Теория движения n материальных тел, основанная на новом принципе взаимодействия Текст научной статьи по специальности «Физика»

Астрономия

УДК 521.1, 521.4 А. Ф. Заусаев

ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ N МАТЕРИАЛЬНЫХ ТЕЛ, ОСНОВАННАЯ НА НОВОМ ПРИНЦИПЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Рассмотрен новый принцип взаимодействия материальных тел друг на друга. Получены дифференциальные уравнения движения п материальных тел. Вычислены элементы орбит больших планет, Луны и Солнца на интервале времени с 1600 по 2200 гг. Результаты вычислений сопоставлены с элементами орбит, определенных по данным координат и скоростей БЕ—405. Показано, что новая численная теория движения больших планет, Луны и Солнца, в которой отсутствует учет релятивистских эффектов, согласуется с БЕ—405.

1. Введение. Закон всемирного тяготения Ньютона, лежащий в основе небесной механики, отличается большой общностью. Однако он не связан с каким-либо конкретным представлением о природе или механизме взаимного притяжения между телами. Во втором издании «Начал» Ньютон отмечает: «До сих пор я изъяснял небесные явления и приливы наших морей на основе силы тяготения, но я не указал причины самого тяготения. Эта сила происходит от некоторой причины, которая проникает до центра Солнца и планет без уменьшения своей способности и которая действует не пропорционально поверхности частиц, на которые она действует (как обычно это имеет место для механических причин), но пропорционально количеству твердого вещества, причем ее действие распространяется повсюду на огромные расстояния, убывая пропорционально квадратам расстояний... Причину этих свойств силы тяготения я до сих пор не мог вывести из явлений, гипотез же я не измышляю. Довольно того, что тяготение на самом деле существует и действует согласно изложенным нами законам, и вполне достаточно для объяснения всех движений небесных тел и моря» [1] .

По-видимому, нельзя считать, что Ньютон довольствовался эмпирическим обоснованием закона тяготения. Он неоднократно указывал на возможность механического объяснения гравитации с помощью гипотезы об эфире, хотя это объяснение не казалось ему убедительным. Вместе с тем он отрицал идею о первичности гравитации, согласно которой тяготение представляет собой неотъемлемое свойство самой материи, которое проявляется в ее способности действовать на сколь угодно больших расстояниях. Рассуждая о природе и сущности гравитации, Ньютон писал: «Непостижимо, чтобы неодушевленная, грубая материя могла без посредства чего-либо нематериального действовать и влиять на другую материю без взаимного соприкосновения, как это должно бы происходить, если бы тяготение в смысле Эпикура было существенным и врожденным в материи. Предполагать, что тяготение является существенным, неразрывным и врожденным свойством материи, так что тело может действовать на любом расстоянии в пустом пространстве, без посредства чего-либо, передавая действие и силу, — это, по-моему, такой абсурд, который не мыслим ни для кого, умеющего достаточно разбираться в философских предметах. Тяготение должно вызываться агентом, постоянно действующим по определенным законам» [2].

На основе закона тяготения Ньютона впоследствие была разработана небесная механика, которая до середины 19 века вполне удовлетворительно объясняла движение небесных тел в Солнечной системе и служила образцом классической физики.

В начале 1850 г. французским ученым Леверье была построена теория движения Солнца и семи больших планет (Меркурий-Нептун) относительно Земли. Результатом его труда явилось доказательство невозможности представления наблюдений прохождения Меркурия по диску Солнца на основе ньютоновской динамики любой системой оскулирующих элементов и масс известных планет.

В конце 19 столетия Ньюком и Тиссеран пришли к выводу о существовании трех основных расхождений ньютоновской теории с астрономическими наблюдениями. Эти отклонения для векового движения перигелия Меркурия составляли 41'”- 43// (секунды дуги), для Венеры — 10" и Марса — 8".

Наряду с установленными эмпирическими трудностями стали все более выявляться и обсуждаться трудности, связанные с феноменологическим характером ньютоновской теории. Различные затруднения вызывали у ученых сомнения в точности закона Ньютона, и делались многочисленные попытки внести поправки в точную формулу закона тяготения. Эти попытки улучшения закона всемирного тяготения оставались безуспешными, и лишь создание общей теории относительности, казалось бы, устранило все имеющие трудности, связанные с прогнозированием движения небесных тел, объяснив при этом невязки теоретических расчетов с наблюдениями в смещении перигелиев планет.

