CC BY
6РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ МЕТОДОМ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПО
КОЭФФИЦИЕНТУ ФОРМЫ
Фетисова М.А.
ФГБОУВО Орловский ГАУ, зав. кафедрой АПГС, доцент
Цуканов М.А. ФГБОУ ВО Орловский ГАУ, магистрант
Леденева З.Н.
ФГБОУ ВО Орловский ГАУ, магистрант
SOLUTION OF CONSTRUCTION MECHANICS TASKS BY THE METHOD OF INTERPOLATION
BY THE FORM FACTOR
Fetisova M.
FSBEIHE Orlovsky GAU, Head. Department of APGS, Associate Professor
TsukanovM.
FSBEI HE Orlovsky GA U, undergraduate
Ledeneva Z.
FSBEI HE Orlovsky GA U, undergraduate
Аннотация
В статье предлагается способ применения метода интерполяции по коэффициенту формы для определения максимального прогиба пластинок с комбинированными граничными условиями. Для отыскания опорных решений применяются простейшие аффинные преобразования. Abstract
In article the way of application of a method of interpolation on factor of the form for definition of the maximum deflection of plates with the combined boundary conditions is offered. The elementary affine transformations are applied to search of basic figures.
Ключевые слова: аффинное преобразование, интерполяция, коэффициент формы, комбинированные граничные условия, пластинка, поперечный изгиб.
Keywords: affine transformation, interpolation; form factor, the combined boundary conditions; a plate, lateral deflection.
Предложен эффективный метод нахождения аналитических решений в элементарных функциях для континуальных задач строительной механики, объединенных одним геометрическим преобразованием. Метод основан на интерполировании "опорных" решений по коэффициенту формы.
В математической физике и в строительной механике изопериметрическим методом получены решения, которые в обобщенном виде можно представить следующей зависимостью:
F = KGf (Kf / A)"
где F - исследуемая интегральная физико-механическая или геометрическая характеристика объекта исследования;
К - константа, зависящая от граничных условий конкретной задачи;
G - физическая или геометрическая константа, соответствующая рассматриваемой задаче;
К - коэффициент формы выпуклой области; п — показатель степени.
Коэффициент формы К определяется как контурный интеграл из выражения [2]:
Kf = min J— = min J(l + f2! r2) dy
h о
где ds - линейный элемент дуги контура; h - длина перпендикуляра, опущенного из произвольной точки внутри области на касательную к переменной точке контура;
2п
г = г (ю)
- полярное уравнение контура; г' - производная.
В работах [1,2,3] изопериметрический метод использовался в классическом виде, когда оценки интегральных физико-механических или геометрических характеристик получались в виде одно- или двусторонних изопериметрических неравенств, в которых граничные решения соответствовали правильным фигурам (кругу, квадрату, равностороннему треугольнику и другим). При этом не представлялось возможным проследить изменение изучаемой интегральной характеристики между граничными фигурами. В последнее время появились работы, в которых строятся аналитические зависимости, описывающие решения для какой-либо задачи строительной механики, для определенного множества геометрических фигур, объединенных одним непрерывным геометрическим преобразованием. В этих работах в качестве геометрического аргумента используется отношение, К/А которое, как показали и другие исследования, является геометрическим аналогом (моделью) изменения интегральной характеристики F при выбранном геометрическом преобразовании.
Поскольку изменение отношения К/А моделирует изменение интегральной характеристики F, то для определенного множества фигур, объединенных каким-либо одним геометрическим преобразованием, достаточно иметь два известных ("опор-
ных") решения, чтобы записать аналитическую за- Преобразуем аналитические записи двух опор-
висимость, аппроксимирующую все решения для ных решений: фигур рассматриваемого множества.
^ = ко (кг! / А)"; р2 = ко (Кп / Л2);
^ = [( Кг 2/Кг!)(Лх/Л2)]я; п = 1п (^) /1п [(кг 2/Кг!)(Лх/Л2)].
Здесь и Б2 - известные решения для опорных фигур; Кр/А1, К/2/Л2, - значения отношений соответствующих этим фигурам геометрических параметров.
В общем случае для любой фигуры из рассматриваемого множества с учетом полученных соотношений решение может быть представлено в виде формулы
^ = ^ [(к,/К/1)(Л,/Л)]" (|>
где одно опорное решение удовлетворяется автоматически при К/А =Кр/А 1, а другое - через показатель степени п.
Таким образом, аппроксимация решений для определенного множества геометрических фигур, объединенных одним геометрическим преобразованием, но своей математической сути является методом интерполяции решений по коэффициенту формы.
