CC BY
42
УДК 517.3
Е. Д. Деревянчук
РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕНЗОРА МАГНИТНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ ДИАФРАГМЫ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ1
Аннотация. Рассматривается обратная задача электродинамики - задача определения тензора магнитной проницаемости односекционной диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод с идеально проводящими стенками. Разработан метод решения такой задачи. На основе предложенного метода построена математическая модель.
Ключевые слова: обратные краевые задачи электродинамики, диагональный тензор магнитной проницаемости, дифференциальные уравнения.
E. D. Derevyanchuk
SOLUTION OF AN INVERSE PROBLEM OF DETERMINING MAGNETIC PERMEABILITY TENSOR OF A DIAPHRAGM IN A RECTANGUALR WAVEGUIDE
Abstract. The article considers the inverse problem of electromagnetic waves - permeability tensor determination of a single-sectional diaphragm, enclosed in a rectangular waveguide with the perfectly conducting boundary surface. The author has developed a method of solving such an inverse problem and tested it.
Key words: inverse problem of electromagnetic waves, permeability tensor, differential equations.
Введение
Задача определения электромагнитных параметров материалов исследуется более полувека. Разработаны различные методы решения таких задач. Тем не менее эта задача остается актуальной до сих пор. С появлением композитных, нано- и метаматериалов возникла необходимость в разработке новых методов решения обратных задач электродинамики, так как применение известных методов на практике, как правило, невозможно из-за композитного характера материалов и малых размеров образцов [1]. Поэтому применяют методы математического моделирования [2] и решают задачи численно с помощью компьютеров.
При этом приходится решать трехмерные векторные задачи в полной электродинамической постановке [3-5].
Решение таких задач требует достаточно большого объема вычислений, которые зачастую невозможно выполнить даже с помощью современных суперкомпьютеров с приемлемой для практики точностью.
Одной из важнейших проблем электродинамики является решение обратных электродинамических задач на сложной системе поверхностей и тел в резонансном диапазоне частот, возникающих при определении параметров нанокомпозитных материалов и наноструктур.
1 Работа выполнена при поддержке РФФИ, гранты № 11-07-00330-А, 12-07-97010-р_А) и ФЦП «Научные и педагогические кадры инновационной Росии» на 2009-2013 гг., соглашение № 14.В37.21.1950.
По данному направлению имеется целый ряд работ как в России ([4, 5] и др.), так и за рубежом [6, 7].
Цель данной работы - разработка численно-аналитического метода решения обратной задачи электродинамики для определения тензора магнитной проницаемости односекционной диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод.
Данная работа состоит из трех частей: в первой части изложена постановка задачи; во второй части представлен метод решения поставленной задачи, в третьей приведены численные результаты.
1. Постановка задачи
Пусть в декартовой системе координат задан волновод Р = { х : 0 < х < а,
0 < Х2 < Ь, < Х3 < с идеально проводящей поверхностью ЭР .
В волноводе расположена диафрагма Q (Q с Р - область), которая представляет собой параллелепипед Q = {х :0 < х^ < а,0 < Х2 < Ь, 0 < Х3 < ^ } , имеющий одну секцию (рис. 1). В Р \ Q среда изотропна и однородна с постоянными магнитной проницаемостью (0 > 0) и диэлектрической проницаемостью ( > 0); диафрагма Q представляет собой анизотропную среду с диагональным тензором магнитной проницаемости [6]
' ц11 0 0 Л
|1 = 0 ^22 0 (1)
ч 0 0 ^33 у
и постоянной диэлектрической проницаемостью
£ = £1 • (2)
Требуется по известным коэффициентам А и Р электромагнитного поля, известной толщине диафрагмы /1 определить компоненты тензора магнитной проницаемости (1 (см. рис. 1, 2).
Рис. 2. Схема распространения волн в волноводе
Амплитуда Е прошедшего поля считается известной и получается в результате измерений.