Обладая преимуществами по сравнению с механикой Ньютона, общая теория относительности не свободна от недостатков. Важнейшим из них является вопрос о природе гравитации. В рамках общей теории относительности он так же, как и в теории гравитации Ньютона, рассматривается чисто феноменологически. Другим недостатком общей теории относительности является существенное усложнение дифференциальных уравнений в задаче п тел. Решение этой задачи приходится искать в виде рядов по степеням малых параметров. При этом учитываются лишь начальные члены, и совершенно не исследуется вопрос об их сходимости. Неудовлетворенность в существующих математических моделях, основанных на различных гравитационных теориях, на наш взгляд, испытывал каждый исследователь, занимаясь изучением движения небесных тел численными или аналитическими методами.

2. Построение математической модели. Возникает вопрос - возможно ли создание математической модели, в которой присутствует объяснение природы гравитации? На основании многочисленных фундаментальных исследований, проведенных ранее, можно ответить, что в рамках существующих моделей этот вопрос не может быть решен положительно. По-видимому, первопричину гравитации следует искать не только в наличии массы в материи, но и в ее движении.

После успехов кинетической теории газов В. Томсон писал: «Хорошо известная кинетическая теория газов представляет собой столь важный шаг на пути к объяснению с помощью движения таких свойств тел, которые представляются нами статистическими, что едва ли можно удержаться от мысли, что в будущем появится полная теория материи, в которой все свойства последней будут рассматриваться лишь как атрибуты движения» [3].

Возникает естественный вопрос — не является ли проявление гравитации следствием движения материи? На основании построения простейшей модели, описывающей гравитацию как атрибут движения, нами получены дифференциальные уравнения движения п материальных тел в барицентрической системе координат. Для вывода этих уравнений допускаются ряд упрощений: материальные тела имеют сферическую форму, с равномерно распределенной плотностью.

Вывод дифференциальных уравнений движения основан на следующей идее. В каждый фиксированный момент времени материальное тело занимает в пространстве определенный объем. При перемещении тела пространство, занимаемое им в предыдущий момент времени, освобождается. При этом освободившееся пространство заполняется окружающей его средой, тем самым происходит сжатие окружающего пространства на величину объема освобожденного движущемся объектом. Различные материальные тела занимают в пространстве определенные объемы. Однако вытесняемый ими объем, как правило, не равен фактическому объему и находится в прямой зависимости от плотности материального тела, т.е. для всякого материального тела существует предельная плотность, для которой можно рассчитать вытесняемый этим телом объем. Для сферически симметричных тел этот объем можно вычислить по формуле

*о = 3 р '03,

где г0 назовем эффективным радиусом материального тела.

На произвольном расстоянии г от центра материального тела пространство будет сжиматься на величину объема, равного

или

г3 - г3 = г3, (2)

где г — неизвестное расстояние, подлежащее определению.

Из выражения (2) найдем г по формуле

Г1 = 3г3 - Г03 . (3)

Из соотношения (2) находим

г3

г - Г1 = ^^-------2. (4)

г + гг1 + г1

С учетом (3) выражение (4) запишем в виде

г3

г - г-1 =-----1 0—I . (5)

г2 + г3г3 - г,3 + ^(г3 - г,3)2

При г = 0 соотношение (4) обращается в тождество г = г . Определим теперь 70 — время

сжатия пространства от г = г0 до г = 0, полагая, что г функционально зависит от ускорения а(г)

и времени / по закону

г = 0^, (6)

при этом

где

2

а(г) = 4, (7)

г

т = г02а (го)- (8)

Для нахождения Т0 , используя соотношение

ёг &

= а (г)і, (9)

получим

ёг = ц & г2

Разделяя переменные, уравнение (10) запишем в виде

(10)

Интегрируя уравнение (11)

г 2ёг = . (11)

'0 -‘•о

| г2ёг = ц| & , (12)

получим

го3 = тТо2

(13)

Выразив То из (13), находим

То2 = ^Т3. (14)

3ц

Полагая, что время сжатия пространства, занимаемое материальным телом и между сферами радиусов г и г1 одинаковым, из выражения (5) получим

го3 =а (г )То2 (15)

г2 + г3г3 - го3 + 3(г3 - го3)2

2

Подставляя вместо 70 правую часть выражения (14), находим

а( г) =-------. 3т—, . (16)

г2 + г3г3 - г3 + 3(г3 - г,3)2

Дифференциальные уравнения движения в задаче п тел в прямоугольных координатах с началом в центре масс всей системы п материальных точек имеют следующий вид [4]:

\

/

где Д? = (Xt - X)2 + (Y, - Y)2 + (Zj - Z)2.

