Решение задачи аппроксимации криволинейных поверхностей слоями с постоянным и переменным сечением при формообразовании аддитивными методами Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 658.5.012.1

DOI: 10.30987/article 5c3db110b7fDc1.06560615

А.Н. Гречухин, В.В. Куц, М.С. Разумов

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ АППРОКСИМАЦИИ КРИВОЛИНЕИНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ СЛОЯМИ С ПОСТОЯННЫМ И ПЕРЕМЕННЫМ СЕЧЕНИЕМ ПРИ ФОРМООБРАЗОВАНИИ АДДИТИВНЫМИ МЕТОДАМИ

Рассмотрены вопросы управления параметрами поперечного сечения единичного слоя при аддитивном формообразовании. Решена задача аппроксимации криволинейных поверхностей деталей слоями с постоянным и переменным сечением.

Приведены результаты геометрического и компьютерного моделирования.

Ключевые слова: аддитивные технологии, послойный синтез, формообразование, погрешность.

A.N. Grechukhin, V.V. Kuts, M.S. Razumov

SOLUTION OF PROBLEMS OF CURVED SURFACE APPROXIMATION BY LAYERS WITH CONSTANT AND VARIABLE CROSS-SECTIONS AT SHAPING WITH ADDITIVE METHODS

The problems of parameter control in a single layer cross-section at additive shaping are considered. The problem of curved surface approximation in parts by layers with a constant and variable cross-section is solved. The results of geometric and computer model-

ing are shown. The comparative assessment of the results of problems mentioned above is given.

Key words: additive technologies, layer-by-layer synthesis, shaping, error.

Введение

Аддитивные технологии в последнее время активно развиваются. Расширяется не только диапазон изделий, получаемых аддитивными методами. Все чаще находят применение устройства на базе промышленных роботов, способные расширить диапазон применения аддитивных устройств, улучшить качество формообразуе-мых поверхностей [1].

В работах [2; 3] были рассмотрены вопросы точности аддитивных методов формообразования. Предложен способ повышения точностных характеристик сложных поверхностей изделий, получаемых аддитивными методами, который заключается в обеспечении динамической пространственной ориентации конечного элемента формообразующей системы аддитивного оборудования. Предложены механизмы обеспечения пространственной ориентации, которые базируются на применении мехатронных систем. Показано, что применение динамической пространственной ориентации позволяет снизить

величину погрешности аппроксимации и повысить точность формообразуемых поверхностей.

Однако проведенные исследования показывают, что смежным направлением развития темы повышения точности аддитивных методов формообразования может стать параллельное управление пространственной ориентацией и размерами поперечного сечения единичного слоя, которые, при определенных величинах, будут формировать требуемую величину погрешности аппроксимации при заданной производительности. Задачи аппроксимации криволинейного профиля детали участками единичного слоя, логично вытекающие из обозначенной выше цели, требуют комплексного решения, основанного на теоретических и эмпирических исследованиях.

С точки зрения геометрической теории формообразования поверхностей данная задача может быть решена в несколько этапов.

Решение задачи ориентации единичного слоя постоянного сечения при аппроксимации профиля детали

Поставленной задаче будет соответствовать условие, что единичный слой соответствует форме эллипса с параметрами ширины и высоты a = const, b = const. При таком условии задача аппроксимации

сводится к решению системы уравнении относительно неизвестных параметров

^ > ¡,-1' (Рис. 1):

'о4-1 Со«-1)^-1 ft-1) = 'о А fto, У fti );

M-ift«-i^-ifti-O = Jo Aft^ftO;

о i\ 0i / i\i

A-ifto( -«К-nft-0 A ft0 i yti ft)

'о(г*«-1)

где Аг-1, А, - матрицы установки системы координат г — 1 -го и г -го наплавленных слоев соответственно; *0(г—1), - параметры профиля детали, определяющие точку установки г — 1 -го и г -го слоев; *г—1, ¡г -параметры г — 1 -го и г -го слоев, соответст-

Уо

A-ift0( ,■ -i>t« -»G -J A (to ,■ К (ti)

= -i,

вующие их точ ке касания; г г—1(*г—1), г г (Vг) - точка касания г — 1 -го и г-го слоев;

г'(г—1), (*г) - производная г — 1-го и г -го слоев по параметру *.

