ТРАНСПОРТ
УДК 621.3
СИЛОВОЕ ВЗАИМОДЕИСТВИЕ В КОНТАКТЕ «КОЛЕСО - РЕЛЬС»
© 2004 г. Л.Н. Сорин, А.А. Зарифьян, Г.А. Бузало
Моделирование сил, возникающих в контакте между движителем и опорой, представляет собой одну из основных проблем при исследовании движения наземных транспортных средств. Безусловно, в каждом конкретном случае имеются свои особенности, но характерными чертами этой проблемы являются необходимость учета формы и механических свойств поверхностей движителя (колеса) и опоры (рельса), а также явлений, происходящих в контакте при перемещении движителя относительно опоры под нагрузкой.
Рассмотрение подсистемы «колесо - рельс» в комплексе компьютерного моделирования рельсового экипажа требует экономичного в вычислительном плане алгоритма расчета силового взаимодействия, так как значения сил требуется вычислять на каждом шаге интегрирования уравнений движения. В настоящей работе изложена методика моделирования силового взаимодействия в контакте «колесо - рельс», которая достаточно точно описывает физику явления и, в то же время, обладает приемлемым быстродействием, что позволило применить ее при решении задач динамики многоосного тягового подвижного состава.
При качении колесной пары по рельсовой колее положение точек контакта на рабочих поверхностях колес и рельсов постоянно меняется. Нормальная нагрузка в точках контакта также является переменной. Под нагрузкой происходит деформация материала, вследствие чего «точки контакта» превращаются в контактные площадки конечных размеров, имеющих форму эллипса.
1. Определение размеров контактного эллипса. Определение размеров контактной площадки выполняем согласно [1], где приводится алгоритм нахождения полуосей а и Ь контактного эллипса, образующегося при сжатии нормальным усилием Р двух упругих тел, соприкасающихся первоначально в точке, если между нормальными плоскостями, содержащими главные радиусы кривизны поверхностей, имеется некоторый угол у.
Будем считать, что первой главной кривизной на рабочей поверхности колеса является переменная кривизна, соответствующая продольному направле-(1
нию кк
на поверхности рельса пер-
0 1
вая главная кривизна &рел1, всегда равная нулю, также
соответствует продольному направлению [2]. Тогда угол между нормальными плоскостями у представ-
ляет собой угол виляния колесной пары (при центральной установке у = 0).
Вторыми главными кривизнами являются
^кол2 = Коли = 0, ^ел2 = ^ел = 1/^рел = 3,333 м .
Для некоторого взаимного расположения колесной пары и рельсовой колеи, при заданном усилии P в контакте, полуоси a, b определяются следующим образом. Значения промежуточных величин А + В и В -А находятся по формулам:
A + B = ~ №кол1 + ^ол2 + ^ел1 + ^ел2^) ,
B - A = "2 [(^кол1 - ^кол2 )2 + №рел1 - ^ел2 )2 + +2№кол1 - ^кол2 )(^ел1 - ^ел2 ) C0S 2V ] .
Полуоси а и b контактного эллипса:
3п P(Yj +Y2) , 3п P(Yj +Y2) a = m з--111—— ; b = n 3--———
4 (A + B)
4 (A + B)
где Е12 = 2,1-10 Па - модуль Юнга; v1,2 = 0,3 - коэффициент Пуассона (материал колес и рельсов - сталь),
1 -VI2 „ _ 1 -V;;
Yi , Y2 =■
пЕ1
пЕ2
Значения коэффициентов m и n табулированы в
B - A
Г31 в зависимости от угла в такого, что cos в =-.
J A + B
В качестве примера проведем расчет полуосей а и b при положении колеса, соответствующем центральной установке колесной пары на рельсовой колее. В этом случае угол между нормальными плоскостями
V = ° , kM1 =1598 м\ kM2 = 0 ^«л = 0 , k^a =3,333 откуда находим
A + B = 2,466 м-1; B - A = 0,868 м-1;
в = 69°,397; m = 1,295; n = 0,797 .
