РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ТИПА В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА И ЕГО ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Physical and mathematical sciences / Fizika-matematika fanlari / Физико -

математические науки

International journal of theoretical and practical research

Scientific Journal

QR-Article

Year: 2022 Issue: 1 Published: http://alferganus.uz

Volume: 2 31.01.2022

Citation:

Hasanov, A., Kozimova, O. (2022). Solutions to a system of hypergeometric type differential equations in partial derivatives of the third order and its integral representations. SJ International journal of theoretical and practical research, 2 (1), 159-179.

Хасанов, А., Козимова, О. (2022). Решения системы дифференциальных уравнений гипергеометрического типа в частных производных третьего порядка и его интегральные представления. Nazariy va amaliy tadqiqotlar xalqaro jurnali, 2 (1), 159-179.

Doi: https://dx.doi.org/10.5281/zenodo.6091468

DOI 10.5281/zenodo .6091468

Хасанов Анвар

доктор физико-математических наук, профессор, Институт математики имени В.И. Романовского, АН Республики Узбекистан

Козимова Одина

Наманганский государственный

университет

UDC 517.588 Mathematics Subject Classification (2010): 33C20, 35A08, 35M70, 44A45

РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ТИПА В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА И ЕГО ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Аннотация: В этой статье изучаются свойства функции Кампе де Фериет от двух аргументов третьего порядка ^г-г [—у] ■ Доказаны

интегральные представления и система дифференциальных уравнений в частных производных гипергеометрического типа■ Указано, что полученная система гипергеометрического типа в начале координат имеет девять линейно независимые решения■

Ключевые слова: Гипергеометрические функции многих переменных, система уравнение гипергеометрического типа, интегральные представления линейно независимые решения.

Hasanov Anvar

Dr. Sci. (Math. & Phys.), Professor, Institute of Mathematics named after V.I. Romanovsky Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan

Kozimova Odina

159

ISSN 2181-2357 T. 2. №1. 2022

SJIF 2021:5.5

Namangan State University

SOLUTIONS TO A SYSTEM OF HYPERGEOMETRIC TYPE DIFFERENTIAL EQUATIONS IN PARTIAL DERIVATIVES OF THE THIRD ORDER AND ITS

INTEGRAL REPRESENTATIONS

Abstract: This article studies the properties of the Campe de Feriet function of two arguments of the third order. Integral representations and a system ofpartial differential equations of hypergeometric type are proved. It is indicated that the resulting system of hypergeometric type has nine linearly independent solutions at the origin.

Keywords: Hypergeometric functions of several variables, system of hypergeometric equations, integral representations, linearly independent solutions.

Введение

Гипергеометрическая функция - обобщение геометрической прогрессии, обладает множеством замечательных свойств, благодаря которым она привлекала внимание математиков в течении по крайней мере двух веков. Изучение этой функции привело Гаусса (Johann Carl Friedrich Gauss) к исследованию вопроса сходимости рядов, Римана (Georg Friedrich Bernhard Riemann) - к задаче об аналитическом продолжении и изучению дифференциальных уравнений с особыми точками.

Название "гипергеометрический" этому ряду дал Валлис (John Wallis) в 1655 году. Позже его изучали Эйлер (Leonard Euler) и Куммер (Ernst Eduard Kummer). Однако, до работ Гаусса это ряд нельзя было называть функцией в современном понимании этого слова. Гаусс доказал сходимость гипергеометрического ряда и следовательно, существование гипергеометрической функции. Тем не менее, проблемы оставались и после работ Гаусса. Легко понять, что гипергеометрический ряд сходится лишь в единичном круге на комплексной плоскости, в то время как, гипергеометрическая функция может быть аналитически продолжена и за границу этого круга. Проблема - построить аналитическое продолжение гипергеометрической функции на всю комплексную плоскость. Такое аналитическое продолжение можно сделать, изучив свойства решений дифференциального уравнения для гипергеометрической функции.

Большой интерес к теории гипергеометрических функций связано в основном тем, что решение многих прикладных задач, включая задачи теплопроводности и газовой динамики, электромагнитные колебания, квантовой механики и теория потенциала можно получить с помощью гипергеометрических (высших и специальных или трансцендентных) функций [1, 5, 6, 7, 17, 18]. Такие функции часто называют специальными функциями математической физики. Цель настоящей работы доказать некоторые свойства для наиболее общей гипергеометрической функции двух переменных F1^2 [у] третьего порядка, то

есть рассматривается функция из класса гипергеометрических функций Кампе де Фериет двух переменных (см. [1, 19]):

© ®

160

ISSN 2181-2357 T. 2. №1. 2022

F

p\q\k m;n

(«p): ); ( Ck );

( e) : ( fm );( gn);

П («- L П (b IП (с),

j=1

j=1

= у -j_

/ j l m n

П («j L П fo )r П k )tr! s!

x'ys

(1.1)

j=i

j=i

j=i

область сходимости ряда (1.1) определяется следующим образом:

если p + q < l + m +1, p + k < l + n + 1, TO x <да, y <да,

если же p + q = l + m +1, p + k = l + n +1, TO

1 1 Ixlp-l +1 y|p-l < 1, при p > l,

и

max

(1.2)

А х| ,| у | }< 1, при р < I,

р

где П (а.) = (а,) (а2) •••(ап) .

" 1 1 V ])т+п V ^т+и\ 2/т+п V Р /т+п

Отметим, что функции Римана и фундаментальные решения вырождающихся дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка выражаются с помощью гипергеометрических функций многих переменных (см. [2, 3, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 20, 21]). Поэтому при исследовании краевых задач для этих уравнений в частных производных нам необходимо изучить решение системы гипергеометрических функций и найти явные линейно независимые решения (см. [10, 11, 12, 13]). Функция Г™* содержит

большое количество функций типа Аппеля. Здесь мы выбираем функции ^1;222 [X у]

определяемый следующим двойным рядом (см. [1, 19]):

F

1;2;2

b1 j Ь2 ; C1' C2 ; —; e1, e2; f1, f2;

Х,У

» (a) (К ) (К ) (с ) (с, )

У /m+n У ^У 2/^V пУ 2/n j*m n

m, n=0

(e1 )m (e2 )m (f )n (f2 !

(1.3)

где a,b, b, С, С, , e2, f, f e J постоянные числа, причем ^, e2, f, f не являются отрицательными целыми числами а (a) = a (a + l)(a + 2)---(a + r-1), (a) = 1, (a) =Г(a+r)/Г(a) обозначение Похгаммера (Leo Pochgammer), r(a) - гамма функция Эйлера.

