Решение одной обратной задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 2

5. Salimov R. B., Shabalin P. L. Hilbert boundary value problem of the theory analytic functions and its applications. Kazan, Kazan Math. Publ., 2005, 297 p. (in Russian).

7. Levin B. Ya. Distribution of zeros of entire functions. Moscow, Gostekhizdat, 1956, 632 p. (in Russian).

two-side curling at infinity of order less than 1/2. Ufa Math. J., 2013, vol. 5, no. 2, pp. 82-93 (in Russian).

6. Salimov R. B., Shabalin P. L. On solvability of homogeneous Riemann - Hilbert problem with a countable set of coefficients discontinuities and

УДК 519.642.8

РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

А. А. Хромов

Хромов Александр Августович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальных уравнений и прикладной математики, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, [email protected]

Дано решение задачи о нахождении равномерных приближений к правой части линейного обыкновенного дифференциального уравнения общего вида в случае, когда заданы приближения к точному решению. Построенный метод имеет простую конструкцию, не требует дополнительной информации о точной правой части, дает равномерные приближения к ней на всем отрезке, не связан с краевыми условиями.

Ключевые слова: обыкновенное дифференциальное уравнение, регуляризация, оператор Стеклова. DOI: 10.18500/1816-9791 -2016-16-2-180-183

1. Рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение:

в предположении, что у(х) е Сп[0,1], а(х) е С[0,1], г = 0,..., п.

Пусть у(х) — решение некоторой краевой задачи для уравнения (1), и нам известно равномерное приближение (х) к у(х) такое, что \у§ — у\\с[од] ^ 6. Требуется по (х) и 6 найти равномерные приближения к /(х).

Эта задача поставлена некорректно и ее решение требует применения методов регуляризации [1].

В работе [2] предлагается несколько таких способов: либо свести задачу к задаче решения интегрального уравнения первого рода с ядром Грина, либо аппроксимировать производные с помощью разностных формул, либо свести вычисление каждой из производных к решению интегрального уравнения первого рода с оператором кратного интегрирования. Недостатками этих способов являются в первом случае трудности с обращением дифференциального оператора при произвольных краевых условиях, во втором случае — невозможность получить решение на всем отрезке [0,1], так как аргументы в разностных формулах выводят нас за границы отрезка, а третий способ можно применить лишь в частном случае краевых условий. При этом в первом и третьем способах еще нужно найти метод регуляризации интегрального уравнения, не требующий никакой дополнительной информации о решении, а только его непрерывности, что является самостоятельной проблемой.

В [3] на базе операторов из [4] дается метод решения поставленной задачи при п = 2 применительно к известной обратной задаче для уравнения теплопроводности, свободный от указанных недостатков. В настоящей работе приводится обобщение метода из [3].

Используем семейство интегральных операторов из [5], равномерно аппроксимирующих непрерывную производную любого порядка функции, заданной на отрезке [0,1]. Оно имеет вид

ao(x)y(n)(x) + ai(x)y(n 1}(x) + ■ ■ ■ + an (x)y(x) = f (x)

(1)

Тта2У, X G [0, 1/2], Tmaiy, X G [1/2, 1],

где

m

Tmaiy = Dmsmi+1 y = a-(m+i) ^(-1)kcmFi(x - ka),

k=0

© Хромов А. А., 2016

Tma2y = У = (-1)kcmF2(x + (m - k)a), (2)

k=0

x x+a

Sal У = - y(t)dt, Sa2y = - y(t)dt, a J a J

x — a x

D — оператор дифференцирования,

x x+a

Fi (x)= / y(C)dC, F2(x)= / y(C)dC, m ^ 1, a ^ J+ .

x — a x

Справедлива [5]

