Оптимальное управление налоговыми отчислениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

2008

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Управление, вычислительная техника и информатика

№ 1(2)

УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

УДК 62-50

Г.М. Гайнутдинова, Т.И. Грекова ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ НАЛОГОВЫМИ ОТЧИСЛЕНИЯМИ

Решена задача оптимального управления налоговыми отчислениями при ограниченном времени управления для случая односекторной экономики с однородным продуктом. Рассматривается две среды: внутренняя - производственная сфера (предприятие) и внешняя - непроизводственная сфера (государство), существующая за счёт налоговых отчислений из производственной сферы. Использована неоклассическая модель экономического роста, которая описывает рост в агрегированной замкнутой экономике.

Ключевые слова: налоговые отчисления, оптимальное управление, принцип максимума Понтрягина.

1. Постановка задачи

Задача оптимального управления рассматривается на конечном интервале времени [0,7]. Произведённый продукт У(г) может использоваться и как потребительский для удовлетворения потребностей населения, и как фондообразующий для создания новых производственных мощностей. В процессе производства используются два фактора: труд Щ) и капитал К(г).

Пусть С(г) - непроизводственное потребление в производственной сфере в момент времени г, а 1(г) - капиталовложения в момент времени г. В качестве внешнего управления рассмотрим функцию у(г) - налоговую ставку на прибыль производственной сферы, которая удовлетворяет ограничениям

^пт < V(г) < Утах , (1)

где ут1П - минимальная налоговая ставка: 0 < Vт;п < 1, утах - максимальная налоговая ставка: 0 < утах < 1.

Будем учитывать, что в некоторый промежуток времени возможны так называемые «налоговые каникулы», когда с прибыли предприятия ничего не изымается: ^(г) ^тш. °.

Пусть ^(г) - темп налоговых отчислений. Согласно тождественному равенству доходов и расходов,

7(г) = у7(г) + 1(г) + с(г) + Щ), (2)

где у - постоянный коэффициент производственных затрат (или норма материалоёмкости), 0 < у <1.

Скорость роста основных фондов определяется уравнением

К ) = I () -и К (I), (3)

где р - норма амортизации (р > 0).

Частью дохода, облагаемую налогом, назовём величину

D(t) = Y(t) - YF(t) =(1 - Y)F(t). (4)

Тогда налоговые отчисления будут иметь вид

N(t) = v(t)D(t) = v(t)(1 - Y) Y(t) (5)

а величина

n(t) = D(t) - N(t) = (1 - v(t))(1 - Y)F(t) (6)

представляет собой средства, оставшиеся в распоряжении производственной сферы после налоговых отчислений. Тогда

n(t) = I(t) + C(t) = (1 - v(t))(1 - Y)F(t). (7)

Таким образом, имеем следующие соотношения:

I(t) = s(1-v(t))(1- Y)Y(t); (8)

C(t) = (1- s)(1 - v(t))(1 - Y)Y(t); (9)

K' (t) = s(1 - v(t ))(1 - Y )Y (t) - pK (t), (10)

где s(t) - норма накопления, 0 < s < 1.

Производственные возможности совокупности производителей описываются производственной функцией [1], которая представляется в виде

Y(t) = F(K(t), L(t)). (11)

С использованием выражения (11) уравнение (10) примет вид

К' (t) = s(1 - v(t))(1 - у)F(К(t), L(t)) -цК(t). (12)

Траектория экономического роста определяется начальным условием K(0) = K0, где K0 - начальный капитал. Из этой «точки» экономика «стартует», и условием экономического горизонта: K(T) = KT, где KT > 0 - минимально допустимая величина основных фондов для обеспечения возможности потребления за пределами горизонта планирования.

Уравнение баланса (2) для удельных величин

K(t) .. C(t) ... I(t) .. N(t) . . Y(t)

k(t) = —^ , c(t) = , i(t) = ^, n(t) = —, y(t) = ^- = f (k),

L(t) L(t) L(t) L(t) L(t)

можно переписать:

J(t) = YJ(t) + i(t) + c(t) + n(t). (13)

Предполагая, что численность рабочей силы L(t) в момент времени t пропор-

циональна её начальному значению L0 и рост L(t) происходит по экспоненциальному закону с темпом m (m > 0), L(t) = L0 emt, можно скорость изменения величины капиталовооружённости рабочего k(t) записать следующим образом:

k'(t) = s(1 - v(t ))(1 - Y )f (k (t)) - Xk (t), (14)

где X = p + m, X = const > 0.

