Математическое моделирование движения астероида 99942 Apophis на основе методов Адамса с переменным шагом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 521.1; 523.642 В. В. Абрамов

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ АСТЕРОИДА 99942 APOPHIS НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ АДАМСА С ПЕРЕМЕННЫМ ШАГОМ

Обоснован выбор методов Адамса с разделёнными разностями для решения уравнений движения малых тел Солнечной системы. С помощью данных методов произведено численное интегрирование с переменным шагом дифференциальных уравнений движения астероида 99942 Apophis. Определены моменты тесных сближений данного малого тела с большими планетами и Луной. Проведено исследование эволюции его орбиты на интервале времени 600 лет.

В настоящее время по-прежнему актуальной является проблема выбора эффективного метода численного интегрирования для решения дифференциальных уравнений движения небесных тел Солнечной системы. Например, специализированный метод Эверхарта [1], который является неявным одношаговым методом, демонстрирует высокую точность вычислений, сохраняя устойчивость даже при наличии тесных сближений небесных тел. Однако интегрирование с помощью метода Эверхарта осуществляется достаточно медленно, что может являться существенным недостатком, например, при исследовании эволюции орбит большого числа малых тел Солнечной системы на длительных интервалах времени.

Для решения задач небесной механики также могут применяться универсальные методы, такие как многошаговые методы Адамса [2]. Они обладают значительно более высоким быстродействием по сравнению с методом Эверхарта. Но методы Адамса являются весьма чувствительными к резким изменениям величин, входящих в правую часть дифференциального уравнения, что имеет место, например, в моменты тесных сближений небесных тел.

В работах [3-5] предлагались различные способы решения данной проблемы, например, применение в моменты тесных сближений метода Эверхарта с переменным шагом или скачкообразное уменьшение величины шага интегрирования в методе Адамса. При этом, во втором случае для закладки таблицы интегрирования при переключении шага также использовался метод Эверхарта. В обоих случаях происходило заметное снижение скорости вычислений, особенно для малых тел, имеющих большое количество тесных сближений на исследуемом интервале времени. Примером таких объектов является астероид 99942 ЛрорЫв.

В данной работе для исследования эволюции орбиты астероида 99942 ЛрорЫв были применены методы Адамса в форме записи с разделёнными разностями, которая позволяет производить численное интегрирование с переменным шагом. Это позволило устранить сразу несколько недостатков, рассмотренных выше. Во-первых, изменение величины шага интегрирования в методах Адамса с разделёнными разностями не требует производить закладку таблицы интегрирования и какие-либо другие дополнительные вычисления. Во-вторых, возможность плавного изменения величины шага упрощает построение критериев выбора оптимального шага интегрирования. В-третьих, данный алгоритм обладает более высоким быстродействием по сравнению с двумя другими подходами, рассмотренными выше.

Алгоритм численного интегрирования с использованием методов Адамса с переменным шагом можно реализовать в виде метода прогноза и коррекции Рд.ЕС^+\Е [2]:

Запись Р в уравнениях (1) означает применение предсказывающей формулы, Е — вычисление правой части дифференциального уравнения, С — применение исправляющей формулы. Выражение ¡п,п-1,..,п-1 обозначает г-ю разделённую разность /, определяемую следующей рекуррентной формулой:

к-1

г=0

Е : /га+1 = ¡{Хп+1,УП+і) >

П ■ „Р _1_ п.. &

С : уп+1 — уП+1 + 9к1 /П+

Е : /п+1 — / (хп+1,уп+1)-

(1)

Обозначение п п-к+1 относится к разделённым разностям, образованным с помощью /Попеременные коэффициенты д? в уравнениях (1) можно определить из рекуррентного соотношения

д? = (хп+1 — xn-i+1)gi-1,j — jgi—1,j+1, (3)

где

(хп+\ — хпу

90] ---------------• (4)

Метод численного интегрирования (1) применялся к дифференциальным уравнениям движения, описывающим математическую модель движения небесных тел с учётом релятивистских эффектов [6]:

