CC BY
41
10. Прогулки по Петербургу / П. Я. Канн. - СПб.: Палитра, 1994. - 414 с. - ISBN 528901813-1.
11. Брюхо Петербурга : очерки столичной жизни / А. А. Бахтиаров. - СПб.: ФЕРТ, 1994. - 224 с. - ISBN 5-85116-024-1.
УДК 624.04
Н. М. Савкин
РЕШЕНИЕ СТАТИЧЕСКИ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ С ПЕРЕМЕННЫМ СОСТАВОМ СВЯЗЕЙ НА ОСНОВЕ МЕТОДА СИЛ
Исследуется статически смешанная задача с изменяющимися в процессе деформации составом и структурой связей. Развивается подход к решению такого класса задач на основе обобщения метода сил. Приводится пример расчета.
трансформирующиеся механические системы, класс статически смешанных задач, циклическая последовательность решения уравнений двух задач.
Введение
Возникающие в технике задачи определения напряженнодеформированного состояния (НДС) конструкции в зависимости от математических методов их решения подразделяются на три класса:
1) класс задач статически определимых (СО), для решения которых используются только уравнения равновесия; особенностью соответствующей механической системы данного класса задач является постоянный состав и структура необходимых связей, обеспечивающих геометрическую неизменяемость;
2) класс задач статически неопределимых (СНО), для решения которых в дополнение к уравнениям равновесия используется система уравнений совместности деформаций постоянного порядка и структуры; особенностью соответствующей механической системы является наличие, кроме необходимых связей, постоянного состава и структуры лишних двусторонних связей, которые включаются все одновременно при внешнем воздействии;
3) класс задач статически смешанных (ССМ), для решения которых в дополнение к уравнениям равновесия используется система уравнений совместности деформаций переменного порядка и структуры; особенностью соответствующей механической системы является наличие, кроме необходимых и, возможно, лишних двусторонних связей, односторонних переменного состава (с зазорами, люфтами) связей, которые включаются, выключаются упорядоченно в зависимости от внешнего воздействия.
Первые два класса задач известны давно [1], изучены и определены в энциклопедиях, справочниках проектировщика, конструктора, учебниках для вузов.
В то же время в технике часто встречаются механические системы, изменяющие по разным причинам в процессе движения (деформации) состав и структуру связей, элементов. Такие системы называют трансформирующимися [2]. На практике возможны изменения состава и структуры связей таким образом, что СО геометрически неизменяемая система может в процессе упругих деформаций переходить в СНО-систему и наоборот. Подобные статически трансформирующиеся системы невозможно математически описать ни методами СО-задач, ни методами СНО-задач. Эта невозможность приводит к необходимости введения третьего, объединяющего и более сложного класса - класса статически смешанных задач [3]. К механическим системам класса ССМ-задач следует отнести все типы статически трансформирующихся систем. Такие системы обладают более высокой степенью неопределенности сравнительно с СНО.
Следует отметить, что возникающие повсеместно в инженерной практике (можно привести примеры из области приборостроения, техники железнодорожного, водного, воздушного, космического транспорта, строительных конструкций) задачи данного класса изучены недостаточно, а в учебных программах подготовки инженеров-механиков, инженеров-строителей они вообще не представлены.
Универсального метода решения ССМ-задач с изменяющимися составом и структурой связей нет. Нет основания также предполагать, что такой метод когда-нибудь будет изобретен: слишком разнообразны задачи данного класса. Существуют, однако, специализированные алгоритмы (конечные, потенциально бесконечные), с помощью которых можно решать задачи подходящих типов. Наиболее разработанные алгоритмы основаны на задачах специальной структуры: линейное [4] и квадратичное программирование [5], задачи о дополнительности [6], [7].
В ряде случаев удается учесть специфику статически трансформирующейся механической системы и в результате получить менее универсальный, достаточно эффективный алгоритм, обладающий свойством гарантированного приведения к рабочей системе. Наличие данного свойства проверяется специальными тестами [5]. Ниже развивается такой алгоритм на основе известного метода сил с некоторыми элементами его обобщения. Данный алгоритм позволяет рассматривать как стержневые, так и оболочечные конструкции с учетом геометрической нелинейности. Некоторые аспекты предлагаемого подхода изложены в работах автора [3], [8]-[10].
