CC BY
59
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012 Управление, вычислительная техника и информатика № 2(19)
УДК 658.512
Ю.И. Параев, Т.И. Грекова, А.В. Рощин РЕШЕНИЕ ТЕРМИНАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ОДНОСЕКТОРНОЙ ЭКОНОМИКОЙ
Получено аналитическое решение терминальной задачи оптимального управления односекторной экономикой на конечном интервале времени, связанной с максимизацией непроизводственного потребления и выходом на заданный уровень фондовооружённости. Найдены необходимые условия существования оптимального управления, а также условия, когда это управление включает в себя магистраль.
Ключевые слова: производственная функция Кобба - Дугласа,
фондовооружённость труда, непроизводственное потребление, оптимальное управление, магистраль, горизонт.
Рассматривается динамическая задача оптимального управления односекторной экономикой с использованием производственной функции Кобба - Дугласа [1]. Управление заключается в распределение произведённого продукта на накопление (инвестирование) и непроизводственное потребление. Проблема состоит в выборе такого управления, при котором обеспечивается максимум непроизводственного потребления за планируемый конечный период производства и, кроме того, требуется выход на заданный уровень фондовооружённости. Получено полное аналитическое решение задачи. Найдены необходимые условия, т.е. ограничения на период производства, начальную фондовооружённость и параметры задачи, при которых существует оптимальное управление. Работа является продолжением [2], поэтому некоторые промежуточные результаты приводятся без доказательства.
1. Постановка задачи
Предполагается, что состояние экономики характеризуется величинами к(?) -фондовооружённость труда (ФВ) и с(?) - непроизводственное потребление (НП). Изменение этих величин описывается уравнениями [1,2]
к = ыР -цк, к(0) = к0 > 0; (1)
с = 8с + (1 - и)Р, с(0) = 0. (2)
Здесь р > 0 - коэффициент амортизации, 8 > 0 - норма дисконтирования,
Дк) = Ака - производительность труда, А - масштаб темпа производства (А > 0),
а - коэффициент эластичности по основным фондам. Управляющим параметром является коэффициент и, который определяет долю валового продукта, которая идёт на увеличение ФВ. При этом всегда
0< и <1. (3)
Предполагается, что планируемый период производства [0,7] задан и конечен. Решение уравнения (2) на этом интервале можно записать в виде
с (Т) = 3 [и ] = | е8(г} (1 - и)Р (к )йг, (4)
о
т.е. 3[и] есть НП на интервале [0,7] при управлении и.
Терминальная задача: в течение заданного интервала времени [0,7] найти такое управление и^) с учетом (3), при котором функционал (4) максимален и выполняется условие
к(Т) > кт, (5)
где кт - какое-то заданное значение, называемое горизонтом.
Решение уравнения (1) при постоянном и на интервале времени [г0, 0 с начальным условием к(г0)=к0 имеет вид [2]
к в () = — (1 - е-М'-0}) + к0ре-М'-0}, (6)
И
где в = 1-а. Если и(?) = 0, то
к (г) = к (г0 )е-К'-0}. (7)
Поскольку при и = 1 Иш кв (г) = А / р, то обычно предполагается, что к(:0) и
кт < (А/р)1/р.
Если значения к(Т) = кт и Т заданы, то можно выделить интервал [ЭД, N2] начальных значений к0, из которых можно попасть в точку к(Т) = кт . Нижнюю и верхнюю границы этого интервала можно получить в результате интегрирования уравнения (1) при и^) = 1 и при и(() = 0 соответственно. В результате, согласно (6) и (7), получается
N = Ж? (Т, кт) = квевцТ - — (евцТ -1), Ж2 = Ж2 (Т, кт) = кте^.
И
При большом Т значение N может быть отрицательным, тогда его следует заменить на 0.
