CC BY
6
ФИЗИКА И ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЕ
УДК 531.1
К. Л. Левин1'2* Д. В. Рябоконь1, В. А. Мартынов1, Б. Д. Клименков1, В. А. Жуков1, А. Б. Логинов3,4, Б. А. Логинов3,5
1Военная академия связи им. С. М. Будённого, Санкт-Петербург, Россия 2Институт Высокомолекулярных соединений РАН, Санкт-Петербург, Россия 3Образовательный центр «Сириус», г. Сочи, Россия 4Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия 5Национальный исследовательский университет МИЭТ, Москва, Россия *Автор для корреспонденции. E-mail: levinkl@hotmail.com
РАСЧЁТ ОРБИТЫ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА ДЛЯ РЕШЕНИЯ УПРОЩЁННЫХ ЗАДАЧ ОРБИТАЛЬНОЙ МЕХАНИКИ ПРИ РАССМОТРЕНИИ ДВИГАТЕЛЯ
ПОСТОЯННОЙ ТЯГИ
Обсуждается задача небесной механики, связанная со случаем контроля радиуса орбиты летательного аппарата, вращающегося в поле потенциальной силы. Рассматривается частный случай, в котором постоянная по модулю сила направлена от центра масс. На основании законов сохранения выводятся интегралы зависимостей угла и расстояния от времени с целью построения траектории. Показывается, что построенная траектория совпадает с результатом численного решения соответствующей системы дифференциальных уравнений.
Ключевые слова: орбитальное движение, поле потенциальной силы, дифференциальные уравнения движения, функция Лагранжа, ионный двигатель.
Благодарности. Авторы выражают признательность заведующему кафедрой физики Военной академии связи проф. С. Д. Ханину и сотрудникам кафедры проф. В. Г. Соловьёву, доц. Р. Г. Исмагилову, доц. М. А. Соколову за оказанную помощь при обсуждении результатов.
Для цитирования: Левин К. Л., Жуков В. А., Рябоконь Д. В., Мартынов В. А., Клименков Б. Д., Жуков В. А., Логинов А. Б., Логинов Б. А. Расчёт орбиты летательного аппарата с использованием функции Лагранжа для решения упрощённых задач орбитальной механики при рассмотрении двигателя постоянной тяги // Вестник Псковского государственного университета. Серия: Естественные и физико-математические науки. 2022. Т. 15. № 3. С. 60-68.
K. L. Levin1'2*, D. V. Ryabokon1, V.A. Martynov1, B. D. Klimenkov1, V. A. Zhukov1,
A. B. Loginov3,4, B. A. Loginov3,5
1 S. M. Budyonny Military Academy of Telecommunications, St. Petersburg, Russia 2Institute of Macromolecular Compounds RAS, St. Petersburg, Russia 3Educational Center "Sirius", Sochi, Russia 4 M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia 5National Research University MIET, Moscow, Russia * Corresponding author. E-mail: levinkl@hotmail.com
CALCULATION OF THE ORBIT OF A SPACECRAFT USING THE LAGRANGE FUNCTION FOR SOLVING SIMPLIFIED PROBLEMS OF ORBITAL MECHANICS IN THE CONSIDERATION OF A CONSTANT THRUST ENGINE
The problem of celestial mechanics related to the case of controlling the orbit radius of an aircraft rotating in a potential force field is discussed. A particular case is considered, in which a constant modulo force is directed from the center of mass. Based on the conservation laws, the integrals of the dependences of the angle and distance on time are derived in order to construct a trajectory. It is shown that the constructed trajectory coincides with the result of the numerical solution of the corresponding system of differential equations.
Keywords: orbital motion, potential force field, differential equations of motion, Lagrange function, ion thruster.
Acknowledgments. The authors would like to thank the head of the Department of Physics, Military Academy of Telecommunications, prof. S. D. Khanin and prof. V. G. Solo-vyev, docent R. G. Ismagilov, docent M. A. Sokolov for their help in discussing the results.
For citation: Levin K. L., Ryabokon D. V., Martynov V. А., Klimenkov B. D. Zhukov V. A., Loginov A. B., Loginov B. A. (2022), Calculation of the orbit of a spacecraft using the Lagrange function for solving simplified problems of orbital mechanics in the consideration of a constant thrust engine, Vestnik Pskovskogo gosudarstvennogo universi-teta. Seriya "Estestvennye i fiziko-matematicheskie nauki" [Bulletin of the Pskov State University. Series "Natural and physical and mathematical sciences"], vol. 15, no. 3, pp. 60-68. (In Russ.).
Введение. Орбиты, возникающие при изменении расстояния летательного аппарата от центра масс, или переходные, имеют важное значение при орбитальном маневрировании и межпланетных перелётах. В данной работе рассматривается задача небесной механики, связанная с управлением высотой орбиты постоянной силой, перпендикулярной траектории. В такой задаче решение можно найти, во-первых, с помощью численного решения системы дифференциальных уравнений, записанных либо в декартовой, либо в сферической системе координат; во-вторых, с помощью так называемого подхода «через энергию», другими словами, с помощью использования функции Лагранжа [1].