Начальное состояние экономики задаётся значением капиталовооружённости рабочего в момент времени t = 0:

k(0) = ko, ko > 0, (15)

а условие экономического горизонта задаётся равенством

k(T) = kT, kT > 0. (16)

Управление экономикой заключается в выборе налоговой ставки v(t) с целью обеспечения максимальной суммы удельных налоговых отчислений:

3 = I п(1 )еы Ж = I v(t )(1 - у) / (к (Ж, (17)

0 0

где 8 - постоянная норма дисконтирования при следующих ограничениях: к \г) = Я(1 -V (/ ))(1 -у) / (к (*)) -Хк (/),

к(0) = ко, ко > 0, к(7) = кт, кт > 0, vmin < v(t) < vmax , г е [0,Т].

2. Алгоритм оптимального управления

В результате решения поставленной задачи с применением принципа максимума Понтрягина [2] получено релейное трёхуровневое оптимальное управление

Vтах > еСЛИ Ч(1) < 1

V(t) = < Vmin > еСЛИ Ч({) > 1 (18)

.Vmin <^) <Vтах > еСЛИ ) = 1

при ограничениях

к'(/) = Я(1 -V(/))(1 -у)/(к(I))-%к(I) , д'(г) = (Х + 5)д(г) - (™(г)(1 - у) + д(г >(1 - v(г))(1 - у))/'(к(г)),

к(0) = ко, ко > 0, к(Г) = кт, кт > 0, д(Г) (к(7) - кт) = 0, д(Т) > 0, (19)

где использовано обозначение д(г) = у(г)е&, у(г) - сопряжённая переменная функции Гамильтона.

3. Анализ решения

Анализ системы дифференциальных уравнений (19) облегчается тем, что она автономна, в правые части уравнений не входит в явном виде время г.

Найдём участки знакопостоянства производных д'(г) и к '(г). Пусть д(г) > 1, тогда в силу (18) у(г) = Уть= 0,

д'(*) = (X + 5)д(*) - (^тш (1 - у) + дЦ>(1 - Утш )(1 - у))/'(к(*)). (20)

Если д () > 0 , то

д(г) >______^(1 -У)/>(к(г))____________________,

8 + Х-^(1 -vmin )(1 -у)/' (к (г))

д'()< 0 соответствует

д(г) <______^п(1 -У) / ч к (г))________________,

5 + Х- Я(1 -V min )(1 -у) / ’ (к (г))

д ' () = 0 соответствует

,(,) =------(1 -Т>■1'(к('»---------- . (21)

ч' ’ 5 + 1-.(1 -V„)(1 -у)1(к())

Введем обозначение:

ф1(к (,)) =--------(1 -< >■1'(к (1>>---------------------------------. (22)

5 + 1-»(1 -утЬ>(1 -у>/'(к(I>> ' ’

Исследуем поведение функции 9j(k(t)). Поскольку по неоклассическим условиям f'(k(t)) > 0 , то чтобы 9i(k(t)) была положительной, необходимо выполнение условия

f ' (k(t)) <----------------------------------------------—-. (23)

s(1 -vmin )(1 -y) ( )

В силу неоклассического условия f ''(k) < 0 и условия (23), ф[ (k(t)) < 0 , то

есть 9i(k(t)) является убывающей функцией.

При q(t) = 9i(k(t)) = 1 (22) принимает вид

f' (k (t)) = . (24)

s(1 -Y)

В силу неоклассических условий f '(к) является монотонно убывающей функцией. Поэтому уравнение (24) | ^ + ^ = const | имеет единственное реше-

I -К1 -у) )

ние k* > 0. Таким образом, график функции 91(k(t)) проходит через точку (k*,1). Тогда для q(t) >1 получаем соотношения:

q'(t) > 0 , если q(t) > 91(k(t));

q'(t) < 0 , если q(t) < 91(k(t));

q '(t) = 0 , если q(t) = 91(k(t)). (25)

Рассмотрим уравнение для k(t) системы (19). Поскольку v(t) = vmin , то

Л

если к'(t) > 0 , то /(к(t)) > —-------------—-- к(t);

s(1 -Vmin )(1 -Y)

если k'(t) < 0 , то f (k(t)) < —------------—-- k(t);

s(1 -vmin)(1 -Y)

если k '(t) = 0, то f (k(t)) = —------------—-- k(t).

s(1 -Vmin )(1 -Y)

В силу неоклассических условий f(k(t)) является монотонно возрастающей функцией. Поэтому уравнение

/ (k (t)) = ~ъ----------Чг—Т k (t)

s(1 -Vmin )(1 -Y)

имеет единственный положительный корень k1. Тогда для q(t) >1 получим следующее:

к'(t) > 0, если k < k1; к'(t) < 0 , если k > k1;

к'(t) = 0 , если k = k1. (26)

X

Величина k* < k1, так как f (k*) >---------------------k * .

