CC BY
37
УДК 517.3
Е. Д. Деревянчук
РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ ДИАФРАГМЫ В ВОЛНОВОДЕ
Аннотация. Рассматривается обратная задача электродинамики - задача определения эффективной диэлектрической проницаемости многосекционной диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод с идеально проводящими стенками. Разработаны рекуррентные методы решения прямой и обратной задач. На основе разработанных методов построены математические модели для двух- или трехсекционной диафрагм.
Ключевые слова: обратные краевые задачи электродинамики, эффективная диэлектрическая проницаемость, дифференциальные уравнения, рекуррентный метод.
Abstract. The article considers the inverse problem of electromagnetic waves - the determination of permittivity of multi-sectional diaphragm, enclosed in a waveguide with perfectly conducting boundary surface. The author has developed recurrent methods of solving direct and inverse problems. Based on the developed recurrent methods the researcher has built mathematical models for two- and three-sectional diaphragm.
Key words: inverse problem of electromagnetic waves, effective permittivity, differential equations, recurrent method.
Введение
В настоящее время одной из актуальных задач электродинамики является определение диэлектрических и магнитных параметров материалов и сложных структур с различной геометрией. Данная задача возникает при изучении свойств нанокомпозитных материалов и наноструктур на практике. Ввиду композитного характера материалов и малых размеров образцов такого вида материала диэлектрические и магнитные параметры, как правило, недоступны для экспериментального измерения, что приводит к необходимости применять методы математического моделирования и решать задачи численно с помощью компьютеров.
Цель данной работы - разработка численно-аналитического метода решения обратной задачи электродинамики для определения диэлектрической проницаемости «-секционной диафрагмы в волноводе.
Данная работа состоит из трех частей: в первой части изложена постановка задачи; во второй части разработаны рекуррентные методы решения прямой и обратной задач; в третьей части на основе разработанных методов построены математические модели для двух- и трехсекционной диафрагм.
1. Постановка задачи
Пусть в декартовой системе координат задан волновод Р = {х: 0 < х < а,
0 < Х2 < b, —го < Х3 < го} с идеально проводящей поверхностью дР . В волноводе расположено объемное тело Q (Q с Р - область), которое представляет собой параллелепипед Q = {х: 0 < xi < а, 0 < Х2 < b,0 < Х3 < /} , разделенный на п
секций (рис. 1). В P \ Q среда изотропна и однородна с постоянной магнитной проницаемостью во всем параллелепипеде (^0 > 0) и постоянными ди-
электрическими проницаемостями в каждой секции (ег- > 0):
Ql = {х: 0 < Х1 < a,0 < X2 < Ь, 0 < xз < /0},
Q2 = {х: 0 < Х1 < а, 0 < Х2 < Ь, /0 < Х3 < /¡},
Qn = {х: 0 < х < a,0 < Х2 < b, ln_2 < X3 < ln_}.
В ■ D° . А . 02 (А-2 ( A¡-1 Цг 0 7Я=7 Cn=F
г А 7а Со 7i С і 72 с2 С3 Г„ 1 С„_1
0 l0 l\ l2 1„-2 ln-l Рис. 1. Схема распространения волн в волноводе
Требуется по известным коэффициентам A и F электромагнитного поля определить эффективную диэлектрическую проницаемость ег- каждого слоя.
Амплитуда F прошедшего поля считается известной и получается в результате измерений.
Рассмотрим математическую постановку задачи. Поведение электромагнитного поля внутри и вне объекта, расположенного в волноводе, описывается уравнениями Максвелла:
rotH = —ю-s E + fE, (1)
rotE = —ю • (j,qH,
где E - вектор напряженности электрического поля; H - вектор напряженности магнитного поля; j - электрический ток поляризации; ю - круговая частота.
Предполагаем, что к/a < £q <к/b , где £q - волновое число вакуума, 2 2
£q =ю £¡1q . В этом случае в волноводе распространяется только одна волна (волновод «работает» в одномодовом режиме) [1]. Используя уравнения (1), рассчитаем поле внутри объекта Q . Будем предполагать, что внешнее электрическое поле имеет вид
q - . ■ (кх1 ^ —Y E = ^2 A sin I —- I e 3
l a J
с известной амплитудой A. Здесь
/72 2 , 2 Г~2 2 , 2
Y = vkQ -к /a = ^ю s- (íq -к /a .
Тогда полное поле в п областях внутри и вне объекта Q имеет вид:
Е(0) = зш I 2X1 I (Лв-іу Хз + Бвіу хз
Е(1) = 81И ^ 2X1 ] (С0 в-іу0 хз + п0 в* о хз Е(2) = зіп ( 2X11 (с,в-*х + Дв'"«).
Е(3) = з1п
\с2е-
'У 2 х3 + ^ ¿У 2 х3
(п+1)
= 81И
1П ( * ](
Спв-У"хз + Лв-У"хз ].
На границе областей должны выполняться условия:
Э [ Е(і) ] = Э [ Е (і+1) ]
[ Е(і)] = [ Е(і+1)];
Эх3
Эх3
= 0 і = (0; п).
