Методика определения контактных параметров заимодействия колеса карьерного железнодорожного транспорта с рельсом Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

© A.M. Керопян, 2013

УДК 679.8.053 А.М. Керопян

МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОНТАКТНЫХ ПАРАМЕТРОВ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КОЛЕСА КАРЬЕРНОГО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА С РЕЛЬСОМ

Б результате выполненных теоретических исследований разработана упрошенная методика решения задачи по определению геометрических параметров и контактных напряжений, возникаюших при взаимодействии упругих колеса и рельса при их нагружении вертикальной нагрузкой.

Полученные результаты могут быть использованы при проектировании шахтных и карьерных железнодорожных транспортных средств, камнедобычного оборудования и других видов горной техники.

Ключевые слова: колесо, рельс, вертикальная нагрузка, пятно контакта, перекре-шиваюшиеся под прямым углом цилиндры, сближение контактируюших цилиндров, большая и малая полуоси пятна контакта, контактное напряжение, аппрок-симируюшие коэффициенты большой и малой полуосей пятна контакта.

Взаимодействие колеса и рельса положено в основу функционирования ряда горных машин, в том числе шахтных и карьерных локомотивов, камнедобычного оборудования и других видов горной техники.

Задача определения геометрических параметров и контрактных напряжений, возникаюших при взаимодействии колеса и рельса, связана с именем Генриха Герца. При нагружении вертикальной нагрузкой N упругого колеса, опираюшегося на упругий рельс, между ними образуется пятно контакта, форма которого близка к эллипсу (рис. 1). В работах [12, 4] приведены методы решения данной задачи при следуюших предположениях [2]:

1) материалы колеса и рельса изотропны;

2) напряжения в пределах пятна контакта не превышают предела упругости;

3) вертикальная нагрузка, распределенная по поверхности контакта, нормальна к этой поверхности;

4) размеры пятна контакта малы по сравнению с размерами поверхностей

, _ соприкасаюшихся тел.

Иис. 1. Схема контакта колеса с рельсом

Контактная прочность рассчитывается по наибольшему напряжению сжатия [ок]тах действующему в центре пятна контакта [2]

[а] -

ф (1) где N — вертикальная нагрузка, действующая на упругое колесо; Фц — площадь пятна контакта.

Для задачи контакта колеса и рельса

фц -П'ач • Ьц (2)

где ац и Ьц соответственно большая и малая полуоси эллиптического пятна контакта.

В литературе приводятся формулы для определения размеров пятна контакта и контактных напряжений [2, 4], которые включают достаточно большое число промежуточных вычислений коэффициентов, определяемых по таблицам, что усложняет выполнение практических расчетов.

С целью упрощения процесса вычислений упомянутых параметров разработана методика, основанная на геометрических формулах с частичным применением сведений из классической теории сопротивления материалов (на примере вдавливания упругого шара в упругое полупространство и перекрещивающихся под прямым углом двух цилиндров радиусов г и И). Известно, что при внедрении сферы

с радиусом Исф в полупространство радиус окружности, образующейся в месте контакта (рис. 2), определяется по формуле

а сфм

сф ^ сф

(3)

где Дсф — величина сближения сферы с полупространством.

Кроме того, согласно [3] уравнения двух цилиндров, перекрещивающихся под прямым углом (рис. 3) могут быть заданы уравнениями:

Ик

х2 + (г - Л)2 - г2 у2 + г2 - И2

(4)

(5)

где г и И — соответственно радиусы малого и большого цилиндров (т.е. колеса и головки рельса); А — межосевое расстояние цилиндров (колеса и головки рельса).

Максимальные значения параметров х и у соответственно равны

Рис. 2. Расчетная схема определения параметров контактного взаимодействия вдавливаемой в полупространство сферы

х = Ь

тах им

(6)

утах аим

Рис. 3. Расчетная схема определения параметров контактного взаимодействия перекрещивающихся под прямым углом двух цилиндров

Здесь ацм и Ьцм соответственно большая и малая полуоси пятна контакта, рассчитанные математически, по геометрическим формулам.

