CC BY
63
Наука и Образование
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Сетевое научное издание
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. № 10. С. 383-397.
ISSN 1994-0448
Б01: 10.7463/1014.0728391
Представлена в редакцию: Исправлена:
© МГТУ им. Н.Э. Баумана
УДК 531.11
Управление силой тяги при буксировке космического мусора на упругом тросе
Ледков А. С.1*
01.07.2014 26.09.2014
ledkov®inbox-iu
1СГАУ им. С.П. Королева, Самара, Россия
В статье рассматривается операция увода с орбиты крупного космического мусора с помощью активного космического аппарата, соединенного со спускаемым объектом неве-сомым упругим тросом. С помощью формализма Лагранжа построена математическая мо-дель системы. Проведена линеаризация дифференциального уравнения, описывающего изменение длины троса, и выполнен анализ его фазового портрета. Провисание троса в процессе увода объекта с орбиты может вызвать его обрыв и наматывание на спускаемый объект, поэтому важно обеспечить непрерывное натяжение троса в процессе осуществле-ния операции спуска. С помощью метода Беллмана найдено оптимальное по быстродей-ствию управление с полной обратной связью, обеспечивающее перевод троса в натянутое состояние. Предложен альтернативный, более простой с точки зрения практической реа-лизации закон управления. В качестве примера рассмотрен спуск с орбиты советского спутника Метеор-2. Показано, что оба рассматриваемых закона обеспечивают непрерыв-ное натяжение троса, причем провисания не происходит уже на первом периоде колеба-ний длины троса. Использование предложенных законов приводит к незначительному увеличению времени спуска по сравнению со случаем использования постоянной тяги.
Ключевые слова: космический мусор, тросовая система, оптимальное управление, метод Беллмана
Введение
В настоящее время в околоземном пространстве находится большое количество нефункционирующих спутников, отработавших разгонных блоков и их обломков. Это обстоятельство существенно усложняет задачу вывода на орбиту новых космических аппаратов и обеспечение их безопасности. Современные модели показывают, что даже в случае прекращения запусков новых ракет, загрязненность околоземного пространства продолжит возрастать за счет столкновения и разрушения уже находящихся на орбите объектов. Стабилизация ситуации возможна лишь при регулярной уборке космического мусора [1].
В научной литературе предлагается несколько подходов к решению этой проблемы: предлагается использовать мощные импульсные лазеры [2], электродинамические
тросовые системы [3], активные космические аппараты, предполагающие стыковку со спускаемым объектом [4] или его захват с помощью троса [5]. В рамках данной статьи будет рассмотрен последний способ.
Операция уборки космического мусора с помощью троса включает в себя несколько этапов: сближение активного космического аппарата (буксира) со спускаемым объектом, захват объекта с помощью прикрепленного к тросу гарпуна, сети или манипулятора; включение двигателей буксира для увода объекта с орбиты. Последний этап довольно подробно рассмотрен в [6-8], где разработана модель, описывающая пространственное движения системы в оскулирующих элементах и показано, что данная схема может использоваться для осуществления операции уборки космического мусора. Если в процессе буксировки происходит провисание троса, то возникают угрозы наматывания троса на спускаемый объект и его обрыва. Механизм этого явления подробно описан в [9, 10]. Целью данной работы является поиск закона управления тягой буксира для обеспечения непрерывного натяжения троса в процессе операции уборки космического мусора. Задача исследования движения относительно центра масс спускаемого объекта после попадания в него гарпуна, набрасывания сети или стыковки является отдельной сложной задачей и не будет рассматриваться в рамках данного исследования. Предполагается, что в начальный момент времени угловые скорости спускаемого объекта уже погашены.
Для достижения поставленной цели на основе формализма Лагранжа будет разработана математическая модель, проведен анализ продольных колебаний троса, и для упрощенной системы решена задача нахождения оптимального по быстродействию управления с полной обратной связью, обеспечивающего перевод системы в стационарное состояние.
