Решение технических задач с использованием принципа Даламбера Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

МАШИНОСТРОЕНИЕ И ТРАНСПОРТ

УДК 622.6

Э.Я. Живаго, Н.И. Михайленко

Сибирский государственный индустриальный университет

РЕШЕНИЕ ТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРИНЦИПА

ДАЛАМБЕРА

Принцип Даламбера сформулирован в 1743 г. и является одним из общих принципов механики. В литературе встречаются и другие названия: метод кинетостатики, петербургский принцип, а также принцип Германа - Эйлера - Даламбера.

Согласно этому принципу, если в любой момент времени к действующим на точку силам как активным, так и реакции связи присоединить силу инерции, то полученная система сил будет уравновешенной (эквивалентной нулю), то есть

Ф = Ф + Ф,

т п'

ШУ

Фп = тап = т

У_ р

(3)

где Ф = -та , Ф = та = т-; Ф = —та

Т т ' т Т I, ' и п

Ш

г2

п п'

здесь V - скорость точки; р - радиус кривизны траектории.

Если точка принадлежит телу, вращающемуся вокруг оси с угловой скоростью ю и угловым ускорением е (рис. 2), то

F + Я + Ф = 0,(Т,Я,Ф)~ 0,

(1)

Ф = та = тег; Ф = та , = тю2г.

т т ' п п7

(4)

где Е - активная сила; Я - реакция связи; Ф - сила инерции материальной точки, по модулю равная произведению массы т точки на модуль ее ускорения а и направленная противоположно этому ускорению:

Если точка совершает сложное движение, то ее абсолютное ускорение складывается из относительного, переносного ускорений и ускорения Кориолиса:

Ф = — та; Ф = та.

(2)

Следует отметить, что в формулировке принципа Даламбера говорится об уравновешенности системы сил, а не о равновесии (покое) материальной точки.

Так как ускорение точки складывается из касательной и нормальной составляющих (а = ат + аи ) то сила инерции тоже может быть

представлена двумя составляющими - касательной и нормальной (рис. 1):

а.

Ф <

п

Ф

Т

1 п

Рис. 1. Составляющие силы инерции и ускорения точки при ее движении по кривой

Соответствующие силы инерции составят

Ф = —та„, Ф =-та„, Ф =—та„

г" е е > с

Ф < п

а Фг

ап \ \

1 1 £ 1

Рис. 2. Составляющие силы инерции и ускорения точки, принадлежащей вращающемуся телу

аа = аг + ае + ас ■

Рассмотрим механическую систему, состоящую из п материальных точек, которые под действием внешних и внутренних сил движутся по отношению к инерциальной системе отсчета с ускорением ак . Применяя к каждой точке системы принцип Даламбера, получим

XМх(¥к)+XМх(Як)+XМ (Фк) = 0;

к=1 к=1 к=1 (8)

п __п __п _

ХМУ(Р.) + ХМУ(^) + ХМ (Фк) = 0; к=1 к=1 к=1

п __п __п _

ТМ; (К ) + ТМг (Як ) + X М2(Фк ) = 0.

к=1 к=1 к =1

Кк + Як + Фк = 0, к = 1,2,...п; К, Як 0, к = 1, 2,... п

(5)

и придем к результату, выражающему принцип Даламбера для системы: если в любой момент времени к каждой из точек системы кроме действующих на нее внешних и внутренних сил присоединить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной (эквивалентной нулю).

Математически принцип Даламбера для системы записывается п равенствами вида (5).

Значение принципа Даламбера состоит в том, что при непосредственном его применении к задачам динамики уравнения движения системы составляются в форме хорошо известных уравнений равновесия, что делает единым подход к решению задач и часто упрощает соответствующие расчеты.

Просуммировав все уравнения (5), получим одно:

п п п

X К + х Я +Т Фк = 0.

к=1 к =1 к =1

(6)

Умножим каждое из равенств (5) на радиус-вектор гк к-й точки и, просуммировав их, получим

X гкх К+X гкх Я+X гкх Фк =

к =1 к=1 к=1

п __п

(7)

XМо (кк) + Xмо (як) + XМо (Фк) = 0,

к=1 к=1 к=1

где М0 _ вектор момента силы относительно выбранного центра (точки О).