Для определения уравнения линии, определяющей границы пятна контакта, из уравнений (4) и (5) исключаем параметр г

Я2 - у2 = (А -4т2 - х2)2 (7)

Следует принять во внимание, что А = Я + г -А (рис. 3, а),

где Л — сближение осей контактирующих тел. Решая уравнение (7) относительно у и учитывая, что размеры пятна контакта малы по сравнению с размерами контактирующих тел (значением Л2 можно пренебречь как малой величиной второго порядка) окончательно получим

у = х2 - 2 • г2 - 2 • Я • г + 2 -А- (Я + г) + 2 • (Я + г -А)-ТГ2 - х2 (8)

Формула (8) описывает замкнутую кривую второго порядка, которая в общем случае может приближаться к эллипсу.

Приравнивая нулю координаты х и у, находим точки пересечения контура пятна контакта (эллипса) с координатными осями, т.е. определяем значения ацм и ЬцМ.

При х = 0 из (8) получим Утах = ацм = +4-2г 2 - 2 • Я • г + 2 • (Я + г) • А + 2 • (Я + г -А) • г = +7 2 • Я •А (9)

Из (6) при у = 0, выполняя вычисления и пренебрегая малой величиной второго порядка Л2, получим

*шах = Ьим = ±>/2 • Г-Д (10)

Формулы (9) и (10) позволяют определить геометрические значения соответственно большой и малой полуосей эллиптического пятна контакта. Причем, если г < Я, большая полуось направлена перпендикулярно оси головки, а при г > Я — вдоль оси головки рельса. При г = Я пятном контакта является окружность.

Таким образом, подставляя значения аим и Ьцм, найденные по формулам (9) и (10), в (2) получим:

Фи 2 • Я-Д-V 2 • г-Д = 2п-Д-4Я~Г (11)

Для контактируюших цилиндров с перпендикулярными осями сближение их осей Л определяется по формуле [2]

д = 0,977 • п I Nä) r + Я

E

r • Я

(12)

где Е — приведенный модуль упругости материалов колеса и рельса; пд — коэффициент сближения осей колеса и рельса, зависящий от отношения их радиусов r/Я (см. табл. 1).

Таблица 1

r/Я 0,00385 0,02 0,101 0,2 0,32 0,4 0,5 0,7 1,0

пд 0,3579 0,546 0,7775 0,8756 0,9332 0,9556 0,9740 0,9929 1,0

Для сферы, вдавливаемой в полупространство (рис. 2) сближение соприка-саюшихся тел Лсф определяется по формуле [2]

Л * = 1-231 • 3(f Т • Я

(13)

сф

где Ясф — радиус вдавливаемой сферы.

На практике размеры пятна контакта для сферы асф и перекрешиваюшихся под прямым углом цилиндров аи и Ьц определяются [2]

асФ = 1-109 •З E • ЯсФ

(14)

a„ = 1,397 • na3• — ö ail E r + Я

Ьи = 1,397 • nb3-ä~

Nä г-Я

(15)

E r + Я

Коэффициенты пд, na и пЬ определяются по таблице методом линейной интерполяции в зависимости от отношения r/Я по [2].

При r = Я

au = Ьц = 1,109 • 3Nr •Я (16)

т.е. при равных радиусах колеса и головки рельса проекцией пятна контакта на горизонтальную плоскость является окружность с радиусом, определяемым по формуле (14).

Для проверки правомерности применения математических методов определения параметров пятна контакта по формулам (3), (9) и (10) были выполнены соответствующие расчеты.

Анализ результатов расчетов параметров пятна контакта и контактных напряжений показал, что при деформации сближения Дсф, рассчитанной по формуле (13), радиус окружности пятна контакта определяется по формуле асф = 0,7071 асф.м. Анализ результатов аналогичных расчетов для перекрещивающихся цилиндров выявил следующее:

1. Длина полуосей ацм и Ьцм, рассчитанных по формулам (9) и (10) больше соответствующих значений, определенных по формулам (15). Для интервала r/Я = 0,2....1,0 отношение ац/ацм и Ьц/Ъ^м аппроксимируется линейной зависимостью

Ка = 0,8121 — 0,105 r/Я (17)

КЬ = 0,5607 + 0,1464 r/Я (18)

где Ка и КЬ — аппроксимирующие коэффициенты соответственно большой и малой полуосей пятна контакта.