Для представления класса ССМ-задач в учебных программах курсов строительной механики, сопротивления материалов втузов не потребуется увеличения учебных часов при использовании предлагаемого алгоритма. В учебных целях возможно применение «ручного» решения некоторых задач данного типа. Ознакомление студентов с классом ССМ-задач повысит их
представление о поведении реальных конструкций, а также инженерную квалификацию.
1 Подход к решению статически смешанной задачи
На простой модели можно наблюдать, как мгновенно нагруженное упругое тело (гибкая, геометрически неизменяемая балка, например, в условиях односторонних дискретных связей с зазорами с двух сторон от оси) за некоторый промежуток времени занимает конечное равновесное состояние с естественно выбранной рабочей системой, т. е. обладающей действительным составом односторонних связей. На пути к конечной конфигурации, с момента приложения заданной нагрузки, наблюдались промежуточные конфигурации (состояния) упругого тела с частными составами односторонних связей.
Описать аналитически данный необратимый процесс саморазмещения нагруженного упругого тела с односторонними связями, происходящий в форме затухания изменений конфигурации тела с гарантированным выявлением рабочей системы, затруднительно. Можно построить численный алгоритм необратимого процесса последовательного саморазмещения линейно-упругого тела при постоянной нагрузке в односторонне сопротивляющейся среде в системном (модельном) времени в форме затухания изменения конфигурации тела относительно конфигурации рабочей системы.
Построение алгоритма численного решения ССМ-задачи с переменным составом связей обеспечивается применением принципа циклической последовательности решения двух задач, принципа причинности, метода сил, принципа подвижного равновесия, теоремы Клапейрона.
Принцип циклической последовательности решения двух задач в исследованиях предложил Ньютон, различая такие две задачи [11]: «по явлениям движения распознать силы природы», «затем по этим силам изъяснить остальные движения». Применительно к ССМ-задаче для получения полного решения будем также различать две задачи. Целью первой задачи (задачи «w») является определение всех необходимых перемещений точек поверхности упругого тела по приближенной информации о действующих силах в данный момент. Целью второй задачи (задачи «X») является уточнение действующих сил (заданных и реакций в односторонних связях), которые призваны привести конфигурацию деформированного тела с односторонними связями в соответствие с условиями ограничения перемещений.
Согласно принципу причинности, констатирующему, что событие-причина предшествует по времени событию-следствию, будем считать внешнее воздействие на упругое тело Т причиной, а ответное действие односторонних связей - следствием. В предлагаемом алгоритме решения ССМ-задачи ответное действие односторонних связей заменяем виртуальными силами реакций X/, которые прикладываются во всех точках поверхности активного тела Т, где «подозревается» контакт его с пассивным телом, ограничивающим перемещение. На основе причинно-следственной
связи заключаем, что на каждом цикле в первый момент системного времени событие-следствие запаздывает в своем проявлении, т. е. AXt = 0.
Задержка проявления ответных реакций равносильна некоторому воздействию, выводящему систему из равновесия. В этот момент тело деформируется только от действия заданных и найденных сил Xt-i в предыдущий момент, что приводит к нарушению части кинематических ограничений, т. е. к возникновению запрещенных перемещений-перехлестов W. поверхностей нагруженного тела и пассивного тела.
На основе полученной информации W. уточняются силы реакций Xt,
устраняются перехлесты, т. е. восстанавливаются кинематические ограничения. Таким образом, используется количественная причинность как связь состояний системы во времени такая, что на основе знания предшествующего состояния механической системы с изменяющимся составом связей можно предсказать ее последующие состояния.
Идея используемого метода сил с учетом переменных связей состоит в следующем. Исходная (заданная) система с неопределенностью (например, стержневая: статически определимая геометрически неизменяемая или статически неопределимая), имеющая виртуальные (т. е. «подозреваемые» в возможном включении в систему) внешние односторонние связи, превращается за несколько циклов в рабочую систему, имеющую действительные внешние односторонние связи. Исходная система наиболее упрощается путем приравнивания к нулю реакций во всех «подозреваемых» односторонних связях. Такую упрощенную систему будем называть основной системой отсчетного состояния исходной системы.
В промежуточных состояниях выявляются и включаются в основную систему последовательно на каждом цикле алгоритма те или иные из числа «подозреваемых» односторонние связи, что постепенно увеличивает жесткость системы. Эта постепенность уменьшения гибкости системы устраняет одну из причин появления плохо обусловленных матриц. В конечном состоянии основная система приобретает только действительные односторонние связи и превращается в рабочую систему.