В уравнениях (17) через X, У, 2 обозначены барицентрические координаты возмущаемого тела, а через т1, Х1, У\, 21 — массы и барицентрические координаты возмущающих тел. С учетом (16), полагая г = Дг-, дифференциальные уравнения движения (17) примут следующий вид:

где r0t — эффективный радиус t-го тела; a0t — соответствующее ускорение для t-го тела на расстоянии r от центра массы.

Дифференциальные уравнения (18) имеют более сложный вид по сравнению с уравнениями (17). Однако они значительно проще дифференциальных уравнений движения, учитывающих релятивистские эффекты [5].

Под эффективным радиусом материального тела будем понимать такой радиус сферы, которому соответствует сжатие пространства на величину фактического объема. Из физических соображений ясно, что тела различной плотности и одинакового размера не могут иметь равные эффективные радиусы. Их значения можно определить путем согласования решения уравнений (18) с наблюдениями.

Следует отметить, что система дифференциальных уравнений (18) не содержит масс тел.

Однако значения величин aot r0t2 полностью совпадают с величинами k2mt, входящими в уравнения движения ньютоновской задачи n тел.

3. Численное интегрирование уравнений движения больших планет, Луны и Солнца на интервале времени с 1600 по 2200 гг. В настоящее время одной из высокоточных численных теорий движения больших планет является планетная теория DE-405, созданная американскими учеными Ньюхалом, Стендишем, Вильямсом [5] на интервале времени с 2305424.5 J.D. (1599 Dес 5) до 2525008.5 (2201 Feb 20). Полученные ими эфемериды для внутренних планет полностью согласованы с оптическими и радиолокационными наблюдениями, а Луны — с лазерными наблюдениями.

С целью проверки эффективности различных математических моделей, описывающих движение больших планет, Луны и Солнца, нами проведены исследования движения этих объектов на интервале времени с 1600 по 2200 гг. В первом случае решались те же дифференциальные уравнения, что и при создании DE-405. Различие заключалось в учете влияния пояса астероидов на движение Марса и Юпитера [7]. В качестве второй математической модели, описывающей движение больших планет, Луны и Солнца, рассматривались дифференциальные уравнения (18). Начальные данные координат X, Y, Z и скоростей Vx, Vy, Vz, фактических радиусов r0t и ускорений, a0t приведены в табл. 1.

На смещение перигелиев внутренних планет (Меркурий-Марс), кроме возмущающего действия от внешних планет Юпитера и Сатурна, существенное влияние оказывает величина эффективного радиуса Солнца. Для согласования теоретических и расчетных смещений перигелиев внутренних планет был найден эффективный радиус Солнца, который оказался в 2,32 раза меньше фактического. Величины эффективных радиусов планет не влияют существенно на результаты вычислений.

Численное интегрирование уравнений движения в обоих случаях было проведено модифицированным методом Эверхарта 27 порядка с шагом интегрирования 3 дня [8, 9].

В табл. 2 и 3 приведены элементы орбит больших планет, вычисленные по координатам и скоростям, полученными различными методами. Элементы орбит первой строки соответствуют решению дифференциальных уравнений с учетом гравитационных и релятивистских эффектов.

(18)

Элементы орбит второй строки получены на основании решения дифференциальных уравнений (18). Элементы орбит третьей строки вычислены по координатам и скоростям БЕ-405. Элементы орбит в табл. 2 и 3 приведены на два крайних момента — на 4 сентября 1602 г. И 11 апреля 2200 г., где М — средняя аномалия, ю — аргумент перигелия, О — долгота восходящего узла, I — наклонение выражены в градусах и долях градусов; а — большая полуось в астрономических единицах.

Как видно из табл. 2 и 3, элементы орбит, приведенные в первой и третьей строках, почти полностью совпадают, так как различие в угловых элементах не превосходит 1 секунды дуги, а большие полуоси различаются в седьмом знаке после запятой. Элементы орбит планет, полученные с помощью решения дифференциальных уравнений движения (18), также незначительно отличаются от данных, приведенных в табл. 2 и 3 в строках 1 и 3. Максимальное различие в элементах орбит, приведенных в строках 2 и 3, имеет место в средней аномалии в 1602 г. 4 сентября. Для Венеры это отклонение составляет 0.007 градуса для барицентра Земля + Луна — 0.003 градуса и для Марса — 0.001 градуса.