Теорема 1. Для любой y(x) е Cm [0,1] при a ^ 2(m1+1) имеет место сходимость

||Tmay - y(m)||L^[0,1] ^ 0 при a ^ 0,

где У ' H-Lrc = max{| ■ [0,1/2], У ■ Ус[1/2,1]}■ Лемма 1. Справедливы равенства:

|Tma||с[0,1]^ьте[0,1] = 2ma-m, m = 1,..., n. (3)

Доказательство вытекает из формул:

^ma^C^L^ = max{|Tma2 ^C [0,1]^C[0,1/2] , ||Tma1 Нс [0,1]^C [1/2,1] }

1

| Tmaj Tmaj (x, t) 1 dt;

c^x^aJ

0

где Tmaj(x, t) — ядро интегрального оператора Tmaj, j = 1, 2; [c, d] = [0,1/2] для j = 2, [c, d] = [1/2,1] для j = 1, и формул (2).

Введем в рассмотрение величины:

Д(8, Tma, y(m)) = SUp{ |TmayS - y(m) ||l^ : Ь - y||c ^ 8}, m = 1, . . . , П.

По аналогии с теоремой 3 в [5] из теоремы 1 и леммы 1 следует

Теорема 2. Для сходимости Д(8, Tma,y(m)) ^ 0 при a ^ 0, 8 ^ 0 необходимо и достаточно выполнения согласования a = a(8)), удовлетворяющего условиям: a(8) ^ 0 и 8(a(8))—m ^ 0 при 8 ^ 0.

2. Построим приближенное решение нашей задачи с помощью операторов Tma. Рассмотрим функции

/f (x) = a0 (x)T„ay¿ + «1 (x)Tn—1,a y¿ +-----+ an—1(x)T1a y¿ + a„(x)y¿.

Теорема 3. При согласовании a = a(8), удовлетворяющем условиям a(8) ^ 0 и 8(a(8))—n ^ 0 при 8 ^ 0, имеет место сходимость

||/T(5) (x) - f (x)|L^ [0,1] ^ 0 при 8 ^ 0. Доказательство. Из (1) следует очевидная оценка:

/(x) - /(x)||l^ ^ A0||Tnay* - y(n)|L^ + ■ ■ ■ + An—1 |T1ay¿ - y'^ + An||y5 - y|c, (4)

где Ak = ||afc(x)|c[0,1], k = 0,... ,n. Поскольку

|Tmay5 - y(m) ||L„ ^ Д(8, Tma, y(m) ),

m = 1,...,n, а согласование a = a(8), указанное в теореме, достаточно для сходимости 8(a(8))—m ^ 0 при 8 ^ 0, если m ^ n, то отсюда вытекает утверждение теоремы. □

m

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 2

3. Пусть нам известно, что у(п) £ Ырк 1. Справедлива

Лемма 2. При каждом фиксированном а выполняются оценки:

||Тта у У Н-гс ^ (т + 1)Мт+1 а, (5)

где Мт+1 = ||у(т+1) Не[0,1], т = 1,..., п - 1.

Доказательство. Из равенств Тт^ = , Бту = у(т) и оценки Ц^Р - рЦс ^

^ ка), где ^ = 1, 2, ^(ж) — любая непрерывная на [0,1] функция, ка) — ее модуль непрерывности, следует, что

НТтау - у(т) Н-гс ^ ^(У(т), (т + 1)а).

Но каждая из функций у(т) (ж) при т = 1,..., п — 1 принадлежит в силу ограниченности ее производной классу Ырмт+11. Значит, ^(у(т), (т + 1)а) ^ Мт+1 (т + 1)а, откуда следует утверждение леммы. □

Теорема 4. Если у(п) (ж) £ Ырк 1, то справедлива оценка:

п —1

п/о^ - / Н-гс ^ соб ^ + ^ ск б ^+Ап (6)

к=1

а(б) = Сб п+т, (7)

где

1 п—1 т

С = (Ао2пВ—1) —, В = АоК(п + 1) + £ АкМп—к+1, Со = 2(Ао2пВп) —, Ск = Ак2п—к () ~ •

к=10

Доказательство. Запишем оценку (4) в виде

Н/а - / Н-гс ^ Ао(НТпау - у(п) Н-гс + бНТпаНс^Ьгс ) + (Ц^—1,а у - у(^^Н-гс + +бЦТп —1,а Нс ^Ьгс ) +-----+ Ап—1 (НТ1а у - у' Ц-гс + бЦТ^Цс ^Ьгс ) + Ап б.

