Решение планиметрических задач методом комплексных чисел на факультативных занятиях по математике в профильных классах общеобразовательной школы

Лесных С.Ю.; Пантелеев С.В.; Томилин В.Ю.

9 класса и его апробация во время прохождения педагогической практики в школе, включение в содержание материала о разложении рационального числа в цепную дробь по алгоритму Евклида и Эйлера, вычисление подходящих дробей активизирует познавательный интерес школьников. Материал усваивается девятиклассниками достаточно прочно, они могут решать несложные задачи, проявляют интерес, инициативу, творческий подход при самостоятельном изучении и дальнейшем обсуждении приложений цепных дробей в музыке, биологии, механике, астрономии.

Таким образом, изучение цепных дробей дает богатую возможность для применения этого материала в будущей профессиональной деятельности, как математика-ученого, так и математика-учителя.

РЕШЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ НА ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЯХ ПО МАТЕМАТИКЕ В ПРОФИЛЬНЫХ КЛАССАХ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец

В статье рассматривается метод комплексных чисел для решения планиметрических задач на факультативных занятия в профильных классах.

Факультативные занятия играют большую роль в совершенствовании школьного, в том числе математического образования. Цель факультативных занятий по математике заключается в ознакомлении школьников с важнейшими современными понятиями и идеями математической науки, отдельными вопросами, связанными с ее приложениями, а так же развитие интеллектуальных качеств личности, повышение познавательного интереса. Факультативный курс включает в себя такое содержание, которое предстоит осваивать школьникам за пределами общеобразовательного государственного стандарта.

Учитывая то, что учащийся вправе сам выбирать вид деятельности, занятия в соответствии со своими интересами, склонностями и способностями, и то, что индивидуальные различия учащихся в характере мыслитель-

* Кафедра Алгебры и геометрии. Научный руководитель: Белых О.Н., доцент кафедры Алгебры и геометрии, кандидат педагогических наук.

ной деятельности, степени подготовки тоже присутствуют, особую значимость в ходе факультативных занятий обретает индивидуальный подход и самостоятельность в процессе изучения содержания курса.

В работах И.М. Смирновой [2] рассмотрена концепция разделения учащихся по отношению к школьному курсу математики на три группы. Первую группу должны составлять школьники, для которых математика является лишь элементом общего развития и в их дальнейшей деятельности будет использоваться лишь в незначительном объеме. Для этой категории существенно овладение общей математической культурой. Во вторую группу могут входить учащиеся, для которых математика будет важным инструментом в их профессиональной деятельности. Для этой категории существенны не только знания о математических фактах, навыки логического мышления, пространственного представления, но и прочные навыки решения математических задач. Наконец, в третью группу нужно отнести тех учащихся, которые выберут математику в качестве основы своей будущей деятельности. Учащиеся этой группы проявляют повышенный интерес к изучению математики и должны творчески овладеть ее основами.

Любой факультативный курс конструируется таким образом, что несет в себе выполнение основных образовательных функций: психолого-педагогическую, познавательную и практическую. Психолого-педагогическая функция включает воспитание математической культуры учащихся. Сюда входят знания и умения, в формировании которых математика участвует наряду с другими школьными предметами, и также те знания и умения, которые составляют специфику самой математики.

Овладение практически любой современной профессией требует тех или иных знаний по математике. С математикой связана и компьютерная грамотность. Развитие науки и техники, высокий интеллектуальный уровень специалистов - все это приводит людей к необходимости пополнять свои знания и стремиться к повышению квалификации. Это выдвигает перед школой задачу всемерного развития у учащихся математических способностей, склонностей и интересов.

Психология является необходимой базой методики любого учебного предмета, в том числе и математики. Знакомство с психологическими теориями и концепциями помогает учителю глубже понять основные направления в совершенствовании учебного процесса по математике. Огромную роль здесь играет принцип единства сознания и деятельности, разработанный А.Н. Леонтьевым и С.Л. Рубинштейном.

Процесс изучения факультативного курса должен быть организован так, чтобы каждый учащийся в данный отрезок времени овладел одним и тем же объемом теоретического материала, выбрав такой уровень изложения этого материала, который соответствует его индивидуальным особенностям. При разработке курса для старшеклассников должен быть учтен и критерий са-

мостоягельности в обучении. Сочетание индивидуализации и самостоятельности при изучении содержания факультативного курса дает возможность школьникам выполнять различное количество упражнений разного уровня.

Поэтому при построении занятий со старшеклассниками удобно использовать такие особенности мышления, как умение сравнивать, анализировать, синтезировать, абстрагировать, обобщать, конкретизировать.

Формирование у учащихся способности к выполнению умозаключений влечет за собой развитие логического мышления. Развитие интеллекта в юношеском возрасте тесно связано с развитием творческих способностей. Старшеклассники не просто усваивают информацию, а проявляют интеллектуальную инициативу, стремятся к созданию чего-то нового, любят исследовать и экспериментировать. Все это создает благоприятную основу для развития творческого мышления.

Факультативный курс должен способствовать появлению у учащихся умения решать задачи. Решение задач занимает в математическом образовании огромное место. Психологические исследования проблемы обучения решению задач показывают, что основные причины несформированности у учащихся общих умений и способностей в решении задач состоят в том, что школьникам не даются необходимые знания о сущности задач и их решений, а поэтому они решают задачи, не осознавая должным образом свою собственную деятельность. У учащихся не вырабатываются отдельно умения и навыки в действиях, входящих в общую деятельность по решению задач, поэтому им приходится осваивать эти действия в самом процессе решения задач, что многим школьникам не под силу.