Известно, что решение задачи двух тел при их орбитальном движении в присутствии пертурбаций, таких, как солнечный ветер, гравитационное влияние третьего тела, световое давление, способно принципиально усложнять систему дифференциальных уравнений движения [7; 8], делая затруднённым её численное решение [6]. Подход с помощью функции Лагранжа в этом смысле является альтернативным.
Целью исследования является построение траектории орбиты летательного аппарата, вращающегося в поле потенциальной силы, вычисленной с применением интегралов зависимостей угла и расстояния от времени, и их сравнение с результатом численного решения соответствующей системы дифференциальных уравнений.
Методика исследования. Рассмотрим подход с помощью функции Лагранжа более подробно, взяв за основу известное уравнение из [1]
_ Г dr
*='гр ¡2(с u(r)) М2' (1)
ут^ ( т2г2 где E и M — энергия и момент импульса относительно центра масс. Поскольку поле U(r) потенциальное, можно показать, что если приложенная потенциальная сила параллельна радиус-вектору, направленному на центр масс (рис. 1), то движение материальной точки из кругового переходит в эллиптическое [1; 3]. И то и другое движение является финитным, т. е. происходит по повторяющейся траектории. Если же сила не потенциальна, то движение уже не является финитным, так же как и в случае, когда направление силы не параллельно радиус-вектору. В последнем случае функцию Лагранжа не удастся использовать для получения точного решения. В нашем случае можно получить зависимость между расстоянием от центра масс и временем t(r) в неявном виде [4]
r/r0 sds
- X (2)
Т -ш—г
где 5 =--безразмерная переменная интегрирования. Путём некоторых преобра-
г0
зований получаем аналогичное выражение для зависимости полярного угла ф от времени t. Поясним это более подробно. Исходя из закона сохранения момента импульса М = шг2ф = шгу0г0, получаем: М = шг2 .
X
Рис. 1. Координатная система, применяемая для решения задачи, где в — постоян-
а „
ная сила, ф — полярный угол, — — сила притяжения к Солнцу
Mdt
Принимая йф = , из (2) получаем:
— г ёг
& =
ШГп
Г0 г0
а
лг ч
\г0 )\ а г02 г0 )
Далее:
М Гшг^ ёг йф = — I--
т^ а г0г
лг ч
\г0 )\ а г02 г0 )
(3)
(4)
и
с1ф
"V та г0 ]Го
ёг
лг ч /2
\г0 )\ а г02 г0 )
(5)
Введём безразмерную переменную интегрирования s = —:
г0
J1 rr/rо
-1 ■
mar0J1
ds
МП[С2
(6)
а
■s + 1
i-r/r0
ф(г) = J
ds
S l(s
1)(.
2 pr02
a
■s + 1'
t(r) =
mrA
a
r-
sds
(7)
(s
1)(
2 £r02 a
■s + 1
Эти две формулы определяют зависимость ф(0 в неявном виде.
Результаты исследования. Построим зависимость относительного расстояния от времени полёта и орбиту летательного аппарата (рис. 2 и рис. 3) по выведён-ным формулам системы (7) для выбранного нами значения массы спутника (т = 1,8 кг) и силы (в = 0,0015 Н). Это данные для спутника «Нанозонд-1» с первым в мире сканирующим зондовым микроскопом «СММ-2000С» для исследований в космическом пространстве (производство завода «Протон», Москва, Зеленоград), предполагаемого к запуску в ноябре 2022 г., в т. ч. с целью мониторинга в нанообла-сти стойкости в открытом космосе поверхности материалов, перспективных для использования в солнечном парусе [2; 5].
гО
1.5
1.4
1.3
1.1
/
year
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Рис. 2. Зависимость относительного расстояния г/г0 летательного аппарата от времени, где Г0 — радиус земной орбиты
-з
X
3 гО
Рис. 3. Траектория летательного аппарата
Из анализа траектории видно, что сначала движение происходит по раскручивающейся спирали. По мере того, как скорость летательного аппарата приближается к третьей космической и начинает превышать её, спираль распрямляется, и аппарат начинает двигаться к выходу из Солнечной системы.
Как и следует ожидать, аутентичные вышеприведённым кривые получаются при решении дифференциальных уравнений движения, имеющих в декартовой системе координат вид (8), с начальными условиями х(0) = г0, у(0) = 0, х(0) = 0,
= = ^
тх =
Рх
ах
Vх2 +у2 ^(х2 +у2)3
ту
Ру
ау
(8)
V*2 + у2 ^(х2 +у2)3
Заметим, что в данной задаче, полагая силу /3 не постоянной, а пропорциональной 1/г2, легко получить уравнения движения для случая потенциальной силы, как, например, силы светового давления. В таком модифицированном виде уравнения (7) будут описывать движение светового паруса.
Следует отметить, что подход построения траектории движения на основе законов сохранения, с нашей точки зрения, дидактически полезен при преподавании законов сохранения в механике студентам младших курсов обучения, поскольку он явно показывает связь орбитального движения с законом сохранения момента импульса. Заметим, что в дифференциальных уравнениях движения такая связь в явном виде неочевидна.