Интегральные представления

Гипергеометрические функции от двух переменных могут выражаться либо интегралами типа Эйлера, либо интегралами типа Лапласа или интегралами Меллина (H.J. МеПт). Такие интегральные представления могут быть найдены во многих случаях, но подынтегральная функция в большинстве из них содержит гипергеометрическую функцию или их произведения.

161

ISSN 2181-2357 T. 2. №1. 2022

Естественно, список гипергеометрических функции от двух переменных слишком велико и здесь невозможно привести полный перечень интегральных представлений. Интегральные представления полезны для аналитического продолжения гипергеометрических функции от двух переменных, в теории их преобразования, а также для интегрирования гипергеометрических систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Если использовать разложение в ряд и применить либо интеграл Эйлера первого рода или интеграл второго рода функцию, то получаются интегральные представления для гипергеометрических функции Кампе де Фериет (Kampe de Feriet) от двух переменных.

Теорема 2.1. Если выполняются неравенства Re ^ > Reb > 0, Re f > Rec > 0, то имеет место интегральное представление

F

1;2;2 0;2;2

a, bi, b2 ; C1, c2 ; -, , ^2, fi, f2;

x, y

r( ei )r( fi)

Г(bi )r(ci )r(e -bi )r( fi -ci)

i i

(2.1)

xJJ ^^^V-i (i-bi-i (i-v)fi-ci-i F2 (a;b2,c2;e2, f2,yv)

0 0

где

F2 (a; ß, few, x, y)= £ \ß\m ^ ]" xmyn, {X + W < i},

m ,n=0

Mm fo )nm ! n !

(2.2)

Доказательство. Для доказательства справедливости интегрального представление (2.1), подынтегральную функцию ^ (а;Ъ2,с2;е2,/;уц) заменим по

определению (2.2), тогда мы имеем

F

i;2;2 0;2;2

a; bi , b2 ; Ci , С2 ; —; ei, e2; fi, f2;

X, У

Г( ei )Г( fi)

r(bi )Г( ci )Г( ei - bi )Г( fi - ci)

<J J 4*-V-i (i(i-v)fi-ci-i i V (b;lm (c2 )n {xtT {yv)ndtdv.

0 0 m ,n=0 (e2 )m (J2 ) „m-n-

Меняя порядок интеграла и суммы, мы находим

F

i;2;2 0;2;2

bi, b2 ; ci, c2 ; -; ei, e2; fi, f2;

X, У

Г( ei )Г( fi)

Г(bi )Г(ci )Г(ei - bi )Г(fi - ci)

i (aLn(b2))m (c2 )n xmyn J^+m-i (i - ^-bi-i d£ J vci+n-i (i - v)fi-ci-i dv.

m,n=0 (e2 )m (f2) nm!n! 0 0

В силу определения Бета функции Эйлера [6]

x

© ®

162

получаем

F1

-L f\■

x, y

m,n=0 (e2

a; b\, b2; C\, C2' —, e\, e2? f\, f2; (a) (¿2) (С)

У s m+n \ 2 / m \ 2 /. (e2 )m ( f2 )nm!n!

Г(e )r( f\)

Г(Ь\)Г(c\)Г(e\ -b\)Г(f\ -c\)

x £ ( a ) m+n ( ¿2 ) m (C2 ) n %m yn Г( Ь\ + m )Г( e\ - Ь\ ) Г( C\ + П )Г( f\ - C\ )

r( e + m)

Г( f\ + n)

Далее, учитывая определение обозначение Похгаммера, после некоторых упрощений, мы убеждаемся в справедливости интегрального представление (2.1).

Замечание. Не специалист в области специальных функцией, вряд ли обратит внимание на красоту, изящность и универсальность интегрального представление (2.1). В самом деле, если учесть частные значения гипергеометрической функции Аппеля ^'У,У2'XУ) при определенных

значениях постоянных, которые были найдены в работе [22]

F

F

( \ \

\

- 2,\. - x,y

1 2

У

\ \ 1 N 1 2

v 2 2 2 ) y

(\ - x )2-(\ - x - У)" л/\-x \-x-y + у/х arcsin>/x -

x

arcsin.

'\-y

(2.3)

(2.4)

F

\ \ 1 \ о

2;\,\; - 2,2; x,y

(\ - x )- 2-(\ - y )(\-x - y )

(2.5)

F

\ I 3

\ I \

;-\;-2;x, y l = . v 2 2 2 ) y|x

arcsin *Jx - (\ - y) arcsin

W \ - x -.y/T

■x -y

(2.6)

F

\ \ , 5 ^ 1 3

5;2Л;2Дxy J=83y

(\ + 2 x )V \ - x-(\ + 2x - y )>/T

■x - y ■

\

•s/x

(\ - 4x) arcsin л/x - (\ - y) (\ - 4x - y) arcsin I-

x

■y

(2.7)

F21 ^Д;7,2;x,y

2 2 2' 3

5

64 x2 y

*Jx

(\-4x + 8x2)arcsin л/x-(\-y) (\-y)2 -4x(\-y) + 8x

(3 -\0x-8x2)>/!-x + Гз(\-y)2 -\0x(\-y)-8x2\-x-y

(2.8)

163

F

(1-11-_1 > V 2 2

J

1 (1 - y)

1 - x 1 - x - y

(2.9)

F

1-11-1 92 51,1; 2 '2'X' y

1 - V1 - y -Vx tanh - tanh 1 J——

V V1 - y

(2.10)

F

1 . . 3

1

2'1'1'2'2'X'y J = y1 ^1" y "TT

1

(1 -x)tanh -(1 -x-y)tanh 1

(2.11)

F

1'1,1'2,2' x, y v 2

3 xy

1 -(1-x) 2 -(1 - y ) 2 +(1 - x - y ) 2

(2.12)

f

F

1^5^ 1 3 — ;1,1; —,2; x, y l = -— v 2 2 J 4 xy

1 + x-(1 + x - y

y

1

"Jx

(1 - x)2 tanh-1 yfx - (1 - x - y)2 tanh-1 I-

x

y

(2.13)

(1

F -; 1,1; 3,2; x, y v 2

1 16

15x2 y

' 5 5 5 3 ( 5 ^

(1 -x)2 -(1 -x -y)2 -1 + -x-(1 -y)2 I 1 + -x-y

(2.14)

F

1^7. 1 5

—'1,1' —,2;x,y l = —— 2 2 J 24x2y

(1 - x)3 tanh-l4x - (1 - x - y )3 tanh- ^^ 3 + 8x + 3x2 +y/\-y [3(1 -y)2 + 8x(1 -y) + 3x2

