CC BY
52
Вестник Челябинского государственного университета. 2010. № 24 (205) Физика. Вып. 8. С. 5-8.
МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ, ГАЗА И ПЛАЗМЫ
М. Г. Бояршинов
РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА ДЛЯ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА ИЗ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА
Получено точное решение системы уравнений Эйлера (уравнения неразрывности, движения, энергии и состояния) для стационарного пространственного движения идеального сжимаемого нетеплопроводного газа, эмитируемого точечным источником в пустоту. Найденное решение может быть использовано как тестовая задача для верификации численных решений задач газовой динамики.
Ключевые слова: газовая динамика, система уравнений Эйлера, идеальный сжимаемый газ, точечный источник, точное решение.
Рассматривается задача о движении в пустоте потока идеального сжимаемого нетеплопроводного газа от точечного источника, генерирующего поток сплошной среды интенсивностью т и энергетической мощностью в. В отличие от работ [1-3], посвященных моделированию последствий точечного взрыва в неограниченном пространстве, изучается установившееся движение идеального газа от источника, эмитирующего сплошную среду в течение неограниченно продолжительного времени. Решение рассматриваемой задачи позволит выполнять верификацию численных решений задач газовой динамики.
Поведение газового потока описывается системой уравнений [4-5] неразрывности
рУ-У = «5(0),
движения
&У
УР = 0,
энергии
&Е
РУ-У = (ит + є)5(0).
(1)
(2)
(3)
состояния (адиабатический процесс)
Р = р(к -1)Е. (4)
Здесь обозначено: р — плотность газа; V — вектор скорости газового потока; Р — давление; Е, и — внутренняя и полная удельные энергии газа, и = Е + V • V/2; к — показатель
адиабаты; 5(0) — дельта-функция Дирака. Для
получения решения систему уравнений (1)-(4) удобно представить в дивергентной форме, используемой при построении разностных соотношений в численных методах [3; 6]:
др
аГ
У-(рУ ) = т5(0 );
а(рУ)
а
д(ри) |
дґ
IУ - (рУУ) + УР = тУ5(0); У-(рЦУ ) + У-(РУ ) = є5(0);
Р = р( к-1)(и-У-У/2).
(5)
(6)
(7)
(8)
Считая процесс распространения газового потока установившимся и полагая др/дґ = 0,
д(рУ)/дґ = 0, д(ри)/дґ = 0, дифференциальные уравнения (5)-(7) можно представить в форме
У-(рУ ) = т5( 0 ); (9)
У - (рУУ) + УР = тУ5(0); (10)
У-(рЦУ) + У-(РУ) = є5(0). (11)
Учитывая, что в рассматриваемой задаче газовый поток обладает центральной симметрией и все его характеристики зависят только от расстояния г до источника, целесообразно уравнения (9)-(10) представить в координатной форме с использованием сферической системы координат:
d (pV )I = m6(0);
2pV2
-- = mV 8(0);
d г / чп 2V(pU IP) . .
- [V (pU IP -' “є(0).
(12)
(13)
(14)
Таким образом, для описания движения стационарного газового потока от точечного источника газа следует решить систему уравнений (8), (12)-(14). Решениями уравнений (12) и
(14) являются функции
рУ = СУ г1, (15)
V (ри + Р ) = С2/г2, (16)
где С и С2 — постоянные интегрирования; для определения этих величин точечный источник окружается шаром 0,0 произвольного радиуса г0, и уравнения (9) и (11) интегрируются в пределах О0:
J V-(pV)d□ = J m5(0)d□;
□o Qo
J[V^(pUV)iV-(PV)]d□= J s5(0)d□.
(17)
(1S)
Используя интегральные теоремы [7]
J V • (pV)dQ = J pV • dS = J pVdS,
Q0 S0 S0
J V^(pUV)dQ + J V-(PV)dQ =
Qo Qo
= JpUV • dS + J PV • dS = J V(pU + P)dS,
So So So
определение 5-функции Дирака
J m5(0)dQ = m, J s5(0)dQ = s,
□o Qo
выражения (15) и (16) и учитывая, что на поверхности So шара Qo радиус ro = const, уравнения (17)-(18) можно преобразовать к виду C Г C . 2
Jp VdS = -1 J dS = -1 4rcr02
= m,
J (pUV I PV)dS = ^ J dS = C22 4nr0
C,
= s.
r0 So r0
Из полученных соотношений определяются постоянные интегрирования
C, = m/ 4л, C2 = S 4 л.
(19)
С учетом полученных значений формулы (15) и (16) принимают вид
pV = m/4nr2, V (pU IP ) = s/ 4
nr2.
(20)
(21)
Выражения (8) и (21) представляются в виде системы уравнений
Гр-р(к-1)и = -р(к - 1)у72,
[Р + ри = в/ 4%г 2У, решение которой имеет вид
и = в/тк + (к -1)У2/2к, (22)
Р = в(к -1)(ВУ -тУ/2)/4лкг2. (23)
Подстановка соотношений (15) и (23) в выражение (13) приводит к дифференциальному уравнению относительно скорости У газового потока
dV
—[m(11 I)2 -2(к - 1)s]I
1Л/
I-(mV2 -2s)k-1) = SnkmV3r25(0).
(24)
Решение уравнения (24) представляется в виде
(mV2 - 2s)l/2(k-1) V14 = C3r-1,
(25)
где С3 — постоянная интегрирования. Для одноатомного идеального газа, согласно [8], показатель адиабаты к = 5/3, что позволяет упростить выражение (25):
(mV2 - 2s)3/4 V1/4 = C3 r-1.