Расчет исходной системы сводится: а) к расчету основной системы на постоянную внешнюю нагрузку и найденные на предыдущем этапе реакции во включаемых односторонних связях (в отсчетном состоянии эти реакции равны нулю) с определением перемещений по направлению этих реакций; к расчету основной системы на действие единичных сил, приложенных во всех «подозреваемых» во включении односторонних связях (для линейных систем такой расчет выполняется один раз и только для отсчетного состояния); б) к решению переменного состава упорядоченной системы линейных алгебраических уравнений на каждом цикле алгоритма. Канонические уравнения метода сил можно получить на основе принципа
наименьшей работы, утверждающего, что действительные значения лишних неизвестных обращают в минимум потенциальную энергию системы.
Таким образом, эти уравнения позволяют гарантированно находить действительные значения реакций (решение задачи «X») в односторонних связях на каждом цикле t и записываются в стандартной форме, известной из учебников:
£S,j Xt -8„ = Wt. (1)
Определение коэффициентов и свободных членов (1) выполняется по обычным правилам сопротивления материалов. Однако применительно к рассматриваемому алгоритму решения ССМ-задачи определение неизвестных по (1) проводится для каждой пары взаимодействующих тел, при этом используются переменная основная система, переменный порядок и иерархическая структура алгебраических уравнений на каждом цикле.
Используемый принцип подвижного равновесия (Ле-Шателье) заключается в следующем: внешнее воздействие, выводящее систему из равновесия, стимулирует в ней процессы, стремящиеся ослабить результаты этого воздействия. Применительно к рассматриваемому алгоритму решения ССМ-задачи при взаимодействии нагруженного упругого тела и односторонних связей с учетом количественной причинности должны протекать процессы затухающего изменения конфигурации тела относительно равновесного состояния рабочей системы с квазидиссипативным эффектом.
Будем использовать данный принцип в качестве свойства, выполнение или невыполнение которого на каждом цикле алгоритма саморазмещения нагруженного тела в среде характеризует способность изменяющегося состава односторонних связей и усилий в них ослаблять результаты внешнего воздействия на упругое тело в форме уменьшения потенциальной энергии нагруженного тела, накопленной в отсчетном состоянии.
При использовании данного свойства в алгоритме решается важный вопрос о пороговом характере выполнения принципа подвижного равновесия. Так, если при достаточно высоком уровне постоянной нагрузки на упругое тело Т с односторонними связями уменьшение потенциальной энергии в расчетах резко сократилось, это свидетельствует о выключении какой-то односторонней связи, например, из-за потери прочности или устойчивости элемента, ограничивающего перемещение (гибкая нить, сжатый стержень-упор).
Квазидиссипативную функцию, указывающую направление процесса изменения энергии, можно принять в виде уменьшающейся потенциальной энергии за счет возрастающей работы сил реакций в односторонних связях
X. на обобщенных перемещениях-перехлестах Wi , численно равной рас-
ходу потенциальной энергии деформации нагруженного тела на каждом цикле. Запишем условие выполнения принципа подвижного равновесия:
Y = U0 - /2 X х; W> 0, AY< 0.
0
(2)
Величину Y можно также рассматривать как меру снимаемой неопределенности, а процесс уменьшения накопленной в отсчетном состоянии потенциальной энергии упругого тела - как квазидиссипативный. Если условие AY < 0 выполняется, то это означает, что процесс расходования накопленной упругой энергии продолжается. Если AY = 0 (с заданной точностью), то процесс завершился, неопределенность снята. Из условия (2) заключаем, что система в конце концов придет к состоянию, характеризующемуся минимальным возникновением расхода потенциальной энергии линейно-упругого тела. Проверка условий (2) на каждом цикле связана с решением уравнений (1) в циклической последовательности с решением задачи «w».
В качестве отсчетной используется равновесная конфигурация геометрически неизменяемого деформированного тела Т в момент задержки проявления реакции односторонних связей, т. е. X, = 0 в соответствии с принципом причинности. Для оценки энергетического баланса разных состояний упругой системы используется теорема Клапейрона [1], констатирующая, что если линейно-упругое тело при заданных силах находится в равновесии, то энергия деформации равна половине работы, которая совершается внешними силами на перемещениях из исходного состояния равновесия в конечное. Для отсчетного состояния выполнение теоремы можно записать в виде:
где Рj обозначает силу, приложенную в точке i; W*0- обобщенное перемещение; U0 - накопленная в отсчетном состоянии системы потенциальная энергия деформации.