Выводы. Рассмотрен подход с использованием функции Лагранжа к построению траектории летательного аппарата, двигающегося по орбите в потенциальном поле под действием постоянной силы, параллельной радиус-вектору, направленному на центр масс. Показано, что в данном случае возможно решение через функции, заданные в неявном виде, в виде интегральных уравнений. Показано дидактическое преимущество такого подхода с точки зрения преподавания законов сохранения в высшей школе.
Литература
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 1. Механика. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1973. 208 с. §14.
2. Левин К. Л., Беспалова Е. А., Ванькаев А. С. и др. Изучение изменения морфологии поверхности многослойных графеновых структур при воздействии плазмой в качестве модели солнечного ветра в открытом космосе // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2021. № 9. С. 51-55.
3. Левин К. Л., Жуков В. А., Рябоконь Д. В. и др. Применение подхода с использованием функции Лагранжа для решения упрощенных задач орбитальной механики при ведении физического кружка для студентов младших курсов // Всероссийская научно-практическая конференция «Актуальные вопросы математического образования: Состояние, проблемы и перспективы развития». Секция «Актуальные вопросы математического образования» (6-10 апреля 2022, г. Сургут). 2022. (в печати).
4. Левин К. Л., Жуков В. А., Рябоконь Д. В. и др. Решение задач орбитальной механики с использованием функции Лагранжа на примере ионного двигателя // VIII международная научно-практическая конференция, посвященная Дню космонавтики «Актуальные проблемы авиации и космонавтики». Секция «Прикладная математика» (11-15 апреля 2022, г. Красноярск). 2022. (в печати)
5. Loginov B. A. The world's first scanning probe microscope as a satellite — a new stage of the scientific satellite laboratories // Nanoindustry. 2021. V. 14. P. 22-26.
6. Ritschel T. Numerical Methods for Solution of Differential Equations. Technical University of Denmark. 2013. Bachelor thesis [Academic thesis]. 224 p.
7. Skee R. D. Thirteen Ways to Estimate Global Error. Numerische Mathematik. 1986. Vol. 48. P. 1-20.
8. Vallado D. A. Fundamentals of Astrodynamics and Applications, 3rd ed. Space Technology Library, California. 2007. Chap. 8.
Об авторах
Левин Кирилл Львович — кандидат химических наук, доцент кафедры физики, Военная академия связи им. Маршала Советского Союза С. М. Будённого, Санкт-Петербург, Россия.
E-mail: levinkl@hotmail.com
Рябоконь Дарья Владимировна — старший преподаватель кафедры физики, Военная академия связи им. Маршала Советского Союза С. М. Будённого, Санкт-Петербург, Россия.
E-mail: ryabokon90@gmail.com
Мартынов Вячеслав Андреевич — младший научный сотрудник центра коллективного пользования Военной академии связи им. Маршала Советского Союза С. М. Будённого, Санкт-Петербург, Россия.
E-mail: tesla.mva1996@gmail.com
Клименков Борис Давидович — преподаватель кафедры физики, Военная академия связи им. Маршала Советского Союза С. М. Будённого, Санкт-Петербург, Россия.
E-mail: klimenkovboris@gmail.com
Жуков Виктор Александрович — доцент кафедры физики, Военная академия связи им. Маршала Советского Союза С. М. Буденного, Санкт-Петербург, Россия.
E-mail: vic-zhukoff@yandex.ru
Логинов Артем Борисович — аспирант Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, г. Москва, Россия.
E-mail: loginov.ab 15@physics. msu. ru
Логинов Борис Альбертович — начальник научно-исследовательской лаборатории, Национальный исследовательский университет МИЭТ, г. Москва, Россия
E-mail: b-loginov@mail.ru
About the authors
Dr Kirill Levin, Associate Professor, Department of Physics, S. M. Budyonny Military Academy of Telecommunications, St. Petersburg, Russia.
E-mail: levinkl@hotmail.com
Darya Ryabokon, Senior Lecturer, Department of Physics, S. M. Budyonny Military Academy of Telecommunications, St. Petersburg, Russia.
E-mail: ryabokon90@gmail.com
Vyacheslav Martynov, Junior Fellow, Center of Collective Use, S. M. Budyonny Military Academy of Telecommunications, St. Petersburg, Russia.
E-mail: tesla.mva1996@gmail.com
Boris Klimenkov, Lecturer, Department of Physics, S. M. Budyonny Military Academy of Telecommunications, St. Petersburg, Russia.
E-mail: klimenkovboris@gmail.com
Victor Zhukov, Associate Professor, Department of Physics, S. M. Budyonny Military Academy of Telecommunications, St. Petersburg, Russia. E-mail: vic-zhukoff@yandex.ru
Аrtem Loginov, PhD Student, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia
E-mail: loginov.ab15@physics. msu. ru
Boris Loginov, Head of Research Laboratory, National Research University MIET, Zelenograd, Moscow, Russia E-mail: b-loginov@mail.ru
Поступила в редакцию 10.05.2022 г. Поступила после доработки 12.06.2022 г. Статья принята к публикации 06.09.2022 г.
