CC BY
1УДК 51 Ульянкина Е.Н., Гаджиев Г. О., Глубокое Ю.А.
Ульянкина Е.Н.
старший преподаватель кафедры МиЕНД, Филиал Военного учебно-научного центра Военно-воздушных сил
Военно-воздушная академия им. профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина (г. Челябинск, Россия)
Гаджиев Г.О.
курсант 1 факультета подготовки штурманов, Филиал Военного учебно-научного центра Военно-воздушных сил
Военно-воздушная академия им. профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина (г. Челябинск, Россия)
Глубоков Ю.А.
курсант 1 факультета подготовки штурманов, Филиал Военного учебно-научного центра Военно-воздушных сил
Военно-воздушная академия им. профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина (г. Челябинск, Россия)
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ В ВОЕННОЙ СФЕРЕ
Аннотация: в статье рассматривается актуальность распределения ограниченных ресурсов в военной сфере, что является важной задачей в различных сферах деятельности. Оптимальное распределение позволяет достичь наибольшей эффективности использования имеющихся ресурсов. Математические методы дают инструменты для нахождения оптимальных решений, что обуславливает актуальность их изучения и применения.
Ключевые слова: распределение ресурсов, математическая модель, математический аппарат, теория игр, теория массового обслуживания.
В теории оптимального распределения ресурсов рассматриваются задачи оптимизации распределения ограниченных ресурсов между конкурирующими потребителями. Основная цель — найти такое распределение, которое максимизирует некоторый критерий эффективности использования ресурсов. Математически эти задачи формулируются как задачи оптимизации с ограничениями [1].
Теория оптимального распределения ресурсов предоставляет математический инструментарий для нахождения эффективных решений в задачах экономики, логистики, управления запасами и других областей. Основу составляют методы линейного, нелинейного, динамического программирования и теории игр.
Методы решения задач оптимального распределения ресурсов являются важной областью математических исследований. Существует множество подходов к нахождению оптимального решения при распределении ограниченных ресурсов между конкурирующими целями [4].
Одним из основных методов является линейное программирование. Это математический метод нахождения оптимального решения при наличии целевой функции и ограничений, представленных в виде линейных уравнений или неравенств [1].
Математические методы оптимизации активно развиваются и совершенствуются. Создаются новые эффективные алгоритмы, сочетающие разные подходы. Важную роль играют вычислительные мощности, позволяющие решать задачи большой размерности за приемлемое время [6].
Применение математической оптимизации при распределении ресурсов позволяет организациям и компаниям повышать эффективность, снижать затраты, оптимально планировать производство и логистику. Эти методы
используются при разработке оптимальных инвестиционных стратегий, управлении цепочками поставок, проектировании сложных инженерных объектов и инфраструктуры [3].
Математика является фундаментальной наукой, которая на протяжении столетий развивалась благодаря усилиям выдающихся ученых разных эпох. Одной из важнейших областей математики является исследование оптимальных методов распределения ограниченных ресурсов [2]. Эта тема имеет не только академический интерес, но и большое практическое значение для решения задач экономики, логистики, планирования и управления.
В основе математических моделей оптимизации ресурсов лежит понятие целевой функции, которую необходимо максимизировать или минимизировать при наличии ограничений.
Важнейшее практическое применение оптимизационные методы находят в задачах распределения ограниченных ресурсов, таких как рабочее время, электроэнергия, полезные ископаемые, производственные мощности и другие. С помощью математического моделирования можно находить такие способы распределения ресурсов между потребителями, которые максимизируют общий полезный эффект [5].
Применение математических методов оптимизации неразрывно связано с активным использованием современных компьютерных технологий. Сложные оптимизационные задачи с большим количеством переменных и ограничений могут быть решены только с применением вычислительной техники и соответствующего программного обеспечения. Для этих целей разработаны эффективные алгоритмы:
Алгоритм решения задачи распределения ресурсов.
В распоряжении центра имеется ресурс (заказ на производство продукции) в количестве R. Цена единицы продукции p. Затраты агентов
Коэффициент i характеризует эффективность работы ьго агента, чем больше значение i , тем меньше затраты агента при выполнении плана центра, следовательно, больше эффективность агента. Задача центра заключается в том, чтобы создать такой механизм распределения заказа между агентами, который бы максимизировал критерий эффективности - прибыль фирмы.