1. Математическая модель
При исследовании динамики космических тросовых систем в научной литературе широко используются плоские модели, в рамках которых считается, что трос и соединенные им тела все время лежат в плоскости орбиты центра масс системы [11-13]. В [13] показано, что устойчивое в первом приближении стационарное положение космической тросовой системы находится в плоскости орбиты, поэтому при отсутствии возмущающих сил, стремящихся вывести систему из этой плоскости, отклонением тросовой системы от плоскости орбиты часто пренебрегают. Что касается спускаемого объекта, то его реальное движение относительно центра масс в общем случае описывается тремя углами, однако для демонстрации эффекта наматывания троса достаточно рассмотреть плоское движение объекта. Такой режим движения может быть реализован в случае, когда спускаемый объект представляет собой динамически симметричное твердое тело, две главные центральные оси которого лежат в плоскости полета, а проекции начальной угловой скорости на эти две оси равны нулю.
Рассмотрим плоское движение механической системы, состоящей из спускаемого объекта, невесомого упругого троса и буксира (рис. 1). Спускаемый объект будем рассматривать как твердое тело с центром масс в точке Д, а буксир - как материальную точку Д. Трос крепится к объекту в точке Р, находящейся на расстоянии А = РД1 от
центра масс. Будем пренебрегать гибкостью упругого троса. Буксир оснащен двигательной установкой, создающей постоянную тягу F, которая направлена вдоль местного горизонта противоположно орбитальному движению системы. Движение происходит в Ньютоновском гравитационном поле. Вращение Земли не учитывается.
Рис. 1. Механическая система
Для получения уравнений движения воспользуемся формализмом Лагранжа. В качестве обобщенных координат qj выберем геоцентрическое расстояние до центра масс
спускаемого объекта q1 = г = ОД , угол истинной аномалии q2 = 3 , угол отклонения
спускаемого объекта от местной вертикали q3 = а, угол отклонения троса q4 = Р, длину
троса q5 = I. Запишем уравнения Лагранжа второго рода
-—-—=е-, (1)
Ж дqj су. 3
где Ь = Т — W = - функция Лагранжа, Т - кинетическая энергия, Ж - потенциальная энергия, е - обобщенная сила.
Кинетическая энергия системы складывается из кинетической энергии спускаемого объекта Т и кинетической энергии буксира Т2.
т = щ(г2+гЯ2) | J:{d + 3)2 т = т2(х: +у;) 1 2 2 , 2 2 , ()
где Щ - масса спускаемого объекта, Щ - масса буксира, J - главный центральный момент инерции спускаемого объекта, х2, у2 - декартовы координаты точки D2 в инерциальной системе координат Оху :
х2 = r cos$-A cos(a + $) -1 cos(a + 3- J), у2 = r sin$-A sin(a + $) -1 sin(a + $-J). Потенциальная энергия системы равна сумме потенциальной энергии гравитационного поля WG [14] и потенциальной энергии упругого троса W
W =-МЩ-МЩ + 3¡i(jx - J )cos2 a, WE = С (l - l0f H(l -10), (3)
r r2 2 r 2
где ¡ - гравитационный параметр, c = ESl0 1 - жесткость троса, E - модуль Юнга, S -
площадь поперечного сечения троса, l0 - длина недеформированного троса, H - функция
Хевисайда, J, J - главные центральные моменты инерции спускаемого объекта.
Помимо потенциальных сил в системе присутствует непотенциальная сила тяги F. Воспользовавшись определением [15]
Q = F
Q dq,
где q i - обобщенная координата, r2 =OD2, получим выражения для обобщенных сил:
Qr = -F(A sin а +1 sin(a - J))r2_1,
Q* = - Fr2,
Qa = - F (A2 +12 + 2 Al cos J- r A cos а - rl cos(a - J))r2_1, (4)
Q = Fl(l+A cos J- r cos(a - JJ))r2l, Q¡ = F(r sin(a - JJ) + A sin J)r2_1,
где r2 = OD2 =^J r2 +A2 +12 - 2rA cosa-2rl cos(a-JJ) + 2Al cos JJ.