При создании факультативного курса «Арифметика комплексных чисел» для профильных классов общеобразовательной школы мы, кроме рассмотрения этого числового множества с алгебраической точки зрения, разработали несколько заключительных занятий, отражающих приложение комплексных чисел к решению планиметрических задач. Тем самым нам удалось показать, что комплексные числа служат хорошим средством установления межпредметных связей между алгеброй и геометрией.

Понятие комплексного числа обогащает и завершает одну из основных идей школьной математики - идею обобщения понятия числа. Аппарат комплексных чисел является хорошим аналитическим средством для решения различных геометрических задач. Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи прямым вычислением по готовым формулам. Выбор этих формул с очевидностью диктуется условием задачи и ее требованием. В этом состоит необычайная простота этого метода по сравнению с векторным и координатным методами, методом геометрических преобразований, конструктивно-синтетическим методом, требующими от решающего порой немалой сообразительности и длительных поисков. Систематическое изложение этого метода дано в книге Я.П. Понарина [1], которую мы и взя-

ли за основу изучения этого метода. Проиллюстрируем плодотворность метода комплексных чисел для решения планиметрических задач на одном примере.

Задача. Точка D симметрична центру описанной около треугольника АВС окружности относительно прямой АВ. Доказать, что расстояние CD выражается формулой: CD = R + АС + ВС - АВ , где R - радиус описанной окружности.

Решение. В основу метода положено рассмотрение координат точки как комплексное число. Если за нулевую точку плоскости принять центр О описанной около треугольника АВС окружности, то эта окружность будет иметь

уравнение zz = Я2 (рис. 1). Четырехугольник ОАВВ - ромб, следовательно,

^ ^ ^

OD = OA+ OB, а значит, d = a + b. Находим:

CD2 = (d - c)(d - c) = (a + b -c)(a + b - c) = = 3Я2 + (ab + ab) - (ac + ac) - (bc + bc).

Рис. 1

Этому же выражению равна правая часть доказываемого равенства:

Я2 + АС2 + ВС2 - АВ2 = Я2 + {а - с)(а - с) + (Ь - с)(Ь - с) - (а - Ь)(а - Ь) = = 3Я2 - (ас + ас) - (Ьс + Ьс) + (аЬ + аЬ).

Предложенная задача может быть решена и без комплексных чисел. Но ведь в том-то и дело, что алгебра комплексных чисел представляет собой еще один эффективный метод решения планиметрических задач. Речь может идти лишь о выборе метода, который более эффективен для данной задачи. Споры о преимуществах того или иного метода являются беспредметными, если рассматривать эти методы вообще, без применения к конкретной задаче.

Апробация факультатива в филиале СОШ п. Солидарность ООШ д. Екатериновка Елецкого муниципального района Липецкой области в 10-ом математическом классе показала, что учащиеся способны усвоить метод комплексных чисел для решения планиметрических задач.

Изучение этой темы преследует повышение математической культуры учащихся; углубление представлений о понятии числа; дальнейшее развитие представлений о единстве математики как науки. Это способствует повышению уровня знаний, умений и навыков во многих других разделов школьного курса, позволяет привести в систему те разрозненные знания о числовых системах, которые были получены старшеклассниками ранее.

Список литературы:

1. Понарин Я.П. Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах [Текст]: Книга для учащихся математических классов школ, учителей и студентов педагогических вузов. - М.: Изд. Московского центра непрерывного математического образования, 2004. - 160 с.

2. Смирнова И.М. Профильная модель обучения математике // Математика в школе. - 1997. - № 1. - С. 32.

ИССЛЕДОВАНИЕ СПОСОБОВ ОЦЕНИВАНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ОБУЧЕНИЯ В СОВРЕМЕННОМ УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ

Школа педагогики Дальневосточного федерального университета,

г. Уссурийск

В статье представлены данные эмпирического исследования по изучению процесса оценивания результатов обучения в современной школе. Описаны и проанализированы основные параметры, взятые учителями за основу при оценивании; формы поощрения и наказания, используемые педагогами; методы оценивая; типичные ошибки процедуры оценивания.

Проблема оценивания результатов обучения является значимой как для педагогической теории, так и для педагогической практики. Если теоретический аспект проблемы более всего волнует ученых, то прикладной аспект, отражающий механизм оценки уровня обученности и достижений ученика в различных сферах учебной деятельности, все больше волнует педагогов практиков. Оценивание результатов обучения школьников по-прежнему продолжает оставаться одной из проблем современной школы. Связано это с тем, что до сегодняшнего дня окончательно не разрешены многие вопросы

* Кафедра Исторического образования. Научный руководитель: Шабля И.Н., старший преподаватель кафедры Педагогики.

* Старший преподаватель кафедры Педагогики.

Аннотация научной статьи по наукам об образовании, автор научной работы — Лесных С. Ю., Пантелеев С. В., Томилин В. Ю.

Похожие темы научных работ по наукам об образовании , автор научной работы — Лесных С. Ю., Пантелеев С. В., Томилин В. Ю.