CC BY
93
УДК 539.375
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О КОНТАКТЕ КОЛЕСА
И РЕЛЬСА ДЛЯ СЛУЧАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ПЛОЩАДКИ
КОНТАКТА
Г. П. ТАРИКОВ, Н. М. БОРОДАЧЕВ,
В. В. КОМРАКОВ, Е. М. АКУЛОВА
Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет имени П. О. Сухого»,
Республика Беларусь
Введение
Механическое взаимодействие колеса и рельса является физической основой движения поездов по железным дорогам. Именно это взаимодействие определяет скорость и безопасность движения поездов. Требования к характеристикам контактного взаимодействия колеса и рельса противоречивые. С одной стороны, сцепление колес с рельсами должно обеспечивать малое сопротивление движению состава. С другой стороны, для обеспечения требуемой силы тяги необходимо иметь высокий уровень сцепления колес локомотива с поверхностью рельса. Задаче о контакте колеса с рельсом посвящено значительное количество работ [1], [2]. Тем не менее она остается актуальной. В связи с этим аналитическое решение задачи представляет научный и практический интерес.
Решение краевой задачи для упругого полупространства
В соответствии с гипотезой Герца при определении напряженно-деформированного состояния контактирующие тела заменяются упругими полупространствами, прижатыми друг к другу по площадке контакта. Поэтому сначала построим решение статической краевой задачи теории упругости для полупространства.
Дифференциальное уравнение равновесия в перемещениях при отсутствии массовых сил имеет вид [3]:
Аи н--1— у(у • и )= 0, (1)
1 - 2v у ’
где и - вектор перемещений; V - коэффициент Пуассона; А - оператор Лапласа; V - набла-оператор.
Воспользуемся прямоугольной системой координат х1, х2, х3. В работе [4] показано, что уравнение (1) можно удовлетворить, если положить
и = В —^—т XзVф, А В = 0, Аф = 0, -^= 2 ^ - 2у ^ V В. (2)
2(1 - 2v) сХ3 3 - 4 • V
Здесь В - гармонический вектор, а ф - гармонический скаляр. В компонентах
декартовой системы координат выражение (2) имеет вид:
В 1 дф
Ь = В1-----------------------х3 —,
2(1 - 2v) дх1
В 1 дф
/9 = В2----------------------х3-----------.
2(1 - 2v) дх2
. = о 1 „ дф
2(1 - 2v)"3 дх3
Гармонические функции В1, В2, В3 и ф находятся из решения краевой задачи. Пусть на плоскости х3 = 0 заданы нормальные напряжения:
Ь / (xl, Х2 ), (xl, Х2
[ 0, (х1, х2 )^О,
О33
а касательные напряжения о31 и а32 отсутствуют.
Здесь О - область нагружения в плоскости х3 = 0.
Удовлетворяя этим граничным условиям и используя формулы (3), находим гармонические функции Bi (г =1, 2, 3) и ф:
„ 1 дИ _ дФ
В1 =----------------+ 2av-;
2ц дх1 дх1
_ 1 дИ _ дФ
В 2 —----------н 2av----;
2ц дх2 дх2
_ 1 дИ 1 дФ 1 1-2v дИ ...
3 = 2ц дх3 + 2 ф; ф=дх3; а = 2(1-2v); ф= ц дх3;
N (х1, x2, х3) = 2- Л / (У1, у2 )1п(х3 + г Уу1Ф2 ;
2- О
[(х1 - у1 )2 +(х2 - У 2 )2 + Х32 ] .
г = Их, - у, ) +(х2 -у2 )2 + х32 Здесь ц - модуль сдвига.
Подставляя выражение (4) в (3), получаем формулы для определения компонент вектора перемещений:
( ЯЛГ ЯгЬ я2 лг Л
и1 =
и2
и3 =
2ц
2ц
2ц
Далее имеем
дИ л дФ д2И
--------н 4avц---------х3------
дх1 дх1 дх1дх3 у
{ дИ л дФ д2 И Л
-------н4avц-----------х3------- , (5)
У дх2 дх2 дх2дх3 у
{дИ (л 0 чдИ д2 И ^
-------н (1 - 2v)------х3--—
удх3 дх3 дх3 у
дФ 1-2v дИ
дх3 ц дх3
3 ^3
Следовательно,
1 - IV
Ф = -—— И.
ц
С учетом соотношения (6) формулы (5) принимают вид:
и1 = -
и2 = -
и3 =
2ц
2ц
2ц
(1 _ 2у )дИ + х,?*.
