Хаотическое движение упругой космической тросовой системы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.36 + 629.78

ХАОТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ УПРУГОЙ КОСМИЧЕСКОЙ ТРОСОВОЙ СИСТЕМЫ

© 2009 В.С. Асланов1, А.В. Пироженко2, Б.В. Иванов1, А.С. Ледков1

1Самарский государственный аэрокосмический университет 2Институт технической механики Национальной академии наук Украины и Национального космического агентства Украины

Рассматривается движение вокруг центра масс упругой тросовой системы (ТС). ТС, состоящая из двух концевых тел и невесомого упругого троса, находится в развёрнутом положении. Центр масс системы движется по эллиптической траектории. С помощью уравнения Лагранжа второго рода построены уравнения движения упругой ТС, в качестве независимой переменной выбран угол истинной аномалии. Рассмотрен частный случай движения системы, когда длина троса остается постоянной. Показано, что в этом случае система подвержена хаосу.

Тросовая система, упругие колебания, уравнения лагранжа, хаос, отображения пуанкаре, эллиптическая орбита.

Формулировка задачи

Анализу космических ТС посвящены многочисленные работы, например [1-10], в которых объектами исследований являлись трос, полезный груз и космический аппарат (КА). Орбитальные ТС могут применяться для различных задач перемещения полезной нагрузки в космическом пространстве, в том числе для её доставки на поверхность Земли [2, 5] или для её перевода на более высокую орбиту[1, 4]. В статье рассматривается поведение ТС под действием гравитационного момента и сил упругости троса. Предполагается, что ТС состоит из двух концевых материальных точек массой т1, т2 и упругого троса, который всегда находится в растянутом состоянии. Построим с помощью уравнения Лагранжа второго рода математическую модель, сохраняющую основные особенности физической модели [9] и отражающую основные закономерности движения ТС. Покажем, что в рамках указанной математической модели могут существовать хаотические режимы движения.

Уравнения Лагранжа второго рода

При выводе уравнений движения будем пренебрегать массой троса, аэродинамическими силами и солнечным давлением. Полная масса системы равна

т = т1 + т2.

Кинетическая энергия системы состоит из кинетической энергии центра масс Тс и кинетической энергии двух материальных точек Т1, Т2 относительно поступательно

движущейся системы координат Схсус с началом в центре масс

т = Тс + Т+т . (1)

В качестве обобщённых координат примем

Ч = г , Ч2 = I, Ч3 = 3, ^4 = ф, (2)

где г = ОС - расстояние между центром Земли и центром масс системы С, I - длина троса, 3 - угол истинной аномалии центра масс системы (система координат Оху располагается в плоскости орбиты, ось ОХ направлена на перигей), ф - угол отклонения троса относительно местной вертикали (рис 1.).

Кинетическая энергия центра масс соответствует абсолютному движению центра масс системы по орбите и включает в себя радиальную и трансверсальную скорости:

Тс = 2 т(& + г 232). (3)

тт2 і2 і2 і2

где т* =—1—-, I* = т111 + т2/2 = т*/ - мот

мент инерции.

Потенциальная энергия системы состоит из потенциала центрального поля силы тяжести [8] и потенциальной энергии силы упругости троса

Рис. 1. Тросовая система

Кинетические энергии относительного движения материальных точек определяются формулой

ж = -т

\

+ 2(/ - /о)2,

(8)

где щ - гравитационный параметр, с - коэффициент упругости, /о - длина ненапряженного троса, г1, г2 - расстояние между центром Земли и точками 1 и 2. Используя (6), выразим г1 и г2 через обобщённые координаты (2) и подставим результат в (8):

1

Т =- тУ 2

2

Г гг ;

(4)

где Уг - скорости концевых точек тросовой системы относительно центра масс системы С (I = 1,2). Относительная скорость точек 1

и 2 в системе координат СхСуС имеет вид

у;. =( х2+у2)

(5)

т.

тп

1 + + 2 —008ф + - 2 —С08ф

+ 2(/ - /о)2.

Упростим это выражение, имея в виду, что длина троса существенно меньше расстояния от центра масс системы до центра Земли:

где

Х = / соб(3 + ф), у1 = / б1п(3 + ф),

х2 = -/2 соб(3 + ф), у2 = -/2 б1п(3 + ф), (6)

т

т

Дифференцируя координаты (6) по времени и подставляя производные в (5), а также имея в виду (3) и (4), запишем кинетическую энергию системы (1) следующим образом:

Т = 2 т(г& + г У'2)+т Г- + 2-0 + а)2, (7)

В результате имеем

ж = - щп + тЛ_(1 - зсоз2 ф) + 2(/ - /о)2. (9)

г 2г34 ' 2

Используя (7) и (9), запишем лагранжиан системы:

£ = Т - Ж =1 т(г2 + г232) + 2

т/2 + к 2 2

ті*

2г3

(ф+ 3)

щт

(10)

(1 - 3соб2 ф)--(/ - /о)2.

