CC BY
12
ISSN 1560-3644 UNIVERSITY NEWS. NORTH-CAUCASIAN REGION. TECHNICAL SCIENCE. 2021. No 4
ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ INFORMATICS, COMPUTER ENGINEERING AND CONTROL
Научная статья УДК 681.3.681.5
doi: 10.17213/1560-3644-2021-4-5-10
РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНОЙ МИНИМАКСНОЙ ЗАДАЧИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ АЛГОРИТМОМ БЕЗ ВОЗВРАТОВ
В.Г. Кобак, В.В. Шевченко
Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Россия
Аннотация. Рассматривается решение распределительной задачи для однородных систем с помощью эвристического алгоритма без возвратов, генетической модели и использование в модифицированной модели Голдберга в качестве элитной особи. Данная задача является NP-полной и решается точными алгоритмами до определенных размеров. Поэтому получили большое распространение генетические, списочные и другие эвристические алгоритмы. Предлагается для решения однородной минимаксной задачи алгоритм без возвратов, основанный на идее алгоритма Романовского, но в отличие от него не является точным. Аналитически доказать, насколько экспериментальный алгоритм лучше или хуже списочных алгоритмов, не получается в силу сложности задачи. При решении модифицированной моделью Голдберга использовался элитизм, где в качестве элитной модели применялся экспериментальный алгоритм. Проведён анализ результатов работы каждого из предложенных алгоритмов и сделаны выводы об их эффективности.
Ключевые слова: распределительная задача, однородная система, эвристический алгоритм без возвратов, модель Голдберга, вычислительные эксперименты, множество заданий, списочные алгоритмы, начальная популяция
Для цитирования: Кобак В.Г., Шевченко В.В. Решение однородной минимаксной задачи экспериментальным алгоритмом без возвратов // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2021. №4. С. 5 - 10. http://dx.doi.org/10.17213/1560-3644-2021-4-5-10
Original article
SOLUTION OF THE HOMOGENEOUS MINIMAX PROBLEM BY AN EXPERIMENTAL ALGORITHM WITHOUT RETURNS
V.G. Kobak, V.V. Shevchenko
Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia
Abstract. This paper considers the solution of the distribution problem for homogeneous systems using a heuristic algorithm without returns, a genetic model and use in the modified Goldberg model as an elite individual. This problem is NP-complete and is solved by precise algorithms up to certain sizes. Therefore, genetic, list and other heuristic algorithms have become widespread. An algorithm without returns based on the idea of The Romanovsky algorithm is proposed to solve a homogeneous minimalx problem, but unlike it is not accurate. It is not possible to prove analytically whether an experimental algorithm is better or worse than the list algorithms due to the complexity of the problem. When solving the modified Goldberg model, elitism was used, where an experimental algorithm was used as an elite model. The analysis of the results of the work of each of the proposed algorithms is carried out and conclusions about their effectiveness are drawn.
Keywords: distribution problem, homogeneous system, heuristic algorithm without returns, Goldberg model, computational experiments, set of tasks, list algorithms, initial population
For citation: Kobak V.G., Shevchenko V.V. (2021) Solution of the homogeneous minimax problem by an experimental algorithm without returns. University News. North-Caucasian Region. Technical Sciences, 2021, no. 4, рp. 5 - 10. http://dx.doi.org/ 10.17213/1560-3644-2021-4-5-10
© Кобак В.Г., Шевченко В.В., 2021
ISSN 1560-3644 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН._ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2021. № 4
ISSN 1560-3644 UNIVERSITY NEWS. NORTH-CAUCASIAN REGION. TECHNICAL SCIENCE. 2021. No 4
Введение
В настоящее время широкое распространение и развитие получили вычислительные устройства с многопроцессорной архитектурой. Причём такие устройства могут входить в состав более сложных в организации многомашинных комплексов, позволяющих решать трудные вычислительные задачи путём распределения процесса между вычислительными ресурсами. Однако в процессе распараллеливания вычислительного процесса может возникнуть дисбаланс в загрузке доступных ресурсов. Поэтому важной задачей является равномерное распределение загрузки всех вычислительных ресурсов. Решение этой задачи даёт использование эвристических алгоритмов составления расписаний. Построение оптимального расписания распределения заданий по процессорам относится к задачам ЛР-полным, т.е. трудоемкость решения распределительной задачи определяется пропорционально формуле как 0(пт), где О - временная асимптотическая сложность алгоритма, а п и т -целые числа больше единицы, обозначающие количество устройств и заданий соответственно, которые задают размерность распределительной задачи пт. В рамках теории расписаний исследуются методы, позволяющие упорядочить последовательность выполнения совокупности работ таким образом, чтобы время выполнения задачи в целом было минимальным.