дх1 дх1дх3
"(1 . )дИ д2И (1 - ^ + г
дх2
дх2дх3
„Л чдИ д2 И
2(1 - v)дГ “ х3
дх3 дх3
(7)
Зная компоненты вектора перемещений, можно найти компоненты тензора напряжений по формулам:
ст„ = 2ц
О33 = 2ц
^ V© дм. ^ ----------н—1
1 - 2v дх1
; ^22 2ц
V© н ди3
У
Л
; ^12 ц
У1 - 2v дх3 у
^ди9 ди3 Л
°23 =ц — н— ; °31 =ц
V дх3 дх2 у
Удх2 дх1 у
дх1 дх
3 у
Интегральное уравнение контактной задачи и его решение
Принимая во внимание, что
1п(х3 н г) = —,
дх3
запишем третью формулу (7) в виде:
1 - V
(8)
х2 , х3 )^^1 1— [[ / (Уl, У 2 )1- х3^ [[./(У1, У 2 )14^2 2ц - •о г дх ^ г
3 О
Частный случай этой формулы при х3 = 0:
1 - V
(х1, х2 , х3 )= 2—Ц/Су1 ,У2 ) -1 dУldУ2 2-ц О Л
(9)
где Л = [(х1 - У1 )2 н (х2 - У2 )2 ]12.
Функция /(у1, у2 ) представляет собой нормальное давление р(х1, х2) в области О. Формула (9) относится к одному упругому телу. Когда рассматривается контакт двух тел, то [3]:
и3(х1,х2,0) = и31)(х1,х2,0)ни3(2)(х1,х2,0) = 5-ф1 (х1,х2)-ф2(х1,х2), где (х1,х2)еО.
Здесь 5 - сближение упругих тел, фг (х1, х2) - уравнения поверхностей соприкасающихся тел. Поэтому в случае контакта двух упругих тел уравнение (9) будет иметь вид:
5 - ф1 (xl, х2 ) - ф2 (х1, х2 ) = ^ н^2 Ц— P(Уl, У2 Уу^У2 ,
2- о Л
(10)
г
и
3
где (х—, х2 )еО, $г- = -——, (г = 1,2).
ц,-
Уравнение (10) является двумерным интегральным уравнением первого рода. При выводе этого уравнения касательные напряжения в области контакта не учитывались. Решая уравнение (10), можно найти закон распределения нормального давления на площадке контакта О.
Ограничиваясь в уравнении (10) рассмотрением лишь локальных эффектов, получаем:
5--х-
х„
2л, 2Л2
^ н32 2-
(11)
где (х—, х2 )е О.
Вопросы, связанные с определением величин Л и Л2, подробно рассматриваются в монографии [3]. В данном случае контактного взаимодействия колеса и рельса будет иметь место контакт поверхности вращения с осями, расположенными накрест при внешнем соприкасании (рис. 1).
Рис. 1
В этом случае
111111
— = — н—; — =—н—. (12) I? Е>' Т?п Е> Т?гг
Л1 Л1 Л2 Л2 Л2 Л1
Здесь - радиус бандажа, Л2 - радиус головки рельса.
Для неизношенных колеса и рельса полагают, что л- = го и л-' = го.
Считая величины Л1 и Л2 известными, можно приступить к решению интегрального уравнения (11). Решение этого уравнения в замкнутом виде можно получить полагая, что областью контакта О является эллиптическая площадка, ограниченная эллипсом Е0:
^ н ^ = 1, а > Ь, Ь2 = а2 (1-е2), а2 Ь2
где а, Ь - полуоси эллипса; е - эксцентриситет эллипса Е0. Величины а, Ь первоначально неизвестны, они определяются в процессе решения задачи.
Решение уравнения (11) будем искать в таком виде:
р(х1, х2 ) = р,
С х 2 х 2 Л12
1 __21______±2_
V а2 Ь2 у
где (х— , х2 )е О.
Подставляя формулу (13) в уравнение (11), получаем:
2 2
5__^_х±_ = р ^^2(і^ _і,х2 _12х2
2 Я1 2Я2 2л
(10 _ І,X2 _ 12х22 )
где І0 = ЬК(е), I, = -Ьг [К(е) _ £(е)], 12 = Ь
22 е а
2 2 2 е а
а
—£ (е) _ К (е) Ь2
эллиптические интегралы. Уравнение равновесия:
Р = ц р(х„х 2 )dx1dx2,
где Р - нормальная сила, прижимающая упругие тела.
Подставляя формулу (13) в уравнение равновесия, находим:
3 Р
Р0 =- Рс, Ра =-----.
