 1.2881 1.2881 1.2881
3969 10 21 JD 3171000.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 35.6250 35.6247 35.6250 5.2076037 5.2076036 5.2076037 0.0521614 0.0521614 0.0521614 274.6955 274.6960 274.6955 104.2705 104.2705 104.2705 1.2777 1.2777 1.2777
CO
[The elements of the orbits of the Saturn obtained using various calculation methods]
Current date Data sources (calculated by) M (in degrees) a (in au) e ш (in degrees) Q (in degrees) г (in degrees)
-31 03 07 JD 1709800.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 348.9145 348.9147 348.9145 9.5466433 9.5466433 9.5466433 0.0622756 0.0622756 0.0622756 322.9485 322.9484 322.9485 118.8305 118.8305 118.8305 2.4193 2.4193 2.4193
969 04 26 JD 2075100.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 327.5055 327.5056 327.5055 9.5903937 9.5903937 9.5903936 0.0610962 0.0610962 0.0610962 330.1549 330.1548 330.1549 116.3185 116.3185 116.3185 2.4549 2.4549 2.4549
2969 08 24 JD 2805700.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 285.8508 285.8507 285.8508 9.5626834 9.5626835 9.5626833 0.0496486 0.0496486 0.0496486 343.0988 343.0988 343.0988 111.0836 111.0836 111.0836 2.5062 2.5062 2.5062
3969 10 21 JD 3171000.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 264.3956 264.3954 264.3956 9.5781705 9.5781703 9.5781707 0.0486358 0.0486358 0.0486358 350.4100 350.4100 350.4099 108.5257 108.5257 108.5257 2.5197 2.5197 2.5197
[The elements of the orbits of the Uranus obtained using various calculation methods]
Current date Data sources (calculated by) M (in degrees) a (in au) e ш (in degrees) Q (in degrees) г (in degrees)
-31 03 07 JD 1709800.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 78.0027 78.0027 78.0027 19.2364366 19.2364362 19.2364366 0.0443000 0.0443000 0.0443000 103.0330 103.0329 103.0330 72.6239 72.6239 72.6239 0.8089 0.8089 0.8089
969 04 26 JD 2075100.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 50.3013 50.3013 50.3013 19.1365856 19.1365855 19.1365857 0.0438437 0.0438437 0.0438437 93.8913 93.8913 93.8914 73.2938 73.2938 73.2938 0.7899 0.7899 0.7899
2969 08 24 JD 2805700.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 332.0219 332.0218 332.0219 19.1286124 19.1286122 19.1286126 0.0463700 0.0463700 0.0463700 102.2850 102.2850 102.2850 74.6454 74.6454 74.6454 0.7578 0.7578 0.7578
3969 10 21 JD 3171000.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 302.5293 302.5292 302.5293 19.2618769 19.2618770 19.2618766 0.0452229 0.0452229 0.0452229 96.3033 96.3034 96.3033 75.6454 75.6454 75.6454 0.7407 0.7407 0.7407
oo
The elements of the orbits of the Neptune obtained using various calculation methods]
Current date Data sources (calculated by) M (in degrees) a (in au) e ш (in degrees) Q (in degrees) г (in degrees)
-31 03 07 JD 1709800.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 150.8615 150.8615 150.8616 29.9904839 29.9904839 29.9904835 0.0099743 0.0099743 0.0099743 264.2646 264.2646 264.2645 131.9497 131.9497 131.9497 1.7670 1.7670 1.7670
969 04 26 JD 2075100.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 159.9568 159.9568 159.9567 29.9674104 29.9674102 29.9674106 0.0120014 0.0120015 0.0120014 280.7737 280.7737 280.7737 131.8879 131.8879 131.8879 1.7677 1.7677 1.7677
2969 08 24 JD 2805700.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 248.3255 248.3256 248.3255 30.2247150 30.2247150 30.2247148 0.0079769 0.0079769 0.0079769 242.7389 242.7389 242.7389 131.7682 131.7682 131.7682 1.7710 1.7710 1.7710
3969 10 21 JD 3171000.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 235.2572 235.2571 235.2573 30.0160418 30.0160416 30.0160422 0.0120156 0.0120156 0.0120156 280.7905 280.7906 280.7905 131.6531 131.6531 131.6531 1.7736 1.7736 1.7736
[The elements of the orbits of the Pluto obtained using various calculation methods]
Current date Data sources (calculated by) M (in degrees) a (in au) e ш (in degrees) Q (in degrees) г (in degrees)
-31 03 07 JD 1709800.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 300.4961 300.4961 300.4961 39.2452027 39.2452034 39.2452021 0.2467257 0.2467257 0.2467257 114.5391 114.5391 114.5391 110.5062 110.5062 110.5062 17.1696 17.1696 17.1696