Постановка задачи
Задача теории расписаний для однородных систем обработки информации может быть сформулирована следующим образом. Имеется система обслуживания, состоящая из N независимых устройств Р , Р2, • ••, Рп }. На обслуживание поступает набор из М параллельных и независимых заданий Т = t2, ..., tm}. т(Уг-,р.) -длительность обслуживания задания и устройством р;, определяется матрицей Тт. При этом каждое задание должно выполняться хотя бы на одном из процессоров. В каждый момент времени отдельный процессор обслуживает не более одного задания и выполнение задания не прерывается для передачи на другой процессор. Необходимо определить такое распределение заданий по устройствам без прерываний, чтобы время выполнения всей совокупности заданий было минимальным. Задача составления расписания сводится к разбиению исходного множества заданий на п непересекающихся подмножеств, т.е. Тг:У /,] е[1, П Т = 0 и и"=1 Т=Т. Критерий
минимизации времени завершения обслуживания заданий является минимаксным критерием и определяется в следующем виде: f = max f ^-min,
1< j <n j
где f = , p )gtPj) - время завершения работы процессора pj [1 - 3].
Методы решения распределительной задачи
Существует два класса методов решения распределительных задач: точный и приближенный. К точным методам можно отнести алгоритмы Романовского и Алексеева, а также алгоритм полного перебора. Второй класс содержит в себе различные списочные, эвристические и др. К списочным методам можно отнести алгоритм критического пути, алгоритм Пашкеева и др. Эвристические методы - генетические алгоритмы, метод отжига, метод роящихся частиц и др. Для получения оптимального решения однородной распределительной задачи используются точные методы решения. С увеличением размерности, в силу ее NP--полноты, а также при сужении диапазона ресурсных оценок распределяемых заданий оптимальное решение за доступное время может стать недостижимым. В этой ситуации приходится ориентироваться на быстрые, но приближенные методы, позволяющие получить решение, близкое к оптимальному, такие как генетические алгоритмы.
Списочные методы
В качестве метода нахождения приближенного решения можно использовать списочные методы, некоторые из них описаны ниже.
Первым списочным алгоритмом является алгоритм критического пути, который можно сформулировать следующим образом:
1. Задания матрицы загрузки упорядочиваются в порядке убывания значений элементов.
2. Текущее задание распределяется на прибор с наименьшей загрузкой. Если таких приборов несколько, то задание распределяется на прибор, стоящий слева.
3. Алгоритм заканчивает работу, когда все задания распределены по обработчикам.
Вторым списочным алгоритмом является алгоритм Пашкеева. Принцип его действия описывается так:
1. Задания матрицы загрузки упорядочиваются в порядке убывания значений элементов.
2. Оценивается загрузка на крайних обработчиках (первом и последнем).
ISSN 1560-3644 UNIVERSITY NEWS. NORTH-CAUCASIAN REGION.
TECHNICAL SCIENCE.
2021. No 4
3. Задания распределяются последовательно по N приборам, начиная с крайнего с наименьшим значением нагрузки.
4. Алгоритм заканчивает работу, когда все задания распределены по обработчикам.
Экспериментальный списочный алгоритм основан на идее алгоритма Романовского, формулируется следующим образом:
1. Задания матрицы загрузки упорядочиваются в порядке убывания значений элементов.
2. Производим вычисление нижней грани-
цы поиска оптимального решения Ua =
£ m
i=0
3. Верхняя же граница поиска иЬ изначально равняется нижней.
4. Находим размер «Свободное место» по
( \
формуле FR =
Ub • n
m
£ m
V i=0 У
5. Последовательно назначаем задания обработчикам, проверяя следующие условия: нагрузка на устройство с назначенным заданием не должна быть больше верхней границы нагрузки. Или должно выполняться хотя бы одно из двух условий: 1) значение обработчика с назначенными текущим и минимальным по значению заданием не должно превышать верхнюю границу нагрузки; 2) разница между верхней границей нагрузки и значением нагрузки процессора с помещенным заданием не должно превышать текущее значение «Свободное место».
