CC BY
41
9. Пылаева В.С. Дидактические идеи К.Д. Ушинского в современной начальной школе / В.С. Пылаева // Начальная школа. - 2008 - № 7. - С. 4-8.
10. Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии: учебник / С.Л. Рубинштейн. - СПб.: Питер, 2009. - 713 с.
11. Рузская А.Г. Некоторые особенности воображения младшего школьника // В кн.: Возрастная и педагогическая психология: Хрестоматия: учеб. пособие / Сост. И.В. Дубровская, А.М. Прихожан, В.В. Зацепин. - М.: Издательский центр «Академия», 2003. - С. 147-150.
12. Современные способы активизации обучения: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / Под ред. Т.С. Паниной. - М.: Академия, 2008. - 176 с.
13. ФГОС НОО 2 поколения: Приказ Министерства образования и науки РФ от 22 декабря 2009 г. № 373 [Электронный ресурс]. - Режим доступа: www.минобрнауки.рф.
О ПЕРСПЕКТИВАХ ИЗУЧЕНИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ В ПРОЦЕССЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ БАКАЛАВРА МАТЕМАТИКИ
© Гриднева М.В.*
Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец
В статье рассматриваются особенности изучения цепных дробей и их приложений в процессе математической подготовки бакалавров математики. Говорится о перспективах применения этого материала в будущей профессиональной деятельности, как математика-ученого, так и математика-учителя.
В контексте последнего варианта ФГОС бакалавр математики должен быть подготовлен к выполнению деятельности в областях, использующих математические методы и компьютерные технологии, созданию и использованию математических моделей процессов и объектов, разработке эффективных математических методов решения задач естествознания, техники, экономики и управления; программно-управленческому обеспечению научно-исследовательской, проектно-конструкторской и эксплуатационно-управленческой деятельности.
Дисциплина «Теория чисел» является одной из общепрофессиональных дисциплин федерального компонента и изучается на физико-математических факультетах в течение одного четвертого семестра.
После изучения курса «Теория чисел» студенты должны овладеть основными методами современной теории чисел, приобрести опыт использования
* Кафедра Алгебры и геометрии. Научный руководитель: Белых О.Н., доцент кафедры Алгебры и геометрии, кандидат педагогических наук.
теоретико-числовых методов в процессе решения задач смежных математических дисциплин (алгебры, геометрии, математического анализа и т.д.), получить представление о роли теории чисел в системе математического знания и перспективах ее применения в естественных и гуманитарных науках.
По завершению изучения теории чисел студент должен иметь представление о предмете и основных разделах теории чисел, о роли русских математиков в развитии теории чисел, о влиянии теории чисел на развитие других разделов математики, применении теоретико-числовых результатов в математике и ее приложениях.
Среди прочих вопросов дисциплины «Теория чисел» студентами изучаются цепные дроби, разложение рационального числа в цепную дробь, вычисление подходящих дробей, свойства подходящих дробей, приближение действительных чисел подходящими дробями.
Рациональные числа можно задавать в разной форме, например, одно и
а
то же число можно записать в виде отношения двух целых чисел — или в
Ь
виде десятичной дроби, причем эта дробь может быть конечной или бесконечной. Запись в виде десятичной дроби имеет ряд существенных преимуществ особенно при приближенных вычислениях, расчетах и т.д.
Здесь мы рассмотрим другую форму записи рациональных чисел, а именно представление их в виде так называемых непрерывных или цепных дробей. Большим преимуществом аппарата цепных дробей является то, что выражение любого рационального числа в виде цепной дроби не зависит от каких-либо других величин, кроме самого этого числа.
а
Пусть дано рациональное число —, причем Ь > 0. Применяя алгоритм
Ь
Евклида или алгоритм Эйлера, получаем конечное множество неполных частных (в алгоритме Евклида) или целых частей (в алгоритме Эйлера). Это и есть элементы цепной дроби: д0, д\, д2, д„, где д0 - целое, дь Ц2, • • •, Ц„ -
а
натуральные. Представление рационального числа — в виде:
Ь
а 1
Ь = 4 _1
41 +-
д2 +-
4з +-
1
1
•• + —
4
или в кратком обозначении — = \_д0; д1,д2,---, д„ ] называется конечной цепЬ
ной или непрерывной дробью.
Имеет место теорема о существования и единственности разложения всякого рационального числа в конечную цепную дробь.
Затем вводятся понятия подходящих дробей, их свойств, решаются практические задания различной сложности.
Цепные дроби широко применяются в теории чисел, например, это можно продемонстрировать студентам при решении сравнений, некоторых дио-фантовых уравнений и их систем.
Кроме этого, цепные дроби дают большое преимущество в точности при приближенном нахождении корней квадратных уравнений; вычислении логарифмов чисел, позволяют строить алгоритмы для вычисления корней алгебраических уравнений произвольной степени, а также удобны в использовании дробно-рациональные аппроксимации функций одного аргумента. На базе цепных дробей построены некоторые эффективные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений, неопределенных уравнений вида, уравнений рекуррентного типа, и других типов уравнений. Решение задачи Коши для линейных систем дифференциальных уравнений с частными производными можно представить ветвящимися цепными дробями, при наложении некоторых условий к системе и начальным условиям.
Цепные дроби используются для нахождения приближенных представлений функций. Эти приближения, являющиеся дробно-рациональными функциями от независимых переменных успешно заменяют данную функцию в тех областях изменения аргумента, где, например, разложение этой функции в степенной ряд расходится и где, следовательно, приближения в виде многочленов в большинстве случаев неприменимы. При использовании дробно-рациональных приближений отпадает необходимость вычислять высокие степени аргумента и появляется возможность вычислять значения отдельных функций.
