CC BY
12
УДК 519.2
DOI 10.19110/1994-5655-2018-3-16-18
РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ РЕНТГЕНОВСКОЙ ДИФРАКЦИИ НА ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ЭВОЛЮЦИИ
Д.В. СИВКОВ*'**, В.И. ПУНЕГОВ*
* Физико-математический институт ФИЦ Коми НЦ УрО РАН, г. Сыктывкар
**Балтийский федеральный университет им. И.Канта, г. Калининград danjorno@yandex.ru, vpunegov@dm.komisc.ru
Предложено решение обратной задачи рассеяния рентгеновского излучения с поперечно-ограниченным волновым фронтом в идеальном кристалле в рамках динамической теории дифракции рентгеновских лучей с учетом влияния инструментальной функции дифрактометра. Для расчета использовался генетический алгоритм в виде метода дифференциальной эволюции.
Ключевые слова: рентгеновская дифракция, метод дифференциальной эволюции
D.V. SIVKOV, V.I. PUNEGOV. SOLUTION OF THE INVERSE PROBLEM OF X-RAY DIFFRACTION ON AN IDEAL CRYSTAL USING THE DIFFERENTIAL EVOLUTION METHOD.
For solving the inverse problem of scattering of X-ray with transversely restricted wavefront in an ideal crystal within the dynamical theory of X-ray diffraction taking into account the effect of the diffractometer's instrumental function the Genetic Algorithm in the form of Differential Evolution method was used. Residual functionals of four types are considered. The simulation of the X-ray scattering experiment in an ideal crystal is carried out. Dependences of the corresponding values of the residual functionals on the number of cycles of the Differential Evolution algorithm are obtained. For the indicated case, the best solution (the form of the residual functional) is determined. The proposed approach seems useful and effective for nondestructive diagnostics of nanostructured media.
Keywords: X-ray diffraction, Differential Evolution method
Введение
На сегодняшний день актуальными задачами являются повышение контроля качества и совершенствование производства элементов наноэлектрон-ных устройств. Наиболее эффективным методом анализа структуры этих объектов является рентгеновская дифракция (РД). Для решения обратной задачи помимо разработки теории, описывающей взаимодействие рентгеновского излучения (РИ) с веществом, необходим эффективный алгоритм минимизации функционала невязки. Особенностью этой задачи является множество локальных минимумов в пространстве параметров большой размерности. Поэтому традиционные итеративные методы оптимизации не очень хорошо подходят из-за значительного времени, необходимого для поиска решения. Эволюционные алгоритмы, и в том числе генетические [1], показали свою высокую эффективность для поиска решений в пространстве большого числа параметров в широком диапазоне, в том числе в задачах рассеяния РИ [2,3].
1. Теория дифракции
В эксперименте по РД полная интенсивность, получаемая на выходе детектора, записывается как
Яг) = К • 1к (Ях,Яг)+ 1ьд , (1)
где 1Ьд - интенсивность фона, К - масштабный коэффициент Выражение для интенсивности рассеяния на входе детектора имеет вид [1]
Т( ) = 1+: (д')ДА(д')4(д - д')
где Км, КЛ - коэффициенты отражения монохрома-тора и анализатора, 1Н - интенсивность рассеянного пучка, вектор д = (Ях,Яг).
можно представить в виде двух слагаемых, связанных через фактор Дебая-Валлера /
Ш = (1 -/2)Ш + /2^(д),
- когерентная часть интенсивности, описывающая рассеяние на идеальном кристалле (содержит информацию о толщинах и периодах слоев в кристаллической структуре); I£ - диффузная часть (содержит данные о параметрах структурных дефектов).
Расчет интенсивности рассеяния проводился в рамках динамической теории РД, расширенной на частный случая поперечно ограниченных волновых фронтов падающей и отраженной волн с учетом влияния инструментальной функции дифрактометра [4]. В этом случае интенсивность дифрагированной волны (в геометрии Брэгга) вблизи узла обратной решетки Ь зависит от ширины засветки поверхности кристалла 4т) и толщины кристалла 1г как
IC (q)
exp(i£lz) - 1 . a h-=-sine
h Q
где
Q = - 6
С = V ф - 4ahah,
ф = 2ao - qx eot 6b - qz, £1,2 = (-ф ± £)/2,
ao
nXo
a
CnXh
X sin вв X sin 6B
Здесь X- длина волны РИ, Xo,h - Фурье компоненты рентгеновской поляризуемости, C - коэффициент поляризации.