6. Если условие выполняется, то помещаем задание на обработчика, удаляя его из множества заданий.
7. После прохода всего множества заданий проверяем суммарную нагрузку на процессор. Если нагрузка на процессор превышает верхнюю границу, то уменьшаем «Свободное место» на разницу между верхней границей и нагрузкой процессора.
8. После прохода всех обработчиков проверяем: если осталось свободное место, то увеличиваем верхнюю границу на 1 и повторяем алгоритм, иначе выходим из алгоритма.
Для оценки точности вышеописанных алгоритмов используется алгоритм Алексеева, позволяющий получить точное решение.
Вычислительный эксперимент
Для проверки эффективности экспериментального списочного алгоритма в сравнении с алгоритмами критического пути и Пашкеева был проведен вычислительный эксперимент с помощью программного средства, написанного на языке программирования C#. В качестве аппаратного обеспечения использован ноутбук с процессором Intel Core i5-9300H и оперативной памятью объемом 16 гигабайт. Критерием оценки служил алгоритм Алексеева, позволяющий получать точное решение. Исходными данными в эксперименте являются: 100 случайно сгенерированных матриц размерностями 3х24...26, с диапазоном значений 15 - 25. Результаты вычисления средних значений при заданных выше условиях приведены в табл. 1.
Вычисление только лишь средних значений для определения пригодности алгоритма недостаточно, поэтому была проведена оценка частоты нахождения алгоритмами точных решений. В табл. 2 - 4 приведены сравнения точности для случаев 3х24, 3х25, 3х26 соответственно.
Таблица 1 / Table 1
Усредненные значения результатов работы точного и списочных алгоритмов / Average values of the results of the exact and list algorithms
n
NxM Статистика Списочные алгоритмы
100 матриц
Алгоритм Алексеева Экспериментальный алгоритм Алгоритм критического пути Алгоритм Пашкеева
3x24 Среднее значение (7шах) 160,96 161,96 163,15 163,21
Среднее время, с 773,9283 0,0099 0,0028 0,0053
3x25 Среднее значение (Гшах) 166,01 167,91 175,35 175,31
Среднее время, с 5714,245 0,0121 0,0034 0,01
3x26 Среднее значение (7шах) 174,48 176,75 179,2 179,3
Среднее время, с 7556,426 0,0112 0,0042 0,0137
ISSN 1560-3644 UNIVERSITY NEWS. NORTH-CAUCASIAN REGION.
Таблица 2 / Table 2
Оценка количества нахождения точного решения при начальных параметрах 3x24 / Estimation of the number of finding the exact solution with initial parameters 3x24
Разница с идеальным решением Экспериментальный списочный алгоритм Алгоритм критического пути Алгоритм Пашкеева
0 51 0 0
1 36 0 0
2 5 0 0
3 - 5 8 12 9
6 - 10 0 88 81
11 - 20 0 0 0
Всего 100 100 100
Таблица 3 / Table 3
Оценка количества нахождения точного решения при начальных праметрах 3x25 / Estimation of the number of finding the exact solution with initial parameters 3x25
Разница с идеальным решением Экспериментальный списочный алгоритм Алгоритм критического пути Алгоритм Пашкеева
0 31 0 0
1 31 0 0
2 10 0 0
3 - 5 15 0 0
6 - 10 13 100 100
11 - 20 0 0 0
Всего 100 100 100
Таблица 4 / Table 4
Оценка количества нахождения точного решения при начальных параметрах 3x26 / Estimation of the number of finding the exact solution with initial parameters 3x26
Разница с идеальным решением Экспериментальный списочный алгоритм Алгоритм критического пути Алгоритм Пашкеева
0 12 0 0
1 25 0 0
2 23 0 0
3 - 5 34 100 100
6 -10 6 0 0
11 - 20 0 0 0
Всего 100 100 100
Оценивая полученные результаты, можно сделать выводы, что экспериментальный алгоритм обладает большей эффективностью, чем алгоритмы критического пути и Пашкеева, и позволяет с хорошей точностью находить приближенное к идеальному решение. Однако при повышении количества заданий, его эффективность ослабевает, что влечет за собой решение использовать генетические алгоритмы.