Теория матричных ветвящихся цепных дробей позволяет решить следующие задачи: извлечение квадратного корня, корня третьей, четвертой степени и корня любой рациональной степени с помощью матриц, решение уравнений с помощью матриц второго порядка, решение уравнений высших степеней с помощью матриц (матричные рекуррентные уравнения применяются в задачах экономики, физики, плазмы и др.).
В настоящее время цепные дроби находят все большее применение в вычислительной технике, так как позволяют строить эффективные алгоритмы для решения ряда задач на ЭВМ.
Помимо теоретического использования правильных цепных дробей существуют и практические приложения цепных дробей. Среди всего их множества можно отметить следующие: решение обратных задач теплопроводности, исследование механических колебаний в валопроводах различных энергетических установок, синтез устройств частотной селекции на функциональных времязадающих элементах, исследование устойчивости, иссле-
дование установившихся и переходных процессов, стабилизация систем, исследование и обеспечение качества систем, исследование случайных процессов, оптимизация параметров и ряд других проблем в технике, в частности, в автоматике, радиоэлектронике, приборостроении и др.
Рассмотрение приложений цепных дробей и решение прикладных задач с их использованием, как правило, осуществляется в курсовых и дипломных исследованиях, а так же может стать плодотворной почвой для дальнейших научных исследований будущих математиков.
Однако хотелось бы остановиться еще на одном моменте. Определенный процент бакалавров, обучающихся по направлению 010100, в качестве своей будущей профессиональной деятельности будут иметь преподавание математики в школе. Какое отражение может найти на этом поприще тема «Цепные дроби», изученная в теории чисел?
Во-первых, изучение дробных чисел в школьном курсе разбивается на два этапа. На первом этапе рассматриваются понятие дроби, сложение и вычитание, а также умножение и деление на натуральное число; на втором -умножение и деление на дробь. На первом этапе: определения действий над дробями мало отличаются от определений соответствующих действий над целыми числами; первое расширение понятия об арифметическом действии дается на примере умножения на дробь.
Многие вопросы, входящие в первый этап, хотя и не в полном объеме, изучаются в начальной школе. В V классе средней школы прорабатывается систематический курс дробей, включающий вопросы обоих этапов изучения.
Хотя в курсе начальной школы учащиеся получили представление о простейших дробях, необходимо эту тему начинать с углубления и закрепления понятия о дроби. При этом следует исходить из рассмотрения конкретных примеров величин. Необходимо учитывать, что исторически дроби возникли в связи с потребностью измерять. В практике измерения простейшими задачами являются определение отрезка, площади прямоугольника и объема прямоугольного параллелепипеда. Для этих задач сначала нужны натуральные числа, дробные числа (а потом и иррациональные числа). Поэтому для иллюстрации различных вопросов школьного курса дробей лучше всего пользоваться долями линейной единицы, квадратичной единицы и кубической единицы.
В результате такой работы у учащихся создается отчетливое представление о дроби как совокупности равных долей единицы, и сами учащиеся составляют соответствующее определение. Многие учебники сразу же рассматривают второй способ получения дроби при делении целого числа на равные части.
Во-вторых, знания учащихся по дробям могут быть углублены путем изучения цепных дробей на факультативных занятиях по математике. Как показывает наш личный опыт разработки такого факультативного курса для
9 класса и его апробация во время прохождения педагогической практики в школе, включение в содержание материала о разложении рационального числа в цепную дробь по алгоритму Евклида и Эйлера, вычисление подходящих дробей активизирует познавательный интерес школьников. Материал усваивается девятиклассниками достаточно прочно, они могут решать несложные задачи, проявляют интерес, инициативу, творческий подход при самостоятельном изучении и дальнейшем обсуждении приложений цепных дробей в музыке, биологии, механике, астрономии.
Таким образом, изучение цепных дробей дает богатую возможность для применения этого материала в будущей профессиональной деятельности, как математика-ученого, так и математика-учителя.
РЕШЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ НА ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЯХ ПО МАТЕМАТИКЕ В ПРОФИЛЬНЫХ КЛАССАХ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ
© Лесных С.Ю.*, Пантелеев С.В.*, Томилин В.Ю.*
Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец
В статье рассматривается метод комплексных чисел для решения планиметрических задач на факультативных занятия в профильных классах.
Факультативные занятия играют большую роль в совершенствовании школьного, в том числе математического образования. Цель факультативных занятий по математике заключается в ознакомлении школьников с важнейшими современными понятиями и идеями математической науки, отдельными вопросами, связанными с ее приложениями, а так же развитие интеллектуальных качеств личности, повышение познавательного интереса. Факультативный курс включает в себя такое содержание, которое предстоит осваивать школьникам за пределами общеобразовательного государственного стандарта.
Учитывая то, что учащийся вправе сам выбирать вид деятельности, занятия в соответствии со своими интересами, склонностями и способностями, и то, что индивидуальные различия учащихся в характере мыслитель-
* Кафедра Алгебры и геометрии. Научный руководитель: Белых О.Н., доцент кафедры Алгебры и геометрии, кандидат педагогических наук.
* Кафедра Алгебры и геометрии. Научный руководитель: Белых О.Н., доцент кафедры Алгебры и геометрии, кандидат педагогических наук.
* Кафедра Алгебры и геометрии. Научный руководитель: Белых О.Н., доцент кафедры Алгебры и геометрии, кандидат педагогических наук.
