Научная статья на тему 'Решение параллактического треугольника светила'

Решение параллактического треугольника светила Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
116
8
Поделиться

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Шивринский Вячеслав Николаевич, Горшков Олег Валентинович

Рассмотрено решение параллактического треугольника светила для определения курса и координат местонахождения летательного аппарата в ночное время по двум светилам и в дневное время по Солнцу

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Шивринский Вячеслав Николаевич, Горшков Олег Валентинович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Решение параллактического треугольника светила»

УДК 629.7.05

В. H. ШИВРИНСКИЙ, О. В. ГОРШКОВ

РЕШЕНИЕ ПАРАЛЛАКТИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА СВЕТИЛА

Рассмотрено решение параллактического треугольника светила для определения курса и координат местонахождения летательного аппарата в ночное время по двум светилам и в дневное время по Солнцу.

Для построения астрономических компасов, астроориентаторов, их оперативного контроля на регламентных работах и в режиме эксплуатации в астрономической навигации часто приходится решать полярный (параллактический) треугольник светила. Вычислители астроориентаторов и астрокомпасов, моделирующие небесную сферу, довольно громоздки, само же решение задачи требует много времени. Решение полярного треугольника светила, с приемлемой для практической навигации точностью, значительно упрощается при применении современных микропроцессорных систем.

Параллактическим треугольником Р (рис.1) называют сферический треугольник, сторонами которого являются: дуга небесного меридиана Р^, дуга вертикали светила ЪС и дуга круга склонения Р^С.

г i

\

VI

у

.Z

X

у

/

Я1

0/ / 1\

\ V Jt \ \ у]

\ * / \ 4/

/

Рис. 1. Вспомогательная небесная сфера В. Н. Шивринский, О. В. Горшков, 2005

Высота полюса мира г^ над горизонтом равна широте места наблюдателя, а дуга PNZ дополняет широту места до 90°. Дугами ZC и РмС измеряются соответственно зенитное и полярное расстояния. Угол PN равен местному часовому углу светила, угол Z - дополнению азимута светила до 360°, угол С называют параллактическим углом и обозначают q. В зависимости от координат летательного аппарата и светила параллактический треугольник может иметь вид, представленный на рис.2, где приняты следующие обозначения: ф - широта места наблюдателя; t - часовой угол (tE - восточный часовой угол), Aw - западный азимут (А - азимут), h - высота, 5 - склонение светила.

Если часовой угол западный, то азимут светила отсчитывается в западном направлении (рис.2, а). При восточном часовом угле азимут светила тоже восточный (рис.2, б).

При заданных значениях широты ф и долготы А места наблюдателя, звездного гринвичев-ского времени Sip, прямого восхождения а и склонения 5 светила значение высоты будет оп-ределяться уравнением (1).

sin(h) = sin((р) ■ sin(SJ + cos((p) x (1) x cos(8) • cosíS,.p - a + л).

Предварительное значение азимута А, светила определяется по формуле (2)

sint-cosó

~~Вг ' (2)

А - arctg

90-h

б)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

90-h

Pn

Рис. 2. Параллактический треугольник светила

где I — часовой угол светила,

/ = 5 -а + Х, (3)

гр

В, = со^ф )-зт(Ъ )х (4)

»

х соб( 5 )-соз( I)

Для определения квадранта азимута светила А по предварительно вычисленному значению А1 необходимо воспользоваться таблицей.

Определение квадранта азимута светила

Знаки Азимут А

В, sin(t)

+ + 2-я - Ai

- + 71 - Ai

- - 71 - Ai

+ - -А,

Алгоритм вычисления высоты и азимута светила сводигся к следующему.

После ввода исходных данных: широты ф, долготы X места наблюдателя, звездного грин-вичевского времени прямого восхождения а, и склонения 5 светила вычисляются часовой угол X, параметр Вь высота и предварительное значение азимута А] по формулам (1) и (2). Затем необходимо определить значение квадранта азимута по таблице. В первую очередь проверяем значение В[. Если В1 меньше нуля, то проверять знак эш^) нет необходимости, а значение азимута будет равным (л - А1). Если В! больше нуля, то необходимо проверить знак втф, и в том случае, если бш(Х) больше нуля, то азимут будет вычисляться как (2-71 - АО, а если бш^) меньше нуля, то как (- А1).

Для определения координат места самолёта широко используется метод навигатщи, получивший название метода кругов равных высот. Суть метода заключается в том, что с помощью автоматических секстантов измеряются высоты Ъ и курсовые углы КУ двух звёзд. По этим данным, путём решения системы трансцендентных алгебраических уравнений типа (1), определяются координаты места самолёта и курс. Недостатком этого метода является то, что его молено использовать только в ночное время. Днём

можно использовать высотно-азимутальный метод определения координат места самолёта.

Рассмотрим решение параллактического треугольника, изображённого на рис. 2, б. Зная значения азимута и высоты светила, используя формулы для решения косоугольных сферических треугольников, можно получить следующие соотношения.

sm(90-h) / sm(tE) = sin(90- 5) / sin(A), (5)

тогда

sin(tE) = cos(h) srn(A) / cos(5) (6)

и

cos(90- 5) = cos(90-h) cos(904p) + +sm(90-h) sin(90-<p) cos(A),

отсюда

sin(8) = sin(h) 5ш(ф) + cos(h) соз(ф) cos(A). (7)

В электротехнике используется понятие «мгновенное значение напряжения» - это вектор, значение которого определяется как u=Um sin(cüt+90) или и — a sm(cot)+b cos(cot), (8)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где Um = ja2 +b2 ; = b / a.

Введём обозначения cot = <p; a = sin(h); b = cos(h) cos(A); tg(9o) = b / a = cos(h) cos(A) / sin(h);

Um= Vsin2(h) + cos2(h)-cos2(A) . (9)

Сравнивая (7) и (8) с учётом (9), получим sin(5) =

= [J sin2 (h)+cos? (h)-cos2 (А) ] яп(ф+ф0). (10)

Отсюда 8ш(ф+ф0) = sin(5) /

y¡sin2(h) + cos2 (h) ■ cos2 (А) и

ф+ф0 = arcsin[sin(6)

isin2(h) + cos (h) ■ cos2(A) ]. (11)

С учётом (9) уравнение (11) перепишем в виде Ф = arcsin[sin(5) /

4¡sin2(h) + cos2(h) • cos2(А) -

- arctg[cos(h) cos(A) / sin(h)]. (12)

Таким образом, уравнения (12) и (6) позволяют определить широту места наблюдателя и часовой угол светила в явном виде по измеренным значениям высоты и азимута одного светила.

Азимут светила определяется как

А = И К + КУ, (13)

где ИК - истинный курс летательного аппарата, КУ — курсовой угол светила.

Из уравнения (3) по вычисленному значению часового угла светила можно определить долготу места летательного аппарата.

= 1 + (14)

где 1 = 360°-(:Е.

На основе уравнений 1—4, 12-14 была написана программа, имитирующая работу горизонтального астроориентатора. Адекватность полученной модели оценивалась по данным авиационного астрономического ежегодника и табли-• цам высот и азимутов Солнца, Луны и планет. Погрешность вычисления координат места самолёта не превысила 0,1°.

Шивркпский Вячеслав Николаевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Измерительно-вычислительные комплексы» УлГТУ. Имеет научные работы в области авиационного приборостроения.

Горшков Олег Валентинович, ассистент кафедры «Измерительно-вычислительные комплексы» УлГТУ. Имеет работы в области авиационного приборостроения.

*