Подставляя (2)-(4) в (1) получим систему уравнений, описывающую движение рассматриваемой механической системы. При F = 0 эта система являются частным случаем более общей модели космической тросовой системы с весомым упругим тросом [16].
2. Исследование продольных колебаний троса
В [8-10] показано, что провисание троса может стать причиной перевода тела, к которому прикреплен трос, во вращение. Прежде чем приступать к поиску закона управления силой тяги исследуем продольные колебания троса. Это позволит корректно сформулировать задачу управления.
Разрешим систему (1) относительно вторых производных и запишем уравнение для обобщенной координаты l
1 =
Р(г зт(а - Р) + А вт Р)
т + т а р
V т1т2
(I- 10)с +1(3 + а - Р)2 +
+А(3 + а)2 со%р-
/соБ(а-Р) /(г оо$(а~Р) -А соб р~ I)
3/(Jx - Jy)(АБт2абШр соБа(5соБ(2а-Р) + СОБР)^
2 г3
J,
2 т1г
Построим фазовый портрет уравнения (5) при фиксированных значениях параметров г, 3, а , Р и их производных (рис. 2). На фазовом портрете можно выделить две области. Слева от прямой I = /0 находится область, соответствующая движению системы при ненатянутом тросе. В этом случае спускаемый объект и буксир движутся независимо друг от друга. Область справа от I = 10 соответствует движению при натянутом тросе. При этом
буксир оказывает влияние на спускаемый объект через силу натяжения Т = с(1 -10). На
фазовом портрете присутствует особая точка типа центр я . Ее положение зависит от величины силы тяги.
Пусть система в начальный момент времени находится в точке А0, то есть трос не натянут (рис. 2). С течением времени под действием силы тяги Р расстояние I между буксиром и спускаемым объектом увеличивается. В точке А1 это расстояние становится
равным длине недеформированного троса. Начиная с этого момента буксир, трос и спускаемый объект движутся как единая космическая тросовая система. По мере увеличения I возрастает сила натяжения троса Т. В точке А2 величина I достигает
своего максимального значения и начинается возвратное колебание. В точке А3 сила натяжения пропадает, буксир и спускаемый объект начинают двигаться, как независимые тела. Поскольку фазовые траектории представляют собой замкнутые кривые, если в начальный момент времени трос не натянут, то независимо от того, насколько велика сила тяги Р, через некоторое время система вновь окажется в свободном состоянии.
Рис. 2. Фазовый портрет уравнения (5)
Приравнивая левую часть уравнения (5) к нулю, получим трансцендентное уравнение относительно I, определяющее положение центра I = я . Это уравнение может
т2 г2
быть решено численно, однако для оценочных расчетов можно воспользоваться приближенным решением. Используем тот факт, что А«г и I << г. Считая А/г и I/г малыми величинами порядка 5 разложим г- и г- в ряд Маклорена по А / г и I / г :
'2 " '2
1 _1 ( I сов(а-Р)^ А соб а
1 + 0(8Ъ).
1 1 (, 31 соэ(а-Р) ЗАсоэа^ 4ч
т = -| 1 +-(—^ + —-—^ 0(5 ).
3 3 г2 г
Учитывая, что на высотах до 10000 км выражение л /г2 > 1, проведем линеаризацию уравнения (5), отбросив члены порядка 52
I +(Д -А.21<У = В, +В21<+()(£2) .