TECHNICAL SCIENCE. 2021. No 4
Модифицированная модель Голдберга
В качестве метода решения однородной минимаксной задачи может быть использован генетический алгоритм, а именно модифицированная модель Голдберга, которую можно описать следующей последовательностью шагов.
Шаг 1. Формируется начальное поколение, состоящее из заданного числа особей, сформированных случайно и/или же с использованием различных полиномиальных алгоритмов.
Шаг 2. Турнирный отбор особей и применение операторов кроссовера и мутации с известной вероятностью возникновения для создания нового поколения.
Шаг 3. Проверка условия конца работы алгоритма, которая обычно заключается в неизменности лучшего решения в течение заданного числа поколений. Если проверка прошла неуспешно, то переход на шаг 2.
Шаг 4. Лучшая особь выбирается как найденное решение [4 - 6].
Одна из модификаций модели Голдберга -стратегия элитизма, которая подразумевает использование «элитной» особи для сохранения лучшего решения. В процессе кроссинговера и мутации элитная особь не изменяется, но участвует в формировании новых особей. Если в процессе нахождения решения появляется особь сильнее элитной, то она заменяет ее собой.
Элитные особи при формировании начального поколения могут формироваться различными способами как случайно, так и с помощью различных приближенных алгоритмов. В нижеописанном эксперименте для формирования элитной особи будут использоваться списочные методы, описанные выше. Для того чтобы определить, какой из алгоритмов лучше (т.е. дает решение более близкое к оптимальному), был проведен обширный вычислительный эксперимент, где в качестве элитных особей выступали решения, полученные как списочными алгоритмами, так и экспериментальным алгоритмом [7, 8].
Вычислительный эксперимент
Для оценки эффективности алгоритмов был проведен вычислительный эксперимент с помощью программного средства, написанного на языке программирования C#. В качестве аппаратного обеспечения использован ноутбук с процессором Intel Core /5-9300H и оперативной памятью объемом 16 гигабайт. Исходными данными служили 200 случайно сгенерированных матриц размерностями 2...8x43, 2...8х73 и 2...8х573 с диапазоном значений 15 - 25. В качестве критериев оценки используем средние значения результатов и среднее время (табл. 5 - 7) [9, 10].
ISSN 1560-3644 UNIVERSITY NEWS. NORTH-CAUCASIAN REGION. TECHNICAL SCIENCE. 2021. No 4
Таблица 5 / Table 5
Усредненные значения результатов работы алгоритмов при начальных параметрах 2 ... 8 х 43 _/ Average values of the results of the algorithms with initial parameters 2 ... 8 х 43_
NxM Статистика Модифицированная модель Голдберга 500*500
Без элитных особей Экспериментальный алгоритм Алгоритм критического пути Алгоритм Пашкеева
2x43 Среднее значение (7шах) 429,6 429,6 429,6 429,6
Среднее время, с 7,6133130465 7,565120268 7,6729845175 7,68068048
3x43 Среднее значение (7шах) 288,505 288,48 288,51 288,53
Среднее время, с 7,1384787285 7,163276898 7,259606114 7,1254886685
4x43 Среднее значение (7шах) 215,955 215,815 215,93 215,95
Среднее время, с 8,669297285 8,6445980405 8,783914328 8,884163121
5x43 Среднее значение (7шах) 173,2 173,1 173,32 173,115
Среднее время (с) 9,857234323 9,4080878125 9,1889785865 10,0726422905
6x43 Среднее значение (7шах) 144,925 144,69 144,885 144,985
Среднее время, с 10,347691095 8,644945213 10,565736924 10,6717631825
7x43 Среднее значение (7шах) 124,83 124,8 124,825 125,02
Среднее время, с 11,606012957 9,8016679 11,479176952 11,1735203045
8x43 Среднее значение (7шах) 110,87 110,18 111,005 110,89
Среднее время, с 11,043515871 8,761085533 10,961256119 11,236330901