Если N > 0, то для к0 < N терминальная задача не имеет решения. Если к0 > N2, то при любом управлении выполняется условие (5). При этом максимум функционала (4) достигается при и(() = 0, т.е. весь валовой продукт идет на НП. В этом случае У[0] = G(k0;0,T), где
0(к; , 12) = Ак “е8(т Л)
1 - е-(5+ац)(іг-іх)
8 + ац
Поэтому далее считаем, что к0 принадлежит интервалу [М, N2]. При этом управление должно содержать отрезки, когда и^) > 0. Можно выделить значение
70 = —— 1п(1 - / А), при котором Ы1(Т0,кТ) = 0. Можно также построить кривые
йР
«в ()=-+(N1 (Т, кт) - -1 е-^, « () = N2 (Т, кт у-*.
И I И)
При этом всегда щ(^ < к(г) < п2(г).
т
2. Решение терминальной задачи
Применение принципа максимума Понтрягина приводит к структуре оптимального управления, полученной в [1, 2]. Интервал [0, T] точками t1 и t2 (0 < ti < t2 < T) разбивается так, что
Г Wj при 0 < t < tj,
u(t) = j«oc ПРИ t1 < t < t2, (8)
[ u2 при t2 < t < Т.
Здесь величины u1 и u2 принимают значения 0 или 1 в зависимости от начального
и конечного условий, uoc = — = > 0 - особое управление. Интервал време-
F ц + 8
ни [t1, t2], в течение которого имеет место особое управление, соответствует участку сбалансированного равновесного состояния экономики, который называется магистралью. На этом интервале решение уравнения (1) постоянно и равно
*> о.
ОС , о
Ц + О
Интервал времени [0, t1] соответствует выходу на магистраль, интервал [t1, t2]
- движению по магистрали (если она существует), интервал [t2, Т] - заключительному этапу (сходу с магистрали и достижение заданного горизонта). Обозначим длительность этих интервалов как Т1 = t1, Т2 = t2-t1, Т3 = T-t2. В соответствие с таким разбиением функционал (4) можно представить в виде суммы
J = J1[0, t1] + Joc[t1, t2] + J2[t2, ^ (9)
где, в частности,
Jocltl, h 1 = AC (1 - Uoc)
gS(r-tj) - gS(T-t2)
5
В основном решении предполагается, что магистраль существует. Поэтому момент времени і1 определяется из условий: к(0)=к0, кОі)=кос, а момент времени ї2
- из условий: к(г2)=кос, к(Т)=кт.
Возможно также вырожденное решение, когда магистраль не существует. В этом случае оптимальное управление имеет вид
= (», при О <, < Н,
[и2 при г3 < ї < Т,
где і3 - момент переключения управления, и1 и и2 принимают значения 0 или 1 в зависимости от начального и конечного условий.
Дальнейшее решение зависит от значений магистрали кос и горизонта кТ
3. Магистраль приходит выше горизонта (кТ < кос)
Если магистраль существует, то в (8) и2 = 0, длительность интервала времени [?2, Т] равна
(и \
> 0
Т3 =- ln
ко.
V кТ У
J2[t2 ,Т ] = G (кос; t2 ,Т).
и
Кроме того, на этом интервале к(^ = п2(г), т.е. кривая п2(0 является линией переключения.
Длина интервала [0, зависит от начального условия и равна
Ч ~ Т1 _ Т1 (ко)_
—
ИР’
(
1п
А -цкв
А -ИОС
—1п І І0.
И I кОС
пРи к0 < кос >
пРи ко > кос ■
(11)
».=».<‘о)={0при к" <к- и *
1 14 "' (0 при к" >.
(12)
Кроме того,
0 при ко < кос >
^(ко;0,Т) при к0 > кос•
Типичные решения приведены на рис. 1, а. Кривые 1 и 2 соответствуют решению с магистралью.