Рассмотрим математическую постановку задачи. Поведение электромагнитного поля внутри и вне объекта, расположенного в волноводе, описывается уравнениями Максвелла:
[rot H = -іює Е, I rot E = irojlH,
(3)
где E - вектор напряженности электрического поля; H - вектор напряженности магнитного поля; ю - круговая частота.
Предполагаем, что к/a < ко <к/b , где ко - волновое число вакуума,
ill т->
ко = ю £оМ*о. В этом случае в волноводе распространяется только одна волна (волновод «работает» в одномодовом режиме) [8]. Используя уравнения (3), рассчитаем поле внутри Q . Будем предполагать, что внешнее электрическое поле имеет следующий вид [9]:
E0 = Єї A sin f 1 ] e іУо -3
I 2 2 / 2 I 2 2 / 2”
с известной амплитудой А . Здесь у = ^0 _я/ а = ^ю е0М0 / а .
Подставим (1)-(2) в уравнения Максвелла (3). С учетом того, что в волноводе распространяется только волна Ию с поляризацией, получаем
E = (0Е2 0), H = (Я1 0И3).
Полное поле внутри и вне Q имеет вид
( ПХ1 ^
(0)
E
E(i) E1
sin
i
V a У
(Ae іу0-3 + Beiy0-3),
sin
E
(2)
sin
(4)
Fe
iy 0 x3
Тогда внутри Q имеем
г(1)=_____________1_д
H
H
/ю?11 дxз
E
E
(1)
і
(1)= _J L Е(1),
/Ю?зз дxl 1
1
д Е(1) +___________1_____— Е(1) = /ЮЕ Е(1)
/Ю^зз д^
2 1
/Ю?11 дxl
—Еу = /Юе1Е1
а вне Q :
( =_____________Е—
1 /Ю?0 дxз 1
H|o)=______1___д_ Е(0)
H 30)=^
1 д1
з
E
д v(0)
3 /Ю?0 дxl 1
-------2 е2°} ^2е(0) = /Ю8ое(0).
^ /—Мю Эх2 /—^о Эх2
Из последнего уравнения системы (5) получаем
Yl = ±<
?33
Г 1 ^1 ^ 1 1 Л
Ю El-------------------2
Lll a1
Из последнего уравнения системы (6) получаем
4-1 Л
Yo = ± Ю EoLo---Г.
(5)
(б)
(7)
(S)
Для определенности выберем знак «+» в формулах (7), (8).
На границе областей Ь :={ Х3 = О, Х3 = /^} должны выполняться условия сопряжения [8]:
[ е\ь = °, [н ]ь = О-
или
E
(0)
E = E(1) II E Ю
x3 =0+0 x3 =0-0 x3 =/i +0
1 д e(0) = 1 д E(1)
Lo дx3 1 x3 =0-0 Lll дx3 x3 =0+0
x3 =/i -0
1 д Е(1)
Lll дx3
1 д
хз =/i -0
Lo дx
з
Е(1) Е1
x3 =/i +0 ’
(9)
отсюда с учетом уравнений (4) мы приходим к следующей системе: А + В = С + ,
Y 0
(в - A ) = ^ ( - q),
^0 Цц
Qe-^1 + = Fe-iY0,
D1eiYl/l - C1e-iYl/l) = -^°Fe-iYo/l, Ц11 Ц0
(10)
где
Yi =
Ц33
Ю2Ё1
1 к
Ц11 a2
Тогда, зная коэффициенты А, Е, толщину секции диафрагмы, диэлектрическую проницаемость £1, а также Цц или Ц33 , можно найти одну из компонент тензора: либо Цц (если известна компонента Ц33), либо Ц33(если известна Цц ), на основе следующей формулы:
= Fe~iY0!1
A = Fe
008
(Y1O +i Sin (y11)
Y0^11 ,+ Ц0 Y1
(1)
2y11)^0 2Y 0^11
(11)
/J
где
Y1
(1) =
Ц33
Ю2Ё1
1 к
Ц11 a2
(111)
Для того чтобы найти все компоненты тензора, был разработан следующий метод решения задачи.