Таблица 6 / Table 6
Усредненные значения результатов работы алгоритмов при начальных параметрах 2 ... 8 х 73 _/ Average values of the results of the algorithms with initial parameters 2 ... 8 х 73_
NxM Статистика Модифицированная модель Голдберга 500*500
Без элитных особей Экспериментальный алгоритм Алгоритм критического пути Алгоритм Пашкеева
2x73 Среднее значение (7шах) 730,595 730,595 730,595 730,595
Среднее время, с 9,604538255 9,511569271 9,675062382 9,6695920925
3x73 Среднее значение (7шах) 487,71 487,665 487,71 487,685
Среднее время,с 9,198392664 9,4382121865 9,4542848185 9,3921717275
4x73 Среднее значение (7шах) 365,17 364,975 365,2 365,08
Среднее время, с 10,949467815 10,940462232 11,215274315 11,3534802625
5x73 Среднее значение (7шах) 292,965 292,775 292,94 293,03
Среднее время, с 14,1368801765 12,177492792 14,3067937665 14,0055417755
6x73 Среднее значение (7шах) 244,68 244,575 244,745 244,72
Среднее время, с 15,7682232695 14,4029589015 15,4709668565 15,9109358955
7x73 Среднее значение (7шах) 211,53 210,805 211,575 211,42
Среднее время, с 16,868681685 12,556349163 16,9987689565 17,049944749
8x73 Среднее значение (7шах) 185,91 185,855 186,185 186,075
Среднее время, с 17,0963457015 13,0245264565 16,340105366 16,281003858
Таблица 7 / Table 7
Усредненные значения результатов работы алгоритмов при начальных параметрах 2 ... 8 х 573 _/ Average values of the results of the algorithms with initial parameters 2 ... 8 х 573_
NxM Статистика Модифицированная модель Голдберга 500*500
Без элитных особей Экспериментальный алгоритм Алгоритм критического пути Алгоритм Пашкеева
2x573 Среднее значение (7шах) 5733,76 5733,76 5733,76 5733,76
Среднее время, с 28,346838399 28,821353279 29,0152360445 28,686360218
3x573 Среднее значение (7шах) 3819,075 3819,055 3819,075 3819,07
Среднее время, с 38,7898662235 37,365381293 38,8497989705 37,426727232
4x573 Среднее значение (7шах) 2864,31 2864,16 2864,32 2864,315
Среднее время, с 47,8076900505 40,42412422 48,2023587245 47,0439480875
5x573 Среднее значение (7шах) 2290,805 2290,24 2290,385 2290,38
Среднее время(с) 51,303029637 45,57202964 52,671331453 51,908878777
6x573 Среднее значение (7шах) 1912,905 1912,325 1912,775 1912,905
Среднее время, с 68,0363497215 48,32066803 66,790552183 64,6514342285
7x573 Среднее значение (7шах) 1639,445 1638,61 1638,84 1639,17
Среднее время,с 72,639922214 40,215582149 51,2082337735 45,8061362315
8x573 Среднее значение (7шах) 1437,06 1436,245 1436,905 1436,92
Среднее время, с 76,188987096 53,556385575 63,2743914395 65,9078741535
ISSN 1560-3644 UNIVERSITY NEWS. NORTH-CAUCASIAN REGION.
Заключение
Оценивая полученные результаты, можно сделать вывод об эффективности использования модификации элитизма при решении однородной минимаксной задачи. В качестве лучшего метода формирования элитной особи в начальном поколении согласно полученным результатам является экспериментальный списочный алгоритм. На различных количествах заданий он дает стабильно хороший результат.
Список источников
1. Головкин Б.А. Расчет характеристик и планирование параллельных вычислительных процессов. М.: Радио и связь, 1983. С. 216.
2. Кобак В.Г., Титов Д.В. Исследование турнирного отбора в генетическом алгоритме для решения однородной минимаксной задачи // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ - 21: сб. тр. Междунар. науч. конф. Саратов. 2008. №.2. С. 12.
3. Кобак В.Г., Поркшеян В.М., Кузин А.П. Использование различных вариантов мутации при решении неоднородной минимаксной задачи модифицированной моделью
TECHNICAL SCIENCE. 2021. No 4
Голдберга // Науч.-практич. журн. «Аспирант». 2017. № 10. С. 26 - 29.