0

Рис. 1. Схема аппроксимации профиля детали при постоянных параметрах сечения единичного слоя

Матрица А (V) рассчитывается по следующей зависимости:

А (О = ЛДНЧ),

где А0г (V) - матрица перехода из системы координат секущей плоскости в точке профиля детали к системе координат детали; Акг (1Ъ) - матрица перехода из системы координат секущей плоскости в г -й точке

наплавляемого слоя, определяемого параметром .

В свою очередь, матрицу А0г (*г) можно определить на основе методики, изложенной в работе [4], по заданным векторам, определяющим положение и направление осей координат секущей плоскости, а именно:

-i0 r0ti(t0i) -j0r0tl(t0l) 0 0]Т;

'о Ю jo го н ft,) 0 0]Тх[0 0 -1 0]T;

¡0Г0 г Ю Joro г (О 0 0Г •

Матрица Ль (Хк[) рассчитывается аналогично по заданным векторам:

-ШО 0 0^;

¿Л (О (О 0 0 ]гх[0 0 -1 0Г;

/¿С,-) тг) о о]1.

граней N=3, радиус описанной окружности Я=12 мм, эксцентриситет е=1,2 мм) единичными слоями с параметрами а=0,631 мм, ¿=0,5 мм.

На рис. 2 представлены результаты геометрического моделирования аппроксимации участка криволинейной поверхности РК профильного вала (количество

12

19 -

3 -

6 -

4 -

2 -

-1С

10'

Рис. 2. Моделирование аппроксимации криволинейной поверхности РК профильного вала участками поперечного сечения единичного слоя с постоянными параметрами

Решение задачи расчета максимальных величин погрешности аппроксимации

Величину погрешности аппроксимации определим как функцию:

Д > '¿-1 > ¡г > аг-1 А-1, аг А) = 4 (*0г, Яг, Ъг Уг (¡г, Яг А) ~ Г0 Од )

где г0(?д) - вектор, определяющий точку на профиле детали с параметрами гд в на-

правлении

вектора

ъгУМ,а„(рис. 3).

Рис. 3. Графическое представление функции 23

Параметр tA определяют путем решения уравнения

4 (*0,', аг, Ъг ) Гг (, "i, АКОа)

= 1.

4 (ЧиЪ, Ъг ) ^ ( , Яг, А)

На рис. 4 показаны результаты расчета погрешности аппроксимации криволиней-

нои поверхности участками единичного слоя с постоянной геометриеИ.

Рис. 4. График изменения погрешности аппроксимации поверхности РК профильного вала единичным слоем с постоянными параметрами

Анализ представленного графика показывает, что погрешность при аппроксимации участка профиля РК профильного

вала единичным слоем с постоянной геометрией изменяется в диапазоне 35 мкм.

Решение задачи аппроксимации профиля детали слоями с переменным сечением

Для стабилизации и сужения диапазона значений погрешности аппроксимации выполним аппроксимацию слоями с переменным сечением (с переменной геометриеИ -шириной а и высотой b поперечного сечения). Данной задаче соответствуют следующие условия: аг ф const,

b ф const, a, , ф const, b, , ф const и

i j i — 1 j 1—1

Д, ~ Дтреб . В данном случае задача аппроксимации может быть решена в 2 эта-

па:

1. Обеспечение ориентации начальных 2 слоев, что сводится к решению системы уравнений:

*0 4 - 1 Со( г- 1 ) > аг - 1 > Ъг - 1 ) Гг - 1 &- 1 > Ч - 1 , Ъг - 1) = А (Чг, "г, Ъг ) П <Х , Ц , Ъ^,

7о 4 - 1 (/о ( г - 1)> аг - 1 > Ъг - 1 ) Гг - 1 (* г - 1 , Ц _,, Ь _, ) = j Q Д (tQl, ОТ,., 6,. ) Т) (t{, О,,

А-l(t0(i-l) )гКг ^ft _,) А (ЪШ )

4-1 (t0( г-1) К-1)6-l)|| А (Чг )r (^ )| A (L ,t 1чt,a 1чb 1чa,b) = А

г V Ог' г-15 г' г-1' г-1' г' г / треб. -

a-1 = a-; b- = b;

= -1;

А = / (а-),

где Д,(¿0,;tl-l;г,;а^;Ъ^;а,;Ъ,) - функция расчета величины погрешности профиля, образованного I - 1-м и I -м слоями; /(а,)

- функция, определяющая наибольшую величину параметра Ъ, при заданной вели-

чине параметра а. сечения наплавленного слоя.

