CC BY
8Таблица 2 - Данные единовременных замеров температур теплоносителя в различных _точках магистрального трубопровода_
№ точки Расстояние Температура Падение Статический
замера от ТЭЦ, км теплоносителя, °C температуры коэффициент
теплоносителя, °C передачи
ТЭЦ - 60 - 1,00
1 4,8 54 6 0,9
2 6,9 52 7,5 0,87
3 7,5 52 8 0,85
Таким образом, теоретические и экспериментальные исследования показали, что расчет тепловых потерь энергии имеет, несомненно, важное значение для обеспечения эффективной работоспособности тепловой системы в целом.
Библиография:
1. Востриков А.С., Французова Г.А. Теория автоматического регулирования: Учебник и практикум для вузов. М.: Изд-во Юрайт, 2022. 279 с.
2. Зингер Н.М., Белевич А.И. Развитие теплофикации в России // Электрические станции. 1999. № 10. С. 7.
3. Никитенко О.С. Автоматизированные экологически безопасные системы теплоснабжения: Монография. Под общ. ред. д.т.н, проф. С.П. Петрова. Издательский дом LAP LAMBERT Academic Publishing, 2021. 323 с.
4. Пат. 42115 РФ МПК G 05 D 23/00 на полезную модель. Устройство для регулирования температуры сетевой воды района тепловых сетей / И.Г. Вайнер, Ю.А. Крылов, А.С. Паньшин // 20.11.04. Бюл. № 32.
5. Пат. 79192 РФ МПК G05B 23/00 на полезную модель. Датчик температуры / К.В. Подмастерьев, С.П. Петров, О.С. Петрова. 20.12.08. Бюл. № 35.
6. Ресурсосберегающие технологии и оборудование в растениеводстве / Р.А. Булавинцев [и др.]: Учеб. пособие. Орел: ОГАУ, 2021.
УДК 624.04
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ МАКСИМАЛЬНОГО ПРОГИБА ДЛЯ ПЛАСТИНОК В ФОРМЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА
Сычев М.Е., Овешников В.Ю., магистранты 1 курса направления подготовки 08.04.01 «Строительство»,
Зеленский Д.В., магистрант 2 курса направления подготовки 08.04.01 «Строительство». Научный руководитель: старший преподаватель Володин С.С. ФГБОУ ВО Орловский ГАУ
АННОТАЦИЯ
В статье представлен метод интерполяции по коэффициенту формы, геометрической характеристикой которого является коэффициент формы Кг. Рассмотрен пример по определению максимального прогиба пластинок с комбинированными граничными условиями, на основе аффинных преобразований определены опорные решения.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
Четырехугольная пластинка, коэффициент формы, максимальный прогиб, строительная механика, интерполяция.
ABSTRACT
The article presents a method of interpolation by the shape factor, the geometric characteristic of which is the shape factor Kf. An example of determining the maximum deflection of plates with combined boundary conditions is considered, and reference solutions are determined based on affine transformations.
KEYWORDS
Quadrangular plate, form factor, maximum deflection, structural mechanics, interpolation.
Введение. В настоящее время в строительной механике по-прежнему большое значение придается разработке, развитию и совершенствованию методов расчета строительных конструкций, которые позволяют путем сравнительно несложных инженерных расчётов получать оценки интегральных физических параметров конструкций.
Цель исследований. В статье на нескольких примерах показать, что с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы можно достаточно просто определять величину максимального прогиба пластинок в форме четырехугольника с комбинированными граничными условиями, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой.
Материалы и методы исследований. Данный подход впервые предложен Д. Пойа и Г. Сеге [1-3], основой которого является интегральная характеристика -коэффициент формы Kf.
При проектировании строительных конструкций во многих случаях их расчётные схемы представляются в виде пластинок сложной формы (треугольные, ромбические, параллелограммные, трапецеидальные) с различными граничными условиями. Они применяются в качестве несущих элементов перекрытий зданий, мостовых конструкций. В настоящее время в строительной механике по-прежнему большое значение придается разработке, развитию и совершенствованию методов расчета строительных конструкций, которые позволяют путем сравнительно несложных инженерных расчётов получать оценки интегральных физических параметров конструкций. Oдним из тaких метoдoв рaсчетa инструкций в видe упругих плaстинoк является мeтoд интeрпoляции пo кoэффициeнту фoрмы (МИКФ) [4-6].
Коэффициент формы Kf определяется:
для параллелограммных пластинок
4-(а / с + с / а ) Kf - :
sma , (1)
где a, b - стороны параллелограмма; а - угол при основании.
для прямоугольных пластинок
Kf -4
f \ ( Л a с
- 4
—+ — V с a J
1
к + -V к J
(2)
где a, Ь - стороны прямоугольника; k = a/b.
для ромбических пластинок:
К г = 8/вта 3 , (3)
где а - угол при основании.
Методологическая сущность МИКФ, заключается в нахождении решений для определенного множества областей, полученных в процессе какого-либо непрерывного (или дискретного) геометрического преобразования. При этом в рассматриваемом множестве областей выделяют две области, решения для которых известны (№0)1 и (№0)2, и используя их, строят искомое решение, которое представляется формулой:
Жо = (щ, \ [кг/кг1 у,
г0)1\~! гчи • (4)
где Кп - коэффициент формы первой области с известным решением (№0)1, а параметр п определяется из выражения
п = ¡п^о)2/(Щ)1 Щк^КД
где индекс «2» относится к физическим и геометрическим параметрам второй опорной области. Структура выражения (2) соответствует структуре формул известных точных задач теории пластинок, представленных в изопериметрическом виде.