При разработке численной теории больших планет, Луны и Солнца наиболее сложным объектом является Луна. На основании решения задачи п тел без учета фигур Земли и Луны не представляется возможным осуществить удовлетворительный прогноз ее эфемерид даже на несколько оборотов. Луна может служить вполне удовлетворительным объектом для проверки различных математических моделей, описывающих движение небесных тел. В табл. 4 приведены значения геоцентрических координат Луны на моменты времени 2306424.5 1.Б. (1602 г. 4 сентября) и 2524692.5 1.Б. (2200 г. 11 апреля), полученные различными методами. Данные в строке под номером 3 для координат и скоростей совпадают с данными БЕ-405. Координаты и скорости в строке 1 вычислены путем решения уравнений движения больших планет, Луны и Солнца с учетом гравитационных, релятивистских эффектов, в строке 2 — путем решения дифференциальных уравнений движения (18). Следует отметить, что при решении уравнений (18) не учитывалась несферичность фигур Земли и Луны. Однако, как видно из табл. 4, максимальное расхождение в координатах для всех трех случаев не превышает 4 • 10-6 а.е.

Т а б л и ц а 1

Начальные данные координат, скоростей, ускорений и радиусов планет, Луны и Солнца

Т = 2440400.5 ¿Б. (1969 06 28.0)

