Решетки понятий n-арных отношений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.4

В. Е. Новиков РЕШЁТКИ ПОНЯТИЙ Я-АРНЫХ ОТНОШЕНИЙ'

В настоящей статье развивается аппарат алгебры отношений В В. Вагнера [1] с целью применения алгебраической теории и-арных отношений к формальному концептуальному анализу, начало которому положено в работах Р. Вилле, Б. Гантера, П. Бурмейстера и др. [2]. Разработанные методы позволяют обобщить понятие формального контекста с одноместного на многоместное множество объектов, ввести многомерное понятие с многомерным множеством атрибутов Основные результаты работы посвящены определению условий, при которых понятия и-арного отношения образуют систему замыканий по включению [3]. В статье приведён пример, раскрывающий нетривиальность поставленной задачи.

Пусть рсЛ/, х ...х А/п - некоторое л-арное отношение и элементы д:(1 еМ,- , л: е М,- е М{ , 1 << <1к<п Будем говорить, что

¿-система (х^,...,х1к) входит в р, если существует и-система, (х1,х2, ..,хп)е р, в которой элементы х. присутствуют в качестве

соответствующих компонент. Если А=1, то просто говорим: элемент х1 е М1, \<1<,п, входит в р. Введём индексные векторы: вместо

1 </, <...<1к <п, будем писать Тк, 1 <к<п, пологая м = ¡,, и соответственно вместо М: х...хМ, писать М- , а вместо (х. ) писать*; .

'1 'к 'к ' 4 '1 ' ' 'к ' 'к

Пустьр с Мх х...хМп, 15к й п и а- е М^ Тогда формула

л (р) = {дг, еМ- | х, входит в р} 1к 1 'к '»I у>

будет определять оператор проекции п-арного отношения р на базисные множества М^ ,...,М^ , а формула

°(^}(р) = {(*1>-е р| а11входитв(хи.. ,хп)} - оператор выбора п-арного отношения р по к-системе а^ е М^ . Если I < < п и ХсМ-г то множество (х11} :=п)к (а{г, }(Р)) будем называть элементарным ]к -срезом р через х- , а множество

Рл(*):= П Рлк>

х. еЛ'

* Работа выполнена при поддержке ГЫТАБ, грант № 99-1224

111

- дуальным)к -срезом р через подмножество X. Последовательный результат дуальных срезов р; (р^ (X)) обозначим через р;-^(А").

Подмножество X с М, , !<.?<« назовём -понятием «-арного отношения р, если существует 7* ■ 1 ^ к < и, такой, что

Причем д. назовём определяющей системой атрибутов /, -понятия Л'.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Пересечение двух г, -понятий «-арного отношения рсМг х...хА/п, с одной и той же определяющей системой атрибутов опять является ¡г-понятием этого отношения.

Следующий пример показывает, что пересечение -понятий с различными определяющими системами атрибутов не всегда будет /^-понятием этого отношения Пусть X = {а^;а2,а3}, У = {а2;а3;о4}, Х,У С М\, из отношения на М2, Л^з (рис !). Покажем, что они являются 1-понятиями: Ра(*) = {МП0,;б2}П{Л,;Мв<М. Рп(Л = Р|({М)=*. Рз(у)={с2;с4}П{сз;с4}П{с4} = {с4}, Р,3(К) = Р1({с4}) = У. Рассмотрим их пересечениеXГ\У = {а2,а3}. Найдём р2(ХПХ) = {¿>,}, р3(ЛГПГ) = {с4}, р(2;3)(^П/)=0. Откуда Р12(ХС)У)=Х, рп(Х Г\У)=У, Р\(1,ъ)(ХС\У)=Мх. Следовательно, пересечение ХПУ не является

1-понятием На рис. 2, 3, 4 изображены всевозможные решётки 1-понятий этого отношения соответственно с системами атрибутов (2), (3) и (2,3).

На рис. 5 видно, что всё множество М\ Мг М\ 1-понятий образует упорядоченное мно-

жество, не являющееся решёткой. В случае произвольного «-арного отношения ясно, что пересечение двух Г5-понятий, подобных понятиям примера, не будет являться ^-понятием. Есть гипотеза обратной связи, если пересечение двух /¿-понятий не является -понятием, то они подобны 1-понятиям данного примера.

ОтношениераМ1х...хМ„ назовём частично однозначным относительно М. , 1 <л<«, если каждый элемент

х е М входит в р не более одного

11

Рис 1 раза.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Если и-арное отношение р<=М1х...хМ„ является частично однозначным относительно М , 1 <5< п, то пересечение лю-

'I

бых двух его -понятий опять является -понятием этого отношения.

{a,, ci], а3, а4} {а,, а2, а}, а4} {аи а2, а3, а4)

/°\ 1Э"

{о,,о2, а3)о у' О аз, а*} /

ЫС{ \> {аз})о } о^ЫО )э{аз) {а,

Рис 2

Рис. 3

О {0}

Рис 4

Пусть рсМ,х...хМп частично однозначно относительно Mtî, 1 <s<n, и Т - множество всех (¿-понятий {аь а2, а3, а<}

и-арного отношений р . Если X с M■ , то

Ji (.V):= Р)т будем называть замыка- {щ,аг,а3ул Ь\{о2,03,04}

хеТлХат

нием множества X. {о^О^

ТЕОРЕМА. Оператор J- является

оператором замыкания [3] на подмножествах из относительно упорядоченности {0}

по включению. Рис 5

Предложение 2 и следующая за ним теорема в частности указывают, что множество всевозможных понятий по любому ключу реляционной базы данных [4] образует полную решётку.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Вагнер В.В. Теория отношений и алгебра частичных отображений // Теория полугрупп и её приложения Саратов: Изд-во Сарат ун-та, 1965 Вып. 1

2 Wille К Introduction to Formal Concept Analysis Darmstadt: Technische Hochschule Darmstadt. 1996. Oktober

3 Киркгоф Г. Теория решёток. M Наука, 1984

4 МейерД Теория реляционных баз данных. M : Мир, 1987