4~x

(2.15)

F 1xy ] = iixy

1 -(1 - x)2-(1 - y)2 +(1 + x - y )

-28x

1 -(1 - y)

+ 35x

1 -(1 - y)

(2.16)

F (2'1,1'4,2' x, y J = 35^

1 -(1 - x)2-(1 - y )2 +(1 + x - y )

-28x

1 -(1 - y)

+ 35x

1 -(1 - y)

(2.17)

^ (1 3 1 1 ^ 1 2 -'-,1;--,2;x,y =-

2 2 2

y

(1 -x)-2-(1 -y)2 (1 -x -y)-

(2.18)

164

(2.19)

F

(I 3 1 5 9 | 2'2'1'2'2'xy

y

3

4 xy

arcsin -Jx - (l - y)2 arcsin ^jj

x

aicsinv x — ii — y ) arcsin i-

4X L v y V—y

—(l — 2 x )V l — x +(l — 2x — y l — x — y

(2.20)

F

l 3 7 v 2'2'l'2'2'x'y

y

l6 x2 y

(3 — 4 x + 4 x2 )JI—x —T3 (l — y )2 — 4 x (l — y) + 4 x2 "U l — x — y

4x (2.21)

(l — 2x) arcsin *Jx —(l — y)2 (l — 2x — y) arcsin I-

x

y

F

(1 O 1 1 " \ 2

-; x, y

^ 2 2 y y

(l—x)-2 —(l — y)2 (l—x — y)—

(2.22)

F

1 - . l

xy l=-v2 2 y y

2_3x — 2(l y) 3x r—y—(tanh-ly[x—tanh—x l—x l—x—y V ' I —y

(2.23)

F

-;2,1;1,2;x,y l = -

2 j y

2 — 3x 2 (l — y ) — 3x Vl — x ■s/l—x—y

(2.24)

f [ i;2,1;7,2; x, y

f J3(l — Jl—y) + (1 — 3x)tanh—1 Vx — (l — 3x — y)tanh—^

(2.25)

F21 I;2,1;5,2;x,y

2 2

1

3

8 xy

(l — 3x) (l — x) tanh —1 >/x — (l + 3x — y ) (l — x — y ) tanh—^ ^^

yfx

—1 + 3x + (l — 3x — y ^ 1 — y

(2.26)

(1 ^ 8

1——y )5

-(2 + 3x)(l — x)2 +(2 + 3x—2y)(l—x—y)3 L, (2.27)

5

165

ISSN 2181-2357 T. 2. №1. 2022

F

1 ^ , 7 ^ "

j;2,l;-,2; x, y

3 - 2x + 3x2 - Jl-y Гз (1 - y )2 - 2 x (1 - y ) + 3x2

16 x2 y

_3_

vx (2.28)

(1 - x )2 (1 + x ) tanh 1 yfx-(1 - x - y )2 (1 + x - y ) tanh 1 I -

x

y

F

~ ; 2,1; 4,2; x, y

16

35x y

1 -(1 - y)2

- 7 x

1 -(1 - y )5

-( 4 + 3x )(1 - x) 2 +(4 + 3x - 4 y )(1 - x - y) 2 L, (2.29)

F

15 1

V 2'2'1; 2'2'x'y

У

(1 - x )" 2 -(1 - y )3 (1 - x - y )" 2

(2.30)

F

15,1 1 2

-;-,1;-,2; x, y 1 = — v 2 2 2 ) 3y

3 -12x + 8x2 3 (1 - y)2 -12x (1 - y) + 8x2

3 3

(1 - x)2 (1 - x - y )2

(2.31)

î

F

1 5 , 3 n 1 2 —; —,1;—,2; x, y 1 = —

v 2 2 2 ) 3y

3 - 4 x 3 - 4 x - 3 y

x - y

(2.32)

5

F V H,42 x,y,

24 x2 y

F

Г 1

л/1 - x - у —7^= [3

Vï-x[ 1

3 (1 - y )3 - x (1 - y )2 -10x2 (1 - y ) + 8x3 3

(2.33)

- x -10 x2 + 8x3 I-

•sfx

(1 - У )3

arcsin,

H - y

- arcsin

yfx

-;3,1; -- ,2; x, y

v 2 2

1 2 У

(1-x )-3-(1 - y )2 (1 - x - y )-

(2.34)

5

© ®

166

ISSN 2181-2357 T. 2. №1. 2022

F [ ^ > ) = 4Ty

15 Jx

r -1 nr ^

tanh

£

-J

F

1;3,1;1,2; x, y

v 2

4 y

- tanh 1*Jx

P - y ,

8 (1 - y)2 - 25x (1 - y) + 15x2

(1- x - y)

8 - 24x + 15x2 8 (1 - y )2 - 24x (1 - y) + 15x:

8 - 25x + 15x2

(1-x)2

F

1^3^ i 1

2 2 x,y ) = - 8y

(1 - x)2 (1 - x - y)2

[13 (1 - y)-15x]VT-y 13 - 15x

1 - x - y

1 - x

(1 - 5x - y) tanh- (1 - 5x) tanh- yfx

I 1- • •

F2 T;3,1;2,2;x,y V 2

F211;3,1;|,2;x, y

2y

•v/x

4 - 5x 4 - 5x - 4 y

V1-x 71

x - y

32 xy

-15x - y1 - y -1 + 15x (1 - y )2 + 6 x (1 - y )-15 x2 tanh 1 „ x (1 + 6 x 15x2) tanh- 1yfx 1 - y v '

4x ,

F

-;3,1-,2;x, y

3 (1 - y )2 + 4 x (1 - y) - 15x21 - (3 + 4 x -15 x2)

64 x2 y

3

<Jx

(1 - y) + 2x (1 - y) + 5x2 (1 - x - y) tanh-1 —

- ] v1 - y !•

- (1 + 2 x + 5 x2) (1 - x ) tanh- -Jx

i

F

1;3,1;4,2; x, y | = -V v2 J 35x y

1 -(1 - y)2

(8 +12 x + 15x2 )(1 - x)3

F

11 7 , 1 « l 2 - ;-,1; -- ,2; x, y =-

V 2 2 2 J y

8 (1 - y)2 +12x (1 - y) + 15x2 (1 - x - y)2

(1 - x)-1 -(1 - y )4 (1 - x - y)-:

(2.35)

(2.36)

(2.37)

(2.38)

(2.37)