^ ' s(1 -vmin )(1 -Y)

Рассмотрим случай q(t) <1. В силу (18), v(t) = vmax. Следовательно,

q'(t) = (X + 5)q(t) - (svmax (1 -Y) + q(t)s(1 - V^* )(1 - y)) f' (k(t)). (27)

s vmax (1 -y) f'( k (t)) ,

q(t) >---------ma^------ ------, если q '(t) > 0 ,

8 + X- s(1 -Vmax )(1 -Y )f' (k (t))

q(t) <---------s Vmax (1 -Y) f (k(t))----- если q'(t) < 0 ,

8 + X- s(1 -Vmax )(1 -Y)f' (k(t))

q(t) =---------s Vmax (1 -y)f (k(t))------ если q'(t) = 0. (28)

8 + X- s(1 -Vmax )(1 -Y)f'(k(t))

, /7/ЧЧ s vmax (1 -y) f’(k (г))

Функция Ф2 (k (t)) =- max

8 + Х-^(1 -утах )(1 -у)/'(к (/))

является неотрицательной функцией при выполнении условия

^ 8 + Х

f (к 0)) <—----------------

•К1 — Vmax )(1 -Y)

и монотонно убывающей. График её проходит через точку (к*,1).

Таким образом, для д(г) <1 получаем следующие соотношения: д' (г) > 0 , если д(г) > ф2(к(г)); д' (г) < 0 , если д(г) < ф2(к(г)); д' (г) = 0 , если д(г) = ф2(к(г));

Л

если к '(г) > 0, то /' (к (г)) > —----——- к (г),

•(1 — Vmax )(1 -Y)

Л

если к '(г) < 0, то f (к (г)) < —-----——-к (г),

•(1 — Vmax )(1 -Y)

Л

если к '(г) = 0 , то /'(к(г)) = —-----—----- к(г) ,

•(1 — Vmax )(1 ^

Л

Уравнение f (к (г)) =-к (г) имеет единственный положительный

•К1 -^мх)(1 -Y)

корень к2.

Итак, для д(г) <1 получено следующее:

к' (г) > 0, если к < к2;

к' (г) < 0 , если к > к2;

к '(г) = 0 , если к = к2. (29)

Величина к* > к2, так как

-

/(к*) <--------- ---------к *.

^ ' ,(1 -утах )(1 -у)

Таким образом к2 < к*< к1.

Можно изобразить положения областей знакопостоянства производных q'(t) и k '(t) на плоскости {к > 0, q > 0} .

Ч

▲ \Го1 к’ > О4 q'< 0 ^ "Я. \р о І-Ч v Я о

Го2 / і к' < 0

* к'<о! iv ^ і і і ►

0 к2 к* кх к

Рис. 1

Кривая, отделяющая области I и II, задаётся уравнением

{t) = SVmin (1 — Y) f'(k (t))

qy ) b + \-s(1 -Vmin )(1 -Y)f '(k(t)) ,

а кривая, отделяющая области III и IV, задаётся уравнением

,t) = SVmax (1 -У) f Xk (t))

ЧК) Ъ + Х- s(1 -v max )(1 -Y )f Xk (t)) ‘

Теперь нетрудно изобразить фазовые траектории решений рассматриваемой системы (19) в зависимости от начальных условий k(0) = k0 и q(0) = q0.

Из общих теорем о существовании и единственности решения системы дифференциальных уравнений вытекает, что через заданную точку (k0,q0) проходит единственная кривая (k(t),q(t)), являющаяся решением системы.

Имеются всего две траектории, «входящие» в точку (k*,1), обозначенные Го, и две траектории, «выходящие» из неё, обозначенные Гт, условно изображенные на рис. 1.

Точка (k*,1) является особой, или узловой, точкой, поскольку она является общим корнем уравнений к' = 0 , q ' = 0 . Это точка равновесия, соответствующая сбалансированному росту экономики. В точке (k*,1) налоговая ставка принимает оптимальное значение v*, которое определяется из следующей системы уравнений:

s(1 — v(t))(1 -Y)f (k(t))-Xk(t) = 0 ,

(X + S)q(t) — (sv(t )(1 — Y) + q(t )s(1 — v(t ))(1 — Y ))f' (k (t)) = 0. (30)

Второе уравнение системы (30) при q(t) = 1 преобразуется в (24) и имеет решение k(t) = k*. Подставив результат в первое уравнение системы (30) и разрешив его относительно v(t), окончательно будем иметь

X к *

v* = 1---7л--, Vmin< v* < Vmax. (1)

s(1 -Y) f (к *)

Состояние, когда экономика находится в точке (k*,1), является режимом стационарного состояния.

4. Анализ движения по фазовым траекториям

Вычислим время движения из начальной точки (к0,#0) в точку (к*,1) и время движения из точки (к*,1) в конечную точку (кт,дт).

Согласно предыдущим рассуждениям, время движения из начальной точки (к0,д0) в точку (к*,1) - это время движения по траектории, «входящей» в точку (к*,1), то есть по траектории Го1 или Г о2.