Суть метода состоит в том, чтобы, пространственно ориентируя диафрагму относительно волновода определенным образом, получить ряд измерений для каждого положения диафрагмы в волноводе и на основе данных измерений (коэффициентов Е) определить все три компоненты тензора [10].
Постановка задачи: Требуется по известным коэффициентам А и Е электромагнитного поля для различных пространственных ориентаций диафрагмы относительно волновода определить тензор магнитной проницаемости.
2. Метод решения обратной задачи
Суть метода состоит в том, чтобы найти такие преобразования тензора, под действием которых компоненты тензора изменяли бы свое положение на главной диагонали, причем каждое такое преобразование можно было бы осуществить на практике.
Такие преобразования были найдены.
Пусть А1 - тождественное преобразование А1 =
Тогда очевидно, что Д^ = А^ДА .
Рассмотрим преобразование А2:
(0 0 -А
f loo Л o 1 o o o 1
A1 -
0 1 o
1 o o
(11)
После поворота исходный тензор преобразуется в (2^ = А?1}!
(А - ортогональная матрица). Распишем формулы преобразования компонент тензора при повороте пространства относительно оси 0x2 ■
( 0 0 1V211 0 0 V0 0 -А
!(1)-
o 1 o -loo
Y !ll o o
o !11 o
Jlo o !33
!33 o o л
o !11 o
o 4 o !11 j
0 1 o
1 o o
Преобразование (12) есть не что иное, как поворот диафрагмы на угол
к
ф = — относительно оси 0x2. Такое преобразование можно выполнить,
например, используя образец диафрагмы с геометрическими параметрами (а , Ь , 11 = а).
Проводя рассуждения для (I^ , получим следующее выражение:
Y1
(1)-
Л
!11
ю1Єі
1 к
!33 a1
(13)
С учетом выражения (13), уравнение (11) преобразуется в уравнение
A - F(1)e-iY°l1
008
(Ylll) +i sin (Ylll)
Y o!11 _+ !o Y1
(1)
1y11)|!o 1y o!11
J
(14)
где
Y1
(1) -
!11
Ю1Єі
1 к
!33 a1
(14.1)
Отметим, что (14.1) отличается от (11.1). Решая совместно оба уравнения (11) и (14), мы можем определить две компоненты тензора ЦП и 2зз . Для того чтобы определить оставшуюся компоненту тензора, выполним следующее преобразование.
Рассмотрим преобразование А3:
(10 0 ^
A3 =
0 0 1
V0 -1 °/
(l5)
После выполнения
i(3)- A-1n (1).
А3 исходный тензор запишется в виде 2' ' = А^Д^'А3 . В результате формулы преобразования компонент тензора
примут следующий вид:
f 1 о о У
Ц<-3> =
0 0 -1
0 1 о
Ц11 0
0 Ц22 0
Ц33
о ^ о Ц22
А о о
j \
f ціі о
0 Ц33
v 0 о
0 0 1 0 -10
Аналогично для (2
(3):
Y1
(3) =
Д22
і 1 я2 ^
ю El------------------2
211 а2
(16)
A3 =
v0 -1 0У
я
- поворот на угол ф = — относительно оси Охі.
Данное преобразование можно выполнить, если изменить длину диафрагмы /1 на -2.
С учетом (16) выражение (11) преобразуется в уравнение
A = F (3)e-iY-1
008
(Yl-l) + i sin (Yl-l)
Y2ll ^ Ц0Y1
(3)
2Y(3)Ц° 2Y°Цll
//
(17)
где
Y1
(3) =
Д22
( 1 яі ^
і 1 Я
ю E-------------
v 211 а2 у
(17.1)
Отметим, что (17.1) отличается от уравнений (11.1) и (14.1).