г

Уравнения Лагранжа второго рода имеют вид j = -2n 2k3e sin J . (19)

d dL dL — Перепишем уравнения относительного дви-

dt dq dq ~Qj, 1 =І,4, (11) жения тросовой системы (13) и (15) с учё-

1 1 том (1б) - (18) в виде

где Q j - силы управления, демпфирования,

c

аэродинамические и иные непотенциальные kl" - 2el ' sin J + —^-3— (l -10) + силы. Подставляя (10) в (11), получим n k m*

2 Q (20)

3 — +l(l-3cos2j)-kl(l + <j) = 21 ,

r - rj2 + (1 - 3cos2 j) = Qr, (12) nk

r 2mr 4 '

l+ — (l -l0) + m (l - 3cos2 j)-1 (j + 0) = Qj

m* r v ’ v ' ’

(13)

(mr2 + I*)5 + I* j + 2mrr 5 + 2m*ll(5 + j ) = Q5 ,

(14)

I* (5 + j) + 2m*ll (j + 5) + 3misin j cos j = Q9 .

(15)

Применим известный приём [1] и перейдём в уравнениях движения (12)-(15) к новой независимой переменной - углу истинной аномалии 5 . При этом будем полагать, что движение центра масс системы не зависит от относительного движения и центр масс движется по эллиптической орбите:

r = p , 5 = Щгк2 = пк2, (16)

к \р

где к = 1 + e cos 5, р - параметр орбиты, е -эксцентриситет орбиты. Для произвольной функции ft) первая и вторая производные в силу (16) имеют вид

f = пк V ', (17)

f = п2к3 (kf" - 2ef' sin 5), (18)

где ( ) f ’ ( ) = 5 ■ Дифференцирова-

d5

ние по времени t второго выражения из (16) даёт следующий результат:

I* (ку" - 2ej' sin5) + 2кш*П' (1 + j)-

-2eI* sin5 + 3I* sin jcosj = Qj3. (21)

n к

Будем считать, что обобщённые силы Ql и

Qj отсутствуют. Тогда уравнения (20) и (21) примут вид

Г + — (I- /о) +—(1 - 3cos2 j)-

m* п к кх '

ч2 e (22)

-l (1 + j') = 2—V sin 5, к

l 3 e

j + 2—(1 + j')+— sin jcos j = 2—(1 + jf) sin 5 . l к к

(23)

Отметим, что уравнение (23) является обобщением уравнения (39) из [2] для упругого троса, а уравнение (22) - обобщением уравнения (8) из [3].

Хаотические режимы движения ТС

В работе [10] рассмотрен частный случай хаотического движения ТС - медленное угловое движение ТС с периодически изменяющейся длиной троса по круговой орбите. Рассмотрим другой частный случай, когда длина троса в процессе движения остаётся неизменной l^onst, но эксцентриситет орбиты отличен от нуля. В этом случае система (22), (23) приводится к уравнению

3 e

j" +—sin jcosj = 2—(1 + j')sin5 . (24)

к к

Для случая, когда е << 1, правую часть уравнения (24) можно рассматривать как малое

возмущение. При е = 0 из (24) получаем уравнение невозмущённого движения

<р" +—sin jcos j = 0. к

(25)

соответствующее движению ТС по круговой орбите.

Покажем, что в системе, описываемой уравнением (24), могут присутствовать хаотические режимы движения. Пусть ТС и орбита имеют следующие параметры:

I = 30 км, т1 = 6000 кг, ш2 = 1000 кг, е = 0,01,

р = 250 км. Для численного анализа возмущённого уравнения (24) воспользуемся отображением Пуанкаре [10]. Будем строить фазовый портрет трёхмерного пространства

\0) на плоских сечениях в=2р]

( ] = 0, ±1, ±2,...), что позволит вместо исследования непрерывного процесса изучать динамику возмущённой системы с дискретной фазой в. Сечения Пуанкаре будем строить на цилиндрической поверхности, получаемой совмещением точек р = -р/2 и р = р /2.

При е=0 наблюдается регулярная структура фазового пространства, траектории не пересекаются (рис. 2) и сечения Пуанкаре совпадают с невозмущённым фазовым портретом. Наличие в системе возмущения ( е Ф 0 ) приводит к возникновению хаотического слоя рядом с невозмущённой сепаратрисой (рис. 3). С ростом величины возмущения ширина хаотического слоя растёт.

