ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ПОЛЕ ПРИЛИВНЫХ СИЛ ГРАВИТАЦИИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

2014

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 3(26)

УДК 521.1

Исследование движения твердого тела в поле приливных сил гравитации

И. Ф. Талипов, Н. А. Репьях

Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 ilin-09011988@ya.ru; (951) 951-12-27 mpu@psu.ru; (342) 2-396-309

Рассматривается математическая модель движения алюминиевого полотна размерами ~1-2 км в поле сил гравитации. Приведено исследование движения системы. Предполагается, что полотно является идеальным недеформированным твердым телом с равномерно распределенной массой. Система совершает сферическое движение в центральном гравитационном поле. Приведено описание движения системы на конечном промежутке времени вокруг гравитационного центра.

Ключевые слова: центральное гравитационное поле; голономная орбитальная система; математическая модель движения.

Введение

После запуска первого искусственного спутника Земли и последующих успехов в освоении космического пространства резко возрос интерес к различным вопросам, связанным с изучением космоса. В частности, большой интерес представляют вопросы теории движения искусственных космических объектов.

Ряд геофизических и динамических задач, связанных с освоением и изучением космического пространства, требует анализа вращательного движения искусственных космических объектов относительно центра масс. Так, например, исследование излучений Солнца возможно лишь при наличии освещения Солнцем приборов, установленных на искусственном спутнике, а условия освещенности зависят от движения спутников относительно центра масс. От положения спутника относительно набегающего потока зависят

© Талипов И. Ф., Репьях Н. А., 2014

показания различных приборов, предназначенных для изучения состава и строения верхней атмосферы; положение спутника относительно магнитного поля Земли влияет на показания магнитометров. Движение около центра масс влияет также на средний коэффициент аэродинамического сопротивления и, следовательно, на параметры орбиты и время существования спутника; есть также ряд других задач, требующих знания ориентации спутника в пространстве.

В предлагаемой работе изучаются эффекты вращательного движения искусственных космических объектов и рассматриваются некоторые смежные задачи. Также описываются системы координат и направляющие косинусы для однозначного определения положения тела в пространстве.

В работе продолжаются исследования И.А.Вертипрахова, Е.Н.Остапенко и Н.А. Репьяха по динамике орбитальных космических систем [1].

1. Описание системы и вывод уравнений движения

Действующая на систему внешняя сила потенциальна. Это сила гравитации. Система имеет 6 степеней свободы, а значит, и обобщенных координат. За обобщенные координаты ql, q2, q3, q4,q5, q6 приняты:

1. Координаты X, Y, 2 центра масс в абсолютной СК (рис. 1):

Рис. 1. Экваториальная объектоцентрическая СК Oxyz в абсолютной СК СХУ2

Оси объектоцентрической СК параллельны абсолютной СК.

Абсолютная СК представляет собой прямоугольную экваториальную геоцентрическую СК, где ось Ъ направлена по оси вращения планеты, а ось Y - в точку весеннего равноденствия.

2 Координаты положения твердого тела в экваториальной объектоцентрической СК определяются углами Эйлера (рис. 2).

Рис. 2. Подвижная СК ОХу'г' в экваториальной объектоцентрической СК Охуг

Т, 0, Ф - углы трех последовательных поворотов вокруг осей 0х, 0у, 02.

За оси подвижной СК примем главные центральные оси симметрии тела. Положение подвижной СК описывается углами прецессии Т , нутации 0 и собственного вращения Ф .

В качестве исследуемого тела выберем полотно алюминиевой фольги в форме прямоугольника больших размеров (~1-2км), считая фольгу идеальным недеформирован-ным твердым телом с равномерно распределенной плотностью.

Поскольку связи, наложенные на точки - голономны, то математическая модель движения системы строится в виде уравнений Лагранжа второго рода

Л

{ дТ_Л дё{1

' у

дТ

ди

--=--, где1 = 1.1. (1)

Здесь Т - кинетическая энергия системы, и - силовая функция, qi - обобщенные

координаты, qi - обобщенные скорости.

д1 = Д д2 = Y, дз = 2 дА =Т, д5 =0, дб =Ф..

Соответственно вектор-строка обобщенных координат, описывающая поведение системы равна

д = {х(t), у (t), 2(t), ^4 (t) Д (t),фб (t)}. (2)

Введем направляющие косинусы углов поворота из экваториальной объектоцентри-ческой СК в абсолютную СК:

а = ^(Хя) = Ъ = соб(?Л) = с = ^(ЙЯ) =

X

4ХТ+УГ+2^

У

л/Х1+ТТ+21 2

л/Х1+УГ+27

(3)

В экваториальной объектоцентрической СК введем подвижную СК ОХу'г', связанную с телом. Оси Ох', Оу', Ог' сонаправлены с главными центральными осями инерции

J „J ,,J,.