Нормальное усилие в контакте P = 19400 Н обусловлено только силой тяжести колесной пары (масса колесной пары 3950 кг).
Получаем величины полуосей эллипса a = 4,838 мм (в продольном направлении), b = 2,977 мм (в попе-
речном направлении), площадь контактного эллипса S = nab = 45,25 мм2.
Таким образом, определены размеры контактного эллипса, образованного рабочими поверхностями колеса и рельса, при заданном положении колесной пары на рельсовой колее и заданной нагрузке.
2. Определение нормальных и касательных усилий в контакте. Из решения задачи Герца о контакте двух упругих тел известно, что нормальные усилия по площадке контакта распределены согласно эллиптическому закону.
В задачах моделирования железнодорожных экипажей очень важным является учет упругого характера касательных усилий, возникающих в контакте «колесо - рельс» (явление крипа). При движении в кривых участках пути отличительными чертами являются значительные линейные (крип) и угловые (спин) скоро -сти проскальзывания колес по отношению к рельсам.
Для определения касательных усилий используем теорию «упругого контакта» Й.Калкера. Кратко изложим основные этапы вычислений согласно алгоритму Fastsim, предназначенному для нахождения распределения касательных усилий по площадке контакта [4].
Исходными данным для вычислений являются:
- полуоси контактного эллипса a, b;
- величины абсолютного продольного Vx и поперечного Vy крипа [2, формула (15)], а также угловой скорости виляния (спина) ф [2, формула (16)];
- скорости качения V колеса по рельсу;
- значение нормальной нагрузки в контакте P.
Вычислительная процедура, позволяющая найти
значения касательных усилий, состоит из следующих этапов.
1. Выбираются параметры сеточного разбиения площадки контакта: M - число интервалов вдоль продольной оси x, N - число интервалов вдоль поперечной оси у. На практике принимают значения M и N в пределах от 10 до 20.
2. Вычисляется параметр податливости L по формуле
J
L =-
п
Vy
С i С'
22
па
4С
23
G
JVT+V2
+ аЬф2
где О - модуль упругости при сдвиге, О = Е/[2(1 + V)], Сп, С22, С23 - коэффициенты, определяемые согласно [4].
3. Выполняется подготовка начальных значений перед выполнением итераций вдоль оси у:
Ех = 0, Еу = 0, Ду = 2Ь / N, у = Ь-Ду/2.
4. То же вдоль оси х:
ау = а^ 1 - (у /Ь)2 , Дх = 2ау /М , х = ау - Дх, рх = 0 , ру = 0 .
5. Вычисляются касательные усилия в предположении о локальной зоне сцепления:
Дх Ду
Рх = Рх - (-фу) ру = ру - 7й (у + фх),
VL
|р| = 4Рх2 + ру2.
Продольная составляющая рх учитывает наличие продольного крипа и спина, поперечная составляющая ру - поперечного крипа и спина.
6. Вычисляется предельное значение сцепления, основанное на аппроксимации эллиптического закона распределения давления в контакте
P
bound
2CfP nab
(1 -(x/a)2 -(y/b)2),
где Су - коэффициент трения скольжения.
7. Выполняется проверка: если I р > РЬ°ипИ, то локальная область есть область
скольжения и
px
РУ
рх = |р| РЬ°иПй , ру = |р| РЬ°ипЛ '
если|р| < РЬ°ипа, то локальная область есть область сцепления и рх , ру - без изменений.
8. Суммируются распределенные усилия
Ех = Ех + ДхДу рх, Еу = Еу + ДхДу ру .
9. Проверяется окончание итеративного процесса по х: х = х - Дх, если х > -ау, - переход к пункту 5.
10. Проверяется окончание итеративного процесса по у: у = у - Ду , если у > -Ь , - переход к пункту 4.
