Научная статья на тему 'К описанию класса смешанных задач с переменным составом связей'

К описанию класса смешанных задач с переменным составом связей Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
71
31
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
статически определимые задачи / статически неопределимые задачи / трансформирующиеся механические системы / класс смешанных задач / циклическая последовательность решения двух задач

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Савкин Николай Михайлович

Рассматривается класс смешанных задач с изменяющимся в процессе деформации составом и структурой связей. Предлагается подход к решению такого класса задач, основанный на циклической последовательности решения двух известных задач.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Савкин Николай Михайлович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «К описанию класса смешанных задач с переменным составом связей»

УДК 624.04

К ОПИСАНИЮ КЛАССА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ С ПЕРЕМЕННЫМ

СОСТАВОМ СВЯЗЕЙ

Н.М.Савкин

Аннотация

Рассматривается класс смешанных задач с изменяющимся в процессе деформации составом и структурой связей. Предлагается подход к решению такого класса задач, основанный на циклической последовательности решения двух известных задач.

Ключевые слова: статически определимые задачи, статически

неопределимые задачи, трансформирующиеся механические системы; класс смешанных задач; циклическая последовательность решения двух задач.

Введение

Известно, что возникающие в технике задачи определения напряженно-деформированного состояния (НДС) конструкции в зависимости от расчетной схемы и метода их решения издавна (Кирпичев В.Л.,1934) подразделяются на два класса :

1) класс задач статически определимых (СО), для решения которых используются только уравнения равновесия; особенностью соответствующей механической системы данного класса задач является постоянный в процессе деформации состав и структура связей, обеспечивающие геометрическую неизменяемость;

2) класс задач статически неопределимых (СНО), для решения которых, в дополнение к уравнениям равновесия, используются уравнения совместности деформаций; особенностью соответствующей механической системы второго класса задач является постоянный в процессе деформации состав и структура связей, число которых превышает тот минимум связей, который необходим для образования геометрически неизменяемой СО системы.

Данное деление задач на два класса определено также во всех современных Энциклопедиях, Справочниках проектировщика, конструктора, учебниках для вузов.

Однако в технике давно встречаются механические системы, изменяющие в процессе движения (деформации) по разным причинам состав и структуру связей, элементов. Такие системы называют трансформирующимися (Величенко В.В.,2003). На практике возможны изменения состава и структуры связей таким образом, что СО геометрически неизменяемая система может в процессе упругих

деформаций переходить в СНО систему и наоборот. Подобные статически трансформирующиеся системы невозможно описать ни методами СО задач, ни методами СНО задач. Эта невозможность приводит к необходимости введения третьего, объединяющего и более сложного класса задач - класса смешанных задач. К механическим системам класса смешанных задач как раз и следует отнести все типы трансформирующихся систем. К наиболее распространенным типам трансформирующихся систем относятся: а)системы с односторонними связями, где ограничения на перемещения определены в виде условий-неравенств: элемент конструкции (колесо) свободно опертый на некоторую поверхность (рельс), которая препятствует перемещению в сторону этой поверхности и не запрещает перемещение в противоположном направлении; конструкции с зазорами и люфтами; вантовые системы и др.; б) системы с изменяющимся составом и структурой элементов: аппараты с разделяющимися в определенный момент элементами. Следует отметить, что возникающие повсеместно в инженерной практике задачи данного класса изучены недостаточно, а в учебных программах подготовки инженеров-строителей, - механиков они вообще не представлены.

Для решения некоторых задач данного класса используются подходы, основанные на методах квадратичного программирования (Кузнецов Ю.Н., 1980, Перельмутер В.В.,2002), подходы, основанные на принципе дополнительности (Панагиотопулос П., 1989, Ким Т.С., 1989).

Практические методы, создаваемые на основе указанных подходов (наиболее изученных) приводят к избыточной универсальности, а алгоритмы математического описания физической инженерной модели оказываются излишне сложными, что затрудняет использовать их в инженерной практике конкретных задач. Кроме того, для представления на базе указанных подходов класса смешанных задач в учебных программах курсов строительной механики, сопротивления материалов втузов потребуется увеличение учебных часов на изложение вариационных основ строительной механики и методов квадратичного программирования. Осуществить такой план, по-видимому, проблематично.

