Решение Шварцшильда в Д-пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.12 Вестник СПбГУ. Сер. 4. 2013. Вып. 2

Т. Ангсачон, С. Н. Манида

РЕШЕНИЕ ШВАРЦШИЛЬДА В Д-ПРОСТРАНСТВЕ

Метрика Шварцшильда в пространстве анти-де Ситтера—Бельтрами. Одно из важнейших решений уравнений Эйнштейна — это решение Шварцшильда. Оно описывает гравитационное поле вне массивного сферически симметричного тела. Если пространство-время на больших расстояниях от источника этого поля имеет постоянную отрицательную кривизну —1/В, (пространство анти-де Ситтера), то соответствующая метрика в сферической системе координат хо, г, 8, ф имеет вид [1]

2 ( г2 2М \ 2 йг2 2 2

^ = 1 " ТР7----9-тт - г2с1П2, 1

V д2 Г ) 0 г2 2М '

1 R2 г

где dQ2 = dQ2 + sin2 8йф2. Это метрика Шварцшильда—анти-де Ситтера (SAdS). Перейдём в метрике (1) к координатам Бельтрами. Для этого проведём преобразование координат [2]:

и ■ Хо r ÍO\

хо i—>■ tí arcsm--, r^—=. (2)

Поставляя преобразование (2) в метрику (1), получаем

ом (л - rxodxo \ dx2 _ (xdx)2 _ 2Mh { R2h2 J

;,2 D2;,4 ,„;,4 ",x0 / олг..7,3\

2

J„2 _ __У-1-"-1-) _ 7 2__V ^ "U / fo>

~ h2 tí2h^ rhi 0 ( 2}Ir Ir \ ■ [á)

rh 1 —

/>5 )

Для сокращения размеров формул введены обозначения: йх2 = йх0 — йг 2, хйх = хойхо — — Гйг, Л2 = 1 + х2/Я2, Ь20 = 1 + х20/Я2.

Выражение (3) и есть метрика Шварцшильда—анти-де Ситтера в координатах Бельтрами (SAdSB).

Переходя к пределу с в (3) и определяя Мс = д, получаем метрику в виде

с2^\ гк; / 2д1\ сЧ2

^ 11 - 7н,

Это предельное выражение для метрики SAdSB и будет решением Шварцшильда в К-пространстве [3].

Тосапорн Ангсачон — аспирант, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: [email protected]

Сергей Николаевич Манида — кандидат физико-математических наук, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: [email protected] © Т. Ангсачон, С. Н. Манида, 2013

Можно записать действие для классической пробной частицы с массой т:

S = — mc

о Г dt

ds = — mli / -р-

1 -

2gt

(tr — r)2

rR

r2 t2cp 2

где r = dr/dt и cp = dQ/dt.

Лагранжиан такой системы имеет вид

г R2

L = -пг-

1

2gt (tr - г)2

r2 t2pp 2

(5)

Предел классической механики в Д-пространстве. Для получения классической механики (пространства Галилея—Ньютона) рассмотрим область пространства gt/R ^ r ^ R, r ^ R/t и разложим лагранжиан (5) в ряд по малым параметрам r/R, rt/R и gt/(rR):

(

1 R

t2

(

1 - -

\\

2gt (tr - r)2

~rR + (_ 2~gt

\

R2 1

rR

+

r212 cp 2 Д2

/ /

Н2 тдН т(1т — г)2 тг2<Ь2 . .

Поскольку уравнения движения не изменяются при добавлении к функции Лагранжа полной производной по времени от некоторой функции координат и времени, запишем (6) в виде

2 ™2 -2 тдН а (Н2 г2

mr mr cp L = — + —тг- +

2

2

rt

+ dt [ t 2t

и отбросим полную производную.

Перейдём к гамильтонову формализму. Введём импульсы радиальный

дЬ

и угловой

Pr = = dr

dL 2.

P'f = дф = = v

который, очевидно, является интегралом движения.

С помощью преобразования Лежандра построим функцию Гамильтона:

p2 p1

Н = РгГ+РуЦ - L = + —

2m 2mr2

mgR rt

(7)

Последнее слагаемое в (7) можно рассматривать как гравитационный потенциал

mG(t)

r

с медленно меняющейся постоянной всемирного тяготения

Гамильтониан (7) содержит параметр, который явно, но медленно, зависит от времени, поэтому используем метод адиабатических инвариантов [4].

Стационарная гамильтонова функция нашей системы представляет собой

Я0 = Ё- + _ ^ = Е0. 2т 2тг2 г

Уравнение Гамильтона—Якоби получаем в простом виде

¿(«'♦^(«•.ай-* ,8,

2т \дг) 2тг2 \ дф) г

где Б — полное действие для рассматриваемой системы. Будем искать его в виде

5 = Бг (г) + Мфф - Е0Ь. (9)

Подставляя выражение (9) в уравнение (8), получаем

дБг(г) , 2тЮ0 М2 —-- = \ 2тЕ0 Н----= рг.