(6)
Здесь
А =
(т + т) а2 эт2 р
щт2
сН{1-10)-{3 + сс-Р)2 +
/л(\-Ъсо$>2(а- /3))
В =
(т + т ) + а р
10сЩ1 - /0) + А(3 + а)2 СОБ р +
щщ, Л
3/А(- Зу) эт 2а эт р /А(соб р - 3соб а соэ(а - Р))
(7)
^2 =
2 Jzг3
эт(2а - 2Р)
2т2г
В2 =
(г + А соб а) эт(а - Р) + А эт Р
В дальнейшем будем рассматривать случай, когда коэффициенты А1, А2, В1, В2 положительны и А - АР > 0. Указанные условия выполняются если
а^тг/2, Р* 0, а-Р<
ощ+т2)с | ц у
щт2
Приравнивая вторую производную в уравнении (6) к нулю получим формулу, приближенно определяющую положение центра 5 :
В + ВР
5 = -!-. (8)
А! - ^
Отметим, что выключение тяги (Р = 0) не приводит к качественному изменению вида фазового портрета справа от линии I = 10. Особая точка по-прежнему определяется уравнением (8) и смещается влево ближе к положению I = 10. Слева от линии I = 10 при отсутствии тяги вид фазового портрета меняется, поскольку обнуляются первые слагаемые в выражениях (7) для коэффициентов А1 и Вх.
г2 г
г
3. Поиск оптимального управления силой тяги
Будем решать задачу о нахождении оптимального по быстродействию управления с полной обратно связью, переводящую изображающую точку из некоторого начального положения в центр я (рис. 2). Используем принцип Беллмана[17]. Перепишем уравнение (6) в виде
*(0 = *2(0,
(АР \ В Р
*2(0 = -| Л--2— (и +1) + *) + А + -у-(" +1),
(9)
где х1=1-я, х, =/ - компоненты вектора состояния системы х, г/е[—1;1] - управление, р - максимальная сила тяги двигательной установки буксира. С учетом сделанной замены переменных конечное положение определяется вектором хт = (0,0). Функционал качества управления имеет вид
т
1 = \л, Ух0еП2.
(10)
Запишем уравнение Беллмана с граничным условием:
Ш1П
ие[—1 ;1 ]
дрБ (Г, х) дрБ (Г, х) дрБ (Г, х) ( Вр (АР
Ы
- +
дх
-х2 +
дх,,
Л
дуЕ (1., х) Р
+ V (А2( Х1 + я) + В2)-и +1 дх 2
В +~Г+[2—АJ (Х1 + я)
= 0, <рБ (т, хт ) = 0.
(11)
Поскольку все траектории должны попасть в точку хт при t = Т, то граничное условие
определено только в этой точке. Находим структуру оптимального управления из условия минимума выражения в квадратных скобках в (11)
и = — эщп
дх.
(12)
2 У
Уравнение (12) показывает, что оптимальное управление является релейным.
Рассматривая отдельно случаи и = —1 и и = 1, найдем решения уравнения (11)
V (х) = —
1
агйап
А (х + я)—вг А х2
V (х) = —
агйап
А (х + я)—В3
А3 х2
+ ^х А— + 2л. ^х + х ,
х2 + 2( Ая—В) х + Ах\
(13)
(14)
где я0 = я — В1А11, А3 = А1 — А2Р, В3 = В1 + В2Р. Поскольку функция (13) соответствует случаю и = —1, из (12) следует, что она является решением уравнения Беллмана когда
дрБ Ц, х)
дх
> 0
Это условие выполняется для точек (х, х2) е Мх, где множество Ых определяется, как
1
3
3
М = ( х > Шд) \ (0 < х2 < /2(х), — 2я0 < х < 0),
(15)
где
/(х2) = —я0 — 81§П( х2)
2х ^2 + А^я2 + ^х~4 ^ ^2 + А^я2 )
2(1 — х) А
/2(х1) = V А1х12 + 2 А1я0 х1 .
Аналогично для случая и = 1 функция (14) является решением уравнения Беллмана,
когда
дуБ (¿, х)
дхп
< 0.