4. АльХулайди А.А., Чернышев Ю.О. Разработка параллельного алгоритма нахождения оптимального решения транспортной задачи на кластере // Инженерный вестн. Дона. 2011. № 2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y 2011/445/. (дата обращения 07.09.2021)
5. Нетёсов А.С. Эволюционно-генетический подход к решению задач оптимизации. Сравнительный анализ генетических алгоритмов с традиционными методами оптимизации // Инженерный вестн. Дона. 2011. № 3 URL: ivdon.ru/ru/ magazine/archive/n3y2011/459/. (дата обращения 07.09.2021)
6. Курейчик В. М., Кныш Д. С. Параллельный генетический алгоритм. Модели и проблемы построения // Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте: сб. науч. тр. V Междунар. науч.-практ. конф. М.: Физматлит, 2009. С. 41 - 51.
7. Goldberg D. Genetic Algorithms In Search, Optimization, and Machine Learning. USA: Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 1989. Р. 28 - 33.
8. Affenzeller M., Wagner S., Winkler S., Beham A. Genetic Algorithms and Genetic Programming: Modern Concepts and Practical Applications. USA: CRC Press, 2009. P. 364.
9. Каширина И.Л. Введение в эволюционное моделирование: учеб. пособие. Воронеж: ИПЦ ВГУ, 2007. С. 40.
10. Панченко Т.В. Генетические алгоритмы. Астрахань: Астраханский университет, 2007. С. 87.
References
1. Golovkin B.A. (1983) Calculation of characteristics and planning of parallel computational processes. Moscow: Radio and Communications, 1983, p. 216. (In Russian).
2. Kobak V.G., Titov D.V. (2008) Study of tournament selection in a genetic algorithm for solving a homogeneous minimax problem. Mathematical methods in engineering and technologies - MMTT - 21: Proceedings of the International Scientific Conference. Saratov, 2008, no. 2, p. 12. (In Russian).
3. Kobak V.G., Porksheyan V.M., Kuzin A.P. (2017) Use of various mutation variants in solving an inhomogeneous minimax problem by a modified Goldberg model. Scientific and practical journal "Postgraduate Student", 2017, no. 10, pp. 26-29. (In Russian).
4. Al-Hulaydi A.A., Chernyshev Yu.O. (2011) Development of a parallel algorithm for finding the optimal solution to the transport problem on the cluster. Inzrenernyi vestn. Dona, 2011, no. 2. Available at: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2011/445/. (accessed 07.09.2021). (In Russian).
5. Netyosov A.S. (2011) Evolutionary-genetic approach to solving optimization problems. Comparative analysis of genetic algorithms with traditional optimization methods. Inzrenernyi vestn. Dona, 2011, no. 3. Available at: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2011/459/. (accessed 07.09.2021). (In Russian).
6. Kureychik V. M., Knysh D. S. (2009) Parallel genetic algorithm. Models and problems of construction. Integrated models and soft computing in artificial intelligence: sb. nauch. tr. 5th International. scientific-practical. conf. Moscow: Fizmatlit, 2009. Р. 41-51. (In Russian).
7. Goldberg D. (1989) Genetic Algorithms in Search, Optimization, and Machine Learning. USA: Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 1989. Р. 28-33.
8. Affenzeller M., Wagner S., Winkler S., Beham A. (2007) Genetic Algorithms and Genetic Programming: Modern Concepts and Practical Applications. USA: CRC Press, 2009, р. 364. (In Russian).
9. Kashirina I.L. (2007) Introduction to evolutionary modeling. Voronezh, 2007. p. 40. (In Russian).
10. Panchenko T. V. (2007) Genetic algorithms. Astrakhan': Astrakhan University, 2007, p. 87. (In Russian).
Сведения об авторах
Валерий Григорьевич Кобак3 - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», [email protected]
Вадим Вадимович Шевченко - магистр, кафедра «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем».
Information about the authors
Valeriy G. Kobak - Doctor of Technical Science, Associate professor, Department «The Software of Computer Facilities and Automated Systems», [email protected]
Vadim V. Shevchenko - Master Student, Department «The Software of Computer Facilities and Automated Systems».
Статья поступила в редакцию/the article was submitted 15.09.2021; одобрена после рецензирования /approved after reviewing 17.09.2021; принята к публикации / ac-cepted for publication 20.09.2021.