дг г г2

Таким образом, адиабатические инварианты будут иметь вид

1 /* / т3

= = + (10)

Ър = ^ £рч4(р = М((!. (И)

Из суммы (10) и (11) для энергии системы и её зависимости от времени следует

т3д2Н2

Е=

2(1 г + 1ф)212 "

Метрика Шварцшильда в Д-пространстве и движение по квазикруговым орбитам. В этой части мы рассмотрим движение точечной пробной частицы с массой т в метрике Шварцшильда в Н-пространстве (4). Для чего воспользуемся методом уравнения Гамильтона—Якоби. В общей теории относительности уравнение Гамильто-на—Якоби представимо в виде [5]

= т2с2

дх^дх4

Следовательно, для метрики Д-пространства (4) уравнение Гамильтона—Якоби принимает вид

R2

1 -

2gt dt

7д

dS tr

+

1

dS

R2 _ M dr

rR

R2

1

2gt rR

dS dr

R2r2

fdS\2 1 Vдв) \dq>j

fdS\

(12)

При движении в плоскости 8 = л/2 уравнение Гамильтона—Якоби (12) упрощается:

R2

dS tr

+

dS

1

2gt dt R2 1 _ Igt dr

rR

rR

R2 V rR

dS dr

^V = m2. (13)

R2r2в1п2е \дч>)

Для решения этого уравнения используем метод разделения переменных, представив полное действие Б в виде суммы функций отдельных переменных:

S = s'i(i) + S2 (у) + Мфф.

(14)

При подстановке разложения (14) в уравнение (13) переменные разделяются и можно найти

«? -

S2

dx

Ml

A2

т2 R2 + -f

R2

1 _ ZJL

x

xg4 2

1 _

x

где x = r/t, xg = 2g/R, A — константа разделения переменных. В окончательном виде действие

S =

-А

+ dx

A2

R2

l-ZJL

x

xg4 2

Ml

т2Д2 + _a

1 _

x

+ мфФ.

(15)

Два уравнения движения получаются из дифференцирования (15) по произвольным

dS

константам A и Мф:

дА

const

(16) 17

2

2

2

1

t

2

2

t

2

= m

2

2

2

1

1

t

2

t

и

1

1

dS

дШ

= const.

Из уравнения (16) находим в неявном виде зависимость г(Ь):

R

7

А

m

dx

1 _ Z3_

x

(17)

(18)

А2 / ^7-1 +

Ml

m2R2x2

1 _ Z3_

x

а из уравнения (17) - форму траектории

ср = / dx-

Mi

А? R2

Теперь рассмотрим движение пробной частицы по почти круговой орбите. Для этого перепишем уравнение (18) в дифференциальной форме:

1 лг — в ,_

1 _ ZJL

x

где

U (x) = mR2

1 _

x

1 +

M2

m2R2x2

имеет смысл эффективного потенциала.

Движение по круговой орбите происходит при следующих условиях:

•4 = и, = 0.

ах

Решения уравнений (19) представим в виде

(19)

r±

I K_£t(1±

2 m2g2 R

M2

(20)

Легко убедиться, что г+ отвечает стабильной «круговой» орбите, а г— — нестабильной.

Множитель дЬ/Н в выражении (20) имеет смысл радиуса Шварцшильда. При г ^ ^ дЬ/Н подкоренное выражение в (20) близко к единице и

r + -

M2 fgt

m2 g2 R

Если подставить Ь = Т + т, где Т — возраст Вселенной, то радиус «круговой» орбиты будет зависеть от т:

г+(т)=г+(0)(1 + 1). (21)

и

m

x

2

x

Для примера рассмотрим изменение радиуса орбиты Луны за один год. Радиус орбиты Луны rm ~ 4 • 108 м, время жизни Вселенной T ~ 5 • 1017 с, длительность года т ~ 2,5 • 108 с. Из равенства (21) получаем годовое увеличение радиуса орбиты Луны Дг ~ 2 мм/год. Это изменение вполне совместимо с наблюдаемым увеличением радиуса орбиты Луны (34 мм/год), которое объясняется главным образом приливными силами, тормозящими вращение Земли.

Литература

1. Kottler F. Uber die physikalischen Grundlagen der Einsteinschen Gravitationstheorie // Ann. der Phys. 1918. Bd. 56. S. 401-462.

2. Манида С. Н. Дополнительные главы курса общей физики. Механика. СПб., 2007. 99 с.

3. Манида С. Н. Обобщения релятивистской кинематики // Теор. мат. физика. 2011. Т. 169, № 2. С. 323—336.

4. Ландау Л. Д., ЛифшицЕ. М. Механика. М., 2001. 214 с.

5. Ландау Л. Д., ЛифшицЕ. М. Теория поля. М., 1988. 531 с.

Статья поступила в редакцию 14 декабря 2012 г.