2. Обеспечение ориентации последующих слоев (при г > 2), когда геометрические параметры предшествующего слоя

ai 1 = const, bi 1 = const, а ai Ф const,

i-1 3 i-1 У ■ У

bi Ф const. Необходимо решить систему уравнений:

г0 Д-1(^0(г-1)' аг-1, Ьг-1 У-1 ft-1, «¿-1, Kl) = *0 4 (*0,-, ^, Ъг У ft > ^, АХ

= -1;

4—1(*0(г—1) Уг (г—1)(гг—1) 4 (*0г К (V)

4 — (го(г —1)

А (гп , г т г, а т Ь т а, Ь) = А

г\ 0г' г—1' г5 г — 1' г — 1' г' г/ треб^

Ь = / (аг).

Для построения функции Ь = /(а) были проведены экспериментальные исследования влияния режимов наплавки -температуры материала Т, толщины слоя материала к, скорости перемещения экс-трудера V - на величины а и Ь единичного наплавляемого слоя.

Согласно плану эксперимента, посредством FDM-печати были наплавлены образцы единичных слоев. Варьируемые параметры: толщина единичного слоя к, мм; температура разогрева экструдера г, скорость перемещения экструдера V, мм/о. Изготовленные шлифы были исследованы на инструментальном микроскопе ММИ-2. Были зафиксированы координаты точек на кривых, образующих поперечное сечение единичного слоя, произведена ап-

проксимация этих точек по уравнению эллипса - именно такая форма поперечного сечения единичного слоя наблюдалась в образцах. По разности координат характерных точек на поверхности профиля поперечного сечения единичного слоя были определены параметры ширины а и высоты Ь единичного наплавленного слоя.

Для математического описания геометрических характеристик наплавленного единичного слоя была произведена обработка результатов эксперимента. Получены функции, отражающие влияние элементов режимов аддитивного формообразования на величины ширины а и высоты Ь единичного наплавленного слоя:

a(k, T, v) = k(3,56k + 8,536) -1(0,043k - 0,02) + v(0,0002t - 0,04) - 3,87; b(k, T, v) = k (4267 - 5,595k) -1(0,0006k - 0,028) + v(0,000312t - 0,065) - 31,45. Тогда искомую функцию b = f (a) будем рассматривать как

f (a ) =

b(k, T, v) ^ max; a(k,T, v) = a;

kmin < k < kmax;

T ■ < T < T ■

min max

v ■ < v < v

min max

Результаты реализации данной модели при аппроксимации криволинейной поверхности участками единичного слоя с

переменной геометрией представлены на рис. 5.

Рис. 5. График изменения погрешности аппроксимации поверхности РК профильного вала единичным слоем с переменными параметрами поперечного сечения

Из графика видно, что погрешность профиля варьируется в пределах 4 мкм.

Результаты варьирования параметров ширины и высоты поперечного сечения единичного слоя представлены на рис. 6.

п

а)

0.390-1-,-1-т-1-т-1-т-1-т-1-т-1-

20 40 60 80 1 00 120

б)

Рис. 6. График изменения параметров поперечного сечения единичного слоя:

а - ширины; б - высоты

Заключение

Проведенные исследования показывают, что реализация пространственной ориентации конечного звена формообразующей системы в сочетании с управлением

параметрами поперечного сечения единичного слоя при аддитивном формообразовании поверхностей позволяет в значительной степени стабилизировать величи-

ну погрешности аппроксимации на участках РК профильного вала с переменной

кривизнои.

Исследование выполнено при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации для молодых ученых МК-6406.2018.8.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гречухин, А.Н. Управление пространственной ориентацией узлов робота в процессе аддитивного формообразования изделий / А.Н. Гречухин, В.В. Куц, М.С. Разумов // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2018. - Т. 14. - № 4. - С. 122-129.