Отметим, что с помощью зависимости (1) можно осуществить не только интерполяцию, но и экстраполяцию. Точность интегральных характеристик исследуемой области с помощью предлагаемого метода зависит, в первую очередь, от точности "опорных" решений, которые во многих практически важных случаях получены различными приближенными вариационными методами (например, методом Релея-Ритца). Поэтому искомые характеристики промежуточных фигур будут получаться с не меньшей погрешностью. Это следует учитывать при использовании метода интерполяции и применять его при указанном выборе опорных фигур в тех случаях, когда требуется быстро и без высокой точности дать оценку искомым интегральным характеристикам.
Для уменьшения влияния указанного отрицательного фактора необходимо, если это возможно по условиям задачи, в качестве "опорных" фигур применять такие, решения для которых получены точно. К таким фигурам, в частности, относятся
прямоугольники, являющиеся основными формообразующими элементами строительных конструкций.
В строительстве широко распространены в качестве несущих элементов плоские панели. Поэтому расчет (пластинок) [4,5,6,7], например, на общую устойчивость, общий изгиб, свободные колебания, будет рассмотрен в следующем примере.
Пример. Требуется найти решение и оценить погрешность для изгиба параллелограммных комбинированно опертых пластинок, с углом у основания а 40, 50, 60, 70 град. (рис.1), нагруженных равномерно распределенной нагрузкой.
Рисунок 1.
Приняв в качестве опорных фигур параллелограммы с а = 30° (К = 20; "о = 0,012мм) и а = 80° (Кг = 10,15; "0 = 0,126мм) по формулам находим максимальный прогиб для заданных пластин, найденные данные сведены в таблицу 1.
Анализируя результаты, представленные в таблице можно сделать вывод о том, погрешность решения, полученного с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы (ссылка на строку в табл.) и метода конечных элементов мала и не превышает 5%.
В тоже время, в отличие от МКЭ, МИКФ дает возможность качественно представить изменение интегральных физических характеристик при различных геометрических преобразованиях, а следовательно, и получить двустороннюю оценку решения, что является неоспоримым достоинством МИКФ по сравнению с МКЭ.
Таблица 1
Значения максимального прогиба параллелограммных пластинок с комбинированными граничными _условиями_
а 20 30 40 50 60 70 80 90
Wo, мм (МКЭ) 0,0028 0,012 0,0292 0,0542 0,0837 0,114 0,126 0,137
1000К (МКЭ) 0,1097 0,221 0,332 0,439 0,531 0,609 0,6297 0,658
Wo, мм МИКФ 0,0287 0,0528 0,0813 0,1097
1000К МИКФ 0,3259 0,4274 0,5181 0,592
S, м2 0,7 1,02 1,3 1,54 1,74 1,9 1,96 2
Kf 29,23 20 15,557 13,054 11,547 10,642 10,15 10
А, % 1,71 2,65 2,95 3,92
Таким образом, применение МИКФ позволяет получать простые аналитические зависимости для определения максимального прогиба в задачах поперечного изгиба пластинок. Этот метод позволяет также производить контрольные проверки решений для конкретных видов пластинок, полученных другими приближенными способами, путем построения этих фигур с помощью различных геометрических преобразований.
Список литературы
1. Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. - [Текст] / Полиа Г., Сеге Г - М.: Госматиздат, 1962. - 336с.
2. Коробко В.И Изопереметрический метод в строительной механике.- Т. 1. [Текст] / В.И. Коробко - М.: Изд-во АСВ, 1997. - 396с.
3. Коробко В.И., Сенин М.А., Фетисова М.А. Геометрические и физические основы метода интерполяции по коэффициент формы и их применение к задачам строительной механики и теории упругости // В сборнике: Повышение качества среды жизнедеятельности города и сельских поселений архитектурно-строительными средствами Сборник научных трудов международной научно-практической конференции. 2005. С. 165-176
4. Коробко А.В., Фетисова М.А. Определение поперечного изгиба методом интерполяции по коэффициенту формы при аффинном преобразовании пластинок в виде ромбов и параллелограммов Промышленное и гражданское строительство. 2010. № 1. С. 23-24.
5. Фетисова М.А. Развитие и применение метода интерполяции по коэффициенту формы к решению задач поперечного изгиба пластинок с комбинированными граничными условиями. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук / Орловский государственный технический университет. Орел, 2010
6. Коробко А.В., Фетисова М.А. Способы решения задач поперечного изгиба трапециевидных пластинок Строительство и реконструкция. 2010. № 1. С. 36.
7. Фетисова М.А., Калашникова Н.Г. Определение максимального прогиба трапециевидных пластинок с комбинированными граничными условиями с помощью МИКФ. Известия Орловского государственного технического университета. Серия: Строительство и транспорт. 2009. № 1. С. 65.