Погрешность аппроксимации для Ка не превышает 1,78%, а для КЬ не превышает 2,68% (при r/Я = 0,5).

2. При r = Я, Ка = КЬ = 0,7071, или 1/Ка = 1/КЬ = 1/0,7071 = л/2. Иными словами при равных радиусах колеса и головки рельса ацм = Ьцм = ац 42 = = Ьц= Ьц72.

3. Коэффициенты Ка и КЬ не зависят от вариации нагрузки, т.е. при изменении действующей на колесо вертикальной нагрузки (в диапазоне упругих деформаций) отношение значений размеров большой и малой полуосей пятна контакта, вычисленных по формулам сопротивления материалов, к рассчитанным по геометрическим формулам их значениям, есть величина постоянная для данного значения r/Я. Значения Ка и КЬ приведены в табл. 2.

Таблица 2

r/Я. 0,2 0,32 0,4 0,5 0,7 1,0

Ка 0,7911 0,7785 0,7701 0,7596 0,7386 0,7071

КЬ 0,6116 0,62593 0,63549 0,64743 0,67131 0,7071

4. Расчеты также показали, что размеры полуосей пятна контакта, вычисленные по формулам сопротивления материалов, отличаются от значений параметров пятна контакта, рассчитанным по геометрическим формулам. Это обстоятельство объясняется тем, что в первом случае учитываются упругие свойства материалов колеса и рельса, а во втором случае — нет.

У

Пятно контакта

а)

5)

Рис. 4. Схема перемещения волокон материала рельса, находящегося в напряженном состоянии в пределах пятна контакта

Кроме того, при одних и тех же значениях г/К, большую разницу размеров малых полуосей, вероятно, можно попытаться объяснить анизотропностью материала в пределах пятна контакта, находящегося в сложнонапряженном состоянии. В данном случае речь идет не об анизотропности материалов колеса и рельса вообще, так как сталь в остается изотропной по всему объему контактирующих тел, а как бы о «локальной анизотропии», вызванной затрудненным перемещением частиц упругих волокон материала рельса в зоне концентрации напряжений в продольном направлении и более свободным — в поперечном (рис. 4). Из рис. 4 нетрудно заметить, что при малом перемещении Дх волокон материала, находящегося в напряженном состоянии, длина отрезка ОВ, направленного вдоль оси у, практически остается неизменной, т.е. ОВ и ВС.

Таким образом, учитывая зависимости (17) и (18), можно установить связь между Зц, Ьц и ЗцМ, Ьцм

Зц = Ка* Зцм (19)

Ьц = КЬ Ьцм (20)

Тогда площадь пятна контакта с учетом (8) и ( 9) определится по формуле Фц = 2Ка • Кв(21)

Для вычисления контактных напряжений, подставляя полученные значения в (1), получим

1,5 • Мк

к !шах

(22)

2-п-Ка •Кв-0,977 •Лд-М^к) • ^

Учитывая формулу [1]

i1

по расчетному значению предела текучести можно выбрать материалы колеса и рельса:

Расчет основных параметров контактного взаимодействия пары колесо-рельс проводим по следующей методике.

Исходные данные: радиус колеса г, радиус головки рельса Я, — вертикальная нагрузка Лк, приведенный модуль упругости материалов колеса и рельса Е.

Последовательность расчетов

1. Определить сближение осей колеса и головки рельса Л по формуле (13), при этом по табл. 1 определяется коэффициент пЛ. Промежуточные значения пЛ определяются методом линейной интерполяции.

2. По формулам (17) и (18) рассчитываются Ка и КЬ.

3. Подставив соответствующие значения в (22), находим [ок]тах.

4. При необходимости по (24) можно найти [от] материалов колеса и рельса и выбрать материал с требуемыми характеристиками.