Для моделирования эксперимента в выражение (1) в качестве множителя добавлена функция шума Пуассона в виде [3]
n(q) =
/ÜM V 6hg
rand[(-1,1)],
(2)
где гапё[(—1,1)] - случайная величина, получаемая генератором псевдослучайных чисел в диапазоне [—1,1].
2. Функционал невязки
Рассмотрим функционалы невязки вида
1
Nq
pabs N Т. 1 Isim (q'; x) Iexp(q
q i=i
Nq
1 \ Л [Isim (q ; x) - Iexp(qi)]2
Psqr N Z^ q i=i
1 N
Nq - * Isim(qi; x)
log
= NT^ ' log Isim(qi; x) - log Iexp (qi
q i=i
Nq
Plqr = [log Isim(qi; x) - log Iexp(qi)]2,
N
где х - вектор параметров в пространстве параметров, - теоретические значения дифракционной интенсивности, 1ехр - экспериментальные значения.
Сравнение теоретических и экспериментальных данных по абсолютной величине (раЬ8) эффективно для анализа при больших интенсивностях, а
также для малоуглового рассеяния в недеформиро-ванных кристаллах. То есть, в тех случаях, когда данные на кривой имеют один и тот же порядок.
Использование среднеквадратичного отклонения (psqr) должно быть эффективным в случаях, аналогичных (pabs). Кроме того, при его использовании точность решения слабо зависит от статистического шума, и такой подход применим для анализа сильно зашумленных сигналов.
Сравнение логарифмов РЬ,) эффективно для анализа данных при малых значениях интенсивности или когда пики исследуемой кривой различаются на порядок или несколько порядков. Это справедливо для больших углов рассеяния, когда интенсивность рассеяния содержит данные о структурных особенностях порядка длины падающей волны, а в спектре есть пики более высоких порядков. Оно также может быть использовано для малоуглового рассеяния, но при рассмотрении диффузного канала, содержащего информацию о малых деформациях.
Кроме того, по аналогии с (Psqr) был добавлен функционал невязки в виде среднеквадратичного отклонения логарифмов (plsoqgr).
3. Метод дифференциальной эволюции
Алгоритм метода дифференциальной эволюции (DE) подробно описан в работе [5]. Для расчета применялась DE-стратегия вида «rand/1/exp» ( Вектор популяции для мутации выбирался случайным образом, использовался один разностный вектор, и пробный вектор генерировался с применением экспоненциального скрещивания). В задаче для векторов-мутантов использовались абсолютные значения соответствующего выражения, чтобы исключить поиск решения среди векторов с отрицательными параметрами.
4. Результаты
В работе проведено моделирование эксперимента по рассеянию РИ на идеальном кристалле Si толщиной 100^m вблизи узла (111). Ширина щели перед образцом (поперечная ширина волны) w = ixn) sin 6B = 100^m, величина интенсивности фона Ibg = 1, масштабный коэффициент интенсивности K = 106 . Длина волны падающего пучка Л = 1.54.А . Статистический шум был добавлен согласно формуле (2). Расчеты проводили с использованием языка программирования C++. В основе программы лежал шаблон алгоритма, взятый с интернет страницы алгоритма http://www1.icsi.berkeley.edu/~storn/code.html.
Таблица 1
Структурные параметры, их диапазоны и параметры алгоритма DE, используемые для поиска
Table 1
Structure parameters, their search ranges and DE algorithm parameters, using for search
Параметры Диапазоны Параметры DE
lz = 100^m w = 100^m Ibg = 1 (10 - 200)^m (10 - 200)^m (0 - 10) F = 0.1 C = 0.4 xo = random
2
Структурные параметры, применяемые для моделирования, диапазоны поиска и параметры алгоритма DE, используемые для решения обратной задачи, представлены в табл. 1. Параметры алгоритма F и C были выбраны, как соответствующие наименьшей величине функции подгонки (функционала невязки) для задачи дифракции [3]. Выражение «x0 = random» (табл. 1) означает, что целевой вектор выбирался из популяции случайным образом.