Уравнения (11), (14), (17) образуют следующую систему уравнений:
A = F (1)e-iY 0
A = F (2)e-i'Yo/l
cos (y!i) + і sin (y!i) cos (y!i) + і sin (y1i)
YoMll + M0 Yi
(1)
-Y^Vo 2y0^11
//
Y 0M11 + M0Yl
(2)
A = F (3)e_iYo/l
-YpVo 2y 0^11
(1S)
008
(Ylll) +i sin (Ylll)
YoMll + Mo Y1
(3)
2y13)M0 2y 0M11
//
где
Yl
(l) =
M33
V
2 1 К
Ю El------------------
Mil a
2 A
(-)
; Yi =
mii
( 1 k2 A
- 1 К
Ю El -----------------
М33 a
\
J
Yl
(3) =
Л
m22
( 1 k2 A
2 1 К
Ю E1--------------------
Mil a2
Таким образом, получена система (18) из трех нелинейных уравнений для определения всех компонентов тензора.
Для того чтобы составить систему (18), потребуются измерения
р(1), р(2), р(3). Для этого на практике достаточно будет иметь образец с геометрическими параметрами (а , Ь , /1 = а) и известной диэлектрической
проницаемостью £1. Для такого образца измеряем сначала Р(1), Р(2), выполнив повороты образца в соответствии с описанными преобразованиями
Аь А2 .
Далее, изменив геометрические параметры образца на следующие:
а , Ь , /1 = -^, и пространственную ориентацию образца в соответствии с преобразованием А3, измеряем Р(3).
Предполагается, что образец выполнен из композитного материала, для которого такое изменение геометрических параметров образца не влияет на
М1Ь M22, M33, £1.
Численные результаты
На основе предложенного метода была разработана математическая модель, результаты численных вычислений которой представлены в табл. 1. Исходные данные для обратной задачи были получены путем численного моделирования прямой задачи. В качестве математического пакета для реализации данной модели использовался пакет компьютерной математики МаШСа^
Таблица 1
Тип задачи Исходные данные Результаты
Прямая ю = 2,5, a = 2, b = 1, с = 2, l1 = 2; A = 1, £0 = 1, £1 = 1,1, Mil = Ъ 2, М22 = ^ 4, М33 =1,8 f/1) =-0,406 -0,909/, f/2 = 0,319 - 0,907/ f/ 3 = 0,264 - 0,96/
Обратная ю = 2,5, a = 2, b = 1, с = 2 I1 = 2 ; A = 1, £0 = 1, £1 = 1,1 f/1) =-0,406 -0,909/, f/2 = 0,319 - 0,907/ f/3 = 0,264 - 0,96/ цп = 1,19991539 + 1,7799412-10-5 / |i22 = 1,3999351 + 5,529641-10-5 / Ц33 = 1,80000337 - 2,770592 -10-4 /
Заключение
В данной работе представлен метод определения тензора магнитной
проницаемости диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод. Разработан метод решения такой задачи. В работе приведены численные результаты решения поставленной обратной задачи.
Список литературы
1. Solymar, L. Waves in Metamaterials / L. Solymar, E. Shamonina. - New York : Oxford University Press Inc., 2009.
2. Смирнов, Ю. Г. Математические методы исследования задач электродинамики : моногр. / Ю. Г. Смирнов. - Пенза : Инф.-изд. центр ПензГУ, 2009. - 268 с.
3. Медведик, М. Ю. Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм и сходимость метода Галеркина в задачах дифракции электромагнитного поля на плоском экране / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Сер. Естественные науки. - 2004. -№ 5. - С. 3-19.
4. Смирнов, Ю. Г. Применение ГРИД-технологий для решения нелинейного объемного сингулярного интегрального уравнения для определения эффективной диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2008. - № 3. - С. 39-55.
5. Гурина, Е. Е. Численное и аналитическое решение задачи дифракции электромагнитного поля на диэлектрическом параллелепипеде, расположенном в прямоугольном волноводе / Е. Е. Гурина, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 2. - С. 44-53.
6. Tao Pan. Study of a slab waveguide loaded with dispersive anisotropic / Tao Pan, Guo-Ding Xu, Tao-Cheng Zang, Lei Gao // Applied Physics A. - 2009. - Р. 367-372.
