Оптимальное управление односекторной экономикой при наличии внешних инвестиций. Модель Рамсея Текст научной статьи по специальности «Математика»

№ 280

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Декабрь

2003

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

УДК 517.977

С.А. Вековцева, Н.С. Дёмин

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНОСЕКТОРНОЙ ЭКОНОМИКОЙ ПРИ НАЛИЧИИ ВНЕШНИХ ИНВЕСТИЦИЙ. МОДЕЛЬ РАМСЕЯ

Проводится исследование задачи оптимального управления односекторной экономикой на конечном интервале времени при наличии внешних инвестиций, когда управлением является норма накопления, а максимизируемым функционалом -интегральное потребление с дисконтированием (модель Рамсея).

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть

1) k = K/L, c = C/L, y = Y/L, g = G/L -удельные относительно трудовых ресурсов L основные фонды (фондовооружённость), потребление, произведённый продукт и скорость поступления внешних инвестиций;

2) ^ > 0 - коэффициент амортизации основных фондов, 5 > 0 - коэффициент дисконтирования, X - коэффициент экспоненциального изменения трудовых ресурсов и скорости поступления внешних инвестиций;

3) f(k) = F(K,L)/L = F(k,1), где F(K,L) - линейно-однородная производственная функция, удовлетворяющая неоклассическим условиям;

4) s - норма накопления.

Тогда задача максимизации удельного интегрального потребления на конечном интервале времени [0,7] аналогично [2] является задачей оптимального управления [4] следующего вида:

т

J =i [1 - s(t)]f (k(t)) exp{-5t}dt ^ max ; (1.1)

0 {0<s(t)<1}

fc(t) = s(t) f (k(t)) -pk(t) + g , p = p + X ; (1.2)

k(0) = k0 > 0, k(7) > k7> 0. (1.3)

При доказательствах утверждений существенным образом используется неоклассическое условие, которые относительно f(k) имеют вид [1]

f (k) > 0, k > 0; f (0) = 0, f (œ) = œ, f ' (k) > 0, f ' ' (k) < 0,

lim f ' (k) = œ , üm f ' (k) = 0 . (1.4)

k ^0 k Tœ

2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Соотношения принципа максимума Понтрягина для задачи (1.1) - (1.3) имеют вид [4]

H [k (t ), s, y (t )] = y [ sf (k ) -pk + g ] +

+Vü(1 - s) f (k)e~5i ; (2.1)

s(t) = Arg max H [k (t), s, y(t)]; (2.2)

0<s (t )<1

y = --dk- = -y[sf ' (k) -p] -yo(1 - s)e-tf ' (k) ; (2.3)

y(T) > 0, y(T)[k(T) - kT ] = 0; (2.4)

W) = [yo; y(t)] * [0;0], t e [0, T], (2.5)

где y0 ={0;1}, т.е. константа y0 равна либо нулю, либо

единице.

Лемма 1. Если s(t) - оптимальное управление, то

1% если q(t) > 1, s(t) = <! 0, если q(t) < 1, (2.6)

[[0;1], если q(t) = 1.

При этом переменная состояния k(t) и сопряжённая переменная q(t)=esty(t) на интервале t e [0, T] подчиняются двухточечной краевой задаче

k = sf (k)-pk + g , (2.7)

q = (S + p )q -(1 -s + sq) f ’(k), (2.8)

k(0) = k0 > 0 , k(T) > kT > 0, (2.9)

q(T) > 0, q(T)[k(T) - kT ] = 0, (2.10)

причём исключается ситуация, когда s(t)= 1 на всём интервале t e [0, T].

Доказательство. Последнее утверждение леммы вытекает из того, что при s(t)=1 на всём интервале t e [0, T] критерий оптимальности J=0, и задача теряет смысл. Значение y0=0 отвергается, так как непосредственный анализ показывает, что при этом либо нарушаются условия (2.4), (2.5), либо s(t)=1, t e [0, T]. Тогда все соотношения леммы следуют из (1.2), (1.3), (2.2) - (2.5) с учётом того, что y0=1 и q(t)=esty(t).