5. По формулам (19) и (20) можно определить размеры полуосей пятна контакта или по формуле (21) найти площадь пятна контакта.

1. Предлагается упрощенная методика расчета геометрических параметров и контактных напряжений, возникающих при контактном взаимодействии колеса и рельса, основанная на комплексном применении геометрических формул и формул из классической теории сопротивления материалов.

2. Математически доказано, что при контакте колеса со стандартным железнодорожным рельсом образуется пятно контакта, форма которого есть замкнутая кривая второго порядка. Причем если r < Я или r > Я, то это эллипс, при этом в первом случае большая полуось направлена перпендикулярно оси головки рельса, а во втором случае - вдоль оси головки рельса. Если же r = Я, то пятном контакта является окружность.

3. Для задачи контактирования двух цилиндров с взаимно-перпендикулярными осями (колесо и рельс) получены упрощенные формулы определения параметров пятна контакта и контактного напряжения в зависимости от величины сближения осей соприкасающихся тел.

Соотношение размеров полуосей пятна контакта, вычисленных по формулам сопротивления материалов и геометрическим зависимостям, в интервале отношений радиусов цилиндров r/Я от 0,2 до 1,0 аппроксимируется линейны-

0,0873

(24)

Выводы

1 Данная формула приведена в ГОСТ 21354-87. Передачи зубчатые цилиндрические эволь-вентные внешнего зацепления. Расчет на прочность.

ми уравнениями. Погрешность аппроксимации для Ка не превышает 178%, а для Kb — не более 268% (при r/R = 0,5).

4. Отношение значений большой и малой полуосей пятна контакта, вычисленных по формулам сопротивления материалов, к соответствующим значениям, определённым по геометрическим формулам (Ка и Kb), при одной и той же величине r/R, практически не зависит от значений вертикальной нагрузки, варьируемой в пределах от 5 -103Н до 250 -103Н, при выполнении расчетов с точностью до второго знака после запятой.

5. При одинаковых радиусах перекрещивающихся цилиндров, т.е. при r = R, отношение значений большой и малой полуосей пятна контакта, вычисленных по формулам сопротивления материалов, к их соответствующим значениям, рассчитанным по геометрическим формулам, определяется как 1/V2.

6. При изменении r в интервале 20...500 мм, а вертикальной нагрузки от 5 -103Н до 250 -103Н, сближение осей контактирующих тел изменяется от 0,024 мм до 0,265 мм.

7. Разница вычисленных по формулам сопротивления материалов значений параметров пятна контакта от рассчитанных по геометрическим формулам объясняется упругими свойствами материалов колеса и рельса, в то время как в геометрических формулах данное обстоятельство не учитывается.

Кроме того, при одних и тех же значениях r/R, большую разницу размеров малых полуосей, возможно, можно попытаться объяснить «локальной анизотропией», материала контактирующих тел в зоне пятна контакта, вызванной затрудненным перемещением частиц упругих волокон материала в зоне концентрации напряжений в продольном направлении и более свободным — в поперечном направлении.

8. По аналогии решается задача контакта сферы и полупространства. При этом, при определении параметров контакта сферы и полупространства установлено, что расчетные значения параметров пятна контакта (радиус окружности), определяется по формуле асф = 0,7071 асф.м

- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Керопян A.M. Расчет контактной прочности приводного колеса механизма подачи камнерезной машины // Горное оборудование и электромеханика. № 11. 2009.

2. Писаренко Г.С. и др. Справочник по сопротивлению материалов. Киев, Наукова думка. 1988, с. 776.

3. Садовничий Ю.В., Федорчук В.В. Аналитическая геометрия. Курс лекций. М., «Экзамен», 2009.

4. Биргер И.А. и др. Расчет на прочность деталей машин. Справочник, М., Машиностроение, 1979, с. 703. птттп

КОРОТКО ОБ АВТОРЕ -

Керопян Амбарцум Мкртичевич - кандидат технических наук, доцент кафедры теоретической и прикладной механики, ат [email protected], Московский государственный горный университет.