Подставим в правую часть этой оценки равенства (3) и оценки (5). Тогда получим:

п— 1

Н/а - /Н-гс ^ Ва + ^ 2п—ка-(п—к) + Апб, (8)

к=о

где В определена в теореме, Мк = Цу(к)ЦС[о)1].

Выберем а = а(б) из разумных соображений — из равенства первого слагаемого в правой части оценки (8) самому большому по асимптотике а, содержащему отрицательные степени а, т. е. из равенства Ва = Ао2па—пб. Отсюда получаем (7). Подставляем (7) в оценку (8) — получаем оценку (6).

Если известны числа Мк, то все константы в (6) и (7) имеют конкретные значения, если же неизвестны, то формула (7) и оценка (6) дают нам информацию лишь о порядке по б этих формул.

Библиографический список

1. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория 4. Хромов А. А. Приближение функции и её произ-линейных некорректных задач и ее приложения. водных с помощью модифицированных операторов М. : Наука, 1978. 206 с. Стеклова // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Ма-

2. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. тематика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, М. : Изд-во Моск. ун-та, 1994. 206 с. вып. 4, ч. 2. С. 593-597.

3. Хромов А. А., Хромова Г. В. Решение задачи об 5. Хромов А. П., Хромова Г. В. Разрывные операто-определении плотности тепловых источников // ры Стеклова в задаче равномерного приближения Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Ме- производных на отрезке // Журн. вычисл. матем. ханика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 3. С. 309- и матем. физики. 2014. Т. 54, № 9. С. 1442-1447. 314. ЭО!: 10.18500/1816-9791-2015-15-3-309-314. 001: 10.7868/Б0044466914090099.

182

Научный отдел

The Solution of a Certain Inverse Problem A. A. Khromov

Aleksandr A. Khromov, Saratov State University, 83, Astrakhanskaya st., 410012, Saratov, Russia, [email protected]

Thesolution is givenforthe problem of findinging uniform approximations of athe right-hand side of a general linear ordinary differential equation in the case when approximations of the exact solution are known. The constructed method has a simple structure, produces approximations of the right-hand side on the whole interval of definition and does not employ boundary conditions.

Key words: ordinary differential equation, regularization, Steklov discontinuous operator.

References

1.

Ivanov V. K., Vasin V. V., Tanana V. P. Teoriia lineinykh nekorrektnykh zadach i ee prilozheniia [The theory of linear ill-posed problems and its applications]. Moscow, Nauka, 1978, 206 p. (in Russian).

2. Denisov A. M. Vvedenie v teoriiu obratnykh zadach [Introduction to the theory of inverse problems]. Moscow, Moscow Univ. Press, 1994, 206 p. (in Russian).

3. Khromov A. A., Khromova G. V. The Solution of the Problem of Determining the Dendity of Heat Sources in a Rod. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2015, vol. 15, iss. 3, pp. 309-

314. DOI: 10.18500/1816-9791-2015-15-3-309-314 (in Russian).

Khromov A. A. Approximation of Function and Its Derivative by the Modificated Steklov Operator. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2014, vol. 14, iss. 4, pt. 2, pp. 593-597 (in Russian).

Khromov A. P., Khromova G. V. Discontinuous Steklov operators in the problem of uniform approximation of derivatives on closed integral. Comput. Math. Math. Phys., 2014, vol. 54, no. 9, pp. 1389-1394. DOI: 10.1134/S09655425140 90085.