Дальнейшее решение задачи связано с анализом свойств траекторий k(t) и q(t). Выделим на плоскости

{k, q} области знакопостоянства k и q. Результат сформулируем в виде леммы.

Лемма 2. 1) Пусть pk > g . Тогда, если q>1, чему

соответствует s(t)=1, то области знакопостоянства k и q имеют вид

k > 0, 0 < k < k ; q < 0, 0 < k < k*;

k = 0, k = k ; q = 0, k = k*;

k < 0, k > k ; q > 0, k > k*. (2.11)

При этом к < к и являются единственными корнями соответственно уравнений

к *: / ’(к) = 5 +Д; (2.12)

к : /(к) = Дк - Я . (2.13)

2) Если д<1, чему соответствует 5(^=0, то облас-

ти знакопостоянства к и д имеют вид

к < 0, Дк > § ; д < 0, д < д*(к);

к = 0, Дк = § ; д = 0, д = д*(к);

к > 0, Дк < § ; д > 0, д > д*(к). (2.14)

*

При этом кривая д определяется соотношением

д\к) = / '(к )/(5 + Д) (2.15)

и является монотонно убывающей функцией для к>к*, причём д(к*)=1.

3) Если Дк < § , то при д>1 имеет место свойство

к > 0, т.е. постоянный рост фондовооружённости к(/).

Доказательство. Пусть д>1. Тогда свойства (2.11) следуют, с учётом того, что 5=1, из (2.7), (2.8). Единственность решений уравнений (2.12), (2.13) и утверждение три леммы следуют из неоклассических условий (1.4). Так как /(к) - монотонно убывающая функция (см. (1.4)) и, согласно доказанному, /’(к) >5 + Д при 0<к< к*, то

к * к *

/(к*) = |/'(к)ёк > | (5 + Д)й?к =

= (5 + Д)к > Дк > Дк - §.

(2.16)

Лемма 4. При условии Д к > § особая точка X* = (к*;1) является стационарным решением системы (2.7), (2.8). Соответствующее значение 5=5 определяется эквивалентными формулами

Дк * - § .

/ (к )

= к * / '(к *)-5к* +

(2.18)

(2.19)

Так как /"(к)<0 (см. (1.4)), т.е. /(к) - выпуклая вверх функция, и, согласно доказанному, / (к) >Дк - §

при 0 < к < к , то свойство к * < к следует из (2.16).

Пусть д<1. Тогда свойства (2.14) следуют, с учётом того, что 5=0, из (2.7), (2.8). Монотонное убывание д (к) следует из (1.4), а свойство д(к) = 1 - из

(2.12).

Лемма 3. Сопряжённая переменная д(Г) является неотрицательной на всём интервале t е [0, Т].

Доказательство. Доказательство построим на том, что предположение д(0<0 будет противоречить одному из условий трансверсальности, а именно: условию д(Т)>0 (см. (2.10)). Поскольку, согласно (2.6), 5=0 при д<0, то д(() подчиняется дифференциальному уравнению д = (5 + Д)д - /'(к), общее решение которого имеет вид д(Г) = [/'(к)/(5 + Д)] + Бехр{(5 + Д)0, где Б - константа интегрирования. Отсюда следует, что д(0 может быть отрицательной лишь при Б < 0, когда

д^) = [ / '(к )/(5 +Д)] - |Б| ехр{(5 + Д)0. (2.17)

Согласно (2.17) и учитывая предположение д<0, функция д(0 является монотонно убывающей, оставаясь при этом отрицательной, что противоречит первому условию трансверсальности (2.10). Данное противоречие и доказывает теорему.

Определение. Точку X =(к ;1) фазовой плоскости (к;д) назовём особой.

/(к) /(Г)

причём 0< 5 <1.