В проекциях на оси декартовой системы координат, начало которых совпадает с центром О, получим шесть уравнений равновесия пространственной произвольной системы сил:

Обозначим главные векторы активных сил

_ п ___ п _

О = X О реакций связей Я = X Я и сил

к=1 ' к=1 _ п _

инерции Ф = XФ главные моменты актив-к=1 ' _^ п _ _

ных сил М0 = XМ0(Юк), реакций связей

к =1

__п _ _

М0 = X Ма(Як) и сил инерции

к=1

Мф = пМо(Фк).

к =1

Если силы, действующие на точку, разложить на внешнюю 0к и внутреннюю 0[, то уравнение (5) примет вид

к + к+Фк=0

Согласно свойствам внутренних сил системы их главный вектор и главный момент относительно любого центра приведения равны нулю, и уравнения (6) и (7) можно переписать:

п __п__

]ГКке +]Г Фк = 0;

к=1 к=1

XМо (К ) +Xм0 (Фк ) = 0 , (9)

к=1 к=1

Полученные уравнения аналогичны (6) и (7), но в них не входят внутренние силы.

Понятие о силе инерции и принцип Далам-бера составляют основу метода кинетостатики, главной целью которого является применение методов статики к задачам динамики машин и механизмов. Чтобы пользоваться этим методом, нужно уметь вычислять главный вектор и главный момент сил инерции.

Главный вектор сил инерции механической системы, в частности твердого тела, равен произведению массы системы (тела) и направлен противоположно этому ускорению:

п п

^ ' Ккх + ^ ' ^^кх + ^ ' ^^ кх 0; к=1 к=1 к=1 п п п

^ ' ^ку + ^ ' ^^ку + ^ ' ^^ ку 0; к=1 к=1 к=1

п п п

^^ Ккг + ^^ "Якг + ^^ ^^к; 0;

к=1 к=1 к=1

Ф = -та

(10)

Главный момент сил инерции механической системы (твердого тела) относительно некоторого центра О или оси г равен взятой со знаком минус производной по времени от ки-

нетического момента системы (тела) относительно того же центра или той же оси:

лежащих в плоскости, перпендикулярной оси вращения, запишутся так:

М° =— ^ иМ° = — К . Л 2 Ш

(11)

Если движение точек механической системы рассматривать как сложное, т.е. гк = гс + рк, то

К0 = КС > + ^ X МУС,

МФ = J е — J ю2; МФ = J е + J ю2;

х х у! х '

(15)

3 - в случае плоскопараллельного движения система сил инерции будет представлена и главным вектором, и главным моментом сил инерции относительно оси, проходящей через центр масс:

где К^ рк х - главный момент ко-

личества движения системы в ее относительном движении по отношению к системе координат, движущейся поступательно вместе с центром масс.

В этом случае главный момент сил инерции относительно неподвижного центра приведения О запишется как

Ф = —та с, Мф е.

(16)

С учетом полученных выше соотношений для проекций главного вектора и главного момента сил инерции, а также выражений для проекций главного вектора и главного момента реакций связей уравнения принципа Далам-бера (8) принимают вид

М° = — ШКо 0 &

йкСг) м- -

—с--Мгс х ас

Ж

(12)

Силы инерции точек механической системы можно привести к центру масс, который может быть подвижной точкой. В этом случае главный момент сил инерции относительно центра масс будет представлен в виде

С &

(13)

(производная в выражении (13) полная, поскольку угловая скорость подвижной системы координат равна нулю).

В общем случае систему сил инерции можно привести к одной силе и к одной паре сил.

В частных случаях:

1 - при поступательном движении силы инерции твердого тела приводятся к равнодействующей Ф , линия действия которой проходит через центр масс тела;

2 - при вращении тела вокруг неподвижной оси главный момент сил инерции относительно оси вращения равен произведению осевого момента инерции на угловое ускорение.

Так как К2 = ш , то равенство (11) можно записать в виде

м Ф =-j Ш

2 2 л

или

Мф =—У е.

(14)

Главные моменты сил инерции (центробежные моменты инерции) относительно осей,

F + ХА + Хв + теус + тю2 хс = 0; Fy + УА + ¥в — техс + тю2 Ус = 0;

У, + 2А = 0;

м: + ТА1А — Ув!в + Jz е — Jyz ю2 = 0; М"у — ХА1А + Хв1в + Jyz е + ю2 = 0;

(17)

Му —Jе = 0.

Эти шесть уравнений полностью описывают характеристики вращающегося твердого тела. Особым из них является последнее уравнение - это дифференциальное уравнение вращательного движения. Первые пять уравнений служат для определения пяти величин реакций опор: ХА, УА, ХА, Хв и Ув.