(2.38)

(2.39)

(2.40)

3

5

167

FI ^r^'1^'x,y

2 2 2

5y

5 - 30x + 40x2 -16x3 5 (1 - y)3 - 30x (1 - y)2 + 40x2 (1 - y) -16x2

(2.41)

(1 - x)2

(1 - x - y)2

F

1 7 , 3 „ 1 2 -;-,1;-,2; x, y =-

2 2 2 J 15 y

15 - 40x + 24x2 15 (1 - y)2 - 40x (1 - y) + 24x2

(1 - x )2

(1 - x - y)2

(2.42)

F

1.7 5

0 ; 0 ,1; 0 ,2;x,y

V 222

2_ ~y

5 - 6 x 5 - 5 y - 6 x

a/1- X sjl

x - y

(2.43)

F

1 o

-'4,1'--,2' ^ y

(1 -x)-4-(1 -y)2 (1 -x-y

(2.45)

i

F

1 1

-;4,1—,2;x,y ! = -— v 2 2 J 24 y

tanh \ —--tanh 14x

(1 - x - y) 48 - 231x + 280x2 -105x

1-y

48 (1 - y)3 231x(1 - y)2 + 280x2 (1 - y) - 105x3

(2.46)

F (1' 4,1; 1,2; x, y

8y

16-72x + 90x2 -35x3 16(1 -y)3 -72x(1 -y)2 + 90x2 (1 -y)-35x3

(1-x)

(1-x - y )2

(2.47)

F 11'4'1'3'2'x,y

2 2

48y

,J\-y [81(1 -y)2 -190x(1 -y) +105x2

(1 - x - y )2

81 -190x + 105x2

(1 - x )2

+15

(1 - y - 7 x) tanh-1

(2.48)

, — -(1 - 7 x) tanh ^

V1 - y ^

•v/x

1

168

ISSN 2181-2357 T. 2. №1. 2022

F

v x,y J=dy

24-60x-35x2 24(1 -y)2 -60x(1 -y)-35x2

(1 - x )2

(1 - x - y )2

(2.49)

F

-;4,1;- 2; x y

64 xy

fi-y Гз (1 - y )2 +100x (1 - y ) +105x2

3

<Jx

1-x - y (1 - y )2 +10 x (1 - y )-35x2

3 +100x + 105x2 1-x

tanh -1 / — - (1 + 10x - 35x2 ) tanh - <Jx

1-y

(2.50)

F

1

;4,1;3,2; x, y

3

6 - 7 x 6 (1 - y )-7 x

-s/1 — x - x - y

(2.51)

1

где

tanh-1 г = -1п—, (2.52)

2 1 - г

то мы получаем большое количества интегральных представлений для функции Кампе де Фериет ^01;22;22. В этом случае интегральных представлениях

подынтегралом будет участвовать только элементарные функции.

Теорема 2.2. Если выполняются неравенства Яе ег > ЯеЬ > 0, Яе^ > Яе с > 0, (г = 1,2), то имеет место интегральное представление

F1;2;2 1 0;2;2

a;Ъ2; q,c2;

x, y

-; e1, e2; f1, f2 ;

r( e )r( e2 )Г( f )Г( f2 )

Г(Ъ)Г(Ъ2)Г(С1 )Г(c2)Г(e -Ъ)Г(e2 -Ъ2)Г(f -c1 )Г(f2 -c2) (2.53)

(С1 )Г ( С2 )Г ( e1 - Ъ1 )Г (e2 - Ъ2 )Г ( f - С1 )Г ( J 2 - c2,

xf - - - f tf-1#-1t3 -1t;2 -1 (1 - /1 )e1 -Ъ1 -1 (1 - ^2 )e2-Ъ2-1 (1 - ¿3 )f1 -c1 -1 (1 - ¿4 )f2-c2-1

0 0

x (1 - txt2x - ^^y)a dtdtdtdu.

Доказательство. Сделаем следующие преобразование

© ®

169

ISSN 2181-2357 T. 2. №1. 2022

(i - tit2X - t3t4y )-a =(i - tit2X)-

^i - txt2x - t3t4y^

V i tit2X J

= (i - tit2X)-

\_J3t4y_л

v i - tit2 X J

= (i - tit2X)-a i

(0)n f ^

n=0

n!

V i tit2 X J

( a).

= Z (i - '.^Г" (У4У)"

n=0 n!

(2.54)

=1 ^с*х)'I ^(^г = 1 ^СЛХ)"(<АУ)"-

'=0 '! п=0 ',п=0 '!«!

Подставляя (2.54) в (2.53) и меняя порядок интегралов и сумм, мы имеем

F

0;2;2

a, bi, b2; ci, c2; —, ei, e2, fi, f2

X, y

Г(ei )Г(e2 )Г( fi )Г( f2)

Г( bi )Г( b2 )Г( c. )г( c2 )Г( ei - bi )г( e2 - b2 )Г( f - c. )г( f2 - c2)

Ш (a\ i i

x i (a^Xmyn J t^m-i (i-1 )ei-bi-i dtx J tb22+m-i (i-t2)e2-b2-i dt2

m,n=0 m ,n • 0 0

xJ tc+n-i (i - t3 )fi-ci-i dt, J f^n-i (i - t4 )f2-c2 -i dt,.

(2.55)

Вычислим внутренние интегралы

J tb+m-i (i -1 )ei-bi-i dtx = 5 (b + m, e - b) =

0 i

J t\2+m-i (i -12 )e2-b2-i dt2 = В b + m, e2 - b2)

xJ tc+n-i (i - t3)fi-ci-i dt3 = В (c + n, f - c) =

0

i

J t,2+n-i (i - t, )f2-c2-i dt, = В (c2 + n, f2 - c2 ) =

r(bi )(bi )m Г(ei - bi )

Г( ei)( ei )m '

Г( b2 ) (b2 )m Г( e2 - b2 )

Г( e2 )( e2 )m '

Г(c.)(c.)n Г(fi -c.)

r(fi )(f )n '

Г( c2 )( c2 )n Г( f2 - c2 )

Г(f2 )(f2 )n

(2.56)

Подставляя (2.56) в (2.55), окончательно получаем доказательство теоремы 2.2.

1. Система частных производных гипергеометрического типа и их линейно независимые решения.