В качестве конечной используется равновесная конфигурация тела Т -такая конфигурация, в которой часть накопленной в отсчетном состоянии
потенциальной энергии U0 перешла в работу возникших сил реакций Xf
в односторонних связях на перемещениях-перехлестах Wj из отсчетной конфигурации в конечную. Теорему Клапейрона в данный момент времени можно записать в виде:
0
1/
/2
К X p
(4)
В левой части стоит уменьшенная работа заданных внешних сил за счет увеличенной жесткости системы за все циклы. В правой части -уменьшенная потенциальная энергия деформации отсчетной конфигурации линейно-упругого тела за счет возросшей на этих же циклах работы сил реакций в односторонних связях на запрещенных перемещениях-перехлестах.
В качестве промежуточных используются равновесные конфигурации тела Т - такие конфигурации на каждом цикле, в которых накопленная в отсчетном состоянии потенциальная энергия Uo частично переходит в работу сил реакции данного цикла Xi в односторонних связях на перемещениях-перехлестах. Теорема Клапейрона в этом случае записывается аналогично (4).
2 Постановка, формулировка задачи
Изменение состава и структуры односторонних связей может возникать, например, в условиях одностороннего контакта двух и более тел. Геометрически неизменяемое нагруженное упругое тело Т может взаимодействовать с разного вида элементами, ограничивающими перемещения при его деформировании. В качестве элементов, ограничивающих перемещения в одном направлении, могут быть как внутренние части нагруженного тела Т, например гофры гофрированной оболочки [12], так и внешние по отношению к активному телу Т устройства, например опоры, размещаемые с возможными зазорами с двух сторон от оси балки, от срединной поверхности пластины, оболочки.
Принципиальной особенностью предлагаемой здесь постановки ССМ-задачи, в отличие от известных в литературе, является поочередный анализ каждой пары контактирующих тел. Так, если имеются с двух сторон от оси геометрически неизменяемой упругой балки Т односторонние дискретные ограничения-опоры, то надо рассматривать две пары контактирующих тел:
Т
и Тг, Т и Тд. Будем считать тело Т активным, а Тд и Тг - пассивными. Пусть в результате приложения заданных нагрузок Р каждая пара взаимодействующих тел в каких-то точках поверхности Г (при контактировании Т и Тг) и поверхности Д (при контактировании Т и Тд) входят в контакт друг с другом. Это означает, что каждая пара взаимодействующих тел имеет только одну, свою поверхность контакта Г или Д, что приводит к возможности поочередно определять для каждой контактной поверхности
Wг и Хг, Wд и Хд.
Как следствие поочередного анализа каждой пары взаимодействующих тел в циклической последовательности решается вопрос о знаках элементов матриц, о соотношении целочисленных характеристик (ранг, минор, число неизвестных) матричной системы (1). Очевидно, что для одной
пары взаимодействующих тел на каждом цикле элементы матрицы податливости и столбца свободных членов в правой части (1) могут иметь только все положительные элементы, т. е. 5j > 0, Wг > 0. Следует заметить, что физическая сущность ССМ-задач обычно такова, что диагональные элементы 5j численно доминируют. Все это приводит к гарантированному равенству ранга матрицы податливости рангу расширенной матрицы и числу лишних неизвестных с вытекающим выводом о единственности решения системы на каждом цикле и создает условие обеспечения неотрицательности решения Хп-.
В частном случае взаимодействия одной пары тел Т иТг на границе Г контакта выполняется условие
Wг =-(dгр -8г)> 0, если (§гр- 5т) < 0, (5)
при расхождении тел выполняется условие
Wг = 0, если (5гр — 5г) > 0, (6)
где 5гр — свободные члены уравнений (1); Wг — нормальный перехлест поверхности Г тела Т за границу поверхности тела Тг; 5г — нормальный зазор (антизазор) между телами. Расстояние 5г в зависимости от заданной расчетной схемы может быть представлено либо как зазор, т. е. просвет между сближающимися поверхностями, либо как антизазор, т. е. предварительное смещение, вызывающее начальное усилие, напряжение. Если величина 5г по условию задачи — зазор, то она включается в (5), (6) со знаком минус, что должно в расчетах вызвать уменьшение реакции Хг в односторонней связи по сравнению с вариантом 5г = 0. Если величина 5г по условию задачи — антизазор, то она включается в (5), (6) со знаком плюс, что должно в расчетах вызвать увеличение реакции Хг в односторонней связи по сравнению с вариантом 5г = 0.