Будем оценивать эффективность механизма планирования как отношение целевой функции центра к её максимальному значению:
Для этого определим оптимальное распределение ресурсов с точки зрения центра, которое обеспечивает максимум целевой функции центра
В качестве целевой функции центра примем максимизацию прибыли фирмы: На распределение ресурса центром наложены следующие ограничения:
Оптимизационная задача относится к задачам на условный экстремум.
Перепишем ограничение так, чтобы в правой части был 0: Используем для решения данной задачи метод множителей Лагранжа. Запишем функцию Лагранжа как сумму целевой функции и ограничения, умноженного на множитель Лагранжа:
Найдём частные производные от функции Лагранжа по неизвестным переменным:
Из первого уравнения системы следует: Подставляем значение во второе уравнение системы, получаем:
Откуда найдём множитель Лагранжа:
Подставляя множитель Лагранжа, получаем оптимальный закон планирования для центра:
Оптимальный план распределения заказа с точки зрения центра для ьго агента прямо пропорционален имеющемуся ресурсу R и отношению эффективности ьго агента к сумме эффективностей всех агентов.
Для нахождения максимального значения целевой функции подставим оптимальный план в выражение для целевой функции:
Полученное выражение определяет максимально возможную прибыль для центра. Определение оптимального распределения ресурса для агентов Рассмотрим математическую постановку задачи. Фонд заработной платы каждого подразделения составляет определённый процент m от прибыли, зарабатываемой этим подразделением. Поэтому в качестве целевой функции го подразделения будем рассматривать максимизацию зарабатываемой прибыли:
где iy - распределение заказа с точки зрения ьго агента.
Оптимизационная задача — это задача на безусловный экстремум функции одной переменной. Для решения задачи продифференцируем эту функцию по iy и приравняем к нулю:
Решая уравнение определим оптимальный план для каждого агента:
Анализируя полученные формулы, можно сделать вывод о противоречии между интересами центра и агента.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Алгоритм формирования плана распределения задач распознавания космических объектов по вычислительным ресурсам / Д. А. Антонов, В. В. Оркин, О. Е. Нестеренко, Д. Г. Попов // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. — 2022. — № 4. — С. 140—147;
2. Буткина, А. А. Применение технологий конкурентного и параллельного программирования для решения задач сортировки и распределения ресурсов / Том Часть 2. — Саранск: Национальный исследовательский Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарёва, 2020. — С. 630—634;
3. Ганичева, А. В. Метод решения задачи оптимизации распределения целочисленного ресурса / А. В. Ганичева, А. В. Ганичев // Прикладная математика и вопросы управления. — 2021. — № 4. — С. 42—55;
4. Еремина, И. И. Комбинаторная оптимизация процесса распределения задач и трудовых ресурсов / MorrisvШe: LuluPressДnc., 2020. — С. 108—111;
5. Кривошеев, О. В. Миварный алгоритм решения задач распределения ресурсов производственных систем в условиях неполноты данных / О. В. Кривошеев // Том 2. — Москва: Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет), 2022. — С. 128—134;
6. Румянцева, А. А. Решение задачи распределения ресурсов с применением динамического программирования / А. А. Румянцева, А. Ю. Береснева, М. М. Федорова // Экономика и предпринимательство. — 2022. — № 9(146). — С. 1323—1326
Ulyankina E.N., Gadzhiev G.O., Glubokov Yu.A.
Ulyankina E.N.
Air Force Academy named after N.E. Zhukovsky and Yu.A. Gagarin
(Chelyabinsk, Russia)
Gadzhiev G.O.
Air Force Academy named after N.E. Zhukovsky and Yu.A. Gagarin
(Chelyabinsk, Russia)
Glubokov Yu.A.
Air Force Academy named after N.E. Zhukovsky and Yu.A. Gagarin
(Chelyabinsk, Russia)
SOLVING PROBLEM OF OPTIMAL ALLOCATION OF RESOURCES IN MILITARY SPHERE
Abstract: the article examines the relevance of the allocation of limited resources in the military sphere, which is an important task in various fields of activity. Optimal allocation allows you to achieve the most efficient use of available resources. Mathematical methods provide tools for finding optimal solutions, which determines the relevance of their study and application.
Keywords: resource allocation, mathematical model, mathematical apparatus, game theory, queuing theory.