,2^ rj - ^ Л 2к2 (в + 7)^ т к2(2в - 1) ^ тк

Г1 = к у ч— 1-------------5----/----------------5-----/--------Ь

ТЬ \ с2 Гк с2 rjk

?= ij \ к= k=j '}

2

, (УЛ2 , (л , л(УЛ2 2(1+7). ■ 3 ({п-Гэ)Ггх . ,

+ 7(7) +(1+7)(7) +^1 ~г^) +

+ ^ (<г- - х «2 + гг)* - (! + 2т)^))('ч - г») + —I] (5>

с-/-ГИ 2с ■ / ■ Г ^

j = ¿j j = ^

Здесь ri, гi, г — координаты, скорость, ускорение в барицентрической системе координат г-го возмущаемого тела; г?, Г?, Г? —координаты, скорость, ускорение в барицентрической системе координат ^-го возмущающего тела; к2 —гравитационная постоянная, ш? —масса ^-го тела; rij = |г? — ri|, V = |гi|; в и 7 — релятивистские параметры (в = 7 = 1); с — скорость света.

Методы Адамса с переменным шагом в виде (1) были применены к численному интегрированию дифференциальных уравнений движения (1) на интервале времени с 13 марта 1707 года по 8 мая 2307 года. Закладка таблицы интегрирования для инициализации многошагового метода осуществлялась с помощью одношагового метода Эверхарта с использованием уточнённых начальных параметров орбиты астероида 99942 ЛрорЫв за 10 апреля 2007 года, полученных из базы данных NASA ЛРЬ ВшаИ-Боёу1, а также начальных данных больших планет и Луны из банка данных координат и скоростей, описанного в работе [7].

На каждом шаге интегрирования величина следующего шага в методе Адамса с разделёнными разностями определялась по алгоритму, который можно представить в виде:

т / ч ]йо, а ^ ао, ¡г.,

(о) = ЬУ?. «><*>, (6)

где

7 2 Ш0

а0= к —. (7)

Г2

о

Величина шага интегрирования Н зависит только от величины а, которая выбиралась в следующем виде:

а = тахец, (8)

г=1 ,п

где ai —модуль ускорения, создаваемого г-м телом, влияющим на j-е тело, движение которого исследуется (г = ]). При этом Солнце в множество объектов ai не входит.

Остальные величины были выбраны ещё до запуска алгоритма, исходя из следующих соображений. Известно, что можно производить численное интегрирование методом Адамса с постоянным шагом Но = 0,2 дня до тех пор, пока исследуемый объект не сблизится с Землёй, масса которой составляет то = 3,00349 ■ 10-6 солнечной, на расстояние Го = 0,05 а. е. Тогда согласно формуле (7), критическое ускорение ао = 3,555 ■ 10-7.

1 И^р://ssd.jpl.nasa.gov/sbdb. cgi

Таблица 1 Таким образом, в отсутствие тес-

Сближения астероида 99942 ЛрорЫв с Землёй и Луной на рас- ных сближений численное интегрир°-

стояние менее 0,05 а. е. на интервале времени с 1707 по 2307 гг. вание осуществлялось с постоянным

шагом Л,0 = 0,2 дня. После возникновения в процессе вычислений на определённом шаге у исследуемого астероида максимального ускорения а, больше критического ао, сообщаемого одним из других тел, за исключением Солнца, производилось плавное уменьшение величины шага Н, согласно второму условию формулы (6), до тех пор, пока не прекращался рост ускорения а. После этого величина шага Н вновь плавно увеличивалась до значения Но при уменьшении ускорения а до величины ао. Затем численное интегрирование вновь продолжалось с постоянным шагом Но.

В результате вычислений на интервале времени с 1707 по 2307 гг обнаружено 95 сближений астероида 99942 ЛрорЫв с другими небесными телами на расстояние менее 0,1 а. е. (40 сближений с Землёй, столько же с Луной и 15 сближений с Венерой).

В табл. 1 приведены сближения астероида 99942 ЛрорЫв на расстояние менее 0,05 а. е. на исследуемом интервале времени. Расстояния между центрами небесных тел в моменты сближений представлены в километрах и астрономических единицах (1 а. е. = = 149 597870 км).