Величины реакций, получаемые из уравнений (17), в общем случае зависят от характера вращения тела (кроме реакции 2А), т.е. от величины угловой скорости и углового ускорения. Такие реакции называются динамическими в отличие от статических реакций неподвижного тела.

Динамические реакции могут быть значительно больше статических (см. примеры 1 и 2).

Пример 1. Маховое колесо, насаженное посередине вала с небольшим перекосом

а = 1° рад| к поперечной оси, вращается с

постоянной угловой скоростью ю (п = 3000 об/мин). Определить добавочные динамические давления на подшипники вала, считая, что масса маховика т=100 кг, центр тяжести расположен на оси вращения вала, радиус маховика Я = 1 м, расстояние между подшипниками а = 1 м. Массу считать равномерно распределенной по ободу (рис. 3).

Воспользуемся уравнениями (17). Выберем оси координат Охуг как показано на рис. 3. Реакцию каждого из подшипников представим двумя составляющими ШАх, ШАу, ШВх, ШВу, и, учитывая, что маховое колесо вращается равномерно (е=0), а центр его находится на оси вращения вала (хС= уС=0), получим

^х + Швх = 0; Ыау + Шву = 0;

m

m

(Ма )+ mx N ) = ш2 N ) + my (м ) = -ш2

с учетом того, что

(а)

3 =— (3 - 3 )8т2а,

у^ 2 1 У1

где 3 3 — моменты инерции колеса отно-

У1 ' ;1

сительно указанных главных осей.

3 =mR2, то

;1

г-р гпЯ2

Т ак как т = ''

У1 2 ,

3 = mR 8^2а. * 4

Подставляя значения центробежных моментов инерции в формулы (с), получим окончательные выражения для динамических реакций подшипников

m.

•а, mIN) =

m

^ "'х \ ■ в/ ■ ву

а ч __ а

у(М)= Ма* •а, my(Мв)=-Мвх • а

2

2

получим

Мах + Мвх =0, МАу + МВу =0;

(Ь)

а к - мАу )=ю2 а (Мах - ^ )=-и23;.

Решим систему уравнений (Ь)

ю21 ю2 3

N.. =-М.. =-^^ N.. = -М„ =-(с)

а

Ву

Ау

а

Для вычисления центробежных моментов инерции Jxz и Jyz введем в рассмотрение главные оси инерции 0х1у1г1 (рис. 3).

По известным формулам геометрии масс имеем

3 =0;

ххг '

=0;

,, дг mRV . .

МВУ =-МАу = —-®т2а.

4а

Если значение угла а мало, то 8т2а = 2а, а

mR 2ю2а ТТ М., = -М.. « —:-= 86,2 кН.

Ау

2а

Полученные результаты показывают, что в данной задаче вследствие неуравновешенности система реакций эквивалентна одной паре, стремящейся повернуть колесо так, чтобы угол а стал равным нулю.

Динамические давления на подшипники равны по величине найденным реакциям и противоположны им по направлениям.

Пример 2. Маятник центробежного регулятора делает при установившемся движении 180 об/мин. Вследствие изменения нагрузки машины регулятор приведен в действие, и шары раздвигаются с относительной скоростью Уг = 0,2 м/с. Считая вес каждого шара равным 10 кг и пренебрегая весом ручек, вычислить дополнительное давление на подшипники С\ и

Вх

Рис. 3. Определение динамического давления на подшипники

Фг

Фе

Рис. 4. Определение дополнительного давления, вызываемого ускорением Кориолиса

С2, вызываемое ускорением Кориолиса. При этом считать угол, образуемый ручкой с осью регулятора, равным 45° и число оборотов не изменившимся; размеры подвески: I = 25 см, — = 2,5 см (рис. 4).

Освободим стержень ОА от связей, стержня ВС и подшипников С и С2, заменив их реакциями Явс,ХС1,2С1,Хс2,2С2■

Шар, который считаем точкой, совершает сложное движение, и его абсолютное ускорение складывается из относительного, переносного ускорений и ускорения Кориолиса, т.е. а = аг + ае + ас. Соответствующие силы

инерции будут такими: Фг = —таг, Фе = —тае,

Ф = —та .

с с

Учитывая, что угловая скорость переносного движения ю и относительная скорость шара V,

величины постоянные, аг = 0, ае = аП,

ас = 2(ш х У ).

При определении дополнительного давления силу Фе и силу тяжести Р не будем учитывать.