На границе контакта тел Т и Тг возникают контактные нормальные силы реакций, действующие на тело Т со стороны односторонних связей тела Тг,
Хг > 0. (7)
Равенство в (7) выполняется в случае выхода тела Т из контакта с телом Тг, а неравенство — при нахождении в контакте.
Аналогично условия (5), (6), (7) записываются и для контактной поверхности Д.
Комбинированная система уравнений (А) задачи «w» и уравнений (В) задачи «х», описывающая смешанную задачу с изменяющимися связями, в самом общем виде может быть записана следующим образом:
(A) LW = P + X;
(8)
(B) ъи = 0,
где P - пространство элементов р, представляющих собой заданную нагрузку как причину явлений;
X - пространство элементов х, представляющих собой дополнительную нагрузку, являющуюся следствием;
W - пространство элементов w, представляющих собой перемещения и деформации механической системы;
L - оператор, переводящий одно пространство в другое, включает в себя параметры физико-механических характеристик, жесткости при разных видах деформаций, геометрические размеры элементов и т. д.;
Ъи - условие наименьшей работы линейно-упругой системы.
В качестве уравнения (А) может быть разрешающее уравнение или система уравнений, описывающая НДС стержневой, пластинчатой, оболочечной систем и их комбинации. В качестве уравнения (В) используется система (1).
В результате применения данной постановки задачи можно выявить конечное состояние механической системы с выполненными условиями ограничения перемещений, т. е. рабочую систему с минимумом потенциальной энергии и действительным составом односторонних связей, что и представляет собой решение основной проблемы теории ССМ-задач с переменным составом связей.
3 Процедуры численного решения задачи
Алгоритм решения ССМ-задачи состоит из последовательных циклов, в каждом из которых рассматриваются пары взаимодействующих тел. Для каждой пары контактирующих тел рассматриваются два этапа:
1) определяется на основе решения уравнения (А) задачи «w» перемещения-перехлесты «подозреваемых» в возникновении одностороннего контакта точек контактной поверхности одной пары взаимодействующих тел;
2) решением уравнений (В) задачи «х» определяются неизвестные силы реакций, которые устраняют перемещения-перехлесты поверхностей двух контактирующих тел.
Условия вхождения тел в контакт. Определение перемещений-перехлестов. Будем анализировать поочередно каждую пару контактирующих тел, имеющих общую поверхность возможного соприкосновения.
Численное решение задачи осуществляется таким образом, чтобы узловые точки поверхности активного тела не проникали через границу поверхности каждого пассивного тела.
Предварительно, до начала решения задачи, выделяются и нумеруются (с запоминанием) узловые точки поверхностей Г и Д, где может произойти контакт активного и пассивных тел. Решением уравнения (А) задачи «w» находятся перемещения W. в точках, «подозреваемых» в возникновении одностороннего контакта поверхностей одной пары тел. Перемещения-перехлесты W. поверхностей пары контактирующих тел устанавливаются согласно условиям (5), (6).
Далее необходимо найти неизвестные реакции, устраняющие запрещенные перемещения.
Определение неотрицательных неизвестных сил Хг. Перед решением элементы системы уравнений (В) должны быть упорядочены. Алгоритм предусматривает упорядочение всех строк и столбцов по классам и внутри
классов в соответствии со значениями числовых характеристик Sni, Wп, Хп- и вычеркивание малоценных строк и столбцов.
Все строки и столбцы упорядочим сначала по классам в соответствии с признаком ценности Sni (столбцы, состоящие из элементов 0 и 1). Каждый класс отличается степенью участия в контактной ситуации на предыдущем и текущем циклах. Это будет первый уровень иерархии - по классам. Строки и столбцы внутри каждого класса упорядочим по ценности
элементов столбца W г (точки с наибольшим взаимным перемещением имеют большую ценность) на данном цикле. Это будет второй уровень иерархии.
Эта процедура используется для формирования разрешающей системы уравнений Wг =^dij.Xп., Wдi =^dij.Xд в соответствии с правилом
П1: выполнить иерархическую декомпозицию системы линейных алгебраических уравнений (1) по степени контактной активности каждой точки поверхности по данным прошлого и настоящего циклов.