969 04 26 JD 2075100.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 317.4043 317.4043 317.4043 39.4957303 39.4957298 39.4957305 0.2469954 0.2469954 0.2469955 113.2307 113.2307 113.2307 110.3002 110.3002 110.3002 17.1190 17.1190 17.1190
2969 08 24 JD 2805700.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 341.2172 341.2172 341.2172 39.5085346 39.5085338 39.5085349 0.2500633 0.2500633 0.2500633 114.2570 114.2570 114.2570 110.3268 110.3268 110.3268 17.1474 17.1474 17.1474
3969 10 21 JD 3171000.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2), (3) by the Eqs. (1) 350.7798 350.7798 350.7798 30.3101881 30.3101892 30.3101870 0.2452006 0.2452006 0.2452005 113.9625 113.9625 113.9625 110.0744 110.0744 110.0744 17.1527 17.1527 17.1527
о
oo
Несмотря на ограниченные возможности применения дифференциальных уравнений движения (1) и (2) к вышеуказанным объектам, данные уравнения применимы к исследованию эволюции орбит внешних планет Юпитер-Плутон на интервале времени 4 000 лет. В табл. 17-21 представлены элементы орбит Юпитера-Плутона на интервале времени с 7 марта 31 г. до н.э. по 21 октября 3969 г. н.э. Как показывают результаты вычислений (см. табл. 17-21), для исследования эволюции орбит данных объектов на интервале времени порядка 1 000 лет можно использовать наряду с уравнениями (4) уравнения (1) и (2).
В отличие от ньютоновых и релятивистских уравнений, решение уравнений (4) позволяет получить координаты больших планет и Луны на интервале 600 лет (1600-2200 гг.), полностью согласованные с наблюдениями без привлечения дополнительных уравнений.
В заключение следует отметить, что дифференциальные уравнения (4) свободны от недостатков, свойственных уравнениям (2), т.к. их использование для решения рассмотренных ранее задач приводит к сокращению рабочего времени программы численного интегрирования и повышению точности конечных результатов более чем на порядок. Кроме того, они могут быть эффективно использованы для исследования эволюции орбит больших планет и Луны на длительных интервалах времени порядка 1 000 и более лет. Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем.
Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.
Библиографический список
1. Чеботарев Г. А. Аналитические и численные методы небесной механики. М., Л.: Наука, 1965. 368 с.
2. Субботин М. Ф. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука, 1968. 800 с.
3. Newhall X. X., Standish E M., Williams J. G. DE 102: A numerically integrated ephemeris of the Moon and planets spanning forty-four centuries // Astron. Astrophys., 1983. vol. 125, no. 1. pp. 150-167.
4. Заусаев А. Ф., Заусаев А. А. Математическое моделирование орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы. М.: Машиностроение-1, 2008. 250 с.
5. Заусаев А. Ф. Исследование движения планет, Луны и Солнца, основанное на новом принципе взаимодействия // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. №3(36). С. 118-131. doi: 10.14498/vsgtu1304.
6. Заусаев А. Ф. Сопоставление координат больших планет, Луны и Солнца, полученных на основе нового принципа взаимодействия и банка данных DE405 // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2016. Т. 20, №1. С. 121-148. doi: 10.14498/ vsgtu1458.
7. Заусаев А. Ф., Романюк М. А. Численные методы в задачах математического моделирования движения небесных тел в Солнечной системе. Самара: СамГТУ, 2017. 265 с.
8. Красинский Г. А., Питьева Е. В., Свешников М. Л., Свешникова Е. С. Уточнение эфемерид внутренних планет и Луны по радиолокационным, лазерным и мередианным измерениям 1961-1980 гг. // Бюлл. ИТА АН СССР, 1982. Т. 15, №3. С. 145-163.
9. Заусаев А. Ф., Заусаев А. А, Ольхин А. Г. Численное интегрирование уравнений движения больших планет (Меркурий-Плутон) и Луны с учетом радиолокационных наблюдений // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2004. №26. С. 43-47. doi:10.14498/vsgtu175.
10. Заусаев А. Ф. Теория движения п материальных тел, основанная на новом принципе взаимодействия// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2006. №43. С. 132-139. doi: 10.14498/vsgtu463.
