CC BY
68
ПРИЛОЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЛОСКОСТИ
© Дроздов Д.А.*, Родионов В.В.
Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец
В статье рассматривается метод комплексных чисел для решения планиметрических задач на преобразование плоскости.
Понятие комплексного числа, которое является одним из основных математических понятий, имеет многовековую историю. Изучение теории комплексных чисел связано с тем, что, во-первых, в этом разделе подводится итог учению о числе, излагавшемуся в различное время в течение предшествующих лет, во-вторых, комплексные числа широко применяются при изучении дисциплин физико-математического профиля.
Сегодня изучение комплексных чисел часто можно встретить в школьной практике в рамках факультативов и элективных курсов. Однако методисты современности отмечают, что рассматриваемая тема, как правило, плохо усваивается учащимися. Из личных бесед с учителями, преподавателями вузов, из результатов наших наблюдений за выпускниками школ можно выделить следующие основные недостатки в знаниях учащихся по этой теме: непонимание реального смысла комплексных чисел и отсутствие представлений об их приложениях. Одним из эффективных путей преодоления указанных недостатков является изучение геометрических приложении комплексных чисел.
Методические особенности изучения комплексных чисел в школе раскрыты в статьях многих математиков и методистов (И.Я. Баркова, И.Я. Ви-ленкина, Е.Г. Гаркави, М.В. Гиршовича, Г.В. Дорофеева, М.Е. Драбкиной, А.Н. Колмогорова, А.И. Маркушевича, С.И. Новоселова, А.И. Фетисова и др.). В них предлагаются различные подходы к введению этот понятия, анализируются вопросы, связанные с изучением свойств новых чисел, правил действии над ними. Некоторые аспекты изучения геометрических приложении комплексных чисел раскрыты в работах Г. Л. Луканкина, Я.П. Понарина, З.А. Скопеца, И.М. Яглома и др. В них предлагается теоретический материал и задачи.
В настоящее время внимание к геометрическим приложениям комплексных чисел ослаблено не только в школьной математической практике, но и изучение теории комплексных чисел в вузовском курсе алгебры и теории чисел никак не иллюстрируется при изучении аналитической геометрии.
* Научный руководитель: Белых О.Н., доцент кафедры Алгебры и геометрии, кандидат педагогических наук.
В Елецком государственном университете им. И.А. Бунина на кафедре алгебры и геометрии создано студенческое научное общество (СНО), занимающееся изучением приложения теории комплексных чисел к решению задач аналитической геометрии. В качестве теоретической основы взяты учебники И.М. Яглома [2] и Я.П. Понарина [1]. СНО объединяет на добровольных началах студентов физико-математического факультета. Члены СНО решают задачи аналитической геометрии методом комплексных чисел, проводят сравнительный анализ рассматриваемого и других методов решения, занимаются научно-исследовательской работой, в рамках которой готовят научные проекты, защищают курсовые и дипломные работы.
В нашей статье мы сделали попытку продемонстрировать приложение аппарата комплексных чисел к решению одной задачи на преобразование плоскости. Аналогичная задача решалась нами способом координат в первом семестре при изучении геометрии на плоскости.
Методы решения геометрических задач обладают некоторыми особенностями, а именно: большое разнообразие, трудность формального описания, взаимозаменяемость, отсутствие чётких границ области применения. Поэтому целесообразно рассмотреть применение подходов, приёмов, методов при решении конкретных задач.
Аппарат комплексных чисел является хорошим аналитическим средством для решения различных геометрических задач. Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи прямым вычислением по готовым формулам. Выбор этих формул с очевидностью диктуется условием задачи и её требованием. В этом состоит необычайная простота этого метода по сравнению с векторным и координатным методами, методом геометрических преобразований, конструктивно-синтетическим методом, требующими от решающего порой немалой сообразительности и длительных поисков, хотя при этом готовое решение может быть очень коротким. В результате применения комплексных чисел при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.
Метод комплексных чисел основан на следующих соображениях. Каждому комплексному числу z, записанному в алгебраической форме z = x + iy (x, у - действительные числа; i2 = -1), можно однозначно поставить в соответствие точку Мплоскости с координатами (х, у) (рис. 1): z = x + iy оМ(х, у). Комплексное число z называют комплексной координатой соответствующей точки М и пишут: M(z).