С физической точки зрения наличие хаотического слоя в окрестности сепаратрисы приводит к тому, что ТС случайным образом может переходить из колебательного во вращательный режим движения, и обратно. На рис.4 показана одна из траекторий движения ТС, полученная при интегрировании системы (23), (24) с начальными условиями: 10 = 30001 м, 1'0 = 0, (р0 = р /2 - 0.01,

(р’0 = 0 . Видно, что фазовая траектория системы сначала находится в одной из внутренних областей движения (колебательный режим). Через некоторое время траектория покидает эту область, переходя во внешнюю (вращательный режим движения), но, сделав оборот, снова возвращается во внутреннюю область.

ф,с 2

-1

-2

-я/2

\

"Ґ: ( с \ Ч\^Г“

\ \ I L J J / / - ’ / /• уГ

. - ■

-я/4

тс/4

я/2

Ф

Рис. 2. Сечения Пуанкаре для случая невозмущённого движения (е=0)

Г/ "''ч* .4

/ / / і /' -> ч-ч ч \ " \ \ \ члчч

Ч I 1 \ \ \ X ч х 1 ; / / ' Ж

NN 5#^ ’У

-я/2 -я/4 0 я/4 я/2

Ф

Рис. 3. Сечения Пуанкаре для случая возмущённого движения (е=0,01)

О я/2 я Зя/2 2я 5я/2 Зя 7я/2 4я 9я/2

Ф

Рис. 4. Фазовая траектория ГС

Заключение

В статье получены уравнения движения упругой ТС, которые обобщают известные математические модели, например [2, 3], и позволяют проводить исследование движения космической ТС с учётом упругости троса. Уравнения (22) и (23) позволяют исследовать хаотическое поведение ТС не только в силу малого эксцентриситета [3], но и в

силу упругих колебаний троса. Рассмотренный частный случай движения с тросом постоянной длины показал, что даже в такой упрощённой системе наличие эксцентриситета приводит к появлению хаотических режимов движения.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (09-01-00384-а).

Библиографический список

1. Белецкий, В.В. Динамика космических тросовых систем [ Текст]/ В.В. Белецкий, Е.М. Левин - М.: Наука. 1990. - 329 с.

2. Williams, P. Tethered planetary capture: controlled maneuvers [Text]/ P.Williams, C. Blanksby, P. Trivailo // Acta Astronautica. -2003. - V. 53. - P. 681-708.

3. Misra, A.K. Dynamics and control of tethered satellite systems [Text]/ A.K. Misra // Acta Astronautica. - 2008. - V. 63. - P. 11691177.

4. Сидоров, И.М. Об использовании тросовых систем для создания постоянно действующего транспортного канала в космическом пространстве [Текст]/ И.М. Сидоров // Полет. - 2000. № 8. - С. 36-39.

5. Асланов, В.С. Пространственное движение космической тросовой системы, предназначенной для доставки груза на Землю [Текст]/ В.С. Асланов, А.С. Ледков,

Н.Р Стратилатов // Полет,- 2007. №2. - C.28-33.

6. Асланов, В.С. Колебания тела с орбитальной тросовой системой [Текст]/

В.С. Асланов // Прикладная математика и механика. - 2007. Т. 71. - Вып. 6. - С. 1027-1033.

7. Aslanov, V.C. The Oscillations of a Spacecraft under the Action of the Tether Tension Moment and the Gravitational Moment [Text]/ V.S. Aslanov // AIP. Conf. Proc. 2008.- V. 1048.

- P. 56-59.

8. Белецкий, В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс [Текст]/ В.В. Белецкий - М.: Наука, 1965. -416 с.

9. Алпатов, А.П. Космические тросовые системы. Обзор проблемы[Текст]/ А.П. Алпатов, В. И. Драновский, А. Е. Закр-жевский, А.В. Пироженко, В. С. Хорошилов //Космiчна наука I технолопя. - 1997. - Т3. №5/6. - С. 21-29.

10. Пироженко, А.В. Хаотические режимы движения в динамике космических тросовых систем. 1. Анализ проблемы

[Текст]/А.В. Пироженко // Космiчна наука i технолопя. - 2001. - Т.7. №2/3. - С. 83-89.

References

1. Beletsky, V.V. Dynamics of space tether systems [Text]/ V.V. Beletsky, E.M. Levin. -Moscow: Nauka, 1990. 329 p.

2. Williams, P. Tethered planetary capture: controlled maneuvers [Text]/ P.Williams,

C. Blanksby, P. Trivailo // Acta Astronautica. -2003. - V. 53. - P. 681-708.

3. Misra, A.K. Dynamics and control of tethered satellite systems [Text]/ A.K. Misra // Acta Astronautica. - 2008. - V. 63. - P. 11691177.