х '' у '' г

Введем матрицу поворотов при переходе из подвижной СК в экваториальную объек-тоцентрическую СК [2]:

И. Ф. Талипов, Н. А. Репьях

x y z x a a' a"

y P P P", (4)

t ft ' v '

z y y Y

где, используя углы Эйлера, найдем направляющие косинусы

a = cos Ф cos ¥-sin Ф cos 0 sin ¥ a' = - sin Ф cos ¥-cos Ф cos 0 sin ¥ a" = sin 0 sin ¥

P = cos Ф sin ¥ + sin Ф cos 0 cos ¥ P' = - sin Ф sin ¥ + cos Ф cos 0 cos ¥!>. (5) P" = - sin 0 cos ¥ y = sin Ф sin 0 y' = cos Ф sin 0 y" = cos 0

Матрица направляющих косинусов СК тела в абсолютной СК выражается следующим образом:

Определим силовую функцию гравитационного поля:

и =| р(г)дт . (7)

м

Свяжем вращающуюся систему 0 х 'у' х' с абсолютной СК ОХУ1 и определим радиус-вектор, определяющий расстояние от каждой точки подвижной СК до центра гравитации С:

г = Я + р.

Здесь Я - радиус-вектор от центра гравитации до центра экваториальной объектоцен-трической СК, р - радиус-вектор от центра экваториальной объектоцентрической СК до точки твердого тела, тогда р - потенциал силового поля:

ф =

(8)

a a

b = P

c Y

a

y

a üb c

a = aa + Pb + yc b = a'a + P 'b + y' c c = a''a + P "b + y'' c

Кинетическую энергию системы выразим как сумму кинетических энергий поступательного и вращательного движения тела:

T = T + T =

поступ вращ

mv,.

+

óó-J-a

(6)

2 2

где Уабс - абсолютная скорость центра масс, J - тензор инерции тела, ё - вектор угловой скорости вращения.

Вектор угловой скорости вращения ё находится через углы Эйлера в виде

ó^ =¥ sin 0 sin Ф + 0 cos Ф ay, = ¥ sin 0 cos Ф-0 sin Ф. a, =¥ cos 0 + Ф

Спроецируем (6) на оси заданных систем координат:

T =

mv„

- + -

Ó-J-Ó 2

M(X2 ++ z0) jjói + jó-", + j"ój

+

y y

дф dr

M

v (r + pf j

2 -a

ф =

M

R + p

(Я+р) = Я2 + 2Яр+р2.

Здесь

Я = Х02 + У2 + Ё2

2Яр = 2Х0(х \а + р + у)) + 2¥0(у К + Р' + у')) +

+2^( х К + Р + У'))

р = х '2+у '2+х '2

Выполнив преобразования, получим

1

р = V [1 + 2( К + К2 + Къ) + К4 ]\

где введены обозначения:

R = V Хо2 + Yo2 + Z 02, 2 x '(a + P + y) R ' 2 y a + P, + y ,) R

K =

K

K 3 =

2 z '(a" + P" + y")

R

K = P

K 4 = Я2

2

2

2

Найдем силовую функцию гравитационного поля для прямоугольной пластины:

и = | т,

M

U = Jp + 2(K + K2 + K3) + K42 I dV,

где dm = р^.

В обозначениях К1,К2,К3,К4 введем замену:

х' „у' '

я ~х я ~у Я ~7'

Разложим р в ряд Маклорена по степеням малых членов х, у, 7 до второго порядка малости и проинтегрируем.

Получим силовую функцию гравитационного поля [4]:

~(а + / + у) х0 + " +(а' + /' + у') у0 +

U = НРп±У _ НРту

R

R2

+(«" + + г '') Z0

+

+ ■

Н

2 R

г ( Jy+ Jz_ 3 ( Jx

a2 + j„b2 + j c

Так как центр масс располагается в центре орбитальной СК, то {х0, у0,70} = {0,0,0}. Найдем обобщенные силы:

dU

dqi

( ~JX,+ Jy,+ Jz,_ '

Ô НРплу + Н R 2R3

_3 (Jxà2 + Jyb2 + J/c2 )_

v J

dqi

i = (1,2..6)

Значение частной производной кинетической энергии системы по обобщенным координатам и скоростям определится следующим образом:

ôt = m

Ôqi 2

Ôqi

v 11

+

( xv v ÔK

vôqi /

+

f Я7 > ÔZ о

ôqi

v 11

+

1

+— 2

J.