2. Kuts, V.V. Improving the quality of additive methods for forming the surfaces of odd-shaped parts with the application of parallel kinematics mechanisms / V.V. Kuts, M.S. Razumov, A.N. Grechukhin, N.A. Bychkova // International Journal of Applied Engineering Research. - 2016. - № 24. - Р. 1183211835.

3. Червяков, Л.М. Трансфер аддитивных технологий: промышленность Курской области: монография / Л.М. Червяков, Н.А. Бычкова, Н.В.

Елисеева [и др.]. - Курск: Университетская книга, 2016. - 168 с.

4. Куц, В.В. Методология предпроектных исследований специализированных металлорежущих систем: дис. ... д-ра техн. наук / В.В. Куц. -Курск, 2012. - 366 с.

5. Гречишников, В.А. Определение погрешности формы детали при формообразовании планетарным механизмом методами геометрической теории резания / В.А. Гречишников, В.В. Куц, М.С. Разумов [и др.] // СТИН. - 2017. - № 4. -С. 24-26.

6. Grechishnikov, V.A. Errors in shaping by a planetary mechanism / V.A. Grechishnikov, V.B. Romanov, P.M. Pivkin, V.V. Kuts, M.S. Razumov, A.N. Grechukhin, S.Y. Yurasov // Russian Engineering Research. - 2017. - № 9. - Р. 824-826.

1. Grechukhin, A.N. Spatial orientation control of robot units during product additive shaping / A.N. Grechukhin, V.V. Kuts, M.S. Razumov // Bulletin of Voronezh State Technical University. - 2018. -Vol.14. - No.4. - pp. 122-129.

2. Kuts, V.V. Improving the quality of additive methods for forming the surfaces of odd-shaped parts with the application of parallel kinematics mechanisms / V.V. Kuts, M.S. Razumov, A.N. Grechukhin, N.A. Bychkova // International Journal of Applied Engineering Research. - 2016. - № 24. - P. 1183211835.

3. Chervyakov, L.M. Additive Technologies Transfer: Industry of Kursk Region: monograph / L.M. Chervyakov, N.A. Bychkova, N.V. Eliseeva [et al.]. -Kursk: University Book, 2016. - pp. 168.

4. Kuts, V.V. Pre-design investigation methodology for special metal cutting systems: Thesis for Dr. Sc. Tech. Degree / V.V. Kuts. - Kursk, 2012. - pp. 366.

5. Grechishnikov, V.A. Definition of Part Shape Error at Shaping by Planetary Mechanism through Methods of Geometric Theory of Cutting / V.A. Grechishnikov, V.V. Kuts, M.S. Razumov [et al.] // STIN. - 2017. - No.4. - pp. 24-26.

6. Grechishnikov, V.A. Errors in shaping by a planetary mechanism / V.A. Grechishnikov, V.B. Romanov, P.M. Pivkin, V.V. Kuts, M.S. Razumov, A.N. Grechukhin, S.Y. Yurasov // Russian Engineering Research. - 2017. - № 9. - P. 824-826.

Статья поступила в редакцию 02.11.18. Рецензент: д.т.н., профессор Воронежского государственного

технического университета Кириллов О.Н. Статья принята к публикации 25.12.18.

Сведения об авторах:

Гречухин Александр Николаевич, доцент кафедры МТиО Юго-Западного государственного университета, е-таП: Agrechuhin@mail.ru. Куц Вадим Васильевич, профессор кафедры МТиО Юго-Западного государственного университета, е-таП: Kuc-vadim@yandex.ru.

Разумов Михаил Сергеевич, доцент кафедры МТиО Юго-Западного государственного университета, е-mail: Mika 1984 @mail.ru.

Grechukhin Alexander Nikolaevich, Assistant Prof. of the Dep. "ET&E", South-Western State University, e-mail: Agrechuhin@mail. ru.

Kuts Vadim Vasilievich, Prof. of the Dep. "ET&E", South-Western State University, e-mail: Kuc-vadim@yandex.ru.

Razumov Mikhail Sergeevich, Assistant Prof. of the Dep. "ET&E", South-Western State University, e-mail: Mika 1984 @mail.ru.