Рис. 1. Карта распределения интенсивности рассеяния РИ в обратном пространстве: (а) - результат решения обратной задачи; (б) - моделирование эксперимента. Линиями указаны сечения вдоль qx = 0 и qz =0, данные которых использовались для минимизации функционала невязки. Fig 1. RSM data. Left - experimet, right-model.
Рис. 2. Зависимости функционала невязки от числа циклов алгоритма DE в логарифмическом масштабе взятого по абсолютной (a), среднеквадратичной (б), абсолютной логарифмической (в), среднеквадратичной логарифмической (г) величинам. Кривые одного цвета имеют одинаковое зерно для генерации псевдослучайных чисел. Fig. 2 Dependences of differen residual functionals on the number of algorithm cycles in log scale. Curves of the same color hase the same pseudo-random number generator ceed.
Результаты решения обратной задачи РД в рамках предлагаемого подхода показаны на рис. 1. На рис. 2 представлены зависимости соответствующих значений функционалов невязки от числа циклов алгоритма DE. Для кривых, имеющих один цвет, выбрано одинаковое зерно для генератора псевдослучайных чисел. В табл. 2 приведены средние значения относительных отклонений от неизвестных структурных параметров, указанных в численном эксперименте.
Из рис. 2 видно, что наилучшее решение
(наиболее точное) было найдено для функционала невязки (рис. 2, б), заданного выражением psqr. С остаточным функционалом в виде pabs был получен менее точный результат(рис. 2, а). Следует отметить, что использование остаточного функционала в виде p's°q9r позволяет быстрее получить решение, но с наихудшей точностью. Это позволяет применять его для начального сужения диапазона параметров и последующего поиска с использованием решения pabs. То же самое относится и к решениюpa°fs, которое не сильно уступает по скорости pls°q9r.
Таблица 2
Средние значения относительных отклонений параметров
Table 2
The average values of the relative deviations parameters
Pabs psqr log P abs plog rsqr
Alz flz 0.1 0.01 0.7 0.08
Aw/w 0.3 0.06 0.16 0.1
AIbg /Ibg 1.6e-4 2.6e-4 9.2e-4 20.0e-4
AK/K 3.1e-2 3.0e-2 1.6e-2 5.3e-2
Заключение
Разработана методика решения обратной задачи для анализа карт распределения интенсивности РИ в обратном пространстве. Предлагаемый подход с использованием алгоритма DE представляется полезным и эффективным для неразрушающей диагностики наноструктурированных сред.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Программы фундаментальных исследований УрО РАН (проект No 18-10-2-23), РФФИ (проект No 17-02-00090), РФФИ и министерства образования РК (16-43-110350 р_а), Программы повышения конкурентоспособности БФУ им. И.Канта.
Литература
1. Mitchell M. An introduction to genetic algorithms. London: MIT Press. 1996. 158 p.
2. Wormington M., Pannaccione C., Matney K.M., Bowen D.K. Characterization of structures from X-ray scattering data using genetic algorithms // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1999. Vol. 357. P.2827 - 2848.
3. Hannon A.F., Sunday D.F., Windover D., Kline J. Advancing x-ray scattering metrology using inverse genetic algorithms // J. Micro/Nanolith. MEMS MOEMS. 2016. Vol. 15. Issue 3. P. 034001.
4. Punegov V.I., Pavlov K.M., Karpov A.V., Faleev N.N. Applications of dynamical theory of X-ray diffraction by perfect crystals to reciprocal space mapping // J. Appl. Cryst. 2017. Vol. 50. P. 1256 - 1266.
5. Storn R, Price K. Differential Evolution -A Simple and Efficient Heuristic for global Optimization over Continuous Spaces // J. Global Optim. 1997. Vol. 11 P. 341 - 359.
Статья поступила в редакцию 01.06.2018.