В процедуре решения упорядоченной системы уравнений используются два правила. Правило П2: при обратном ходе по Гауссу для получения последующего значения Хп+1 контролируется знак предыдущего значения Хп: если Хп > 0, то эта неизвестная участвует в вычислении Хп+1; если Хп < 0, то принимается Хп = 0 и эта неизвестная не участвует в вычислении Хп+1. Правило П3: итерационный процесс решений упорядоченной системы уравнений нельзя прерывать до тех пор, пока два последних решения этих уравнений не окажутся с постоянным составом положительных реакций Х. > 0, что соответствует природе односторонних связей одной пары взаимодействующих тел. Данное правило обеспечивает в неявном виде выполнение статического условия (7).
Совокупность указанных вычислительных процедур и правил, учитывающих особенности контактной активности каждой из дискретных «подозреваемых» односторонних связей на каждом цикле, можно рассматривать как способ естественной регуляризации (используемой обычно при решении некорректных, например обратных, задач), обеспечивающий устойчивость предлагаемого алгоритма решения ССМ-задачи.
Циклическая последовательность решения уравнения (А) задачи «w» и уравнения (В) задачи «X» поочередно для каждой пары контактирующих тел продолжается до тех пор, пока решение не сойдется и перехлесты, как запрещенные перемещения, не станут меньше заданного малого значения.
На практике для алгоритма, который порождает потенциально бесконечную циклическую последовательность решений, устанавливают критерий сходимости вычислительного процесса. Контролировать сходимость можно одновременно всеми критериями или выборочно некоторым из них.
В рассматриваемом алгоритме используются несколько критериев сходимости: критерий сходимости по перемещениям, критерий сходимости по силам, критерий сходимости по энергии, включая выполнение баланса энергии в соответствии с теоремой Клапейрона. Эффективной проверкой сходимости служит удовлетворение решения одновременно всем критериям, поскольку в некоторых случаях выполнение одного из перечисленных критериев (первого, второго) не означает автоматического выполнения другого критерия. Более надежен критерий сходимости по энергии.
4 Пример для балочной модели
Рассмотрим конструкцию в виде консольной балочной модели с возможными при изгибе односторонними контактами в трех точках активного тела Т с дискретными опорными устройствами Тг и Тд, размещенными с каждой стороны от оси балки (рис. 1, а). С одной стороны от оси (поверхность Д) подведена без зазора одна опора, с другой стороны (поверхность Г) подведены без зазоров две опоры. В зависимости от величины сил Pj заданная система в пределах упругих деформаций может оказаться: 1) статически определимой, т. е. без соприкосновения с опорами, без лишних связей; 2) статически неопределимой, т. е. с лишними связями. Заранее установить, к какому из двух этих классов задач относится рассматриваемый пример, невозможно. Следовательно, этот пример обладает более высокой степенью неопределенности, относится к классу ССМ-задач и требует применения неклассического метода.
В соответствии с алгоритмом обобщенного метода сил необходимо в данном примере поочередно рассматривать две пары взаимодействующих тел Т и Тг, Т и Тд в циклической последовательности решения уравнения (А) задачи «w», уравнений (В) задачи «X». Для балочной модели в качестве уравнения (А) можно применить интегральную формулу Мора, а в качестве уравнения (В) - уравнение (1). Рассмотрим несколько циклов указан-
ной последовательности (рис. 1, б), из которых видна переменность основной системы, сходимость алгоритма, обеспечение поочередного выполнения заданных условий ограничения перемещений в одном направлении на контактной поверхности каждой пары тел Т и Тг, Т и Тд.
а)
'Л тч
1Д1
ДХд’
Р2=4.3597
EJ=44.5 1
2
Р, =0.7707 2
Хгз=0.530
Рис. 1. Процесс установления рабочей системы: а - балочная модель с ограничениями перемещений в одном направлении; б - отсчетное и промежуточные состояния; в - конечное состояние, совпадающее с точным решением [5]
Прежде всего рассматривается отсчетное состояние основной системы. Решается задача «w» для этой системы (в данном примере - статически определимая консольная балка) при Хп- = 0, Хд = 0: от действия заданной постоянной нагрузки Pj определяются перемещения в тех точках активного тела, где «подозревается» контактная ситуация: Wfl1 = 0,0999, Wfl2 = 0,1999, Wfl3 = 0.05, Wn- = 0; в этих же точках вычисляются единичные перемещения 5у> 0: 8п = 0,05992, 522= 0,4794, 533 = 1,6179, 512= 821 = = 0,1498, 513 = S31 = 0,2397, 523 = 532= 0,8389. Находится потенциальная энергия U0 нагруженного тела Т в отсчетном состоянии. В соответствии с
(3) U0 = 0,344. Далее рассматривается циклическая последовательность алгоритма метода сил с переменными связями.