f Ô®., Y T ( Ô®y Y r (Ô® ^

ôT = m ôqi 2

Ôq

'f ^ V

+ Jy

Ôq,

+J

Ôq,

v "' / \ j \2 / ■ \2

f ^ Y f ^ y

Ôx0 + ôKo + ôzo

l Ôqi j lôqi J l Ôqi j

+

1 (ô® y 2 (с®ул 2 ( ô® л 2

+ — jx, X +jy, + j z

2 X v ôqi j y v ôqi j z v ôq> j

В результате математических преобразований получим уравнения движения системы в форме уравнений Лагранжа 2-го рода

[4]:

d_

dt

( ÔT ^

vÔqi

ÔT ÔU \ ■ л r --+-= 0 , гдеi = 1..6.

Ôq, Ôq,

2. Исследование движения твердого тела

Дифференциальные уравнения численно интегрировались средствами пакета Wolfram Mathematica 9.0.1 с точностью 10-4.

Начальные условия: линейные размеры полотна 1000x2000x0,5* 10-3м, плотность 2700 кг/м3. Центр масс в момент времени t = 0 находится на оси OY на расстоянии 6670 км от центра гравитации, линейная скорость в начальный момент времени вдоль оси ОХ составляет 7,7 км/сек.

Углы Эйлера соответствуют положению системы на рис. 3 :

у = 1 рад, в = 0, ф = 0, угловые скорости тела

у = 0, в) = 0, ф = 0

Рис. 3. Положение системы в начальный момент времени t=0

Для более детального описания системы приведена раскадровка движения в период времени I = 3000 сек с интервалом кадра 1000 сек (рис. 3-6).

2

2

И. Ф. Талипов, Н. А. Репьях

Рис. 4. Положение системы в момент времени 1=1000 сек

Рис. 5. Положение системы в момент времени (=2000 сек

3. Полученные результаты

На рис. 7 представлена орбита в абсолютной СК за время t = 3000 сек.

Рис. 7. Орбита в абсолютной СК за время ( = 3000 сек

Также необходимо показать на каких высотах расположены угловые точки (рис. 8).

1000 2000 3000 4000 5000 '

Рис. 8. Высоты угловых точек тела

Для подтверждения достоверности полученных данных достаточно привести график изменения полной энергии (рис. 9).

Рис. 6. Положение системы в момент времени (=3000 сек

Рис. 9. График изменения полной энергии

Данные верны, отклонения полной энергии от нормальной величины в пределах нормы (~10-6).

Заключение

Исследовано движение механической системы в евклидовом трехмерном гравитационном поле с учетом момента приливных сил гравитации. Построена математическая модель движения системы для заданной конфигурации системы. Численным интегрированием системы дифференциальных уравнений установлен характер движения тела за некоторый период оборота ЦМ вокруг гравитационного центра. Результаты представлены в виде раскадровки движения модели за некоторое время. Изображены также графики зависимостей высот угловых точек и траектория орбиты. Достоверность полученных результатов подтверждена законом сохранения энергии.

Исследование движения системы проводилось численно с применением пакета Wolfram Mathematica 9.01 в предположении, что тело - идеально твердая и недеформированная прямоугольная пластина размерами 1x2км2 с равномерно распределенной плотностью.

Список литературы

1. Вертипрахов И.А., Остапенко Е.Н., Репьях Н.А. Динамика стержневой большой орбитальной космической системы цепочечной структуры // Вестник Пермского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Вып. 4 (12). С. 42-47.

2. Белецкий В.В., Егоров В.А. Межпланетные полеты с двигателем постоянной мощности // Космические исследования. 1964. Т. 2, № 3. 1964.

3. Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В.В. Механика космического полета с малой тягой. М.: Наука, 1966.

4. Дубошин Г.Н. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. М.: Наука, 1976.

5. Маланин В.В., Остапенко Е.Н., Репьях Н.А. Свободное движение пятиточечной стержневой большой орбитальной космической системы цепочечной структуры в транспортирующей системе координат // Вестник Пермского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Вып. 3 (22). С. 59-62.

Study of the motion of a rigid body in the gravitational tidal forces

I. F. Talipov, N. A. Repyah

Perm State University, Russia, 614990, Perm, Bukirev st., 15 mpu@psu.ru; (342) 2-396-309

A mathematical model of the motion of aluminum blade size ~ 1-2 km in the field of gravitational forces. Powered motion study system. It is assumed that the web is the ideal undeformed solid with a uniform distribution of mass. The system performs a spherical movement in the central gravitational field . Describes the motion of the system on a finite interval of time around a gravitational center.

Key words: central gravitational field; holonomic orbital system; mathematical model of motion.