11. Окончание алгоритма, значения Ех и Еу определены.
Результатом работы алгоритма Еа8&1ш являются значения Ех и Еу - продольное и поперечное касательные усилия на площадке контакта.
3. Моделирование контакта гребня колеса и боковой поверхности рельса. При движении в кривых устойчивое положение колесной пары на рельсовой колее обеспечивается направляющей силой, возникающей в зоне контакта между гребнем колеса и боковой поверхностью рельса. К главным факторам, определяющим направление экипажа рельсовой колеей при движении в кривой, относятся нормальное усилие и сила трения в боковом контакте, угол набегания колеса на рельс, величина "забегания" точки контакта относительно оси, угол наклона плоскости контакта к горизонту
Поверхность гребня является конусом с углом при основании т (т = 70°). Точка контакта гребня с боковой поверхностью головки рельса находится на расстоянии Дугреб от круга катания (рис. 1), контакт находится на расстоянии /греб ниже уровня головки рельса. Эти значения определяются по конкретным профилям колеса и рельса, обычно принимают /греб = 10.
а
Рис. 1. Контакт гребня с боковой поверхностью рельса
Величина поперечного зазора между гребнем и внутренней гранью головки рельса Агреб нормируется согласно условиям эксплуатации, в частности в зависимости от радиуса кривой (таблица).
Зависимость зазора Агреб от радиуса кривой и ширины колеса
Радиус кривой Re, м Ширина колеи, мм Суммарный зазор 2Дгреб, мм
более 350 1520 14
от 300 до 350 1530 24
менее 300 1535 29
Если угол набегания а Ф 0, то контакт гребня колеса с головкой рельса смещается вдоль рельса на некоторое расстояние Ь, которое называется «забеганием» контакта гребня с рельсом и вычисляется по формуле
b = r tg a tg т
1
1 - tg2 a tg2 т
■r tg a tg т,
знак b совпадает со знаком угла набегания a.
Сформулируем условие возникновения контакта гребня колеса с рельсом для левого и правого колес. Для записи условия необходимы значения Ay бокового относа колесной пары и угол набегания a (равный углу виляния). Кроме того, введем величину Ьгреб = bk - Аугреб - расстояние от центра масс колесной пары до точки контакта на гребне, взятое вдоль оси y.
На левом колесе расстояние от начала дуговой системы координат [SC] [2] до предполагаемой точки контакта равно:
Hy =Ay + Ьгреб cos a + b sin a,
причем b sina неотрицательно.
Контакт гребня и головки рельса возникает при выполнении условия
Д = Hy -(b^ + Агреб ) ^0.
(1)
Радиус-вектор точки контакта в системе [—] [2], связанной с колесной парой, имеет вид
,(F)
-греб1 = (Ь Ьгреб
аналогично для правого колеса:
V
-Rk - ^греб )
Hy = -Ду + Ьгреб cos a + b sin a ;
Д = Hy -(Ьгреб + Агреб) ^0, (2)
(F) _
—греб2
= (-b -b
греб
Y
-Rk - ^греб ) •
Вводим в рассмотрение (для каждого из колес) систему координат [Ж], третья ось еез которой совпадает с общей нормалью соприкасающихся поверхностей в точке контакта. Система [Ж] может быть получена поворотом вокруг первой оси координатной системы, связанной с рельсовой нитью: [Ж] на угол т, [Ж] на угол -т.
Направляющее усилие, приложенное от боковой поверхности рельса на гребень колеса, вычисляется по закону линейного упругого элемента:
7(0) _ Сг Ае 1-н ~ ^бок^адз'
где Д дается выражением (1) либо (2), Сбок - боковая упругость рельсовой нити (принята равной 18000 кН/м [48]).
Скорость проскальзывания гребня по рельсу достаточно велика, поэтому касательное усилие считаем направленным противоположно скорости в точке контакта и вычисляем по закону кулоновского трения. Кинематические характеристики контакта гребня и боковой поверхности рельса вычисляются аналогично
[2]: -греб _ —(0)+»(0) х, греб.