1-й цикл. Рассматривается первая пара контактируемых тел. На первом этапе проверяется наличие перехлестов контактирующей поверхности Д первой пары тел Т и Тд по (5), (6). При отсутствии зазора 5д1 получаем
значения Wд1 = 0 ,0999, Wд2 = 0, Wдз = 0. На втором этапе определяется
реакция Хд1 решением уравнения 5ПХд1 = Wд1, т. е. Хд1 = 1,666.
С учетом найденной реакции Хд1 определяются перемещения решением уравнения (А) в контролируемых опорных точках: Wri = 0, Wr2 = = 0,0499, Wr3 = 0,3495. Как видно, условие ограничений на перемещения в односторонней связи пары тел Т и Тд выполняется (по природе связи действительная реакция Хд1 должна обеспечить W1 = 0).
Рассматривается вторая пара контактируемых тел. На первом этапе проверяется наличие перехлестов контактирующей поверхности Г второй пары тел Т и Тг по (5), (6). При отсутствии зазоров 6г2, 5гз получаем значения Wг1 = 0, Wг2 = 0,0499, Wг1 = 0,3495.
На втором этапе решается задача «х», находятся реакции Хп-. При решении данной системы алгебраических уравнений второго порядка применяем правила П1, П2, П3. С учетом этих правил получаем упорядоченную систему уравнений
“1,618 0,39 " ' ^г3 " “ 0,3495"
_ 0,839 0,479_ . X г 2 _ _0,0499_
и результат решения Хг2 = 0, Хг3 = 0,216.
Определяются перемещения W/ решением уравнения (А) в контролируемых опорных точках с учетом реакций Хд1, Хг3: W^ = 0,0517, W^ = = 0,131, Wfl3 = 0. Как видно, условие ограничений на перемещения в односторонней связи пары тел Т иТг выполняется (по природе связи действительная реакция Хг3 должна обеспечить W3 = 0).
При проверке условия (2) на первом цикле получаем значения Y = 0,266, DY = -0,0778. Теорема Клапейрона выполняется, т. к. в левой части (4) работа внешних сил на перемещениях данного цикла принимает значение ~ 0,266.
2-й цикл. Рассматривается первая пара контактируемых тел. На первом этапе проверяется наличие перехлестов контактирующей поверхности Д первой пары тел Т и Тд по (5), (6). При отсутствии зазора 5д1 получаем
значения Wд1 = 0,0517, Wд2 = 0, Wд3 = 0. На втором этапе решается задача «х», находится приращение реакции ЛХд1 решением уравнения
8цАХд1 = Wд1, т. е. ЛХд1 = 0,863. Таким образом, Хд1 = 1,666 + 0,863 = 2,529.
Определяются перемещения W/ решением уравнения (А) в контролируемых опорных точках с учетом ранее найденных реакций Хг3, Хд1: Wf1= = 0 , W^ = 0,002, Wг3 = 0,207. Как видно, условие ограничений на перемещения в односторонней связи выполняется (по природе связи действительная реакция Хд1 должна обеспечить W1 = 0).
Рассматривается вторая пара контактируемых тел. На первом этапе проверяется наличие перехлестов контактирующей поверхности Г второй пары тел Т и Тг по (5), (6). При отсутствии зазоров §г2, §гз получаем значения Wг1 = 0, Wг2 = 0, Wгз = 0,207.
На втором этапе данного цикла решается задача «х», находится
приращение реакции АХг3 решением уравнения ЗззАХгз = W гз, т. е. ЛХг3 = 0,128. Таким образом, Хг3 = 0,216 + 0,128 = 0,344.
Определяются перемещения W/ решением уравнения (А) в контролируемых опорных точках с учетом реакций Хд3, Хг3: W^ = 0,031, W^ = 0,109, W^ = 0. Как видно, условие ограничений на перемещения в односторонней связи пары тел Т и Тг выполняется (по природе связи действительная реакция Хг3 должна обеспечить W3 = 0).
При проверке условия (2) на втором цикле получаем значения Y = 0,226, DY= -0,0399. Теорема Клапейрона выполняется, т. к. в левой части (4) работа внешних сил на перемещениях второго цикла принимает значение ~ 0,226.