Теорема 3.1. Если выполняются условия Яе е1, Яе/ ^ 0,-1, -2..., (/ = 1,2), то функция и = [ х, у] удовлетворяет систему в частных производных третьего порядка гипергеометрического типа

a

a

i;2;2

0

0

© ©

170

ISSN 2181-2357 T. 2. №1. 2022

SJIF 2021:5.5

X 2 (! - X) uxxx - *2 УЫхху +[ + e2 + 1 -(a + b1 + b2 + 3) x ] XUxx

- (Ь + b +1) хУиху + [eie2 - (ab + ab + bb + a + b + b +1) x] u - bxb2yuy - abbu =

y2 (1 - y) uyyy - ХУ 2uxyy +[ f1 + /2 + 1 -(a + C1 + C2 + 3) У] yuyy

- (C1 + C2 + 1) xyuxy + [/1/2 - (ac1 + ac2 + C1C2 + a + C1 + C2 + 1)У] uy - C1C2Xux - aC1C2u = 0

(3.1)

Доказательство. Из определения гипергеометрической функции Кампе де Фериет (1.3) следует

Am+1, и = ( a + m + n )(b! + m )(b2 + m ) Am,n (+ m)(e2 + m)(m + 1) !

Am ,n +1 = ( a + m + n )( C1 + n )( C2 + П ) Am,n (/ + П)(/ + П)(П + 1) ,

(3.2)

где

AL. =

( a )m+n (b )m ( b )m ( C1 )n ( C2 )n

()m (^2 )m (/1 )n (/2 )n m !n !

На основе общей теории о гипергеометрических функциях [], из соотношения (3.1) определяем

а

I e + х — и e+х

V дх J V 5х

rs dY, д^

dy JV дУ,

д^ r

u„ -

д д ^ a + х--+ y —

дх дУ J

b+хдх Ib+хдх Ju=0,

uy -

дд

a + х--+ y —

дх дy J

V

C1 + у

д_ ду

Л

f

\

(3.2)

C2 + У

ду

u = 0.

j

После некоторых вычислений в (3.2), мы получаем систему (3.1).

Теорема 3.2. Система в частных производных третьего порядка гипергеометрического типа (3.2) в окрестности начале координаты иметь следующие линейно независимые решения

u1 (X У ) = F0

1;2;2

0;2;2

a; b, b; q, C2; -; e1, e2; /\, /2;

х, У

m, n=0

(a) (b) (b) (C) (C)

У /m+и У m\ 2Zm\ y>n\ 2Zn^m n

(e1 )m (e2 )m (/ )„ (/2 )„ m ! n! '

(3.3)

u2 ( х, У ) = У^ F022

1 -/ + a; Кb2;1 - + ^Л- + C2;

2 - /1, /2 - / +1;

; e1, e2;

х,У

= У^1

z

(1 - /1 + a)m+n (b )m (b2 )m (1 - /1 + C )„ (1 - / + C2 )

(3.4)

( e )m ( e2 )m ( 2 - / )n ( /2 - / + 1)„m!n !

2 7nхтуn,

<

<

д

© ®

171

(3.5)

,(x, ) = x1^1 F

1;2;2 0:2:2

a+1 - e; (+1 - e, b+1 — e; C, c2;

—; 2 — ei 51 — ei + e2; fl, f2;

x,y

_ ^.1—e ^^ ( a +1 e1 ((( +1 e1 )m (b2 +1 e1 )m (C (C2 yn

m,n=0 ( 2 — e1 )m (1 — e1 + e2 )m ( f I ( f2 )n m ! П ! '

(3.6)

u5 ( x, y ) = x

- v1—e v1-f F

y 1 0;2;2

a+2—e— f;( +1—^ b2 +1—e1; C+1—f^ c2 +1—h;

—; 2 — e2 — e + 2; 2 — f2 — f + 2;

x,y

=x

Vм Z

(a + 2 — e — f )m+n (( + 1 — g1 )m (b2 + 1 — )m (С + 1 — f )n (C. + 1 — f ) (2 — e1 )m (e — e1 + 2)m (2 — f )n (f — f + 2)n m!n!

n xmyn,

(3.7)

u6 (x.

( x, y ) = x-1 y-f2 fc1;2;2

a + 2 — e — f2; ( +1 — el, ( +1 — ex; C1 +1 — f2, c2 +1 — f2;

—; 2 — e2 — e + 2; f — f2 +1,2 — f2;

x,y

= x1—e^1^f2 £ (a + 2 — e1 — f2 )m+n ((1 + 1 — e1 )m (b + 1 — e1 )m (C1 + 1 — f2 )n (C2 + 1 ~ f2

( 2 — «1 )m (e2 — e1 + 2 )m (f — f2 + 1)n ( 2 — f2 ^^

(3.8)

u7 ( x, y ) = x1-2 FC;

2;2 0;2;2

a+1—e; ь +1—e, b+1—e; c, c; —; e1 + 1 — e2, 2 — e2; f1, f2;

x, y

= x

z

m,n=0

(a + 1 )m+n ((bb + 1 )m (b2 + 1 )m (C1 )n (C2 )n m n

(e1 + ^ e2 )m ( 2 — e2 )m (f )n (f2 ^^ y ,

(3.9)

u8 (x

( x, y )= I;

2;2 0;2;2

a + 2 — ^2— f; b1 + 1 — e2 , (2 + 1 — ei; C1 + 1 — /l, C2 +1—

2—f1, /2—a+1;

e—e +1,2—e2;

x,y

z

m ,n=0

(a + 2 — g2 — f )m+n ((1 + ^ g2 )m ((2 + ^ )m (C + ^ f )n (C2 + ^ f )

(e1 —^2 + 1)m (2 — e2 )m (2 — A )n (Л — f + ^^

n xmyn,

(3.10)

u9 (x.

( x, y ) = F1

2;2 0;2;2

a + 2 — e2— Л; b1 + 1 — e2 , (2 + 1 — e2; C1 + 1 — ./2 , C2 + 1 — f2;

f1— f2 +1,2 — f2;

e1—e2 +1,2—e2;

x,y

z

m,n=0

(a + 2 — e2— f2 )m+n ((1 + 1 — e2 )m ((2 + 1 — ^2 )m (C1 + 1 — f2 )n (C2 + 1 — f2 )

(e1 —^2 + 1)m (2 — e2 )m (A + 1)n (^ f2 )nm!n !