Необходимым условием существования магистрали является неравенство
71(ко) + Тз < Т. (13)
Если Т0+Т3 < Т, то магистраль существует для всех к0 из интервала [0, ^2]. Поскольку значение Т3 фиксировано, то равенство г1=г2 или равенство Т1(к0) = Т-Т3 позволяет получить интервал значений к0, для которых управление содержит магистраль. Этот интервал соответствует неравенству
Х1(Т-Тз) <ко < N2,
где
Х «)=-+( Є --1 е»
И V И)
(см. кривую 3 на рис. 1, а). Для значений к0, которые не попадают в этот интервал, т.е. удовлетворяют неравенству
N1 < ко < Х1(Т-Тз),
имеет место вырожденное решение. При этом в (10) и1=1, и2=0. Момент переключения г3 определяется из условия Щ3) = п2(г3) и равен
'3 = ^(■+ 7(^ -Ч>)г °
Рис. 1. Решение терминальной задачи: а - кт < кос ; б - кт > к0(
При этом
кв (*з) =-
N1
(см. кривую 4 на рис. 1, а). Кроме того, /1[0,г3]=0, ЛЬ,Т]=0(к(^); Ь,Т). Области значений к(0) и Т, для которых справедливы разные варианты управления, представлены на рис. 2, а. Видно, что магистраль существует только для Т>Т3.
Рис. 2. Области значений к0 и Т для вариантов решения терминальной задачи: а - кт < кос; б - кт > кос
4. Магистраль приходит ниже горизонта (к0С<кТ)
Если магистраль существует, то в (8) и2=1, длительность интервала времени [?2, Т равна
Т3 = —1п
3 Ив
мА -Ик0С
мА -
Л
> 0.
ч ^ у
/2[г2,7] = 0 и на этом интервале к(?) = щ((), т.е. кривая щ(^ является линией переключения.
Решения на интервале [0, ^] совпадают с приведенными выше. Типичные решения приведены на рис. 1, б. Кривые 1 и 2 соответствуют решению с магистралью.
Необходимым условием существования магистрали является неравенство (13). Поскольку значение Т3 фиксировано, то равенство Т^ко) = Т- Т3 позволяет получить интервал значений к0, для которых управление содержит магистраль. Этот интервал соответствует неравенству
М<ко< Х2(Т-Тз),
где Х2(г) = кже^‘ (см. кривую 3 на рис. 1, б). Для значений к0, которые не попадают в этот интервал, т.е. удовлетворяют неравенству
Х2(Т-Тз) < ко < N2,
имеет место вырожденное решение. При этом в (10) щ = 0, и2 = 1. Момент переключения г3 определяется из условия к(ь) = щ^) и равен
1 ln(і + И(kf - Nf))> 0.
Ив
к в
При этом к в (t3) =------------—
^і[0,/з]=С(к0; 0,г3), /2[^з,Т]=0 (см. кривую 4 на рис. 1, б). Области значений к(0) и Т, для которых справедливы разные варианты управления, представлены на рис. 2, б. Видно, что магистраль существует только для Т > Т3.
Заключение
Получено аналитическое решение терминальной задачи оптимального управления односекторной экономикой на конечном интервале времени, связанной с максимизацией непроизводственного потребления и выходом на заданный уровень фондовооружённости. Можно отметить, что в отличии от общей задачи [2] решение терминальной задачи от коэффициента дисконтирования зависит только величина магистрали.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984. 293 с.
2. Параев Ю.И., Грекова Т.И., Данилюк Е.Ю. Аналитическое решение задачи оптимального управления односекторной экономикой на конечном интервале времени // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2011. №4(17). С. 5-15
Параев Юрий Иванович
Грекова Татьяна Ивановна
Рощин Андрей Вадимович
Томский государственный университет
E-mail: [email protected]; [email protected];
[email protected] Поступила в редакцию 16 января 2012 г.
Paraev Jury I., Grekova Tatiana I., Roshchin Andrey V. (Tomsk State University). The decision of the terminal problem of a one-sector optimal management of the economy.
Keywords: Cobb-Douglas’ production function, investment, non-productive consumption, optimal management, highway, horizont.
The analytical decision of a terminal problem of a one-sector optimal management of the economy on a final interval of time, connected with maximization of non-productive consumption and an achievement of the preassigned level of investment is obtained. There are found necessary conditions of existing of optimal management as well as condition when this management includes a highway.