Предлагается подход, основанный на использовании циклической последовательности решения уравнений равновесия (как для СО задач) и уравнений совместности деформаций (как дополнительных для СНО задач) с некоторыми модификациями последних, с применением алгоритма упорядочения разрешающих уравнений и динамического способа исключения неизвестных. Некоторые аспекты предлагаемого подхода изложены в работах автора, указанных в списке литературы.

Для представления класса смешанных задач в учебных программах курсов строительной механики, сопротивления материалов втузов на базе предлагаемого подхода не потребуется заметного увеличения учебных

часов: используемые принципы и теоремы механики, способы составления уравнений равновесия, совместности деформаций и решение задач классическим методом сил входят в рабочие программы по указанным дисциплинам. Ознакомление же студентов с классом смешанных задач повысит их инженерную квалификацию

2. О циклической последовательности решения двух задач.

Полное решение задачи определения НДС упругого тела (конструкции) с постоянным составом лишних связей для дискретных систем, например, с использованием классического метода сил, можно рассматривать, как одноцикловую последовательность решения двух самостоятельных задач (со своими постановками, уравнениями, методами их решения), имеющих совместные неизвестные. Цель первой задачи -определение необходимых перемещений при некоторой заданной нагрузке. Сложность или простота разрешающих уравнений первой задачи - уравнений равновесия (А) зависит от конкретной физической модели конструкции (стержневая, пластинчатая, оболочечная или их комбинации) и характера внешних нагрузок. Цель второй задачи - определение на базе данных решения первой задачи сил реакции в лишних двухсторонних связях решением уравнений совместности деформаций (В), выражающих условие минимума потенциальной энергии линейно-упругой системы. Решением уравнений (А), при использовании уже известных сил реакции, находят, в завершение цикла, полное решение задачи.

Ставится вопрос расширения возможностей приведенной выше циклической последовательности решения уравнений равновесия и уравнений совместности деформаций применительно к смешанной задаче с переменными связями. Для этого потребовались алгоритмы упорядочения уравнений, динамического способа их решения, корректирования результатов на каждом цикле.

3. Формулировка и схема решения задачи.

Комбинированная система уравнений равновесия (А), совместности деформации (В), описывающая смешанную задачу с переменными связями, в самом общем виде может быть записана следующим образом

(A) LW = P+X ,

(1)

(B) S U = 0 ,

где P - пространство элементов р, представляющих собой заданную нагрузку, как причину явлений;

X - пространство элементов х, представляющих собой дополнительную нагрузку, являющуюся следствием;

W- пространство элементов w, представляющих собой перемещения и деформации механической системы;

L - оператор, переводящий одно пространство в другое, включает в себя параметры физико-механических характеристик, жесткости при разных видах деформаций, геометрические размеры элементов и т.д.;

S U - приращение потенциальной энергии деформации, выраженной через заданные Р и неопределенные X силы линейно-упругой системы.

Для односторонних связей с возможными реакциями х и

перемещениями W должны выполняться неравенства и равенства

Xg > 0, Wg > 0 , XgWg =0 (2)

Уравнение (А) для определения перемещений может быть представлено в конечно-элементной форме, в форме системы разрешающих дифференциальных уравнений теории оболочек, пластин, стержней. Уравнение (В) доставляет уравнения совместности деформаций.

В первом приближении в (А) принимается X=0. После решения уравнений (А) для фиксированной расчетной схемы определяются дискретные значения перемещений в тех точках поверхностей тела, где возможно его соприкасание с поверхностью другого тела. Из решения уравнений (В) определяются по данным о перемещениях силы реакции в тех же точках поверхности тела на шаге (t-1) и снова решение (А), (В) и т.д. Иерархическая структура линейных алгебраических уравнений (В) на каждом шаге циклической последовательности решения системы (1) формируется процедурой выбора очередности: включения точек

поверхности взаимодействия, а также очередности включения каждой поверхности взаимодействия контактирующих тел. При динамическом исключении неизвестных в процессе решения системы (В) при обратном ходе по Гауссу изменяются порядок и структура уравнений для следующего шага итерации, которые продолжаются до тех пор, пока энергетическая норма разности значений потенциальной энергии деформации U(p,x) двух последовательных приближений на шаге t и t-1 не станет меньше заданного числа о.

