РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВИДА sinnХ + cosNX = А, ГДЕ n E N Текст научной статьи по специальности «Математика»

Список литературы /References

1. Макаров Л. Интеллектуальные системы и поля понятий. Труды учебных заведений связи, 2016. Т. 2. № 3. С. 50-54.

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВИДА s i п пх + с о snx = а, где neN Гри горян К.М. Email: [email protected]

Григорян Карине Микитовна - преподаватель, кафедра ИТ и естественных наук, Шушинский технологический университет, г. Шуши

Аннотация: в статье рассматриваются методы решения тригонометрических уравнений вида sinnx + cosnx = а, где neN. При а Ф 1 приводятся решения уравнений данного типа для n = 6 ; 8 ; 1 0 путем преобразования левой части уравнения с использованием различных способов понижения степени уравнения. В случае с учетом основного тригонометрического тождества и монотонности

показательной функции исследуется решение уравнений этого вида в зависимости от четности и нечетности n. Приводится множество решений для четного и нечетного n.

Ключевые слова: тригонометрия, уравнение, степень, понижение, монотонность, показательная функция, решение.

SOLUTION OF TRIGONOMETRIC EQUATIONS OF sinnx+cosnx=a

TIPE, WHERE n e N Grigoryan K.M.

Grigoryan Karine Mikitovna - Teacher, DEPARTMENT OF IT AND NATURAL SCIENCES, SHUSHI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY, SHUSHI

Abstract: the article considers the methods of solving trigonometric equations of the form sinnx + cosnx = а where neN. When а Ф 1 are solutions to an equation of this type for n by converting the left part of equation using various methods to reduce the degree

of the equation. Taking into account the basic trigonometric identity and monotonicity of exponential function, in the case a = 1 is investigated solution of equations of this type depending on the parity of n odd. The set ofsolutions for even and odd n is given.

Keywords: trigonometry, equation, degree, reduction, binomial theorem, monotonicity, exponential function, solution.

УДК 512.371

Тригонометрические уравнения составляют одну из основных частей раздела "Тригонометрия" школьного курса математики и являются сложными для усвоения учащимися, что обусловлено многообразием видов уравнений и методов их решения, необходимостью знания большого количества формул и умения оперировать ими. Кроме того, во многих случаях тригонометрические уравнения после замены переменной сводятся к алгебраическим, и потому при решении тригонометрических уравнений нужны также навыки решения алгебраических уравнений. Рассмотрим один из видов тригонометрических уравнений:

sinnx + cosnx = а, где neN (1)

Очевидно, что при n=2 и a=1 уравнение (1) сводится к основному тригонометрическому тождеству

sin2x+ cos2x=1 (2) Значит, при n=2 и а^1 уравнение (1) не имеет решения. Если n>2, то, учитывая тождество (2 ) и монотонность показательной функции, уравнение (1) имеет решение при и не имеет решения при

Если уравнение

sinx + со sx = а (3) имеет решение при | а | < V2 и не имеет решения при | а | > V2, так как | s¿nx + cosx | < V2 , что следует из равенства (sinx+cosx)2 < 2 Уравнение (3) равносильно

.па п . а _

следующему уравнению: cos(x —-) = ^ , решение которого: x=- + а гс с оs^= + 2 7гп, n

Далее рассмотрим на конкретных примерах решения некоторых уравнений вида (1) из сборников [1]-[3] для n=6,8,10 при | а | <1 и для любого n6 N при а = 1 . Пример 1. Решить уравнение

s ¿n 6x + cos6x = а (4) Решение. Преобразуем левую часть уравнения.

3

sin6x + cos6x = (sin2 х + cos2x)[(sin2х + cos2x)2 — 3sin2xcos2x] = 1 — — sin22x

4

3 5 3

= 1--(1 — cos 4xJ = — + — cos 4x

8 8 8 Уравнение (4) приводится к виду

5 + 3 cos 4x = 8a Откуда , со s 4x = ——, где — 1 < —— <1ФФ-<а<1

J ' 3 3 4

1 8a - 5 яп 1

x = + —агссо s--1--, где — < а < 1

~4 3 2 4

1 8a — 5 nn 1

Ответ : x = + —агссо s--1--, где — < а < 1

~4 3 2 4

Пример 2. Решить уравнение

s ¿n8x + cos8x = — (5)

32 v '

Решение. Преобразуем левую часть уравнения.

sin8x + cos8x = (sin4x + cos4x)2 — 2sin4xcos4x

= (1 — 2 sin2xcos2x)2 — 2 sin4xcos4x =

= 1 + -s ¿n42 x — s ¿n 22 x:

Уравнение (5) примет вид:

-sin4 2x

8

Откуда,

-sin4 2x — sin2 2x + — = 0

8 32

sin2 2 x = - (1 — со s 4x) : 2 = - фф со s 4x =0 фф 4x = - + njt, nEZ

2 v J 2 2 n nn _

X = - H--,П 6 Z

8 4

Ответ: x = -+--, nEZ :

8 4

Пример 3. Решить уравнение

sin10x + cos10x = — (6)

64 V '

Решение. Преобразуем левую часть уравнения, применяя формулы понижения степени и Бином Ньютона s ¿n 1 0x + cos 1 0x = (s ¿n2x) 5 + (eos2 x) 5 = ^ 1 c°s2 ж ^ +

^i+cos2x~j _ _ Scos2x + 10cos22x — 10cos32x + 5cos42x — cos52x) +

(1 + 5cos2x + 10cos22x + 10cos32x + 5cos42x + cos5 2x)) = ^ (1 + 10cos22x + 5cos42x)

Уравнение (6) примет вид: 5 cos42 x + 1 0cos22 x + 1=2^ Откуда получим:

11 + cos 4x 1 7Г

cos22x = — фф-= — фф cos4x = 0 4x = —I- nn,n E Z

2 2 2 2 71 П7Т

x = —I--, n E Z

8 4

~ 7Г , П7Г _

Ответ: x = - +--, n 6 Z :

8 4

Пример 4. Решить уравнение

s in 1 0 0 x + cos 1 0 0x = 1 (7) Решение. Рассмотрим два способа решения.

I способ. Очевидно, что решением уравнения (7) являются решения совокупности sinx = 0 cosx = 0

г-Г ПП г Г?

То есть, x = —, n 6 Z :

2

Докажем, что уравнение (7) других решений не имеет. Для x Ф — 0<s in 2 x < 1 , 0 < cos2 x < 1: Учитывая монотонность показательной функции ( 0 < а < 1,у = аж-убывающая функция), получим: (s in2 x) 5 0 < s in 2 x, (cos2 x) 5 0 < cos2 x: Откуда

(s in 2x) 5 0 + (cos2 x) 5 0 < s in2 x+cos2 x:

То есть, s in 1 0 0 x + c o s 1 0 0x < 1 n6Z )

Значит, x Ф , n 6 Z не являются решениями данного уравнения.

II способ. Представим 1 = (s in 2 x + cos2 x) 5 0 и разложим правую часть с помощью Бинома Ньютона. После преобразования уравнение примет вид:

sin100x + cos100x = sin100x + cos100x +

sin2xcos2x(a1(cos2x)48 + a2sin2x{cos2x)47 + —I- a48(sin2x)47cos2x + a49sin2x48, где an EN: Откуда

„ Г

уравнений

м

sin2xcos2x(a1(cos2x)48 4-----1- a49(sin2x)48) = 0 о [

neZ :

sinx = 0 ^

cosx = 0

7ГП ~~2

x = nk, к E Z

71 <=> X

x = — + /от, к E Z

Ответ: x = —, n 6 Z :

2

Пример 5. Решить уравнение

s in 1 7x + cos 1 7x = 1 (8) Решение. В случае нечетного nEN слагаемые левой части уравнения (8) принимают неотрицательные значения и, следовательно, sinx и cosx также неотрицательны. Аналогично примеру 4 (1 способ) приходим к выводу, что уравнение (8) равносильно следующей совокупности систем уравнений:

Г sinx = 0 Icosx = 1

Г sinx = 1 Llcosx = 0

х = 2лп, п Е Z

71

х = —I- 2пк, к Е Z 2

Ответ: x = 2 лтг, x = - + 2 7т/с, n 6 Z, к 6 Z:

2

Заключение. Уравнения рассмотренного вида при а Ф 1 решаются понижением степени уравнения для n = 6; 8; 10 , при а =1 и n Ф 2 множеством решений для

четных n является: х = —, n £ Z ; а для нечетных n : х = 2 лтг, х = - + 2 7тк, n £

2 2

Z, к £ Z.

Список литературы /References

1. Егерев В.К., Зайцев В.В., Кордемский Б.А. и др. Под ред. Сканави М.И., Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы. М.; Высшая школа, 1980. 544 с.

2. Ивлев Б.М., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П., Шварцбург С.И. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа. М. Просвещение, 1990. 48 с.

3. Конягин С.В., Тоноян Г.А., Шарыгин И.Ф. и др. Под ред. И.Н. Сергеева. Зарубежные математические олимпиады. М. Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1987. 416 с.

4. Григорян К.М. Квадратичные и сводимые к ним уравнения с параметрами. Наука, техника и образование. № 3 (44), 2018. С. 60-63.