Сила инерции Кориолиса

2Р

Ф = — юУ ■ 8т45°

я г

направлена по перпендикуляру плоскости, в которой расположены векторы Ш и V .

Введем координатные оси Oz и Ох, расположив их в плоскости стержней ОА и ВС. Составляя уравнения равновесия, замечаем, что ни в одно из них силы Я и Ф не входят одновременно, а это значит, что сила Ф не оказывает влияния на реакцию Я .

Дополнительные давления на подшипники С и С2 от силы Ф найдем, предварительно

определив реакции Х , Х тырех уравнений равновесия

из че-

ЕХ = 0; ^ = 0;

к=1 к=1

п п

ЕМх = 0; ЕМкх = 0

к=1 к=1

которые в явном виде выглядят так:

Хс + Хс = 0;

с1 с2

^ + ^ = 0;

с1 с2

—Хг — + Хг — + Ф1 8т45° = 0;

с 2 С2 2

^ — — гг — + Ф1 яи45° = 0.

с' 2 С2 2

(е)

с

2

Первые два уравнения системы показывают, что дополнительные реакции образуют пару сил.

Из системы уравнений вытекает, что

X I = 7 I = X I = 7 I = Ф- 45°

I С1 I I С1 I I С21 I е2 | ^

ГС

и, следовательно, дополнительное давление

М = 1x1+7:2 = Ф -. (8)

Vе1 е а

Из уравнений (17) видно, что наличие вращения не будет влиять на значение реакций, если

mеyc + mю2хс =0; - msxc + mю2ус = 0; 3 е-3 ю2 = 0; 3 е + 3 ю2=0,

хг у уг хг

а точнее

хс =0; ус = 0;

=0; 3у; = 0.

(18) (19)

Из формул (1) и (g) вытекает, что дополнительные давления направлены вдоль стержня, поэтому эту задачу можно решить, сведя вопрос к изучению равновесия системы сил, расположенных в плоскости, содержащей стержень ОА и силу Ф.

Принимая во внимание соотношения (ё) и получим

Л, 2Р1 ЛГп М =-июэт 45°,

откуда после подстановки числовых значений определим

М= 2-10•025 .0,2.6я— = 533Н.

0,025 2

С развитием научно-технического прогресса скорости вращения деталей машин возросли до нескольких десятков, а в некоторых условиях до сотен тысяч оборотов в минуту. При таких скоростях даже незначительная неуравновешенная масса может привести к выходу из строя и аварии механизма или аппарата.

Балансировка (уравновешивание) вращающихся машинных частей (ротора турбины или электродвигателя, коленчатого вала, шкивов и других) является важной технической задачей. Для большинства роторов машин осью вращения является ось, проходящая через центры опорных поверхностей цапф изделия. Несовпадение этой оси с главной центральной осью инерции (что может быть результатом погрешностей технологии изготовления изделия либо его конструктивных особенностей) приводит к появлению нескомпенсированных центробежных сил и моментов, вызывающих быстрый износ подшипников, повышенные вибрации машины, изгибные колебания ее элементов и др.

Равенства (18) и (19) - это условия равенства динамических и статических реакций, или условия динамической уравновешенности вращающегося тела при его вращении вокруг оси z.

Для того чтобы динамические реакции не отличались от статических, должны выполняться следующие условия: 1) центр масс должен лежать на оси вращения; 2) ось вращения должна быть главной центральной осью инерции тела.

Ось Оz, для которой центробежные моменты инерции Jxz и Jyz, содержащие в своих индексах наименование этой оси, равны нулю, называется главной осью инерции тела для точки О. Если тело имеет ось симметрии, то эта ось является главной осью инерции тела для любой своей точки. Если тело имеет плоскость симметрии, то любая ось перпендикулярная этой плоскости будет главной осью инерции тела для точки О, в которой ось пересекает плоскость.

Таким образом, динамические реакции равны статическим, если ось вращения является одной из главных центральных осей инерции.

Механический смысл центробежных моментов инерции Jxz и Jyz заключается в том, что они характеризуют степень динамической неуравновешенности тела при вращении вокруг оси Оz.

Динамическое уравновешивание - важная техническая задача, которая сводится к определению главных центральных осей инерции.

Любую ось можно сделать главной центральной осью инерции, если добавить к телу (или отнять у него) две точечные массы. Пусть для тела массой М величины хс, ус, Jxz, Jyz известны и не равны нулю. Прибавим к телу две массы Ш\ и т2 в точках с координатами (хь уь гг) и (х2, У2, г2).