Меркурий

X= 0.361762714604 Ух = 0.00336749391398 г = 2.424-103

У= - 0.090781967730 Уу = 0.02489452044680 а = 0.369066656-10 2

г = - 0.085714983182 У = 0.01294630068860

Венера

X= 0.612751941342 Ух = 0.0109520683617 г = 6.100103

У= - 0.348365368495 Уу = 0.0156176843653 а = 0.899027143-10 2

г = - 0.195278288980 У = 0.00633110555360

Земля

X= 0.120527237123 Ух = 0.01680396477149 г = 6.20315 103

У= - 0.925814243017 ¥у = 0.00175034387379 а = 0.979831333-10 2

г = - 0.401527009924 У = 0.000759242499157

Луна

X= 0.119719059795 Ух = 0.01740504958809 г = 1.738 103

У= - 0.927808873018 Уу = 0.00158289841317 а = 0.163102

г = - 0.402614272585 У, = 0.00067368035418

Марс

X= - 0.110186074283 Ух = 0.0144816530597 г = 4.812103

У= -1.327599456133 Уу = 0.00024246311776 а = 0.469169773-10 2

г = - 0.605889132614 У, = - 0.000281520734247

Юпитер

X =-5.379706898836 Ух = 0.00109201154301 г = 7.1440 104

У=-0.830480581460 Уу = - 0.00651811656579 а = 2.484123914-10 ^

г=-0.224828700228 У, = - 0.00282078316536

Сатурн

X =7.894392441979 Ух = - 0.00321755523930 г = 6.0440-104

У =4.596477801627 Уу = 0.00433580985896 а = 1.038017148-10 2

г =1.558697573530 У= 0.00192864656566

Уран

X = - 18.265398306822 Ух = 0.000221188417418 г = 2.4860-104

У= - 1.161944505518 Уу = - 0.00376247593285 а = 0.939014231 10 2

г = - 0.250103483937 У= - 0.00165101470307

Нептун

X = - 16.055042583768 Ух = 0.00264277104336 г = 2.6500-104

У = - 23.942181216179 Уу = - 0.00149831445536 а = 1.000508651 10 2

г = - 9.400156723549 У= - 0.000679041903018

Плутон

X = - 30.483319603999 Ух = 0.000322210447723 г = 2.900-103

У= - 0.872478355496 Уу = - 0.00314357030215 а = 0.1167183115е102

г= 8.911563040990 У = - 0.00107794882974

Солнце

X= 0.0045025081562339 Ух = - 0.3517482096-10-6 г = 6.9596405726-105

У= 0.0007670747009324 Уу = 0.51776253996-10-5 а=273.9920358-10~3

г= 0.0002660568051770 У = 0.22291018544-10-5

Т а б л и ц а 2

Элементы орбит больших планет

№ м А е ю О. і

Т = 2306424.5 Ю. (1602 09 04.0) Меркурий

1 293.1778 0.387098 0.205553 27.95339 48.8674 7.0244

2 293.1778 0.387098 0.205552 27.95339 48.8674 7.0244

3 293.1779 0.387098 0.205553 27.95339 48.8674 7.0244

Т = 2306424.5 т (1602 09 04.0) Венера

1 108.2540 0.723331 0.006953 53.8602 77.8905 3.3961

2 108.2471 0.723331 0.006953 53.8671 77.8904 3.3961

3 108.2540 0.723331 0.006953 53.8602 77.8905 3.3961

Т = 2306424.5 т (1602 09 04.0) Земля + Луна

1 246.8564 1.000004 0.0168997 106.2239 355.2983 0.0456

2 246.8529 1.000004 0.0168997 106.2276 355.2979 0.0456

3 246.8564 1.000004 0.0168997 106.2233 355.2989 0.0456

Т = 2306424.5 т (1602 09 04.0) Марс

1 293.1928 1.523694 0.092958 283.4517 50.8750 1.8777

2 293.1916 1.523694 0.092958 283.4529 50.8750 1.8777

3 293.1929 1.523694 0.092958 283.4547 50.8750 1.8777

Т = 2306424.5 т (1602 09 04.0) Юпитер

1 204.2831 5.207558 0.046910 271.9670 100.0321 1.3124

2 204.2830 5.207558 0.046910 271.9670 100.0321 1.3124

3 204.2831 5.207558 0.046910 271.9670 100.0321 1.3124

Т = 2306424.5 т (1602 09 04.0) Сатурн

1 139.1467 9.586285 0.055285 339.9748 114.8348 2.4819

2 139.1467 9.586285 0.055285 339.9748 114.8348 2.4819

3 139.1467 9.586285 0.055285 339.9748 114.8348 2.4819

№ м А е ю О 7

Т=2306424.5 Ю. (1602 09 04.0) Уран

1 237.8304 19.122128 0.047972 98.9086 74.1304 0.7782

2 237.8304 19.122128 0.047972 98.9086 74.1304 0.7782

3 237.8304 19.122128 0.047972 98.9086 74.1304 0.7782

Т = 2306424.5 т (1602 09 04.0) Нептун

1 79.0040 30.190706 0.005925 306.1391 131.9421 1.7712

2 79.0039 30.190706 0.005925 306.1391 131.9421 1.7712

3 79.0039 30.190706 0.005925 306.1391 131.9421 1.7712

Т = 2306424.5 т (1602 09 04.0) Плутон

1 157.8425 39.307371 0.253439 113.6107 110.3017 17.1486

2 157.8425 39.307371 0.253439 113.6107 110.3017 17.1486

3 157.8425 39.307371 0.253439 113.6107 110.3017 17.1486

Т а б л и ц а 3

Элементы орбит больших планет

№ м А е а О 7

Т = 2524692.5 Ю. (2200 04 11.0) Меркурий

1 358.8283 0.387098 0.205657 29.6553 48.1183 6.9887

2 358.8283 0.387098 0.205657 29.6552 48.1183 6.9887

3 358.8282 0.387098 0.205657 29.6553 48.1183 6.9887

Т = 2524692.5 Ю. (2200 04 11.0) Венера