11. Standish E. M. JPL Planetary and Lunar Ephemerides: DE405/LE405. Interoffice memorandum: JPL IOM 312. F-98-048, 1998, August 26. 18 pp., ftp://ssd.jpl.nasa.gov/pub/ eph/planets/ioms/de405.iom.pdf.
12. Питьева Е. В. Современные численные теории движения Солнца, Луны и больших планет/ Эфемеридная астрономия/ Труды ИПА РАН, Т. 10. М.: Ин-т приклад. астрономии. С. 112-134.
13. Питьева Е. В. Высокоточные эфемериды планет - EPM и определение некоторых астрономических постоянных// Астрономический вестник, 2005. Т. 39, №3. С. 202-213.
14. Pitjeva E. V., Bratseva O. A., Panfilov V. E. EPM — Ephemerides of Planets and the Moon of IAA RAS: Their model, accuracy, availability / Proc. of the Journées 2010 "Systèmes de Référence Spatio-Temporels" (JSR2010): New challenges for reference systems and numerical standards in astronomy (Observatoire de Paris, 20-22 September 2010); ed. N. Capitaine, 2010. pp. 49-54.
15. Pitjeva E. V., Pitjev N. P. Development of planetary ephemerides EPM and their ap-plications// Celest. Mech. Dyn. Astr., 2014. vol.119, no. 3. pp. 237-256. doi: 10.1007/ s10569-014-9569-0.
16. Simon J.-L., Francou G., Fienga A., Manche H. New analytical planetary theories VS0P2013 and T0P2013// Astron. Astrophys., 2013. vol.557, A49. doi: 10.1051/ 0004-6361/201321843.
17. Folkner W. M., Williams J. G., Boggs D. H., Park R. S., Kuchynka P. The Planetary and Lunar Ephemerides DE430 and DE431: IPN Progress Report, 42-196, 2014, February 15. 81 pp., https://ipnpr.jpl.nasa.gov/progress_report/42-196/196C.pdf.
18. Everhart E. Implicit single-sequence methods for integrating orbits// Celestial Mech., 1974. vol.10, no. 1. pp. 35-55. doi: 10.1007/BF01261877.
19. Визгин В. П. Релятивистская теория тяготения (истоки и формирование, 1900-1915). М.: Наука, 1981. 352 с.
20. Le Verrier U. J. Theorie du movement de Mercure / Annales de l'Observatoire imperial de Paris. vol. 5: Annales de l'Observatoire de Paris. Memoires. Paris: Mallet-Bachelier, 1859. 195 pp.
21. Roseveare N. T. Mercury's perihelion from Le Verrier to Einstein. Oxford: Clarendon Press, 1982. viii+208 pp.
22. Богородский А. Ф. Всемирное тяготение. Киев: Наукова думка, 1971. 352 с.
23. Брумберг В. А. Релятивистская небесная механика. М.: Наука, 1972. 384 с.
24. Кислик М. Д., Колюка Ю. Ф., Котельников В. А., Петров Г.М., Тихонов В. Ф. Единая релятивистская теория движения внутренних планет Солнечной системы // Докл. АН СССР, 1980. Т. 255, №3. С. 545-547; Кислик М. Д., Колюка Ю. Ф., Котельников В. А., Петров Г. М., Тихонов В. Ф. Единая релятивистская теория движения внутренних планет Солнечной системы. Релятивистские эффекты при определении орбит планет по радиолокационным наблюдениям, Научная сессия Отделения общей физики и астрономии и Отделения ядерной физики Академии наук СССР (26-27 ноября 1980 г.) // УФН, 1981. Т. 134, №1. С. 165-166. doi: 10.3367/UFNr.0134.198105j.0165.
25. Кислик М. Д. Релятивистские эффекты при определении орбит планет по радиолокационным наблюдениям // Письма в Астрономический журнал, 1981. Т. 7, № 1. С. 56-60.
Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki
[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2019, vol. 23, no. 1, pp. 152-185 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) d https://doi.org/10.14498/vsgtu1663
MSC: 70F15, 70M20, 65L05
Comparison of various mathematical models on the example of solving the equations of the movement of large planets and the Moon
A. F. Zausaev, M. A. Romanyuk
Samara State Technical University,
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation.