Из табл. 1 видно, что наиболее тесное сближение данного астероида с Землёй произойдёт 13 апреля 2029 года в 21:46 по всемирному времени на геоцентрическое расстояние 38 182 км, что хорошо согласуется с результатами, полученными при численном интегрировании методом Адамса—Мултона с постоянным шагом. Расхождение для минимального геоцентрического расстояния в момент сближения в 2029 году составляет лишь 436 км [8]. Однако по остальным сближениям наблюдаются расхождения в связи с тем, что в данной работе использовались уточненные начальные данные астероида (например, в работе [8] использовались начальные данные за 6 марта 2006 года, а в данной работе — за 10 апреля 2007 года). Для тесных сближений после 2029 года не совпадают даже годы сближений (в вышеупомянутой работе прогнозировались последующие сближения в 2037, 2059, 2066 и 2085 годах). Это указывает на важность проведения дополнительных наблюдений с целью более точного определения параметров его орбиты.

В табл. 2 для некоторых моментов времени, в том числе и для начального (10 апреля 2007 года),

Объект Дата а. е. км

Земля 12.04.1730 (18:18:50) 0,022173112 3317050

Луна 12.04.1730 (18:18:50) 0,019902292 2 977341

Луна 12.04.1747 (15:40:15) 0,032892195 4 920 602

Земля 13.04.1747 (00:52:16) 0,031915374 4 774 472

Луна 14.12.1762 (12:09:52) 0,041441443 6199 552

Земля 16.12.1762 (03:56:27) 0,041919167 6 271018

Земля 12.04.1772 (08:06:05) 0,036298647 5 430 200

Луна 12.04.1772 (08:06:05) 0,038734651 5 794 621

Луна 12.04.1813 (13:07:15) 0,007402272 1107364

Земля 13.04.1813 (05:10:17) 0,008334245 1 246 785

Земля 14.12.1829 (22:56:17) 0,047680406 7132 887

Луна 15.12.1829 (17:08:00) 0,046533400 6 961298

Земля 13.04.1866 (12:44:11) 0,004218737 631114

Луна 14.04.1866 (02:29:16) 0,003316772 496 182

Земля 16.12.1889 (19:00:50) 0,049518828 7407911

Луна 16.12.1889 (19:00:50) 0,049347222 7382 239

Земля 13.04.1907 (01:43:25) 0,027908926 4175116

Луна 15.04.1907 (15:54:19) 0,027543488 4120 447

Земля 14.04.1949 (10:10:49) 0,027929987 4178 267

Луна 14.04.1949 (23:34:21) 0,027789767 4157290

Земля 14.04.1990 (21:11:27) 0,032935860 4 927134

Луна 15.04.1990 (06:35:11) 0,031328050 4 686 610

Земля 14.04.1998 (18:40:32) 0,024386532 3 648173

Луна 15.04.1998 (01:40:31) 0,023696662 3 544 970

Земля 13.04.2029 (21:46:19) 0,000255231 38182

Луна 14.04.2029 (14:29:48) 0,000638076 95 455

Земля 15.09.2059 (13:15:54) 0,039703123 5 939 503

Луна 15.09.2059 (13:15:54) 0,037671948 5 635 643

Земля 13.04.2095 (00:53:57) 0,026590425 3 977871

Луна 13.04.2095 (03:26:01) 0,029060373 4 347370

Луна 17.09.2103 (02:07:25) 0,037340415 5 586 047

Земля 17.09.2103 (16:25:18) 0,037145827 5 556 937

Земля 15.09.2125 (10:09:12) 0,022371950 3 346 796

Луна 15.09.2125 (14:25:30) 0,022450569 3 358 557

Земля 16.04.2139 (03:03:31) 0,018093516 2 706 752

Луна 16.04.2139 (03:03:31) 0,017101643 2 558 369

Земля 15.09.2147 (13:49:29) 0,025340379 3 790 867

Луна 15.09.2147 (23:29:19) 0,024026512 3 594 315

Луна 19.04.2177 (01:17:42) 0,028538811 4 269 345

Земля 19.04.2177 (18:37:25) 0,025896054 3 873 995

Луна 09.09.2222 (01:11:39) 0,043617491 6 525 084

Земля 13.09.2222 (01:32:05) 0,042108209 6 299 298

Луна 11.09.2297 (12:28:25) 0,041161126 6157617

Земля 12.09.2297 (01:00:31) 0,043328783 6 481894