Составляющие тангенциальной силы:
- вдоль первой оси [Ж] оси:
—(0) _ -с УГгре^ £а,У 7(0) . -т,1 " ( (0) (0) ) —- Н ;
(—греб , —греб )
- вдоль второй оси [Ж] оси:
( (0) (0) ) —(0) _-С (—греб , еО,2) 7(0)
—т,2 _ ( (0) (0) ) 7Н ,
(—греб , — греб )
здесь С^ - коэффициент трения скольжения между гребнем колеса и боковой поверхностью рельса. При расчетах было принято С^ = 0,25, что соответствует сухому трению стали по стали. Задание меньших значений Спозволяет исследовать движение при наличии устройств гребнесмазывания.
4. Примеры расчета. Приведем примеры, в которых рассматривается качение одиночной колесной пары по рельсовой колее. Уравнения движения колесной пары получены согласно [5] и представляют собой систему дифференциально-алгебраических уравнений
(3)
М(£)£ + к(£, ф _ Q(q, ?) + 0(фТ X, £ (?) _ 0,
где ? - столбец обобщенных (лагранжевых) координат; М - матрица масс; к, Q - столбцы гироскопических и активных сил; X - множители Лагранжа разре-
занных связей; g - алгебраические уравнения связей,
) ] = 1, п
G = dg dq =
т _ I
- матрица Якоби, n = 6 -
число лагранжевых координат, т = 2- число уравнений связей.
Нормальная нагрузка в контакте Р определяется с помощью множителя Лагранжа, получаемого при решении уравнений движения (3), по формуле
р=|о, ,
где вектор Ог образован первыми тремя элементами
/-й строки матрицы Якоби уравнений связей, Хг -множитель Лагранжа, г = 1 для левого колеса и г = 2 для правого.
Действующими силами являются сила тяжести (масса колесной пары т = 3950 кг) и силы взаимодействия Ехг, Еуг в контакте «колесо-рельс». Параметры расчета таковы: ак = 0,0499584 рад, Як = 625 мм, Ьк = 790 мм. Начальная скорость движения V = 10 м/с,
что соответствует угловой скорости вращения ю = 16 рад/с. Коэффициент трения скольжения Су = 0,25.
4.1. Качение колесной пары по прямолинейному горизонтальному участку пути в центральной установке. Кинематические характеристики в точках контакта таковы: продольный крип 7х1 = 7х2 = 0, поперечный крип 7у1 = 7у2 = 0 [2].
Спин слева равен ф1 = -0,799 рад/с, справа ф2 = +0,799 рад/с [2]; это геометрический спин, обусловленный коничностью рабочих поверхностей колес.
Продольные усилия в контакте равны нулю, что соответствует чистому качению. Поперечные усилия равны по модулю 628,4 Н и направлены: для левого контакта - влево по ходу, для правого - вправо по ходу.
4.2. Качение колесной пары по прямолинейному горизонтальному участку пути при наличии начального отклонения. Полагаем, что колесная пара в начальный момент смещена вправо по ходу на 1 мм от центральной установки.
Наблюдается картина неустойчивого движения, амплитуда колебаний бокового относа возрастает (рис. 2).
-Боковой относ
---Угол виляния
2 3 4 5 о _
Время, с
Рис. 2. Колебания бокового относа и виляния колесной пары
Длина волны этих колебаний составляет Ь = 19,6 м. В [6] приводится формула Клингеля, полученная из кинематических соображений и позволяющая оценить длину колебаний бокового относа при извилистом движении колесной пары:
L = 2п
= 19,74 м,
здесь обозначено ^ = Ьк = 0,79 м, г = Як = 0,625 м, у = 1/20.
Этот результат практически полностью совпадает с длиной волны, найденной нами в результате решения задачи динамики.