Это условие выполняется для точек (х, х2) еМ2, где множество М2 определяется как
М2 =( х </3(х2)), (16)
/3 (х2) = В3— А3я — 81§П( х2 ) Х
1
2х\ А — х2 А + (В — Ая)2 + у/ х4А2 + 2х\ А (В — Ая) (2х2 — 1) + (В — Ая)
2(1 — х22) А3
На рис. 3 показаны кривые х = /1(х2), х2 = /2(х1) и х = /3(х2), а также обозначены множества M¡. Отметим, что Мх и М2 пересекаются:
М3 = М п М2 при х < 0 ; М4 = М пМ2 при х ^ 0 . Для точек (х, х) е М3 и (х, х) е М4 решением уравнения Беллмана являются обе функции (13) и (14). Численные эксперименты показали, что для точек области М3 оптимальным с точки зрения быстродействия является управление и = —1, а для области М4 - управление и = 1.
Рис. 3. Области М;
4
В области Мъ (рис. 3) ни (13) ни (14) при u = -1 и и = 1 соответственно не являются решением уравнения (11). Прямой подстановкой легко убедиться, что для этой области
A (x + s) - B
A3 X2
Е 1
р (х) = —¡= аг^ап
л/АТ
будет решением уравнения Беллмана. В этом случае согласно (12) и = 1.
Окончательно, искомое оптимальное управление с полной обратной связью имеет
вид:
Г-1, (^х2) еМ им3, и = < (17)
[ 1, (х, X) е М и М и М5.
Для использования управления (17) буксир должен быть оснащен точным измерительным оборудованием, способным определять расстояние и относительную скорость соединенных тросом объектов. Рассмотрим альтернативный, более простой с точки зрения технической реализации закон:
Г-1, х > 0 и х, > 0, и = Г 1 ^ (18)
[1, х < 0 или х2 < 0.
Согласно (18) тяга должна выключаться, когда длина троса увеличивается и достигает значения I = 5; и включиться, когда длина троса перестанет увеличиваться и начнется возвратное колебание. Следует отметить, что управление (18) не переводит изображающую точку в положение хг, однако оно позволяет попасть в сколь угодно близкую окрестность этой точки.
4. Численное моделирование
В качестве примера рассмотри операцию по уводу с орбиты нефункционирующего метеорологического спутника Метеор-2. Аппараты этого типа активно использовались СССР в конце 70-ых годов [18]. Согласно данным UCS Satellite Database и U.S. Space Track в настоящее время на высотах 750-1000 км находится 20 нефункционирующих спутников Метеор-2.
Масса спутника щ = 1500 кг. Моменты инерции = 1000 кг • м2,
У = J2 = 5000кг • м2. Расстояние от центра масс до точки крепления троса: а = 2м. Спутник находится на круговой орбите высотой 1000 км. Масса буксира щ = 500 кг, жесткость троса c = 3 Н/м, его длина l0 = 1000 м. Тяга двигателя F = 100 Н.
Проведем моделирование спуска нефункционирующего спутника с орбиты с помощью системы уравнений (1) и законов (17) и (18). Пусть в начальный момент времени а = ж / 2, /3 = 0, L = 980 м, а = /3 = L = 0. На рис. 4 показана зависимость длины троса от времени. Сплошная линия соответствует управлению (17), пунктирная -управлению (18). Видно, что в случае использования законов для нелинейной системы (1)
они оба позволяют обеспечить перевод изображающей точки в окрестность центра. Отметим, что в рассматриваемом примере уже на первом периоде продольных колебаний предложенные законы не допускают провисания троса (l > l0). При использовании
оптимального закона (17) переход системы в положение l = я происходит за 120 с. Упрощенный закон (18) обеспечивает переход в центр за 255с (рис. 4).
/, м 1050
1040
1030
1020
1010
1000
990
980
0 50 100 150 200 250
t, С
Рис. 4. Зависимость длины троса от времени
Использование законов управления (17), (18) предполагает периодическое выключение двигателя. Это приводит к тому, что время, затрачиваемое на спуск объекта с орбиты, незначительно возрастает. Для рассматриваемого примера спуск до высоты 100 км происходит за 9187с в случае использования постоянной тяги, за 9213с в случае применения оптимального управления (17) и за 9212с при использовании закона (18).