Таким образом, множество точек евклидовой плоскости находится во взаимно однозначном соответствии с множеством точек комплексной плоскости. Отталкиваясь от такого подхода, вся геометрия на евклидовой плоскости вслед за И.М. Ягломом [2] и Я.П. Понариным [1] переосмысливается нами.
Рис. 1
Итак, задача: «Комплексные числа a = 1 + 2i и c = 3 + 6i являются координатами противоположных вершин квадрата. Найдите координаты остальных вершин этого квадрата» [1, с. 101].
При анализе решения этой задачи мы предполагаем, что вершины квадрата А и С имеют соответственно координаты a = 1 + 2i и c = 3 + 6i, а искомые вершины D(d) и B(b) (рис. 2. Хотя для этой задачи рисунок на координатной плоскости не является необходимым. Мы используем его для проверки правильности решения).
Im z
D(d>* / \
4 / Л
3 ■Ш . Ъ(Ъ)
2
0 1 2 3 4 Re z
Рис. 2
Вершина А (а) переходит в вершину B(b), а вершина С(с) в вершину D(d) при преобразовании плоскости первого рода, являющимся поворотом прок
тив часовой стрелки на — (т.к. угол между диагоналями квадрата 90°) с центром S.
С точки зрения комплексной плоскости пусть точка M(z) переходит в
c — a b — a
точку M'(z'). Тогда из формулы: -= —-= a, где a - комплексное
c - а b - а
число, |а| - коэффициент подобия при одинаковой ориентации треугольни-
z — а b — а
ков ABM и A'B'M' имеем-=-= а.
z — а b — а
Откуда z' = az + р, а р = а'- аа (*) [1, с. 95]. В книге П.Я. Понарина доказывается, что ориентированный угол между любой прямой pz + pz + q = 0, q = q и её образом apz + apz + (aaq —app — app) = 0 при подобии z' = az + р
ap
первого рода постоянен и равен а = arg — = a.
p
Неподвижные точки подобий находятся с помощью формулы (*) при условии z' = z. Для подобия первого рода при a # 1 неподвижная точка S,
называемая центром подобия, имеет координату s = Р .
1 — a
Рассматривая частные случаи подобия, отмечаем, что при | a = 1, но ст^ 1 подобие (*) первого рода является движением с одной неподвижной точкой S, причём ориентированный угол между любой прямой и её образом равен а = arg a Следовательно, при |a| = 1 и ст^ 1 формулой z' = az + р задаётся
поворот с центром s = Р на угол а = arga [2]. 1 — a
Таким образом, для решения рассматриваемой задачи неподвижная точка
a + c
S имеет комплексную координату s = —-— = 2 + 4i (как середина диагонали
к
АС.) Так как угол между диагоналями АС и BD — = arg ст, то, очевидно, a= i.
Отсюда р = 4 + 3i (т.к. 2 + 4i = —Р). Из формулы (*) получаем: b = 4 + 3i,
1 — i
d = 5i. Сравнивая полученный результат с рис. 2, убеждаемся в правильности найденных координат вершин квадрата B(4 + 3i) и D(5i).
Анализ решений различных типов геометрических задач методом комплексных чисел позволяет сделать вывод о том, что для успешного применения теории комплексных чисел к решению геометрических задач необхо-
димо владеть рядом специальных умений. При этом особая роль принадлежит обобщенным приемам, т.к. именно они создают ориентировочную основу деятельности по решению учебных задач и обеспечивают переносимость приемов на широкий круг новых частных задач, необходимы для самостоятельного решения задач и овладения знаниями, играют существенную роль в умственном развитии.
Список литературы:
1. Понарин Я.П. Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах [Текст]: Книга для учащихся математических классов школ, учителей и студентов педагогических вузов. - Издательство: Московского центра непрерывного математического образования, 2004. - 160 с.
2. Яглом И.М. Комплексные числа и их применение в геометрии. - М.: Физматгиз, 1963. - 192 с.
