Решения уравнений переноса длинноволновой радиации Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 551.521+58.03

Л.Н. Плинокосова

Решения уравнений переноса длинноволновой радиации

Отраженную от земной поверхности радиацию называют восходящим потоком. Часть же восходящего потока, отраженного от нижней поверхности облаков и вновь направленного к земной поверхности и противоизлучение атмосферы называют нисходящим потоком.

Интерес вызывает эффективное излучение земной поверхности, так как оно оказывает большое влияние на температурный режим земной поверхности, играет существенную роль в образовании заморозков и туманов, при снеготаянии и т.д.

Практически трудно учесть все многообразие факторов, определяющих изменение эффективного излучения при наличии облачности.

На практике, в основном используют упрощенные модели, которые учитывают зависимость эффективного излучения от облачности, упругости водяного пара и т.д.

Но их основной недостаток в том, что нельзя определить значение эффективного излучения на определенном расстоянии от деятельной поверхности почвы.

Поэтому при моделировании используется двухпотоковая модель длинноволновой радиации, т.е. основополагающим моментом при составлении модели является то, что эффективное излучение есть разность двух потоков. Каждый слой атмосферы излучает тем больше, чем больше в нем водяного пара и углекислого газа и чем выше его температура. Излучение слоя, направленное вниз, отчасти поглощается и ослабевает в нижних слоях, но зато к нему присоединяется излучение последних. Этот процесс называется переносом излучения. На земле мы наблюдаем излучение атмосферы, как сумму таких частично ослабленных излучений отдельных слоев. В атмосфере на высоте, например, г мы можем наблюдать не только нисходящий

поток такого излучения F ^ (г), но и восходящий поток F ^ (г), складывающийся из излучения поверхности Земли и нижних

слоев атмосферы, ослабленного по пути до высоты г . Значения Е^(г) и Е^ (г) зависят от высоты [1].

Величина

D = Е^(г)-Е\г + Аг)+ЕГ(г + Аг)-ЕГ(г) (1) называется дивергенцией излучения (радиации) в слое Аг. При D < 0 потоки Е ^(г) и Е ^ (г) производят нагревание слоя воздуха Аг, при D > 0 - его охлаждение.

Рассмотрим горизонтальный слой атмосферы толщиной dг. Обозначим через

Е ^ (г) поток длинноволнового излучения атмосферы, идущий сверху вниз. Из этого потока в слое dг поглотится

ёЕ ^ = арЕ ^ ёг,

(2)

где а - коэффициент поглощения длинноволнового излучения, р - плотность поглощающего вещества.

На нижней границе слоя ёг к потоку

Е ^ (г) присоединяется излучение самого слоя. Поток его выражается как

ёЕ = -аррЕёг, (3)

где Е = оТ4; коэффициент / < 1 введен потому, что в длинноволновой части спектра атмосфера излучает меньше, чем абсолютно черное тело (как "серое" тело); знак минус

означает, что Е^(г) увеличивается вниз на ёЕ.

В результате получим

^ = ар(ЕЕ).

аг

(4)

Навстречу Е^(г) снизу направлен поток длинноволнового излучения Земли и атмосферы, который мы обозначим через Е ^ (г). Слой ёг поглощает из него, как и из Е^(г), ёЕТ = -арЕТёг, (5)

а на верхней границе слоя к потоку Е^ (г) присоединяется излучение самого слоя

Решения уравнений переноса длинноволновой радиации

dE = apfEdz.

Итак, окончательно получаем

(6)

dF1

= «fl

(fE - Ft)

& ' . (7)

Таким образом, уравнения переноса длинноволновой радиации имеют вид:

dF-= «fF ч т)

dz

dF

t

dz

= «f\

(fE - Ft)

Либо

dF'

dF' dz

¡¡af(F1 - B)

= «f(B - Ft)

(8)

(9)

(10)

(11)

где ¡3 ~ 1,66 - числовой коэффициент, B = B(A, T) - функция Планка:

B =

8nhe

1

e

he/ AkT

- 1

(12)

где h = 1,0545887 *10 34 Дж ■ с - постоянная Планка, 5 = 0,95, k = 1,38*10 23 Дж ■ с

- постоянная Больцмана, с = 299792458м / с

- скорость света.

Потоки F ^ (г) и F^ (г) удовлетворяют граничным условиям [4]:

F ^ ^ 0, при г ^ да , FТ = 5В + (1 - 5)F1, при г ^ 0 . Введем безразмерную величину ¡3 = Не/ АкТ = 4,9651142, тогда функция

Планка примет вид:

8жк 5р5 T5

B =

4 4

h e

e3 -1

Формулы (10) и (11) запишем в виде:

F1 z = ¡3«fF«fB, (13)

Ft z = ¡¡«fB - ¡3«fFt. (14) Решение уравнения (14) имеет вид:

z

Ft (z) = e-papz Ft (0) + ¡afJ B(z)ePapzdz , (15) _ 0 _

где

H

Ft (0) = -p«f* JB(z)epaffdz. (16)

0

Решение уравнения (13), с учетом гра-

ничных условий, имеет вид:

F Ф (z) = e"

Ft (0) - SB (0)

1 - S

- P«f* JB(z)epaixdz

.(17)

При численной реализации алгоритма атмосфера разбивается на километровые слои. Данная модель позволяет через эффективное излучение определить температуру любого слоя атмосферы, а также деятельной поверхности почвы.

Приведенная модель переноса тепловой радиации будет использована в блоке «Тепловой режим почвы и атмосферы» при построении комплексной модели продуктивности растений.

Литература

Матвеев Л.Т. Курс общей метеорологии. Физика атмосферы. Л., 1984.