Заключение
В статье рассмотрена операция уборки космического мусора с помощью активного космического аппарата, соединенного со спускаемым объектом невесомым упругим тросом. Построена математическая модель, описывающая плоское движение системы. С помощью метода Беллмана найдено оптимальное по быстродействию управление с полной обратной связью, обеспечивающее перевод троса в натянутое состояние. На основании анализа фазового портрета уравнения, описывающего продольные колебания троса, предложен более простой с точки зрения технической реализации закон управления. Выполнено численное моделирование спуска с орбиты нефункционирующего спутника Метеор-2. Показано, что оптимальный закон обеспечивает перевод троса в натянутое состояние за более короткое по сравнению с упрощенным законом время.
Представленные результаты получены в рамках выполнения государственного задания Минобрнауки России №9.540.2014/К.
Список литературы
1. Lewis H.G., White A.E., Crowther R., Stokes H. Synergy of debris mitigation and removal // Acta Astronautica. 2012. Vol. 81, iss. 1. P. 62-68. DOI: 10.1016/j.actaastro.2012.06.012
2. Phipps C.R., Baker K.L., Libby S.B., Liedahl D.A., Olivier S.S., Pleasance L.D., Rubenchik A., Trebes J.E., George E.V., Marcovici B., Reilly J.P., Valley M.T. Removing orbital debris with lasers // Advances in Space Research. 2012. Vol. 49, iss. 9. P. 1283-1300. DOI: 10.1016/j.asr.2012.02.003
3. Nishida S., Kawamoto S. Strategy for capturing of a tumbling space debris // Acta Astronautica. 2011. Vol. 68, iss. 1-2. P. 113-120. DOI: 10.1016/j.actaastro.2010.06.045
4. Трушляков В.В., Юткин Е.А. Обзор средств стыковки и захвата объектов крупногабаритного космического мусора // Омский научный вестник. 2013. № 2-120. С. 56-61.
5. Cougnet C., Alary D., Gerber B., Utzmann J., Wagner A. The Debritor: an "off the shelf1' based multimission vehicle for large space debris removal // Proc. of the 63rd International Astronautical Congress, 1-5 October 2012, Naples, Italy. IAC-12-A6.7.7.
6. Aslanov V.S., Yudintsev V.V. Dynamics of Large Space Debris Removal Using Tethered Space Tug // Acta Astronautica. October-November 2013. Vol. 91. P. 149-156. DOI: 10.1016/j.actaastro.2013.05.020
7. Aslanov V.S., Yudintsev V.V. Dynamics of Large Debris Connected to Space Tug by a Tether // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2013. Vol. 36, no. 6. P. 1654-1660. DOI: 10.2514/1.60976
8. Асланов В.С., Юдинцев В.В. Динамика буксировки твердого тела на упругом тросе в безгравитационном пространстве // Вестник СамГУ. 2013. № 3 (104). С. 58-66.
9. Ледков А.С., Дюков Д.И. Исследование хаотических режимов движения КА с тросом, совершающим малые колебания около местной вертикали // Электронный журнал «Труды МАИ». 2012. № 61. С.1-10. Режим доступа: http://www.mai.ru/science/trudy/published.php?ID=35644 (дата обращения 01.07.2014).
10. Aslanov V.S., Ledkov A.S. Dynamics of towed large space debris taking into account atmospheric disturbance // Acta Mechanica. 2014. Vol. 225, iss. 9. P. 2685-2697. DOI: 10.1007/s00707-014-1094-4
11. Белецкий В.В., Пивоваров М.Л. О влиянии атмосферы на относительное движение гантелеобразного спутника // Прикладная математика и механика. 2000. Т. 64, № 5. C. 721-731.