Доказательство. Условием существования стационарного решения системы (2.7), (2.8) является условие к = 0, д = 0. Вместе с (2.7), (2.8) это условие

даёт нам соотношения 5/(к) - Дк +§ = 0, (5+ Д )д - (1 -

- 5 + 5д) /"к) = 0, которые в точке X принимают вид 5* / (к *) -Дк * + § = 0; (2.20)

(5 + Д) - / '(к *) = 0. (2.21)

Согласно (2.12), соотношение (2.21) является тождеством. Тогда (2.18) следует из (2.20), а (2.19) - из

(2.12), (2.18). Свойство 5 >0 очевидно, а свойство 5 <1 следует из (2.16), (2.18).

Замечание 1. Особая точка характеризуется тем, что если траектория {Щ);д(()} в момент времени = попадает в неё и если в этот момент управлению 5 присвоить значение 5 , т.е. положить 5^ )=5 , то она не выйдет из X. Состояние {5 ;к } может быть определено как стационарное состояние экономики, и достигается оно, согласно лемме 4, только если Дк * >§, т.е. если темп амортизации основных фондов при к=к* превышает темп внешних инвестиций.

Проведённое исследование позволяет полностью определить структуру оптимального управления.

Теорема 1. Если Дк >§, то

1, если д($) > 1,

5^) = - 0, если д^) < 1, (2.22)

0 < 8* < 1, если д^) = 1, причём 5 = 5 только когда к = к .

3. АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ

На рисунке на плоскости {0<к<к; д>0} в соответствии с доказанными результатами изображены четыре области с номерами I, II, III, IV и типовые траектории {кф;дф}. В соответствии с леммой 2 свойства

знакоопределённости к и д в указанных областях имеют следующий вид. Область I: к >0, д <0; область II: к >0, д >0; область III: к <0, д >0; область IV: к <0, д <0. При этом траектории, по которым можно попасть в особую точку X, обозначены Г (с управлением 5=1) и Г03 (с управлением 5=0), а по которым можно выйти из X - соответственно ГТ ( с управлением 5=1) и ГТ (с управлением 5=0). Остальные типы траекторий обозначены как х1, х2, х3, х4, х5, х6.

4. МАГИСТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

Введём следующие обозначения (к1 < к2; т1 < т2;

* ** t < t ):

к

Тх(кък2) = -ln

Т2 (к1, к2 ) _ J

Дк1 - g dh

кі f(к) -Цк + g

т2

J0(Ti, T2) = J f (к(t))e~5tdt;

* * ** f (к ) , _5t* -5t** 4

J (t , t ) = ——- (e - e 5t ) .

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

Замечание 2. Условие трансверсальности (2.10) с учётом (1.3) означает следующее: д(0>0, если к(Т)=кТ; д(0=0, если к(Т)>кТ. Поскольку для произвольно выбранного момента Т обеспечение условия д(Т)=0, означающего выход траектории {k(t);д(t)} в момент времени t=T на границу д=0, представляется маловероятным, то дальнейший анализ проводится при условии к(Т)=кТ.

Сформулируем алгоритм управления, когда соотношения между к0, кТ, к* на интервале к е (0, к) могут быть произвольными. Из рисунка следует, что в такой общей ситуации нельзя реализовать цель управления движением по траекториям х1 - х6, а возможно лишь движениями по траекториям Г01 , Г03 , ГТ2 , ГТ4 с попаданием в особую точку X (к ;1). Единственным условием является достаточно большое время функционирования экономики Т.