Земля 14.04.2304 (12:01:56) 0,048279658 7222 534

приведены элементы орбиты астероида 99942 ЛрорЫв: средняя аномалия М, большая полуось а, эксцентриситет е, аргумент перигелия ш, долгота восходящего узла О, наклон орбиты г. Величины М, ш, О, г представлены в градусах; а — в астрономических единицах; е — безразмерная величина. Таким образом, табл. 2 показывает эволюцию орбиты данного астероида.

Табли ца 2

Эволюция орбиты астероида 99942 Apophis на интервале времени с 1707 по 2307 гг.

Дата

13.03.1707

24.04.1730

03.04.1747

06.12.1762

03.04.1772

29.03.1813

10.12.1829

29.03.1866

18.12.1889

27.04.1907

25.04.1949

24.04.1990

26.04.1998

10.04.2007

30.03.2029

27.04.2029 23.09.2059 24.04.2095 25.09.2103 27.09.2125 28.04.2139 28.09.2147 03.05.2177 23.09.2222 19.09.2297 17.04.2304 08.05.2307

22:24:49)

10:39:48)

01:02:39)

20:57:38)

23:14:03)

15:55:02)

08:28:52)

22:41:06)

23:12:26)

07:26:50)

19:14:29)

23:05:49)

14:23:59)

00:00:00)

00:00:00)

19:11:09)

08:07:15)

06:11:32)

11:33:53)

09:45:07)

17:05:59)

12:55:02)

20:55:35)

02:18:34)

23:18:58)

15:40:14)

01:16:14)

М

0,7052428

270,36645

247,16269

87,297230

248,84071

238,50617

91,973569

240,48531

99,030972

266,88872

269,03284

267,78192

268,27349

307,36308

235,58632

319,85587

60,920001

316,45195

60,896085

63,723635

317,42992

65,088355

320,69683

61,228355

58,958840

309,01859

183,60927

a

0,9303491

0,9285462

0,9283718

0,9271583

0,9267927

0,9268410

0,9310846

0,9309129

0,9259617

0,9275130

0,9257476

0,9249740

0,9225507

0,9222614

0,9222135

1,1027182

1,1026320

1,1012634

1,1022857

1,1041030

1,1003635

1,0988253

1,1012606

1,0995044

1,1007003

1,0995020

1,0987260

е

0,1908806

0,1916905

0,1920085

0,1924704

0,1927272

0,1928373

0,1903542

0,1902411

0,1903232

0,1898123

0,1904755

0,1909312

0,1915836

0,1910594

0,1914259

0,1891611

0,1891150

0,1888249

0,1890859

0,1893357

0,1883698

0,1878057

0,1884943

0,1880765

0,1884818

0,1881050

0,1876366

и

113,76626

114,90983

115,21296

116,13430

116,84214

118,38164

118,03481

119,03456

121,90513

122,07641

123,65199

125,04736

126,03528

126,43178

126,76267

71,651826

72,646429

73,842023

74,538690

75,922989

76,999010

77,431890

77,206474

77,774488

78,349460

78,606724

78,728017

П

215,97118

215,21158

214,86554

214,30240

213,52877

211,97527

211,12214

209,65726

208,13457

207,52442

206,20274

204,92974

204,63106

204,41302

203,79912

203,51862

202,91239

202,40403

202,04407

200,92921

200,71314

199,89702

199,52969

198,65432

197,44374

197,36090

197,31846

і

2,7094444

2,7443539

2,7485547

2,7604792

2,7473274

2,7682214

2,9003817

2,9114522

3,2987401

3,3104324

3,3191705

3,3298152

3,3390705

3,3372298

3,3509423

2,2333121

2,2484335

2,2591452

2,2727247

2,3298124

2,3248126

2,3707469

2,3640533

2,3845573

2,4083746

2,4131980

2,4115664

Из табл. 2 видно, что наиболее значительные изменения в элементах орбиты астероида 99942 Apophis произойдут в результате тесного сближения 13 апреля 2029 года. Например, значение большой полуоси a изменится от 0,9222 а. е. до 1,1027 а. е., то есть данное малое тело перейдёт из группы астероидов Атона в группу Аполлона. Остальные сближения не приводят к столь значительным изменениям элементов его орбиты.