2 -аЬ
(13)
(14)
К(е), Е(е) - полные
Формулу (13) можно записать в виде:
Р(х1> Х2 )= - Рс
С х 2 х 2 Л12
і _^1____22
2 7 2
V а Ь у
где (х1з х2 )еП.
Наибольшее давление на площадке контакта:
Ртах = '
З Р
2 лаЬ
(15)
Используя соотношение (14), находим: - большую полуось эллипса Е0:
а =
Р(1 _ у)
Я
|Д
1/3
а а; а а =
—D(e)
2л у '
1/3
- сближение упругих тел (колеса и рельса):
5 =
Р(1 _у)
|Д Я
1/2
2/3
а5; а5 =
_ 32л2 D(e)_
13
к (е);
D(e) = ■! [К (е) _ Е (е)].
Эксцентриситет е эллипса Е0 можно найти из соотношения:
Я = (1 _ е1 )[К (е)_ Е (е)] Я1 Е(е)_(1 _е2)К(е) '
2
□
9
Малую полуось Ь эллипса Е0 находим по формуле
Ь = а-\/1 - е2.
Ось х— направлена параллельно продольной оси рельса.
Полученные выше формулы для определения Ртах, 5, а, е справедливы для неизношенных колеса и рельса.
На рис. 2 представлены графики изменения величин Л2/Л—, аа и а5 в зависимости от
г2.
1.3 и, В Ц 6
Ол
п.?
и
У
ч
/
& N.
г*■■ \
\ \ \
\
02
0л 0,6
Рис. 2
Рассмотрим числовой пример.
При определении контактных напряжений, сближения и размеров площадки контакта колеса с рельсом, использовались следующие данные:
- рельс Р65 изготовлен из стали, имеющей предел прочности ав = 1175 МПа;
- бандаж вагонного колеса изготовлен из стали, имеющей предел прочности ав = 880- 1100 МПа;
-упругие характеристики сталей: модуль Юнга Е = 2,1 • 105 МПа, коэффициент Пуассона V = 0,28, модуль сдвига G = ц = 8,1 • 104 МПа;
- принимаем радиус головки рельса Р65 равным 300 мм;
- радиус бандажа колеса равным 475 мм.
Следовательно,
Я = 300 мм, Я = ^
Я = 475 мм, Я2 = “.
По формулам (12) находим:
Я = 475 мм; Я = 300 мм; Я/Я = 0,632.
По рис. 2 находим:
е2 = 0,46; аа = 0,775; а5 = 0,565.
Пусть Р = 80 кН. Тогда
80 -103 (1 _ 0,28)
а =
8,1-10
10
- 0,475
1/3
- 0,775 = 5,40-10 м = 5,4 мм;
5 =
80 -103 (1 - 0,28) П 23
8,1 -1010 -у/0,475
• 0,565 = 5,77 -10 м = 5,77 -10-2мм;
Ь = ау11 - е2 = 5,40 --у/1 - 0,462 = 3,97 мм;
3 Р 3 80-103 9
р =---------=---------------------= 1,782-109Па = 1782 МПа;
х П1ал ^ ^
2 -аЬ 2-• 5,4• 3,97-10-6
р=а=540=1,36.
Ь 3,97
Таким образом, получено решение задачи о контакте колеса и рельса.
Заключение
Дано аналитическое решение пространственной контактной задачи применительно к контакту колеса с рельсом. Получены формулы для определения контактных напряжений и размеров площадки контакта, которые в дальнейшем могут быть использованы для определения наибольших расчетных напряжений (по третьей или четвертой теории прочности), возникающих на некоторой глубине под площадкой контакта, а также при решении контактной задачи с учетом износа контактирующих поверхностей колеса и рельса.
Литература
1. Моделирование процессов контактирования, изнашивания и накопления повреждений в сопряжении колесо-рельс / В. М. Боградов [и др.] // Трение и износ. - 1996. - Т. 17, № 1. - С. 12-26.
2. Вериго, М. Ф. Взаимодействие пути и подвижного состава / М. Ф. Вериго, А. Я. Коган ; под ред. М. Ф. Вериго. - М. : Транспорт, 1986. - 559 с.
3. Лурье, А. И. Теория упругости / А. И. Лурье. - М. : Наука, 1970. - 939 с.
4. Бородачев, Н. М. Об одном методе решения пространственной задачи теории упругости в перемещениях / Н. М. Бородачев, В. В. Астанин // Проблемы прочности. - 2003. - № 3.
- С. 62-69.
Получено 17.11.2011 г.