Алгоритм. 1) Заданному значению к0 подбирается такое значение д0, чтобы {к0;д0} е Г0 = Г и Г^ ;

2) если к0<к, то с управлением 5=1 точка {к(^;д(^} переводится по траектории Г10 на интервале t е [0/ ) в точку X (к ;1); 3) если к0>к , то с управлением 5=0 точка {к(^;д(^}переводится по траектории Г0 на интервале tе [0/ ) в точку X (к ;1); 4) в момент времени t, когда Щ ) =к , управлению присваивается значение 5=5, которое сохраняется в течение интервала t е ^ ^ ]; 5) если кТ<к , то с управлением 5=0 точка {Щ);д(Г)} переводится по траектории ГТ на интервале tе ^ ,Т] в точку XT, в которой к(Т) = кТ; 6) если кТ>к , то с управлением 5 = 1 точка {к(^; д(0} переводится по траектории ГТ на интервале tе ^ ,Т] в точку XT, в которой к(Т = кТ ; 7) выбор момента времени t осуществляется таким образом, чтобы время движения I по траекториям ГТ и ГТ удовлетворяло условию t + I = Т.

Поскольку подобные движения, согласно принятой терминологии, являются движениями по магистрали, то сформулируем окончательный результат по решению поставленной задачи в форме магистральной теоремы [1 - 3].

Теорема 2. При достаточно большом времени управления T решение задачи (1.1) - (1.3) имеет следующий вид:

1) Интервал [0,7] разбивается на три интервала

времени, т.е. [0,T] =[0,t*) u [t*,t**] u (t**,Tj.

2) Управление s(t) является кусочно-постоянным с тремя возможными значениями, а именно: s(t) e {0; s ;1}, где 0< s <1 и s определяется эквивалентными формулами (2.18), (2.19), а k является единственным корнем уравнения (2.12).

3) На внутреннем интервале времени te [t ,t ] всегда s(t)=s , k(t)= k, т.е. интервал [t ,t ] является интервалом стационарного состояния экономики.

4) На начальном интервале t e [0,t*) s(t) =1, если k0<k , s(t)=0, если k0>k , и происходит соответственно возрастание либо убывание k(t) от k0 до k.

5) На конечном интервале te (t ,T] s(t)=1, если kj>k , и s(t)=0, если kT<k , и происходит соответственно возрастание либо убывание k(t) от k до kT.

6) Значения t, t и критерия качества J определяются следующими формулами:

если k0<k , kT<k (магистраль I), то

t* = T2(k0,k*), t**= T- Ti(kT,k*);

J = (1 - s*)J*(t*,t**) + J0(t**,T);

если k0<k*, kT>k* (магистраль II), то t* = T2(k0,k*), t**= T- T2(k*, kT);

J = (1 - s*)J*(t*,t**);

если k0>k*, kT<k* (магистраль III), то t* = Ti(k*,k0), t**= T- Ti(kT,k*);

J = J0(0,t*) + (1 - sW,t**) + J°(t**,T);

если k0>k*, kj>k* (магистраль IV), то t* = Ti(k*,k0), t**= T- T2(k*, kT);

_r\ * * * * * *

J = J°(0,t) + (1 - s)J(t,t ).

(4.5)

(4.6)

(4.7)

(4.8)

(4.9)

(4.10)

(4.11)

(4.12)

Формулы для ґ, ґ получаются как время движения по траекториям Г^, Г0 , Г^, Г% в соответствии с (2.7), (4.1), (4.2) и алгоритмом управления. Формулы для 3 следуют из (1.1), (4.3), (4.4) в соответствии с алгоритмом управления. Остальные утверждения теоремы следуют из алгоритма управления и из доказанных результатов.

5. ЗОЛОТОЕ ПРАВИЛО НАКОПЛЕНИЯ

Так как в каждый момент времени у(ґ) = /(к(ґ)) = = і(ґ)+с(ґ) = 5(ґ)/(к(ґ)) + (1 - s(ґ))f(k(í)) (основное производственное соотношение), то і =5/(к ) есть удельное накопление на интервале стационарности, а /'(к )к -удельный доход с капитала. Из (2.19) следует

і* = /'(к*)к* - (8к* + я). (5.1)

Перейдём к исходным ненормированным переменным Р, К, Ь, О. Формула (5.1) перепишется в виде

I * = [дР (К *, Ь)/ дК *]К * - (8К * + О). (5.2)

Формуле (5.2) дадим интерпретацию в форме «золотого правила накопления» (ЗПН) [2, 3].