Продолжая рассматривать последующие циклы в соответствии с алгоритмом, придем к решению примера с заданной точностью (рис. 1, в). При проверке условия (2) на восьмом цикле получаем значения Y = 0,168, DY= -0,0003. Теорема Клапейрона выполняется, т. к. в левой части (4) работа внешних сил на перемещениях данного цикла принимает значение ~ 0,168. Графики на рисунке 2 демонстрируют гарантированную сходимость предложенного алгоритма вычислительного процесса. Исходные данные рассмотренного примера взяты из книги [5], где этот пример рекомендуется разработчикам и пользователям программных комплексов, учитывающих изменение состава связей в конструкциях, в качестве теста.
Рис. 2. Выполнение критерия сходимости алгоритма обобщенного метода сил: а - по перемещениям контролируемых точек; б - по реакциям в односторонних связях; в - по энергии (кривая 1 - увеличение работы сил реакций в односторонних связях, 2 - уменьшение потенциальной энергии нагруженного упруго-линейного тела)
Заключение
Приводится развитие методики расчета ССМ-задач с изменяющимся в процессе деформации составом связей, основанной на некотором обобщении классического метода сил. Результаты расчета подтверждают сходимость вычислительного процесса. Рассмотрен достаточно подробно тестовый пример, который рекомендован разработчикам и пользователям программных комплексов, декларирующих возможности расчета трансформирующихся механических систем.
Удовлетворительное совпадение результатов расчета с точным решением подтверждает надежность предлагаемого подхода к решению ССМ-задач и конкретного вычислительного алгоритма на его основе.
Библиографический список
1. История науки о сопротивлении материалов с краткими сведениями из теории упругости и теории сооружений / С. П. Тимошенко; пер. с англ.; ред. А. Н. Митинский. 2-е изд. - М.: КомКнига, 2006. - 536 с. - ISBN 5-484-00449-7.
2. Механика трансформирующихся систем / В. В. Величенко // Доклады РАН. -М.: Наука, 2003. - Т. 388. - № 6. - С. 757-760.
3. Введение класса смешанных задач с переменным составом связей и подход к их решению / Н. М. Савкин // Известия Петербургского университета путей сообщения. - СПб.: ПГУПС, 2005. - Вып. 3(5). - 155 с.
4. Расчет систем с односторонними связями на возрастающую нагрузку / Л. П. Портаев // Изв. АН СССР, МТТ. - 1978. - № 1. - С. 183-186.
5. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа / А. В. Перельмутер, В. И. Сливкер. - Киев: Сталь, 2002. - 600 с.
6. Оптимизация в технике. Т. 2 / Г. Реклейтис, А. Рейвиндран, К. Рэгсдел. - М.: Мир, 1986.- 320 с.
7. Расчет систем с односторонними связями как задача о дополнительности / Т. С. Ким, В. Г. Яцура // Строительная механика и расчет сооружений. - М.: Стройиз-дат, 1989. - № 3. - С. 41-44.
8. Приближенный метод самокорректирующейся упругой расчетной схемы и некоторые его приложения / Н. М. Савкин // Современные методы и алгоритмы расчета и проектирования строительных конструкций с использованием ЭВМ : тез. докл. Всесо-юзн. конф. - Таллин: Таллинский политехнический институт, 1979. - С. 73-74.
9. К решению конструктивно-нелинейных задач методом подвижного равновесия / Н. М. Савкин // Исследования по механике материалов и конструкций. - Вып. 7. -СПб.: ПГУПС, 1994. - С. 73-80. - Деп. в ВИНИТИ 30.03.1995, № 884-В95.
10. Об одном подходе к решению дифференциальных уравнений применительно к механическим системам с изменяющейся расчетной схемой / Н. М. Савкин // Исследования по механике материалов и конструкций. - Вып. 9. - СПб.: ПГУПС, 1996. - С. 143-152. - Деп. в ВИНИТИ 21.04.1997, № 1327-В97.
11. Математические начала натуральной философии / И. Ньютон // Известия Николаевской морской академии. - Вып. IV. - Петроград; 1915; Вып. V. - Петроград, 1916.
12. Расчет сварных сильфонов общего вида / М. К. Алипбаев, Н. М. Савкин // Изв. вузов. Приборостроение. - 1977. - Т. XX. - № 7. - С. 71-75.