Если начальное условие задано так, что фазовой траекторией является траектория типа Го1, то налоговая ставка у(г) = у^, и уравнение для фондовооружённости представится в виде

к'«) = Я(1 -V тш )(1 -у)/(к ($)) -Хк (/).

Время движения по траектории Го1 вычисляется по формуле

к* (Лк

ТГо1 =|-----------—--------------------------------------. (32)

4 *(1 -ут;п)(1 -у)/(к)-Хк ( )

Если начальное условие задано так, что фазовой траекторией является траектория типа Го2, то налоговая ставка у(?) = ушах и время движения по траектории Го2

к* (Лк

ТГо2 =|-------------—------------. (33)

4 *(1 -Утах)(1 -у)/(к)-Хк ( )

Время движения из точки (к*,1) в конечную точку (кт,дт) - это время движения по траектории, «выходящей» из точки (к*,1), то есть по траектории Гт1 или Гт2.

Когда рассматривается траектория Гт1, у(г) = уш;п. Время движения по траектории Гт1

кт (!к

Тгт1 =1--------------------------------------------------—-. (34)

Гт1 к* ^(1 -ут;п)(1 -у)/(к)-Хк У '

Когда рассматривается траектория Гт2, у(г) = ушах. Время движения по траектории Гт2 вычисляется по формуле

кт 1^к

Тгт 2 =1------------—------------. (35)

Гт2 к* 5(1 -Утах)(1 -У)/(к) -Хк ' '

Таким образом, весь промежуток времени управления экономикой [0,7] разбивается на три интервала.

Интервал [0,7*] - время движения по траектории типа Го1 или Го2, в зависимости от того, в какой области, I или III, заданы начальные условия.

Интервал [7*,7**] - время пребывания экономической системы в точке (к*,1) при у(?) = V*, где у* определяется по формуле (31). Интервал [7**,7] - время движения по траектории типа Гт1 или Гт2, в зависимости от того, в какой области, II или IV, заданы конечные условия.

Значение 7* вычисляется по формулам (32) или (33). Значение 7** вычисляется по формуле

7** = Г - 7Гт , (36)

где 7Гт вычисляется либо по (34), либо по (35).

5. Синтез оптимального управления

Целью управления налоговой ставкой является перевод траектории к(?) из начального положения к0 в конечное кт за время Г. Обобщая предыдущие результаты, сущность алгоритма управления можно сформулировать следующим образом: начальное положение к0 за время 7* переводится в положение к*, где к* определяется как единственное решение уравнения

,,,,,, „ 8 + Х

/ '(к(I)) = —-- .

5(1 — у)

При этом на всём промежутке времени [0,7*] налоговая ставка у(г) = ушах, если к0 > к*, и у(г) = уш;п, если к0 < к*. В момент времени 7* налоговая ставка полагается равной у*, значение которой определяется по формуле (31). На протяжении всего промежутка времени [7*,7**] у(?) = у* и к(?) = к*. В момент времени 7** и на протяжении всего промежутка времени [7**,7] у(?) = ушах, если кт < к* и у(0 = у^л, если кт > к*. За время 7 - 7** значение фондовооруженности от оптимального значения к* переходит в конечное кт.

Итак, алгоритм оптимального управления односекторной экономикой на конечном интервале [0,7] осуществляется в четыре этапа:

1) весь интервал времени [0,7] разбивается на три интервала:

[0,7] = [0,7*] + [7*,7**] + [7**,7];

2) оптимальное управление налоговой ставкой у(г) является кусочнопостоянной функцией с тремя возможными значениями {ушт, ушах, у*}, где у* определяется формулой (31), причём уш;п,< у* < ушах, , а к* является единственным решением дифференциального уравнения

„ 8 + Х

/'(к(1)) = ^---7 ;

5(1 -у)

3) на интервале времени [7*,7**] у(г) = у* и фондовооружённость сохраняет постоянное значение к*.

На интервале времени [0,7*] могут быть две ситуации:

а) у(?) = у^; если к0 < к*, то фондовооружённость к(г) возрастает от к0 до к*;

б) у(?) = ушах; если к0 > к*, то фондовооружённость к(г) убывает от к0 до к*.

На интервале времени [7**,7] также могут возникнуть две ситуации:

а) у(?) = у^; если кт > к*, то фондовооружённость к(г) возрастает от к* до кт;

б) у(?) = ушах; если кт < к*, то фондовооружённость к(г) убывает от к* до кт;

4) значения 7* и 7** определяются приведёнными выше формулами в зависимости от начального и конечного состояния экономики.

ЛИТЕРАТУРА

1. Терехов А.Л. Производственные функции. М.: Наука, 1974.

2. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая

теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1961.

Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 1 октября 2007 г.