Теорема 3 (ЗПН). На интервале стационарности ґ є [ґ ,ґ ] накопление равняется доходу с капитала минус величина, равная 5К +О.

По теореме Эйлера [2]

Р = (дР/дК)К + (дР/дЬ)Ь , (5.3)

где (дР / дК) К = УК есть доход с капитала, а (дР / дЬ)Ь = Ус - доход с трудовых ресурсов.

Потребление на интервале стационарности С* = (1 - s*)F(K*,L). Тогда из (2.19), (5.2), (5.3) следует

С* =[дР(К*, Ь)/дЬ] Ь + (8К * + О), (5.4)

т.е. пришли к следующему результату.

Следствие. На интервале стационарности потребление равняется доходу с трудовых ресурсов плюс величина, равная 5К +О.

Замечание 3. Проведённый анализ интервала стационарности ґ є [ґ ,ґ] показал, что на нём внешние инвестиции О полностью идут на потребление.

6. СЛУЧАЙ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ КОББА - ДУГЛАСА

Пусть/(к)=Ака, где А>0, 0<а<1. Тогда имеет место теорема 2, в которой

, * і Аа |1-а к =

Д + 8, аД я | Аа V-! _

(6.1)

(6.2)

Т2 (к1, к2 ) = |

ёк

* * **

к, Ак -Дк+я

(- е8*);

з \г, ґ ) = (е-8ґ* - е-8ґ

(6.3)

(6.4)

з 0(0, ґ *) = АІ

0

з0(Г, т) = а | я-1 я - к і, и

- к0 І е~Д ґ

,Д (т-ґ)

е-ійґ. (6.6)

На интервале t е [0,t) в случае к0<к k(t) находится как решение дифференциального уравнения

к = Ака -дк + § (6.7)

с начальным условием к(0)=к0 либо с конечным условием Щ )=к .

Если к0>к , то 5(^=0 и k(t) находится как решение дифференциального уравнения к = -Дк + § с начальным к(0)=к0 либо конечным к^ )=к условиями. Отсюда следуют два эквивалентных решения

§ - к * 1 (í-‘*)

к(ґ) = ^--1 ¿--к0 |е~Дґ = ^--| ¿--к" | Д 1Д у1 Д 1Д

(6.8)

На конечном интервале t е (t ,Т] в случае кТ<к аналогичные вычисления дают

к ^) = § -Г § - кТ'] (Т-) = § -Г § - к * 1 (Г-). (6.9)

д и ) Д 1Д )

Замечание 4. Интеграл вида (6.3) можно вычислить при следующих значениях а: Д, %, %, Д, %. Например, при а = Д

Т2(к1, к2) = Д-1п Д

А(к1у2 -дк + я

А

А2 + 4Дя

1п

А(к2)/2 -дк2 + я А -2 д(к2)^2 -у/А2 + 4 дя

А - 2 Д(к2 )12 + ^/А2 + 4 Дя

- 1п

А - 2 Д (к1 У2 - у/а2 + 4 Дя

А - 2 Д (к1 )^ +< у/а2 + 4 Дя

а

+

ЛИТЕРАТУРА

1. Эрроу К. Применение теории управления к экономическому росту // Математическая экономика. М.: Мир, 1974. С. 7-45.

2. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984.

3. Интриллигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Прогресс, 1975.

4. Понтрягин Л.С. и др. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1978.

5. Дёмин Н.С., Кулешова Е.В., Решетникова Г.Н. Об эквивалентности решения задачи управления односекторной экономикой в моделях Солоу и Рамсея // Вестник ТГУ. 2002. Сентябрь. С. 150-153.

Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 10 мая 2003 г.