2/n xmyn

(3.11)

Доказательство. Линейно независимые решения системы (3.1) ищем в виде

u ( x, y ) = xTyvw( x, y ),

(3.12)

172

ISSN 2181-2357 T. 2. №1. 2022

1ЭЛР 2021:5.5

где т,у - не известные постоянные, которых нужно определить. Вычислим соответствующие производные

их = ™Г-У™+х>Х,

иу = ухТуУ-^ + хТу^у,

Ыху = ^"У^ + + + хТуУ^ху,

uх

u

УУ uх

ux

uх

u

= т(т-1) х-2 У V + 2тхт-1 У^х + х-yW,

= v(v -1) хтуу-2 w + 2vx>V-1 Wy + x>w,

= TV (т -1) хт-2 yv-1w + т(т -1) хт-2 yW + 2тухт-1 yv-1wx + 2тхт-У w

+ ухтyV lwxx + хтyVw

хху7

хУУ

= V (V -1) хт-1 УV-2 w + v (v -1) хт УV-2 w + 2^хт-1 yv-1wy + 2vxт yV-1

w

xy

+ тхт-1у"^^ + xyVwxyy, |хт-3 yVw■

yyy

= т (т - 1)(т - 2) хт-3 yVw + 3т (т -1) хт-2 yVwx + 3тхт-1У^хх + ,

= v(v - 1)(v - 2) x>V-3 w + 3v(v -1) x>v-2 wy + 3v^ yv-1w)y + x^w^

Подставляя равенства (3.13) в (3.1), мы имеем

(3т+e + e+1

х (1 -х)wxxx -х+ Ua + т +2v) + (b + т) + (b + т) + 3]xi

xw„

[(b1 +т)+(b2 +т)+1] xw 3т2+(2e + 2e -1) т+ee +<! (a + т + v) (b +т) + ( a + т + v)(b2 + т) + (Ь +т)( b2 +т) + (a + т + v) + ( b +т) + (Ь2 +т) +1

-(b1 + т) (b2 +т) ywy

-[-т(т + e - 1)(т + e -1)х- +(a + т + v)(b + т)(b +т)]w = 0 У 2 (1 - У ) wyyy - хУ2wxyy - [(C1 + V) + (C2 + V) + 1 ] xywxy

+ {3v + / + /2 +1 -[(a + т + v) + (cx + v) + (C2 +v) + 3] y} yw

-(C1 +V)(C2 +V) xwx

3v2 +(2/ + 2/2 - 1)v + /1/2

(a + т + v) ( c + v) + (a + т + v) ( c2 + v) + ( c + v) ( c2 + v) + (a + т + v) + (c + v) + (c2 + v) +1

[-v(v + / -1)(v + /2 -1)y- +(a + т + v)(c + v)(C2 + v)] w = 0.

yy

y

w

(3.13)

(3.14)

Естественно, от системы уравнений (3.14) нужно потребовать, чтобы коэффициент перед переменными х-1 и у - должны быть равны нулю т.е.

<

173

|т(т + *-1)(т + е2-1) = 0, (3 )

+ /1 -1)(у + /2-1) = 0. ( )

Из системы (3.15), определяем неизвестные постоянные т, V

123 456 789

т: о о о т: 1 -е 1 -е 1 -е т: 1 -е 1 -е 1 -е (3.16)

V: 0 1 - / 1 - / V: 0 1 - / 1 - / V: 0 1 - / 1 - /2

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случае 1. Если т = 0, v = 0, то система (3.14) превращается с систему (3.1). Следовательно решение система (3.14) имеет вид (3.3) Случае 2. Если т = 0, V = 1 -/, то система (3.14) имеет вид

(1 - *) ^ - Х2У™*ху +{е1 + е2 + 1 "[(а + 1 - / )+ Ъ1 + Ъ2 + 3] Х} -(Ъ1 + Ъ2 + 1) ХУ^ху

+ {ее "[(а +1 -/)Ъ + (а +1 -/)Ъ2 + ЪХЪ2 + (а +1 -/) + Ъ + Ъ2 + 1]х}^ Ъ1Ъ2У^У - (а + 1 - У! ) Ъ1Ъ2^ = 0, У2 (1 - У) ^УУУ - ХУ2 ^ХУУ -[(С1 + 1 - / ) + (С2 + 1 - / ) + 1] ХУ^ху

+ {(2-/ ) + (/ -/ +1) +1 -[(а +1 -/) + (с +1 -/) + (С2 +1 -/) + 3]}^ (3.17)

-(с, +1 - /)(¿2+1 - /) ™х (2-/)(/2 -/1 + 1)

+ |_[( а +1 - /)(+1 - / ) + (а +1 - /1)(с 2 +1 - /) + (С1 +1 - /)(с 2 +1 - /) +

[_+(а +1 - / ) + (с1 +1 - / ) + (с 2 +1 - / ) +1 -(а +1 - / )(с1 +1 - / )(с 2 +1 - / ) ^ = 0.

Система уравнений (3.17) имеет решение (3.4). Случае 3. Если т = 0, V = 1 - /2, то система (3.14) имеет вид

У

174

ISSN 2181-2357 T. 2. №1. 2022

x 2 (1 - x) wxxx - x 2ywxxy +{ei + e2 + 1 -[(a + 1 - /2 ) + b1 + b2 + 3] x} xwxx -(b1 + b2 + 1) xywxy

+ {ee-[(a +1 - ) b +(a +1 - /2) b2 + bxb2 +(a +1 - /2) + b + b2 + 1]x} w -blb2ywy - (a + 1 - /2 ) b1b2w = 0, У2 (1 - У) ^ - хУ2 wxyy -[(C1 + 1 - /2 ) + (C2 + 1 - /2 ) + 1] xw + {(1 - /2 + /) + (2 - /2)-[(a +1 - /2) + (C +1 - /2) + (C2 +1 - /2) + 3] y} ywyy

-(C1 + 1 - /2 )(C2 + 1 - /2 ) xwx

(1 - /2 + / )( 2 - /2)

(a +1 - /2)(C +1 - /2) + (a +1 - /2)(C2 +1 - /2) + (c +1 - /2)(C2 +1 - /2) + + (a +1 - /2) + (C +1 - /2) + (C2 +1 - /2) +1

-(a +1 - /2)(c +1 - /2)(C2 +1 - /2) w = 0.

y

w

(3.18)

Система уравнений (3.18) имеет решение (3.5). Случае 4. Если т = 1 - е, у = 0, то система (3.14) имеет вид

х2 (1 - х) wxxx - х2ywxxy +

К 2 - )+(1 - + e2 )-

-[(a+1 - e)+(b +1 - e )+(b+1 - e)+3] x

•xw„

[(b1 + 1 - )+(b2 + 1 - ) + 1] xw (2 - e )(1 - e + e2)

+<! (a+1 - e)(b +1 - e)+(a+1 - e )(b +1 - e )+(b +1 - e )(b +1 - e)+ +(a+1 - e)+(b +1 - e)+(b+1 - e)+1

-(b1 +1 - )(b2 +1 - ) ywy

-(a+1 - e )(b +1 - e )(b +1 - e) w = 0,

У2 (1 - У) wyyy - хУ2 wxyy - (C1 + C2 + 1) xywxy

+ {/1 + /2 +1 -[(a +1 - e ) + C! + C2 + 3] y} ywyy C1C2 xwx + + {A.f2 -[(a + 1 - ) C1 +(a + 1 - ) C2 + C1C2 +(a + 1 - ) + C1 + C2 +

- (a +1 - e ) cf-w = 0.