Тогда из формул

1 п

— 1 п

Хс = МЕmkXk, Ус =тт£ткУк,

М к=1 М к=1

1 п п

2с = тт Е тк2к, -}ху = Е ткХкУк,

М к=1 к=1

п п

= Е ткУк2к, = Е тк2кхк

к=1 к=1

следует, что если удовлетворить равенствам

Мхс + тх + т2х2 = 0.

Мус + ту + т2 у 2 = 0, ^ + тХ\2\ + т2х222 = 0,

J.,

+ ту^ + т2у2 22 = 0,

(20)

то для полученного тела будет х'с = У'с= 3'хг= = 0, то есть ось Ог станет

главной центральной осью инерции. Подбирая массы т1, т2 и их положения так, чтобы удовлетворились уравнения (20), мы и решим поставленную задачу. Частью величин при этом следует задаться наперед. Например, можно задать значения ть т2 и z1, Z2 (но так, чтобы было z1 Ф Z2), а X], у!, х2, у2 найти из уравнений (20) или задать положение (координаты) точечных масс, а найти ть т2 и тому подобное.

Такой метод уравновешивания вращающихся тел широко используется в технике для уравновешивания коленчатых валов (см. ни-жепреведенный пример 3), кривошипов, спарников и т.п.

Пример 3. Коленчатый вал одноцилиндрового двигателя несет на себе два одинаковых маховика А и В радиусом г = 0,5 м. Рассматривая щеки и шейку колена вала как груз массой т = 21 кг, находящийся на расстоянии к = 0,2 м от оси, определить массы тА и тВ грузов, которые нужно расположить на ободах маховиков, чтобы сбалансировать систему, если Ь =

0,6 м, I = 1,4 м (рис. 5). Для определения точечных масс воспользуемся равенствами (20):

МХс + тАХА + тВХВ = ^

мУс + ту А + твув =

'1хг + тАХА2А + твХВ2В = 0 ; Л; + ту А2А + твув2в = 0.

(Ь)

Проведем координатные оси, вращающиеся вместе с телом, так, чтобы колено вала лежало в плоскости Oxz. Тогда эта плоскость будет плоскостью симметрии. Следовательно, уС = 0, и так как при этом ось Оу будет для точки О главной осью инерции, то = 0. Кроме того, если обозначить массу всей системы через М, то для нее % = тк/М и = ткЬ.

Последний результат следует из того, что центробежный момент инерции системы равен сумме моментов инерции ее частей, а для маховиков и примыкающих к ним частей вала центробежные моменты равны нулю (ось Oz - ось симметрии). Для присоединяемых грузов координаты уА = ув = 0.

С учетом этого из равенств (^ останется два:

Мхс + тлхл + твхв = 0;

'1Х2 + тАХА2А + твХВ2В = 0 .

(1)

Так как грузы располагаются на ободах маховиков, то zA = 0, zв = I и хА = хв = -г (при знаке плюс уравнения не имеют решений, следовательно, грузы должны быть внизу).

Подставим значения координат в уравнения (1) и получим

М

тк Мс

— тг — т„г = 0;

ткЬ — тАг ■ 0 — твг ■ I = 0.

(]) (к)

тА тв

Рис. 5. Балансировка коленчатого вала одноцилиндрового двигателя

Решая уравнения, найдем: из уравнения (k)

bhm

~ГТ

= 3,6

из уравнения (j)

= (_l-b)hm = кг

л rl

Присоединение этих грузов делает систему уравновешенной, а ось Oz - главной центральной осью инерции (но не осью симметрии) тела.

Выводы. Показано применение принципа Даламбера для уравновешенности системы сил, действующих на систему материальных точек. Приведены конкретные примеры решения технических задач.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК

1. Курс теоретической механики / Под ред. К.С. Колесникова. - М.: изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. Т. 1. - 735 с.

2. Теоретическая механика. Учебник для вузов / Г.Т. Баранова, Т.Н. Дадочкина, В.В. Дрожжин и др; под общ. ред. Э.Я. Живаго. - Старый Оскол: изд. ТНТ, 2013. - 384 с.

3. Сборник заданий по теоретической механике. Динамика: Учебное пособие / Под ред. В.В. Дрожжина, 2-е изд., испр. - СПб.: «Лань», 2012. - 384 с.

© 2015 г. Э.Я. Живаго, Н.И. Михайленко Поступила 22 сентября 2015 г.

кг ;