4. Sidorov, I.M. About using tethers for creation permanently operating transfer channel in space [Text]/ I.M. Sidorov // Polyot . - 2000. № 8. P. 36-39.

5. Aslanov, V.S. Spatial movement of the space tether system intended for delivery of a cargo to the Earth [Text]/ V.S. Aslanov, A.S. Ledkov, N.R. Stratilatov // Polyot.- 2007, №2, P. 28-33.

6. Aslanov, V.S. The oscillations of a body with an orbital tethered system[Text]/ V.S. Aslanov// Journal of Applied Mathematics and Mechanics. -2007. - Vol. 71. - P. 926-932.

7. Aslanov, V.C. The Oscillations of a Spacecraft under the Action of the Tether Tension Moment and the Gravitational Moment [Text]/ V.S. Aslanov // AIP. Conf. Proc. 2008.- V. 1048.

- P. 56-59.

8. Beletsky, V.V. Motion of an artificial satellite of the Earth[Text]/ V.V. Beletsky -Moscow.: Nauka. 1965. - 416 p.

9. Alpatov, A.P The space tether systems. Review of a problem [Text]/A.P. Alpatov, V.I. Dranovskiy, A.E. Zakrjevskiy, A.V. Pirozhenko, V.S. Horoshilov//Kosmichna nouka i ithnologita. - 1997. Vol 3. №5/6. -P. 21-29.

10. Pirozhenko, A.V. Chaotic modes of motion in dynamic sot tethet systems. 1. Problem analysis [Text]/A.V. Pirozhenko // Kosmichna nouka i ithnologita. - 2001. - Vol.7, №2/3. -P. 83-89.

CHAOTIC MOTION OF THE ELASTIC TETHER SYSTEM

© 2009 V. S. Aslanov1, A. V. Pirozhenko2, B. V. Ivanov1, A. S. Ledkov1

1Samara State Aerospace University 2Institute of Technical Mechanics National Academy of Science of Ukraine & National Space Agency of Ukraine

The motion of the elastic tether system around of its center of mass is considered. The tether system consist of two tip bodies and a weightless elastic tether. The tether is in deployed state. Center of mass of system move along an elliptical trajectory. With the help of Lagrange’s equations of the second kind the equations of motion of the elastic tether system are constructed. As an independent variable the true anomaly angle is chosen. The particular case of motion of a system with the constant length tether is considered. It is shown, that in this case at the system there is a chaos.

Tether system, elastic vibrations, Lagrange’s equations, chaos, Poincaru map, elliptical orbit.

Информация об авторах

Асланов Владимир Степанович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической механики Самарского государственного аэрокосмического университета. Область научных интересов: динамика движения космических аппаратов и соосных тел, космические тросовые системы. E-mail: [email protected].

Пироженко Александр Владимирович, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, Институт технической механики Национальной академии наук Украины и Национального космического агентства Украины, Область научных интересов: хаотическая динамика механических, движение тел в космическом пространстве, жидких и газовых средах. E-mail: [email protected].

Иванов Борис Всеволодович, аспирант кафедры теоретической механики Самарского государственного аэрокосмического университета. Область научных интересов: космические тросовые системы, теория колебаний и устойчивость движения. E-mail: [email protected].

Ледков Александр Сергеевич, кандидат технических наук, ассистент кафедры теоретической механики Самарского государственного аэрокосмического университета. Область научных интересов: неуправляемое движение космических аппаратов в разреженной среде, космические тросовые системы. E-mail: [email protected].

Aslanov, Vladimir Stepanovich, Head of Chair of Theoretical Mechanics Department, Full Professor, Dr. Sc. Techn, Samara State Aerospace University. Area of research: dynamics of movement of space vehicles and coaxial bodies, space tether systems. E-mail: [email protected].

Pirozhenko, Alexander Vladimirovich, Leading Researcher, Dr. Sc. Ph.-Mat., Institute of Technical Mechanics National Academy of Science of Ukraine & National Space Agency of Ukraine. Area of research: chaotic dynamics, motion of bodies in space, liquid and gas. E-mail: al ex. pirozhenko@mail. ru.

Ivanov, Boris Vsevolodovich, the post-graduate studentnt of Theoretical Mechanics Department, Samara State Aerospace University. Area of research: space tether systems, theory of oscillations and motion stability. E-mail: [email protected].

Ledkov, Alexander Sergeevich, the post-graduate student, the assistant of Theoretical Mechanics Department, Samara State Aerospace University. Area of research: uncontrollable movement of space vehicles in the rarefied environment, space tether systems. E-mail: [email protected].