Система уравнений (3.19) имеет решение (3.6).

Случае 5. Если т = 1 - ех, у = 1 - , то система (3.14) имеет вид

w

w

(3.19)

<

© ®

175

ISSN 2181-2357 T. 2. №1. 2022

(! - *) - Wxy +

i( 2 - ) + ( e2 - + 2 )-

•xw„

[(a+2 - e - f)+(b +1 - e)+(b+1 - e)+з] x [(¿i+1 - e1 )+(b2 +1 - e)+1] xw (2 - e)(e, - «1+2)

+ !_[(a + 2-e -f )(b +1 -e) + (a + 2-e - f)(b2 +1 -e) + (b +1 -e)(b, +1 -e) + +(a+2 - e - f )+(b +1 - e )+(b+1 - e)+1

-(b +1 -e)(b2 +1 -e)ywy-(a + 2-e -f )(b +1 -e)(b2 +1 -e)w = 0, У2 (1 - У) wyyy - ХУ2 2Wxyy -[(С1 + 1 - f1 ) + (С2 + 1 - f ) + 1] XVWxy + {(2-f ) + (f -f + 2)-[(a + 2-e -f ) + (С +1 -f ) + (c2 +1 -f) + з]w

-(С1 + 1 - f1 )(С2 + 1 - f1 ) XWx '(2-f)(f2 -f + 2)

+ |_[(a + 2-e - f )(С +1 - f ) + (a + 2-e -f)(c, +1 -f ) + (С +1 -f )(c, +1 -f ) +

|_+( a + 2 - e - f ) + (c +1 - f ) + (c2 +1 - f ) +1 -(a + 2-e - f )(С1 +1 -f )(c2 +1 - f )w = 0.

Система уравнений (3.20) имеет решение (3.7).

Случае 6. Если т = 1 - е, V = 1 - /, то система (3.14) имеет вид

w

y

w

(3.20)

*2 С1 - Х) wxxx - Х2ywxxy +

i(2 - e)+(е2 - e+2)-

•xw„

[(a + 2-e -f2) + (b1 +1 -e1 ) + (b2 +1 -e1) + 3]x

[(b1 + 1 - e1 ) + (b2 + 1 - e1 ) + 1] xyWxy (2-e1)(e2 -e1 + 2)

(a + 2-e - f2)(b1 +1 -e1) + (a + 2-e -f2)(b2 +1 -e) + (b +1 -e1 )(b2 +1 -e) + (a + 2 - e1 - f2 ) + (b1 +1 - e1 ) + (b2 +1 - e ) +1 -(b1 +1 -e1)(b2 +1 -e)yWy-(a + 2-e -f2)(b1 +1 -e)(b2 +1 -e1)w = 0, У2 (1 - У) wyyy - xy "wxyy -[(С1 + 1 - f2 ) + (С2 + 1 - f2 ) + 1] xywxy + {(f - f2 +1) + (2- f2)-[(a + 2-e - f2) + (С +1 -f ) + (c2 +1 -f2) + 3]w

-(С1 + 1 - f2 )(С2 + 1 - f2 ) xwx

(f - f2 + 1)(2 - f2 )

(a + 2-e - f2)(С1 +1 -f,) + (a + 2-e -f,)(c, +1 -f,) + (с +1 -f,)(c, +1 -f,) + (a + 2 - e - f,) + (С +1 - f, ) + (c, +1 - f,) +1

-(a + 2-e -f,)(С1 +1 - f2)(с, +1 - f2)w = 0.

Система уравнений (3.21) имеет решение (3.8).

w

y

w

(3.21)

<

<

176

X2 (1 - X) Wx - x2yWxxy +

i(е1 + 1 - e2 ) + (2 - e2 )

xW

[(a +1 - ^2 ) + (Ъ + 1 - ^2 ) + (К + 1 - ^2) + 3]x

-[(Ъ1 + 1 - e2 ) + (Ъ2 + 1 - e2 ) + 1] X.VWxy

(e1 +1 - e )( 2 - e2)

+ ]_[(a +1 - e2 )(К +1 - e2) + (a +1 - e2)(\ +1 - e2 ) + (Ъ +1 - e2 )Ъ +1 - e2)

[+(a +1 - e2 ) + (Ъ +1 - e2 ) + ^ +1 - e2) +1

-(Ъ1 + 1 - e2 )(Ъ2 + 1 - e2 )^y

-(a +1 - e2)(\ +1 - e2)(\ +1 - e2) w = 0,

y2 (1 - У) Wyyy - ХУ2 Wxyy - (C1 + C2 + 1) XyWxy

+ {f + f2 + 1 -[(a + 1 - e2 ) + С1 + С2 + 3] y} yWyy - С1С2 XWx

(a +1 - e2) c +(a +1 - e2) c2 + Cc + (a +1 - e2) + c + С +1

yw„

+ i ff -

y[ Wy -(a + 1 - e2 ) С1С2W = 0

Система уравнений (3.22) имеет решение (3.9).

Случае 8. Если т = 1 - е2, V = 1 - /х, то система (3.14) имеет вид

(3.22)

Х2 (1 - Х) Wxxx - Х'yWxxy +

f(1 + e! - e2 ) + (2 - e2 )

•xw„

[(a + 2 -e2 - f ) + (Ъ +1 -e2) + (Ъ2 +1 -e2) + 3] [(Ъ1 + 1 - e2 ) + (Ъ2 + 1 - e2 ) + 1] xyWxy (1 + e -e2)(2-e2)

(a + 2-e2 -f )(Ъ +1 -e2) + (a + 2-e2 -f +1 -e2) + (Ъ +1 -e2)(Ъ2 +1 -e2) + (a + 2 - e2 - f ) + (Ъ +1 - e2 ) + (Ъ2 +1 - e2) +1 _

-(Ъ +1 -e2)(Ъ2 +1 -e2)ywy-(a + 2-e2 - f)(Ъ +1 -e2)(\ +1 -e2)w = 0, y2 (1 - у ) Wyy - xy2 Wxyy -[(c1 + 1 - f1 ) + (С2 +1 - f ) + 1] xW + {(2-f ) + (f2 -f +1)-[(a + 2-e2 -f ) + (c +1 - f) + (С2 +1 -f ) + 3]y}^^

-(С1 +1 - f )(С2 +1 - f ) xWx

(2-f)(f2 -f +1)

(a + 2 - e2 - f )(c +1 - f) + (a + 2 - e2 - f )(с2 +1 - f ) + (c +1 - f )(с2 +1 - f ) + (a + 2-e2-f1) + (c1 +1 - f) + (c2 +1 -f ) + 1 -(a + 2-e2 -f )(c +1 -f )(С2 +1 -f )w = 0.