12. Sidorenko V.V., Celletti A. A "Spring-mass" model of tethered satellite systems: properties of planar periodic motions // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2010. Vol. 107, no 1-2. P. 209-231. DOI: 10.1007/s10569-010-9275-5
13. Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых систем. М.: Наука, 1990. 330 с.
14. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1975. 308 с.
15. Маркеев А.П. Теоретическая механика: учеб. для ун-тов. М.: РХД, 2001. 592 с.
16. Асланов В.С. Влияние упругости орбитальной тросовой системы на колебания спутника // Прикладная математика и механика. 2010. Т. 74, вып. 4. С 582-593.
17. Пантелеев А.В., Бортаковский А.С. Теория управления в примерах и задачах. М.: Высшая школа, 2003. 583 с.
18. Пахомов Л.А. Дистанционное зондирование атмосферы со спутника «Метеор». М.: Гидрометеоиздат, 1979. 143 с.
Science and Education of the Bauman MSTU, 2014, no. 10, pp. 383-397.
DOI: 10.7463/1014.0728391
Received: Revised:
01.07.2014 26.09.2014
Science ^Education
of the Bauman MSTU
ISSN 1994-0448 © Bauman Moscow State Technical Unversity
Thrust Control During Towing of Space Debris using an Elastic Tether
. „ . ,, i * ledkov'Sinbox.iu
A.S. Ledkov '
1Samara State Aerospace University n.a. S.P. Korolev, Samara,, Russia
Keywords: space debris, tether system, optimal control, Bellman equation
The paper considers a maneuver for deorbiting the large space debris using an active spacecraft connected with the debris by an elastic tether. Tether slacking during the maneuver can lead to the tether rupture, kinking, and winding on the descending object. Therefore it is important to prevent slacking. The objective of this work is to find the law of thrust force control of the active spacecraft to ensure a continuously strained tether during the maneuver.
Using Lagrange formalism a mathematical model to describe the system plane motion is developed. This model considers the active spacecraft as a mass point, the space debris as a rigid body, and the tether as a weightless elastic rod. A thrust force is directed along the local horizon of the spacecraft. Linearization of nonlinear differential equation describing longitudinal oscillations of the tether length is performed. Its phase portrait is analyzed. An approximate expression describing the position of the center on the phase portrait is obtained. A time-optimal control with full feedback to ensure that the tether is in the strained state is found by solving the Bellman equation. To use the obtained optimal law it is necessary to set the measuring equipment on the spacecraft, which is capable of accurate measuring a distance to the space debris and its relative velocity. An alternative control law, which is simpler in terms of the practical implementation, is proposed. As an example, the descent from an orbit of nonfunctioning Soviet satellite Meteor-2 is considered. It is shown that both proposed laws provide continuous strain of the tether during deorbiting of the satellite. Moreover, slack does not occur even at the first period of oscillation of the tether length. It is shown that the use of the proposed control laws leads to slight increase of deorbiting time as compared to the case of using the constant thrust.
The results can be used to develop the control systems of small spacecrafts designed for deorbiting of space debris.
References
1. Lewis H.G., White A.E., Crowther R., Stokes H. Synergy of debris mitigation and removal.
Acta Astronautica, 2012, vol. 81, iss. 1, pp. 62-68. DOI: 10.1016/j.actaastro.2012.06.012
2. Phipps C.R., Baker K.L., Libby S.B., Liedahl D.A., Olivier S.S., Pleasance L.D., Rubenchik A., Trebes J.E., George E.V., Marcovici B., Reilly J.P., Valley M.T. Removing orbital debris with lasers. Advances in Space Research, 2012, vol. 49, iss. 9, pp. 1283-1300. DOI: 10.1016/j.asr.2012.02.003
3. Nishida S., Kawamoto S. Strategy for capturing of a tumbling space debris. Acta Astronautica, 2011, vol. 68, iss. 1-2, pp. 113-120. DOI: 10.1016/j.actaastro.2010.06.045
4. Trushlyakov V.V., Yutkin E.A. Overview of means for docking and capture of large-scale space debris objects. Omskiy nauchnyy vestnik, 2013, no. 2-120, pp. 56-61. (in Russian).