Abstract
In this paper, we study the accuracy of solving various differential equations describing the motion of large planets, the Moon and Sun. On the time interval from 31 years BC to 3969 AD, the numerical integration of Newtonian, relativistic differential equations, and equations obtained on the basis of the interaction of the surrounding space with moving material bodies was carried out. The range of applicability of the considered differential equations for the investigated objects is revealed. By comparing of the coordinates of the Moon, found by solving various differential equations and the DE405 data bank, it is shown that the greatest accuracy in the elements of the orbits of large planets is achieved by solving differential equations obtained on the basis of the interaction of the surrounding space with moving material bodies. The solution of relativistic equations provides high accuracy of the orbit elements for Mercury and the outer planets throughout the integration interval. However, for the remaining inner planets and the Moon, the accuracy of the orbital elements obtained by solving relativis-tic equations is comparable to the accuracy obtained by solving Newton equations. It is believed that the use of the harmonic coordinate system is justified only for Mercury from the point of view of the velocity of the secular longitude displacement of its perihelion, but for other internal planets (the Venus, Earth & Moon, and Mars) the velocities of secular displacements of the longitude of the perihelion's are overstated. It is shown that the solution of differential equations obtained on the basis of the interaction of the surrounding space with moving material bodies ensures a high accuracy of obtaining orbital elements for all objects under consideration on the time interval under study.
Research Article
3 ©® The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) Please cite this article in press as:
Zausaev A. F., Romanyuk M. A. Comparison of various mathematical models on the example of solving the equations of the movement of large planets and the Moon, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2019, vol. 23, no. 1, pp. 152-185. doi: 10.14498/vsgtu1663 (In Russian). Authors' Details:
Anatoliy F. Zausaev https://orcid.org/0000-0002-5035-9615
Dr. Phys. & Math. Sci.; Professor; Dept. of Applied Mathematics & Computer Science;
e-mail: zausaev_af@mail.ru
Mariya A. Romanyuk © https://orcid.org/0000-0003-0796-2061
Cand. Tech. Sci.; Associate Professor; Dept. of Applied Mathematics & Computer Science; e-mail: zausmasha@mail.ru
Keywords: orbital elements, numerical integration, differential equation of motion.
Received: 6th December, 2018 / Revised: 27th February, 2019 / Accepted: 4th March, 2019 / First online: 15th March, 2019
Competing interests. We declare that we have no conflicts of interest in the authorship and publication of this article.
Authors' contributions and responsibilities. Each author has participated in the article concept development and in the manuscript writing. The authors are absolutely responsible for submitting the final manuscript in print. Each author has approved the final version of manuscript.
Funding. This research received no specific grant from any funding agency in the public, commercial, or not-for-profit sectors.
References
1. Chebotarev G. A. Analytical and Numerical Methods of Celestial Mechanics, Modern Analytic and Computational Methods in Science and Mathematics, vol. 9, American Elsevier Publishing Co., Inc., 1967, xviii+331 pp.
2. Subbotin M. F. Vvedenie v teoreticheskuiu astronomiiu [Introduction to theoretical astronomy]. Moscow, Nauka, 1968, 800 pp. (In Russian)
3. Newhall X. X., Standish E M., Williams J. G. DE 102: A numerically integrated ephemeris of the Moon and planets spanning forty-four centuries, Astron. Astrophys., 1983, vol. 125, no. 1, pp. 150-167.
4. Zausaev A. F., Zausaev A. A. Matematicheskoe modelirovanie orbital'noi evoliutsii malykh tel Solnechnoi sistemy [Mathematical modelling of orbital evolution of small bodies of the Solar system]. Moscow, Mashinostroenie-1, 2008, 250 pp. (In Russian)
5. Zausaev A. F. The Investigation of the Motion of Planets, the Moon, and the Sun Based on a New Principle of Interaction, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2014, no. 3(36), pp. 118-131 (In Russian). doi:10.14498/vsgtu1304.
6. Zausaev A. F. Comparison of the coordinates of the major planets, the Moon, and the Sun obtained based on a new principle of interaction and of the data bank DE405, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2016, vol.20, no. 1, pp. 121-148 (In Russian). doi: 10.14498/vsgtu1458.
7. Zausaev A. F., Romaniuk M. A. Chislennye metody v zadachakh matematicheskogo mod-elirovaniia dvizheniia nebesnykh tel v Solnechnoi sisteme [Numerical methods in problems of mathematical modeling of motion of celestial bodies in the Solar system]. Samara, Samara State Technical Univ., 2017, 265 pp. (In Russian)
8. Krasinskii G. A., Piteva E. V., Sveshnikov M. L., Sveshnikova E. S. Improvement of the ephemerides of the inner planets and the moon using radar, laser, and meridian measurements during 1961-1980, Institut Teoreticheskoi Astronomii, Biulleten, 1982, vol. 15, no. 3, pp. 145-163 (In Russian).