Система уравнений (3.23) имеет решение (3.10).

>W„

?W„

У

(3.23)

<

177

x'(!-x)wx-x'ywxxy + < • - . ^ >xw.

(2 - б) + (б! - б +1)

[(a + 2-62 - /) + (bi +1 -б) + (К +1 -e2) + 3]x^

[(b1 + 1 - б2 )+(Ь2 + 1 - б2 ) + xywxy (2 - 62 )(61 - б + 1)

(a + 2-62 -/2)(b1 +1 -б) + (a + 2-б -f +1 -б) + (Ь +1 -б)(b2 +1 -б) + (a + 2-62 -/2) + (b +1 -^2) + (b2 +1 -62) +1

-(b1 + 1 - б2 ) (b2 + 1 - б2 ) J^y

-(a + 2-62 -/2)(b +1 -62)(b2 +1 -б)w = 0,

У2 (1 - У) Wyyy - xy2 Wxyy -[(С1 + 1 - / ) + (С2 + 1 - / ) + 1] xywxy

+ {(/1 -/2 +1) + (2-/2)-[(a + 2-62 -/2) + (с, +1 -/2) + (C2 +1 -/2) + 3]^^

-(С1 + 1 - /2 )(С2 + 1 - /2 ) xWx

(/1 - /2 +1) + ( 2 - /2)

yw„

(a + 2-62 -/2)(с +1 -/2) + (a + 2-^ -/2)(С2 +1 -/2) + (с +1 -/2)(с2 +1 -/2)] К

y

+ (a + 2 - e2 - /2) + (с +1 - /2) + (C2 +1 - /2) +1

-(a + 2-62 -/2)(С +1 -/2)(с2 +1 -/2)w = 0.

(3.24)

Система уравнений (3.24) имеет решение (3.11).

<

Список использованной литературы:

1. P. Appell and Kamper de Ferriets, Fonctions Hypergeometriques et Hyperspheriques; Polynomes d'Hermite, Gauthier - Villars, Paris, 1926.

2. J. Barros-Neto and I.M. Gelfand, Fundamental solutions for the Tricomi operator,Duke Math. J. 98(3) (1999), 465-483.

3. J. Barros-Neto and I.M. Gelfand, Fundamental solutions for the Tricomi operator

II, Duke Math. J. 111(3) (2002), 561-584.

4. J. Barros-Neto and I.M. Gelfand, Fundamental solutions for the Tricomi operator

III, Duke Math. J. 128(1) (2005), 119-140.

5. L. Bers, Mathematical Aspects of Subsonic and Transonic Gas Dynamics, Wiley, New York, 1958.

6. A. Erde'lyi, W. Magnus, F. Oberhettinger and F. G. Tricomi, Higher Transcendental Functions, Vol. 1, McGraw-Hill Book Company, New York, Toronto and London, 1953.

7. F.I. Frankl, Selected Works in Gas Dynamics, Nauka, Moscow, 1973.

8. A.J. Fryant, Growth and complete sequences of generalized bi-axially symmetric potentials, J. Differential Equations 31(2) (1979), 155-164.

178

9. Junesang Choi, Anvar Hasanov and Mamasali Turaev, Linear independent solutions for the hypergeometric Exton function , Honam Mathematical J. 33 (2011), No. 2, pp. 223-229.

10. A. Hasanov, Fundamental solutions of generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation, Complex Variables and Elliptic Equations 52(8) (2007), 673-683.

11. A. Hasanov, Some solutions of generalized Rassias's equation, Intern. J. Appl. Math. Stat. 8(M07) (2007), 20-30.

12. A. Hasanov, The solution of the Cauchy problem for generalized Euler-Poisson-Darboux equation. Intern. J. Appl. Math. Stat. 8 (M07) (2007), 30-44.

13. A. Hasanov, Fundamental solutions for degenerated elliptic equation with two perpendicular lines of degeneration. Intern. J. Appl. Math. Stat. 13(8) (2008), 41-49.

14. A. Hasanov and E.T. Karimov, Fundamental solutions for a class of three-dimensional elliptic equations with singular coefficients. Appl. Math. Letters 22 (2009), 1828-1832.

15. Hasanov, J.M. Rassias , and M. Turaev, Fundamental solution for the gen- eralized Elliptic Gellerstedt Equation, Book: "Functional Equations, Difference Inequalities and ULAM Stability Notions Nova Science Publishers Inc. NY, USA, 6 (2010), 73-83. Anvar Hasanov, Rakhila B. Seilkhanova and Roza D. Seilova, Linearly independent solutions of the system of hyper-geometric Exton function, Contemporary Analysis and Applied Mathematics Vol.3, No.2, 289-292, 2015

16. G. Lohofer, Theory of an electro-magnetically deviated metal sphere. 1: Absorbed power, SIAM J. Appl. Math. 49 (1989), 567-581.

17. A.W. Niukkanen, Generalized hyper-geometric series arising in physical and quantum chemical applications, J. Phys. A: Math. Gen. 16 (1983) 1813-1825.

18. H. M. Srivastava and P. W. Karlsson, Multiple Gaussian hyper-geometric Series, Halsted Press (Ellis Horwood Limited, Chichester), Wiley, New York, Chichester, Brisbane, and Toronto, 1985.

19. R.J. Weinacht, Fundamental solutions for a class of singular equations, Contrib. Differential Equations 3 (1964), 43-55.

20. A. Weinstein, Discontinuous integrals and generalized potential theory, Trans. Amer. Math. Soc. 63 (1946), 342-354.

Jonathan Murley and Nasser Saad, Tables of the Appell Hypergeometric Functions F2.

https://arxiv.org/pdf/0809.5203.pdf

179