В случае геометрической нелинейности (для гибкой оболочки, например) используется двухуровневая итерационная процедура, которая заключается в том, что в итерационном процессе при удовлетворении условия равновесия геометрическая нелинейность рассматривается во внешнем цикле, а нелинейность, обусловленная наличием изменяющегося состава и структуры связей, - во внутреннем цикле.

Сопоставления результатов расчета по предложенному подходу решения смешанных задач с переменным составом связей проводились с точными решениями, данными тестовых примеров (Перельмутер А.В. и др, 2002.), рекомендуемых пользователям и разработчикам программных комплексов протестировать программы, декларирующие в своей документации способность рассчитывать системы с односторонними связями. Результаты сопоставления оказались хорошими.

4.Заключение

Предложено ввести кроме известных СО и СНО классов задач с постоянным составом связей еще один, третий, объединяющий и более сложный - класс смешанных задач (СМЗ) с изменяющимся составом связей, необходимый для описания часто встречающихся на практике СНО механических систем, которые при нагружении в пределах упругих деформаций могут переходить в СО системы и наоборот. Предложенная циклическая последовательность решения уравнений равновесия и уравнений совместности деформаций для решения смешанной задачи дает возможность по единому алгоритму рассматривать стержневые, пластинчатые и оболочечные конструкции с переменным составом связей.

С точки зрения приложений смешанные задачи с изменяющимся составом и структурой связей, элементов в процессе деформации требуют к себе особо пристального внимания. Их решение методами классической СНО задачи с постоянным составом и структурой связей (что нередко по традиции допускают) может привести к грубым ошибкам в расчетах прочности конструкций и стать причиной аварийных ситуаций.

5. Литература

Кирпичев В.Л. Лишние неизвестные в строительной механике. Расчет статически неопределимых систем. Гос. Технико-теоретическое изд-во, М-Л 1934 с. 140.

Величенко В.В. Механика трансформирующихся систем. //Доклады РАН. 2003.т. 388. №6. с. 149-150.

Кузнецов Ю.Н.,Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование, М.: Высшая школа, 1980. 300с.

Перельмутер А.В.,Сливкер В.И. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа /Киев: Изд-во «Сталь», 2002.600с.

Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения. Выпуклые и невыпуклые функции энергии/ М.: Мир, 1989. 492 с.

Ким Т.С., Яцура В.Г. Расчет систем с односторонними связями как задача о дополнительности / Строительная механика и расчет сооружений. 1989.№3.с. 41-44.

Савкин Н.М. Приближенный метод самокорректиующейся упругой расчетной схемы и некоторые его приложения. Всесоюз. конф. «Современные методы и алгоритмы расчета и проектирования строительных конструкций с использованием ЭВМ», Тез. докл., Таллин, 1979, с.73-74.

Савкин Н.М. К решению конструктивно-нелинейных задач методом подвижного равновесия.// Исследования по механике материалов и конструкций/ Вып.7/ -СПб:ПГУПС, 1994,-с.73-80, Деп. в ВИНИТИ 30.03.1995, №884-В95.

Савкин Н.М. Об одном подходе к решению дифференциальных уравнений применительно к механическим системам с изменяющейся расчетной схемой// Исследования по механике материалов и конструкций/ Вып.9/ -СПб:ПГУПС, 1996,-с.143-152, Деп. в ВИНИТИ 21.04.1997, №1327-В97.

Савкин Н.М. К обобщению метода подвижного равновесия на условия смены технологических, наработочных и переходных состояний транспортных конструкций/ Сб. трудов ;4-й Междун. конф.»Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте»,- СПб, 1999, 232 с.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.