1 241.9618 0.723335 0.006686 55.6271 76.2302 3.3912

2 241.9663 0.723335 0.006686 55.6228 76.2302 3.3912

3 241.9618 0.723335 0.006686 55.6271 76.2302 3.3912

Т = 2524692.5 Ю. (2200 04 11.0) Земля + Луна

1 91.7078 1.000005 0.0166456 288.0882 175.5100 0.0325

2 91.7099 1.000005 0.0166456 288.0865 175.5067 0.0325

3 91.7078 1.000005 0.0166456 288.0877 175.5105 0.0325

Т = 2524692.5 Ю. (2200 04 11.0) Марс

1 190.2019 1.523747 0.093486 287.8232 49.1154 1.8291

2 190.2027 1.523747 0.093486 287.8224 49.1154 1.8291

3 190.2019 1.523747 0.093486 287.8232 49.1155 1.8291

Т = 2524692.5 Ю. (2200 04 11.0) Юпитер

1 338.3497 5.208591 0.049806 272.4749 101.1351 1.3005

2 338.3498 5.208591 0.049806 272.4748 101.1351 1.3005

3 338.3497 5.208591 0.049806 272.4749 101.1351 1.3005

Т = 2524692.5 Ю. (2200 04 11.0) Сатурн

1 249.4774 9.588815 0.054258 335.6337 113.2390 2.4952

2 249.4775 9.588815 0.054258 335.6337 113.2390 2.4952

3 249.4774 9.588815 0.054257 335.6337 113.2390 2.4952

№ M A e а i

T = 2524692.5 J.D. (2200 04 11.0) Уран

1 281.2222 19.195119 0.045939 95.5419 74.4974 0.7663

2 281.2222 19.195119 0.045939 95.5419 74.4974 0.7663

3 281.2222 19.195119 0.045939 95.5419 74.4974 0.7663

T = 2524692.5 J.D. (2200 04 11.0) Нептун

1 352.7685 30.279768 0.014844 257.5404 131.8688 1.7744

2 352.7685 30.279768 0.014844 257.5404 131.8688 1.7744

3 352.7685 30.279768 0.014844 257.5404 131.8688 1.7744

T = 2524692.5 J.D. (2200 04 11.0) Плутон

1 304.5396 39.261272 0.246703 114.6629 110.3505 17.1661

2 304.5396 39.261272 0.246703 114.6629 110.3505 17.1661

3 304.5396 39.261272 0.246703 114.6629 110.3505 17.1661

Т а б л и ц а 4

Геоцентрические координаты и скорости Луны

№ X Y Z Vx Vy У

T = 2306424.5 J.D. (1602 09 04.0)

1 0.00253951 0.000487831 0.000431458 - 0.000157110 0.000522525 0.000198897

2 0.00253998 0.000488711 0.000430543 - 0.000157116 0.000522577 0.000198456

3 0.00254053 0.000484362 0.000430198 - 0.000156284 0.000522684 0.000199059

T = 2524692.5 J.D. (2200 04 11.0)

1 0.00172905 - 0.00167429 - 0.000489618 0.000431618 0.000410248 0.000159046

2 0.00172856 - 0.00167491 - 0.000489655 0.000431773 0.000409945 0.000159321

3 0.00172941 - 0.00167394 - 0.000489501 0.000431531 0.000410340 0.000159056

На основании проведенных исследований можно сделать следующие выводы: дифференциальные уравнения движения (18) вполне удовлетворительно описывают движение больших планет, Луны и Солнца на интервале времени 600 лет; они значительно проще дифференциальных уравнений, учитывающих релятивистские эффекты и несферичность планет, кроме того, по затратам машинного времени более чем в 2 раза эффективнее последних.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ньютон И. Математические начала натуральной философии / Пер. А. Н. Крылова / Собр. трудов акад.

А. Н. Крылова. T. 7. — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1936. — 696 с.

2. Вавилов С. И. Исаак Ньютон. — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1961. — 294 с.

3. Визгин В. П. Релятивистская теория тяготения. —М.: Наука, 1981. — 352 с.

4. Чеботарев Г. А. Аналитические и численные методы небесной механики. — М.-Л.: Наука, 1965. — 368 с.

5. Newhall X. X., Standish E. M., Williams Jr. and other DE 102: a numerically integrated ephemeris of the Moon and planets spanning forty-four centuries //Astron. Astrophys., 1983. — No. 125. — P.150-167.

6. Standish E. M. JPL Planetary and Lunar Ephemerides, DE405/LE405 // Jet Prop Lab Technical Report. IOM 312. F-048. 1998. — P. 1-7.

7. Заусаев А. Ф., Заусаев А. А, Ольхин А. Г. Численное интегрирование уравнений движения больших планет (Меркурий-Плутон) и Луны с учетом радиолокационных наблюдений // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: «Физ.-мат. науки», 2004. — № 26. — С. 43—47.

8. EverhartE. Implist single methods for integrating orbits // Central Mechanics, 1974. — Vol. 10. — Р. 35-55.

9. Заусаев А. Ф., Заусаев А. А. Каталог орбитальной эволюции короткопериодических комет с 1900 по 2100 гг. — М.: Машиностроение-1, 2005. — 346 с.

Работа выполнена при финансовой поддержке Федерального агентства по образованию (проект РНП.2.1.1.1689).

Поступила 13.09.2006 г.