Преобразуем аналитические записи двух опорных решений:
Р = КО (Ку! / А ); р = КО (Ку2 / Л ); Ъ2/ р =[( К, 2/ К; ( Ах/ А,) ]п; п = 1п ( Ъ2/ р)/1п [( К/ 2/ К/ >) ( Ах/ А,)
Р = Р
Здесь р1 и р2 - известные решения для опорных фигур; К11/А1, К12/А2, - значения отношений соответствующих этим фигурам геометрических параметров.
В общем случае для любой фигуры из рассматриваемого множества с учетом полученных соотношений решение может быть представлено в виде формулы [7-9]
(К,/К 1)(А1/ А)]П (5)
где одно опорное решение удовлетворяется автоматически при К/А =Кп/А1, а другое - через показатель степени п.
Пример 1. Рассмотрим пластинку постоянной толщины, комбинированно опертую рисунок 1, нагруженную равномерно распределенной по всей поверхности нагрузкой. Ромбическая пластинка с а = 35; 45; 55; 65; 75; 85, определить максимальный прогиб и оценить погрешность решения.
Рисунок 1 - Условия опирания пластинки
Принимаем в качестве опорных фигур пластинки в виде ромбов с а = 25 (Кг = 18,93; 1000Wo = 0,158) и а = 90 (Кг = 8; 1000Wo = 0,658) по формулам МИКФ находим максимальный прогиб для заданных пластин, найденные данные сведены в таблицу 1.
Таблица 1 - Значения максимального прогиба ромбических пластинок
^ = К ■ аА2 /Б
с комбинированными граничными условиями 0 '
Характеристики пластинок а
25 35 45 55 65 75 85 90
1000 Wo (МКЭ) 0,158 0,251 1,992 0,483 0,5599 0,622 0,641 0,658
1000 Wo (МИКФ) 0,259 0,375 2,364 2,529 2,735 2,866
Кг 18,93 13,947 11,314 9,766 8,827 8,282 8,03 8
Разница,% 4,49 1,55 1,73 1,79 3,41 0,1
Пример 2. Рассмотрим пластинку постоянной толщины, комбинированно опертую рисунок 2, нагруженную равномерно распределенной по всей певерхности нагрузкой. Ромбическая пластинка с а = 35; 45; 55; 65; 75; 85, определить максимальный прогиб и оценить погрешность решения.
Принимаем в качестве опорных фигур пластинки в виде ромбов с а = 25 (Кг = 18,93; 1000Ш = 0,256) и а = 90 (Кг = 8; 1000^о = 1,173) по формулам МИКФ находим максимальный прогиб для заданных пластин, найденные данные сведены в таблицу 2.
Рисунок 2 - Условия опирания пластинки Таблица 2 - Значения максимального прогиба ромбических пластинок с комбинированными граничными условиями
WQ = K ■ qA 2 /D
Характеристики пластинок а
25 35 45 55 65 75 85 90
1000 W0 (МКЭ) 0,256 0,452 0,615 0,735 0,966 1,117 2,186 1,173
1000 W0 (МИКФ) 0,454 0,659 0,854 0,992 1,143 1,153
Кг 18,93 13,947 11,314 9,766 8,827 8,282 8,03 8
Разница,% 0,96 1,92 0,15 0,74 2,21 0,965
Анализируя результаты, представленные в таблицах 1 и 2 можно сделать вывод о том, погрешность решения, полученного с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы (строка 2 табл. 1 и 2) и метода конечных элементов (строка 1 табл. 1 и 2) мала и не превышает 5%.
Выводы. Применение МИКФ позволяет получать простые аналитические зависимости для oпределения максимальнoго прогиба в задачах максимального прогиба ромбических пластинок. Методика решения указанных задач с помощью МИКФ протестирована на многочисленных примерах, и результаты тестирования показали хорошую точность решений, полученных с помощью МИКФ.
Библиография:
1. Вибрации в технике: Справочник. М.: Машиностроение, 1978. Т. 1. 352 с
2. Polya G. Sur la frequence fondamental des membranes vibranes et la resistance elestique des tiges a la torsion // Comptes Rendus de I Academie des saences. London. V. 228. Pp. 346-348.
3. Pragger W. Mathematical programming and theory of structures // J. Soc. Indust. and Appl. Math. 1965. Vol. 1. Pp. 157-172.
4. Коробко В. И. Состояние и перспективы развития изоперметрического метода в строительной механике // Изв. вузов. Строительство, 1993. N 11-12. С. 125-135.
5. Фетисова М.А., Калашникова Н.Г. Определение максимального прогиба трапециевидных пластинок с комбинированными граничными условиями с помощью МИКФ. Известия Орловского государственного технического университета. Серия: Строительство и транспорт. 2009. № 1. С. 65.
6. Фетисова М.А. Развитие и применение метода интерполяции по коэффициенту формы к решению задач поперечного изгиба пластинок с комбинированными граничными условиями: дисс. ... канд. техн. наук. Орел, 2010
7. Коробко А.В., Фетисова М.А. Способы решения задач поперечного изгиба трапециевидных пластинок // Строительство и реконструкция. 2010. № 1 (27). С. 36-39.
8. Фетисова М.А., Володин С.С. Аналитические и численные соотношения максимального прогиба ромбических пластинок с комбинированными граничными условиями // Вестник строительства и архитектуры: сб. науч. тр. Орел, 2014. С. 90-94.
9. Фетисова М.А., Володин С.С. МИКФ в строительной механике при решении задач максимального прогиба пластинок в виде многоугольника // Продовольственная безопасность как фактор повышения качества жизни: материалы Национал. (Всерос.) науч.-практ. конф. Орел, 2021. С. 45-49.