7. Baena, J. D. Near-perfect tunnelling and amplification of evanescent electromagnetic waves in a waveguide filled by a metamaterial: Theory and experiment / J. D. Baena, L. Jelinek, R. Marques and F. Medina // Physical Review B. - 2005. - № 72.
8. Вайнштейн, Л. А. Электромагнитные волны / Л. А. Вайнштейн. - М. : Радио и связь, 1988. - 442 с.
9. Гришина, Е. Е. Численное и аналитическое решение задачи дифракции электромагнитного поля на двух секциях с разной диэлектрической проницаемостью, расположенных в прямоугольном волноводе / Е. Е. Гришина, Е. Д. Деревянчук, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 4. - С. 73-81.
10. Анго, А. Математика для электро- и радиоинженеров / А. Анго. - М. : Наука,
1. Solymar, L. Waves in Metamaterials / L. Solymar, E. Shamonina. - New York : Ox-ford University Press Inc., 2009.
2. Smirnov, YU. G. Matematicheskiye metody issledovaniya zadach elektrodinami-ki : monogr. / YU. G. Smirnov. - Penza : Inf.-izd. tsentr PenzGU, 2009. - 268 s.
3. Medvedik, M. YU. Subiyerarkhicheskiy parallel'nyy vychislitel'nyy algo-ritm i skhodimost' metoda Galerkina v zadachakh difraktsii elektromagnitnogo polya na ploskom ekrane / M. YU. Medvedik, YU. G. Smirnov // Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Ser. Yestestvennyye nauki. - 2004. - № 5. - S. 3-19.
4. Smirnov, YU. G. Primeneniye GRID-tekhnologiy dlya resheniya nelineynogo ob"yemnogo singulyarnogo integral'nogo uravneniya dlya opredeleniya effektivnoy dielektricheskoy pronitsayemosti nanomaterialov / YU. G. Smirnov // Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskiye nauki. -2008. - № 3. - S. 39-55.
5. Gurina, Ye. Ye. Chislennoye i analiticheskoye resheniye zadachi difraktsii elek-tromagnitnogo polya na dielektricheskom parallelepipede, raspolozhennom v pryamougol'nom volnovode / Ye. Ye. Gurina, M. YU. Medvedik, YU. G. Smirnov // Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematiches-kiye nauki. - 2010. - № 2. - S. 44-53.
6. Tao Pan. Study of a slab waveguide loaded with dispersive anisotropic / Tao Pan, Guo-Ding Xu, Tao-Cheng Zang, Lei Gao // Applied Physics A. - 2009. - R. 367-372.
7. Baena, J. D. Near-perfect tunnelling and amplification of evanescent electromagnetic waves in a waveguide filled by a metamaterial: Theory and experiment / J. D. Baena, L. Jelinek, R. Marques and F. Medina // Physical Review B. - 2005. - № 72.
8. Vaynshteyn, L. A. Elektromagnitnyye volny / L. A. Vaynshteyn. - M. : Radio i svyaz', 1988. - 442 s.
9. Grishina, Ye. Ye. Chislennoye i analiticheskoye resheniye zadachi difraktsii elektromagnitnogo polya na dvukh sektsiyakh s raznoy dielektricheskoy pronitsayemost'yu, raspolozhennykh v pryamougol'nom volnovode / Ye. Ye. Grishina, Ye. D. Dere-vyanchuk, M. YU. Medvedik, YU. G . Smirnov // Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskiye nauki. - 2010. - № 4. -
10. Ango, A. Matematika dlya elektro- i radioinzhenerov I A. Ango. - M. : Nauka, 1965. - S. 288-291.
1965. - С. 288-291.
References
S. 7З-81.
Деревянчук Екатерина Дмитриевна
аспирант, Пензенский государственный университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: mmm@pnzgu.ru
Derevyanchuk Ekaterina Dmitrievna
Postgraduate student,
Penza State University (Penza, 40 Krasnaya str.)
УДК 517.3 Деревянчук, Е. В.
Решение обратной задачи определения тензора магнитной проницаемости диафрагмы в прямоугольном волноводе / Е. Д. Деревянчук // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2013. - № 1 (25). - С. 34-44.