(2б)
Замена переменных у = тУ2 - 2в приводит соотношение (26) к алгебраическому уравнению четвертой степени
у412sy3 - mC34r 4 = 0.
(27)
Применение метода Декарта — Эйлера [7; 9] к уравнению (27) дает возможность в явном виде найти вещественное нетривиальное решение уравнения (24):
V = -
-JFfr)/2 + ^(2е2 + f (r )/ + еу^ s2 - f (r ) + 3е/ 2
yfm
где
^ ^1->/ 1 + 16тС34/27е4 г4 + ч+^1+^ 1 + 16тС4/27в4г4 у
Подстановка решения (28) в выражения (15), (22) и (23) позволяет определить плотность
р = т/ 4лг 2У, (29)
а также полную удельную энергию и давление газа.
Использование интегральных теорем [7] позволяет проинтегрировать уравнение движения (10) по объему шара «о:
|[У-(рУУ ) + УР ] С □ =
□о
= | рУУ • с& + | РС8 = | р УУс« + | РПс« ;
«о «о «о «о
| тУ5(0)с□ = тУ (0).
«о
Отсюда следует связь между плотностью р, скоростью У, давлением Р газа на поверхности «о шара «о и интенсивностью т поступления газа из точечного источника:
рУ | УС« + Р | пс« = тУ (0).
«о «о
Величины р, Р и У на поверхности «о шара □о постоянны; вектор скорости У и вектор нормали п меняют направления при движении вдоль криволинейной поверхности и при суммировании (интегрировании) по всей поверхности 8о шара дают суммы, равные нулю. У(0) — вектор скорости в центре источника; вследствие сферической симметрии рассматриваемого процесса равен нулю.
Иначе говоря, уравнение (Ю), записанное в интегральном виде, удовлетворяется тождественно при любом значении константы С3. Одновременно следует признать, что при любой ненулевой постоянной интегрирования С3 в центре источника (г = о) значение У(0) будет бесконечно большим в силу выражения (28).
(28)
Таким образом, единственным значением, удовлетворяющим поставленной задаче, будет С3 = 0. Как следствие, f (r) = 0 и из формул
(15), (22), (23) и (28) следует решение системы уравнений (5)-(8):
V = *J2е/m , р = m4mj4л/2втсг2,
U = е/m , P = 0. ()
Полученное решение можно интерпретировать как непрерывное последовательное заполнение пространства газовыми сферами постоянной толщины Vdt и одинаковой массы mdt, вложенными одна в другую. Здесь dt — бесконечно малые промежутки времени, в течение каждого из которых точечный источник эмитирует порцию газа массой mdt и энергией sdt. В случае справедливости предложенной интерпретации на произвольном расстоянии r от источника объем газовой сферы равен 4 кг2Vdt, т. е. плотность газа оценивается величиной р = mdt/4 кг2Vdt = m/4кг2V, что совпадает с
формулой (29).
При условии постоянства скорости всех частиц, движущихся в радиальном направлении, газовые сферы (слои) не будут взаимодействовать друг с другом, т. е. давление между ними должно отсутствовать. Дополнительно можно заметить, что если положить m = pQ , где Q — расход вещества из источника, и принять условие р = const, из выражения (29) следует приведенное в [4-5] решение задачи о потоке несжимаемой жидкости из точечного источника:
V = Ql4кг2 .
Несмотря на то что полученное решение (31) формально удовлетворяет системе уравнений Эйлера (1)-(4) и его можно использовать для тестирования комплексов программ, предназначенных для решения задач о пространственном движении идеального нетеплопроводного сжимаемого газа, следует обратить внимание, что рассмотренный процесс физически нереализуем. Во-первых, трудно представить существование в пространстве уединенного постоянно действующего точечного источника сплошной среды. Во-вторых, из уравне-
f (r ) = ^2ms 2C4/ r4
ния (4) следует, что давление Р = о при к Ф1 и рФ о соответствует нулевому значению внутренней энергии, Е = о. Это, в свою очередь, означает, что температура газа равна абсолютному нулю, но полученный результат противоречит третьему началу термодинамики.
Выводы: получено формальное точное решение системы уравнений Эйлера для стационарного движения идеального сжимаемого нетеплопроводного газа, эмитируемого точечным источником в пустоту. Представлена интерпретация полученного результата. Данное решение может быть использовано для тестирования компьютерных комплексов вычислительных программ, предназначенных для исследования движения сжимаемой нетеплопроводной сплошной среды.
Список литературы
1. Седов, Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1 / Л. И. Седов. М. : Наука, 1983. 528 с.
2. Станюкович, К. П. Неустановившиеся движения сплошной среды / К. П. Станюкович. М. : Наука, 1971. 856 с.
3. Коробейников, В П. Задачи теории точечного взрыва / В. П. Коробейников. М. : Наука, 1985. 4оо с.
4. Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа / Л. Г. Лойцянский. М. : Наука, 1978. 736 с.
5. Валландер, С. В. Лекции по гидроаэромеханике / С. В. Валландер. Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1978. 296 с.
6. Давыдов, Ю. М. Моделирование нестационарных процессов в активных и реактивных двигателях / Ю. М. Давыдов, М. Ю. Егоров. М. : Нац. акад. приклад. наук, 1999. 272 с.
7. Корн, Г. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн. М. : Наука, 1977. 832 с.
8. Базаров, И. П. Термодинамика / И. П. Базаров. М. : Высш. шк., 1991. 376 с.
9. Бронштейн, И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. М. : Наука, 1986. 544 с.