9. Zausaev A. F., Zausaev A. A., Ol'khin A. G. The numerical integration of the equations of motion for large planets (Mercury and Pluto) and Moon with the radar observations, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2004, no. 26, pp. 43-47 (In Russian). doi: 10.14498/vsgtu175.
10. Zausaev A. F. Theory of motion of n material bodies, based on a new interaction principle, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2006, no. 43, pp. 132-139 (In Russian). doi: 10.14498/vsgtu463.
11. Standish E. M. JPL Planetary and Lunar Ephemerides, DE405/LE405. Interoffice memorandum: JPL IOM 312. F-98-048, 1998, August 26, 18 pp., ftp://ssd.jpl.nasa.gov/pub/ eph/planets/ioms/de405.iom.pdf.
12. Pitjeva E. V. Modern numerical ephemerides of the Sun, the Moon and majorplanets, In: Efemeridnaia astronomiia [Ephemeris Astronomy], Proc. of IPA RAS, 10. Moscow, IPA RAS, pp. 112-134 (In Russian).
13. Pitjeva E. V. High-precision ephemerides of planets-EPM and determination of some astronomical constants, Solar System Research, 2005, vol.39, no. 3, pp. 176-186. doi: 10.1007/ s11208-005-0033-2.
14. Pitjeva E. V., Bratseva O. A., Panfilov V. E. EPM — Ephemerides of Planets and the Moon of IAA RAS: Their model, accuracy, availability, In: Proc. of the Journées 2010 "Systèmes de Référence Spatio-Temporels" (JSR2010): New challenges for reference systems and numerical standards in astronomy (Observatoire de Paris, 20-22 September 2010); ed. N. Capitaine, 2010, pp. 49-54.
15. Pitjeva E. V., Pitjev N. P. Development of planetary ephemerides EPM and their applications, Celest. Mech. Dyn. Astr., 2014, vol.119, no. 3, pp. 237-256. doi: 10.1007/ s10569-014-9569-0.
16. Simon J.-L., Francou G., Fienga A., Manche H. New analytical planetary theories VS0P2013 and T0P2013, Astron. Astrophys., 2013, vol.557, A49. doi: 10.1051/ 0004-6361/201321843.
17. Folkner W. M., Williams J. G., Boggs D. H., Park R. S., Kuchynka P. The Planetary and Lunar Ephemerides DE430 and DE431, IPN Progress Report, 42-196, 2014, February 15, 81 pp., https://ipnpr.jpl.nasa.gov/progress_report/42-196/196C.pdf.
18. Everhart E. Implicit single-sequence methods for integrating orbits, Celestial Mech., 1974, vol.10, no. 1, pp. 35-55. doi: 10.1007/BF01261877.
19. Vizgin V. P. Reliativistskaia teoriia tiagoteniia (istoki i formirovanie, 1900-1915) [The rel-ativistic theory of gravitation. Sources and formation, 1900-1915]. Moscow, Nauka, 1981, 352 pp. (In Russian)
20. Le Verrier U. J. Theorie du movement de Mercure, Annales de l'Observatoire imperial de Paris, vol. 5, Annales de l'Observatoire de Paris. Memoires. Paris, Mallet-Bachelier, 1859, 195 pp.
21. Roseveare N. T. Mercury's perihelion from Le Verrier to Einstein. Oxford, Clarendon Press, 1982, viii+208 pp.
22. Bogorodsky A. F. Vsemirnoe tiagotenie [Universal Gravitation]. Kiev, Naukova Dumka, 1971, 352 pp. (In Russian)
23. Brumberg V. A. Reliativistskaia nebesnaia mekhanika [Relativistic Celestial Mechanics]. Moscow, Nauka, 1972, 384 pp. (In Russian)
24. A Unified Relativistic Theory of the Motion of the Inner Planets of the Solar System, Proceedings of the USSR Academy of Sciences, 1980, T. 255, №3, C. 545-547 (In Russian); Kislik M. D., Kolyuka Yu. F., Kotel'nikov V. A., Tikhonov V. F. A Unified Relativistic Theory of the Motion of the Inner Planets of the Solar System. Relativistic Effects in Determination of the Orbits of the Planets from Radar Observations, Sov. Phys. Usp., 1981, vol.24, no. 1, pp. 437-438. doi: 10.1070/PU1981v024n05ABEH004807.
25. Kislik M. D. Relativistic effects in radar determinations of planetary orbits, Soviet Astronomy Letters, 1981, vol. 7, no. 1, pp. 31-34.