В заключение следует отметить, что при абсолютной звёздной величине H = 19,2 размеры астероида 99942 Apophis составляют примерно 350-400 метров, то есть в случае столкновения он может представлять серьёзную угрозу для жизни на Земле. Следовательно, необходимо продолжать исследования данного астероида, осуществлять расчёт его орбиты с помощью различных методов, проводить сопоставление полученных результатов для определения степени их достоверности.

Работа выполнена при финансовой поддержке Федерального агентства по образованию ( проект № РНП.2.1.1. 1689)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Everhart, E. Implicit single methods for integrating orbits [Text] / E. Everhart // Celestial mechanics, 1974. —No. 10. — P. 35-55.

2. Холл, Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений [Текст] / Дж. Холл, Дж. Уатт. — М.: Мир, 1979. —312 с.

3. Абрамов, В. В. Применение методов Адамса к решению уравнений движения больших планет, Луны и Солнца [Текст] / В. В. Абрамов / Мат. моделирование и краевые задачи: Тр. Третьей Всерос. научн. конф. — Самара: СамГТУ, 2006. — Ч. 3. — С. 13-19. — ISBN 5-7964-0802-X.

4. Абрамов, В. В. Совместное использование методов Адамса и Эверхарта для решения уравнений движения небесных

тел [Текст] / В. В. Абрамов // СамДиф-2007: конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения», г. Самара, 29 января - 2 февраля 2007 г. Тезисы докладов. — Самара: «Универс групп», 2007. — С. 16-17.

5. Абрамов, В. В. Исследование сходимости решения при моделировании тесных сближений небесных тел с помощью метода Адамса"— Мултона [Текст] / В. В. Абрамов // Актуальные проблемы современной науки: Труды 3-го Международного форума (8-й Междунар. конф. молодых учёных и студентов). Естественные науки. Часть 3: Механика. Машиностроение. — Самара: СамГТУ, 2007. — С. 6-14.

6. Newhall, X. X. DE102: a numerically integrated ephemeris of the Moon and planets spanning forty-four centuries [Text] / X. X. Newhall, E. M. Standish, Jr. and J. G. Williams // Astron. Astrophys. — 1983. — No. 125. — P. 150-167.

7. Заусаев, А. Ф. Каталог орбитальной эволюции короткопериодических комет с 1900 по 2100 гг. [Текст] / А. Ф. За-усаев, А. А. Заусаев — М.: Машиностроение-1, 2005.—346 с.

8. Абрамов, В. В. Математическое моделирование движения малых тел Солнечной системы на основе методов Адамса [Текст] / В. В. Абрамов // Вестн. Сам. госуд. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. — 2006. —№43. —С. 192-194. —ISBN 5-7964-0877-1.

Самарский государственный технический университет, г. Самара Поступила 07.12.2007

vva85@mail.ru

V. V. Abramov

MATHEMATICAL MODELING OF MOTION OF THE ASTEROID 99942 APOPHIS ON THE BASIS OF ADAMS METHODS WITH A VARIABLE STEP SIZE

The choice of Adams methods with divided differences has been validated for solving of the equations of motion of small bodies of the Solar system. The numerical integration with a variable step size of differential equations of motion of the asteroid 99942 Apophis has been carried out with the help of these methods. The moments of closest approaches to major planets and the Moon by this minor planet has been determined. The evolution of its orbit has been investigated on 600 years time interval.

Samara State Technical University, Samara, Russia vva85@mail.ru

Received 07.12.2007