5. Cougnet C., Alary D., Gerber B., Utzmann J., Wagner A. The Debritor: an "off the shelf1' based multimission vehicle for large space debris removal. Proc. of the 63rd International Astronautical Congress, 1-5 October 2012, Naples, Italy, IAC-12-A6.7.7.
6. Aslanov V.S., Yudintsev V.V. Dynamics of Large Space Debris Removal Using Tethered Space Tug. Acta Astronautica, October-November 2013, vol. 91, pp. 149-156. DOI: 10.1016/j.actaastro.2013.05.020
7. Aslanov V.S., Yudintsev V.V. Dynamics of Large Debris Connected to Space Tug by a Tether. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2013, vol. 36, no. 6, pp. 1654-1660. DOI: 10.2514/1.60976
8. Aslanov V.S., Yudintsev V.V. The dynamics of towage by the elastic rope in a gravitationless space. Vestnik SamGU = Vestnik of Samara State University, 2013, no. 3 (104), pp. 58-66. (in Russian).
9. Ledkov A.S., Dyukov D.I. Research of chaotic motion of the spacecraft with a tether making small oscillations about a local vertical. Elektronic journal "Trudy MAI", 2012, no. 61, pp. 110. Available at: http://www.mai.ru/science/trudy/published.php?ID=35644 , accessed 01.07.2014. (in Russian).
10. Aslanov V.S., Ledkov A.S. Dynamics of towed large space debris taking into account atmospheric disturbance. Acta Mechanica, 2014, vol. 225, iss. 9, pp. 2685-2697. DOI: 10.1007/s00707-014-1094-4
11. Beletskiy V., Pivovarov M.L. The effect of the atmosphere on the attitude motion of a dumbbell-shaped artificial satellite. Prikladnaya matematika i mekhanika, 2000, vol. 64, no. 5, pp. 721-731. (English translation: Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2000, vol. 64, iss. 5, pp. 691-700. DOI: 10.1016/S0021 -8928(00)00097-6 ).
12. Sidorenko V.V., Celletti A. A "Spring-mass" model of tethered satellite systems: properties of planar periodic motions. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 2010, vol. 107, no 1-2, pp. 209-231. DOI: 10.1007/s10569-010-9275-5
13. Beletskiy V.V., Levin E.M. Dinamika kosmicheskikh trosovykh system [Dynamics of space tether systems]. Moscow, Nauka Publ., 1990. 330 p. (in Russian).
14. Beletskiy V.V. Dvizhenie sputnika otnositel'no tsentra mass v gravitatsionnom pole [Motion of satellite around its center of mass in gravity field]. Moscow, MSU Publ., 1975. 308 p. (in Russian).
15. Markeev A.P. Teoreticheskaya mekhanika [Theoretical mechanics]. Moscow, RKhD Publ., 2001. 592 p. (in Russian).
16. Aslanov V.S. The effect of the elasticity of an orbital tether system on the oscillations of a satellite. Prikladnaya matematika i mekhanika, 2010, vol. 74, no. 4, pp. 582-593. (English translation: Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2010, vol. 74, iss. 4, pp. 416424. DOI: 10.1016/j.jappmathmech.2010.09.007 ).
17. Panteleev A.V., Bortakovskiy A.S. Teoriya upravleniya v primerakh i zadachakh [Control theory examples and problems]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 2003. 583 p. (in Russian).
18. Pakhomov L.A. Distantsionnoe zondirovanie atmosfery so sputnika "Meteor" [Remote sensing of the atmosphere from the satellite "Meteor"]. Moscow, Gidrometeoizdat Publ., 1979. 143 p. (in Russian).
