CC BY
0
УДК 517.6
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОРБИТАЛЬНОЙ МЕХАНИКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА НА ПРИМЕРЕ ИОННОГО ДВИГАТЕЛЯ
К.Л.Левин1, В.А.Жуков1, Д.В.Рябоконь1, Б.Д.Клименков1, П.Я. Крауинш2
:ФГКВОУ ВО «Военная орденов Жукова и Ленина Краснознаменная академия связи имени Маршала
Советского Союза С.М. Буденного» Российская Федерация, 194064, г. Санкт-Петербург, Тихорецкий пр-кт, д.3 2ФГАОУ ВО «Национальный исследовательский Томский политехнический университет» Российская Федерация,634050, г. Томск, пр. Ленина, 30 E-mail: Ryabokon90@gmail.com
Рассматривается задача повышения орбиты при движении в поле потенциальной силы. Выводится интеграл движения, являющийся решением зависимости от времени в неявном виде расстояния от Солнца.
Ключевые слова: орбитальное движение, поле потенциальной силы, дифференциальные уравнения движения, функция Лагранжа, ионный двигатель.
SOLVING PROBLEMS OF ORBITAL MECHANICS USING THE LAGRANGE FUNCTION ON THE EXAMPLE OF AN ION ENGINE
L.Levin1, V.A.Zhukov1, D.V.Ryabokon1, B.D.Klimenkov1, P. J. Krauins2
'Telecommunication academy named after S.M. Budienny 3, Tikhoretsky Ave, St. Petersburg, 194064, Russian Federation 2Tomsk Polytechnic University 30, Lenin Ave, Tomsk, 634050, Russian Federation E-mail: Ryabokon90@gmail.com
The problem of increasing the orbit when moving in the field of potential force is considered. The integral of motion is derived, which is the solution of the time dependence in the implicit form of distance from the Sun.
Keywords: orbital motion, potential force field, differential equations of motion, Lagrange function, ion engine.
Во многих ВУЗах, где физика не является предметом специализации, законы механики вводятся в объеме, достаточном для понимания законов движения на основании второго закона Ньютона: сначала рассматривается кинематика, вводится понятие силы, законы Ньютона и происходит переход к изучению динамики. Работа, задаваемая как сила, умножаемая на перемещение, связывается с изменением потенциальной энергии, взятой с обратным знаком. Изменение же последней при движении в поле потенциальной силы недостаточно четко связывается с изменением момента импульса, поэтому изучение динамики при движении тела по окружности зачастую оказывается неполноценным, что приводит к возникновению у учащихся проблем при написании дифференциальных уравнений движения в поле потенциальной силы, в частности, орбитального движения. В связи с этим, вывод законов Кеплера оказывается за рамками курса лекций и практических занятий и практическое применение данных законов начинает вызывать трудности.
Актуальные проблемы авиации и космонавтики - 2022. Том 2
Вместе с тем, разнообразие форм практического применения законов механики вызывает большой интерес, например, космический перелет к другим небесным телам солнечной системы. Существует большое количество орбит и орбитальных маневров, позволяющих изменять траектории космических аппаратов при выполнении миссий. Движение летательного аппарата под действием силы, направленной по радиус-вектору от центра масс, является одним из частных случаев коррекции орбиты летательного аппарата, например, с целью изменения параметров эллипса при его эллиптическом движении, а также повышения (или понижения) орбиты. В то же время, рассмотрение траектории, получающейся под действием такого рода силы, является наглядным учебным примером, позволяющим показать практическое применение законов сохранения, развить навыки составления и решения дифференциальных уравнений и совершенствовать навыки интегрального исчисления для решения прикладных задач небесной механики.
Рассмотрим более подробно данный случай орбитального движения [1,2]. Положим, что до включения двигателя материальная точка (ракета) двигалась по круговой орбите в поле потенциальной силы (гравитации). В начальный момент времени включается вектор тяги, направленный от центра масс (от Солнца). Для решения данной задачи удобно выбрать систему координат, в которой начало координат совпадает с положением Солнца (рис. 1).
а
Рис. 1. Силы, действующие на ракету в начальный момент времени, где / - постоянная сила,--—
г
сила притяжения к Солнцу
Запишем дифференциальные уравнения движения в декартовой системе координат, используя формулы:
х = г оо8ф, у = г ътф (1)
Введем постоянную а = О • т • М, где т - масса ракеты, М - масса небесного тела (Солнца), О - гравитационная постоянная. Тогда второй закон Ньютона в проекциях на оси х и у можно записать как:
' ■■ (3 а!
тх = \ /—- 1008 ф
ту = \Р-
а
Подставляя (1) в (2), получаем искомые уравнения движения
(2)
тХ = 1 / -
а
х г
Г .. (/х ах тх =1
ту = 13-4} у | ту = {/-а
; или 1 4
7 2 2 х + у
г
2
г
2
г
г
г
Начальными условиями для координат выберем х(0) = г0 , у(0) = 0 . Тогда для скоростей начальными условиями будут х(0) = 0 , у(0) = -. Таким образом, мы получили дифференци-
у тг0
альные уравнения движения летательного аппарата в указанных условиях.
Отметим, что полное решение задачи о движении летательного аппарата в поле потенциальной силы можно получить не решая дифференциальные уравнения (3), а исходя из законов сохранения энергии и момента импульса [1].
При 1 < 0, а > 0, / >0 точка вращалась по окружности радиуса г0 в поле
и0(г) = -—- р{г - г0). Отсюда получаем начальное условие г (0) = 0, Г(0) = 0 . При I > 0, а > 0, в
г
ос
= 0 потенциальную энергию можно записать как и0(г) = —. По известным формулам [3]
г
приходим к:
Г ёг
? =
2 С - U (г))-M 2
m m2r2 (4)
Вводя безразмерную переменную s = r/r0 записываем решение как
'(Г)- Í
о ;
ТГ1Г0 i
mr0 г sas
а 1
i
Г2ßr2 2 ^
-!—0- s 2 - s + 1
(s -1)
ГУ
(5)
Данная формула определяет зависимость модуля радиус-вектора r от времени t в неявном виде. Записанный в (5) эллиптический интеграл без труда берется в численном виде. Аналогично можно получить и зависимость угла 9(t), полностью описав двухмерное движение в данном случае.
Таким образом, показан подход к решению одной из задач орбитальной механики: частного случая работы двигателя с постоянной тягой, вектор тяги которого направлен по радиус-вектору на центр масс. Выведены дифференциальные уравнения, описывающие данный вид движения. Показано, что уравнения движения можно получить без помощи решения данной системы уравнений, воспользовавшись функцией Лагранжа. Предлагаемый подход к изучению динамики и законов сохранения в механике показывает связь физики с математикой, преимущества и необходимость изучения законов сохранения, а также стимулирует учащихся к изучению информатики, являясь когнитивным инструментом связи трех дисциплин, приводя к улучшению качества получаемых учащимися знаний и способствуя их применению на практике.
Библиографические ссылки
1. Мирер, С.А. Механика космического полета. Орбитальное движение // Учебно-методическое пособие М.: Институт прикладной математики им М.В. Келдыша, 2013. - 106 с.
2. Rocha, A. Numerical methods and tolerance analysis for orbit propagation: Master's degree of science in aerospace engineering / Angel Rocha. - San Jose State University, San Jose, CA, US, 2018. - 42 p.
3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика // М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1958. 202 c., §14.
© Левин К.Л., Жуков В.А., Рябоконь Д.В., Клименков Б.Д., Крауинш П.Я., 2022