На рис. 3 изображены графики касательных усилий (сил крипа) в контакте «колесо - рельс». Значения продольных сил крипа на левом и правом колесе равны по модулю и противоположны по знаку (см. рис. 3а). Поперечная сила крипа на левом колесе направлена влево, на правом - вправо, абсолютные значения сил не совпадают (см. рис. 36).
б
Рис. 3. Касательные усилия в контакте «колесо - рельс»: а - продольные; б - поперечные
4.3. Качение колесной пары в круговой кривой.
Для круговой кривой заданного радиуса возможно подобрать такое начальное поперечное отклонение колесной пары, чтобы за счет разности радиусов кругов катания она совершала движение в состоянии
а
динамического равновесия. Принято, что возвышение наружного рельса отсутствует. Пусть постоянный радиус кривой равен ЯС = 3000 м. Тогда, при начальном смещении на 3,11 мм в сторону наружного рельса, разность радиусов качения слева и справа составляет 0,331 мм.
При качении колесная пара близка к состоянию динамического равновесия (рис. 4), угол виляния от-считывается в системе координат [^С].
Рис. 4. Движение колесной пары по круговой кривой в состоянии динамического равновесия
Продольные скорости проскальзывания в контактах Ух1 и Ух2 равны нулю, что соответствует чистому качению. Значения поперечного крипа слева и справа одинаковы: Уу1 = Уу2 = -0,0001 м/с. Спин слева равен: Ф1 = -0,7957 рад/с, справа: фх = -0,8023 рад/с. Разность абсолютных значений обусловлена различной коничностью рабочих поверхностей колес в левой и правой точках контакта из-за смещения колесной пары на 3,11 мм.
Рис. 5. Поперечные силы крипа при движении по круговой кривой
Продольные касательные усилия в контактах «колесо - рельс» равны нулю, а поперечные представлены на рис. 5.
Сумма сил, действующих на колесную пару в проекции на радиальное направление, равна по величине
центробежной силе
mV1
= 131,67Н.
Выводы
Разработанный алгоритм вычисления силового взаимодействия в контакте «колесо - рельс» является важнейшей частью математической модели качения колесной пары по рельсовой колее, которая в свою очередь входит в состав общего комплекса исследования движения рельсового экипажа в прямолинейных и криволинейных участках пути (рис. 6). Рассмотрение динамики рельсового экипажа в полной пространственной постановке позволяет решать задачи выбора наилучших параметров конструкций, снижения воздействия на путь при вписывании в кривые в режиме выбега и тяги, нахождения критических скоростей движения и многие другие. Экономичность алгоритма играет большую роль при многовариантных расчетах с использованием сложных моделей многоосного тягового подвижного состава.
I ргд те и. |г*Д?гл ГТ'-*;'. Л^Г.ч,-Л» Г^.*/.» __□
Рис. 6. Модель локомотива с осевой формулой 2o-2o-2o, предназначенная для изучения вписывания в криволинейные участки пути
Литература
1. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М., 1975.
2. Сорин Л.Н., Бузало Г.А., Зарифьян А.А. Расчет геометрических и кинематических характеристик рабочего контакта «колесо - рельс» // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки 2003. № 4. С. 111-115.
3. Гарг В.К., Дуккипати Р.В. Динамика подвижного состава. М., 1988.
4. Kalker J.J. Rolling contact phenomena: linear elasticity. Reports of the department of applied mathematical analysis. Delft, 2000.
5. Моделирование электромеханической системы электровоза с асинхронным тяговым приводом / Ю.А. Бахвалов, А. А. Зарифьян, В.Н. Кашников и др. М., 2001.
6. Вериго М.Ф., Коган А.Я. Взаимодействие пути и подвижного состава. М., 1986.
Ростовский государственный университет путей сообщения;
ОАО Всероссийский научно-исследовательский и проектно-конструкторский
институт электровозостроения;
Южно-Российский государственный технический университет (НПИ)_
26 марта 2003 г.