Тогда получим следующую систему уравнений:
А + В = С0 + Do, у(В - А) = у0 (А) - С0,)
С0е-гу 0/0 + 0/0 = С^-^0 + ^е^0,
у0(Б^010 - С0е-гу°/()) = у1ф1егу1/0 - С^-^0), С^ -г'у1 + £1ег'у1/1 = С2е-гу 2/1 + £>2егу 2/1, у1 (г^е^1 - Се-*^1) = у2 - С2е-у2/1
(2)
Сп-1е_гуп-1/п-1 + £>п-1егу п-1/п-1 = Cne“iуn/n-1 + £>пегу п/п-1, упчФп-^п-1/п-1 - Сп-1в-1уп-1/п-1) = Уп-1 (Опв1уп/п-1 - Спв-1Уп/п-1).
В зависимости от того, что полагать в системе (2) неизвестным, задача может быть либо прямой, либо обратной.
2. Разработка метода решения поставленной задачи Рекуррентный метод решения прямой задачи
В прямой задаче по известному коэффициенту падающего поля А и известным диэлектрическим проницаемостям ег- и длинам /■ каждого слоя требуется определить коэффициент отраженного поля В , все коэффициенты
Ci,В., 1 е (0;п -1), и коэффициент прохождения ^ (рис. 1). Таким образом, система (2) относительно данных неизвестных представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, которую можно решить любым известным методом решения СЛАУ. В данной статье разработан рекуррентный метод решения такой системы. Идея метода состоит в том, чтобы, выражая коэффициенты Ci, Di на 1 -м шаге через коэффициенты Сг+1, Вг+1, на следующем шаге получить рекуррентную зависимость неизвестного коэффициента прошедшего поля Сп = ^ от известного коэффициента падающего поля А . В результате такая зависимость была получена:
^ =----------=2Ау-------^, (3)
(у + у0)С0 +(у-у0) В0
где
±/-уг-//
С., В), = е—— (С^у,- ±уг+1)е-гу^' + + у1+х)е-^), 1 е (0; п -1),
2у.
Сп = Сп = ^,
Вп = Вп = 0
С. = С. • ^. е (0; п -1),
В. = В). • ^1 е (0; п -1),
В = ^[(С0 + В0)у-(С0 -В0)у0].
2у
Таким образом, найдены все неизвестные прямой задачи.
Рекуррентный метод решения обратной задачи
В обратной задаче по известной амплитуде падающего поля А и известному коэффициенту прохождения ^, а также известным длинам /^ каждой секции диафрагмы требуется определить все диэлектрические проницаемости £., 1 е (0; п). Идея разработанного метода решения данной задачи состоит в том, чтобы найти рекуррентную зависимость известных амплитуд А и ^ от неизвестных диэлектрических проницаемостей £.. Такая зависимость была найдена:
А = —п11----(уп-^,Рп + у Чп )Ее-гу/п-1, (4)
2уПу}
1=0
где
__________________ 2 2 /
г~2 ~/ 2 у у ^ я I
Уj = ^ю е ^ 0-я / а , £ у = ^-^------------
ю2ц 0
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Po = 1; Pi = Y-1 Po cos а0 + у о qoi sin а0, где y_i =Y, Р2 = УоPi cos «i + Yq' sin ai,
Pn = Yn-2Pn-icos an-i + Yn-iqn-i»'sin an-b qo = i; qi = Y-i Po¿ sin ao + Yo qo cos ao, q2 = YoPii sin ai + Yiqi cos ai,
Чи = Уп-2 Рп-1з1п ап -1 + Уп-1Чп-1 сой а -і.
ЗДесь ап-1 = Уп-1(/п-1 - 1и-2) пРи п = 1:1и-2 = 1-1 = 0 .
С учетом того, что У/ = , уравнение (4) является ком-
плексным нелинейным уравнением относительно £г- неизвестных диэлектрических проницаемостей £г-. Очевидно, что количество уравнений меньше, чем количество неизвестных. Записывая данное уравнение при различных значениях круговых частот, получим необходимое количество уравнений. Для случая и секций достаточно знать значения А и Р при и /2 круговых частотах, чтобы составить систему из п уравнений.
3. Построение математических моделей и результаты численного моделирования
Математическая модель для двухсекционной диафрагмы
На основании формулы (3) для случая двухсекционной диафрагмы (и = 2) получим следующую математическую модель решения прямой задачи:
Р=. 2Ау
(y+yo )о + (y-y)À)’ Co,Do = ^^yO“Y Yo ±Y1 (/о + Yi + y2)Y1/oA),
- _ P±i'h/1 . ,
Q, D = “T“Yl ± Y2)-iY2/l, 2 1
Ci = Ci • F, І є (0;1),
Di = Di • F, І є (0;1),
B = 2- [(Co + Do)y - (Co - Do)Yo ]•
2Y
Аналогично, для обратной задачи на основании формулы (4) имеем
A=v^— ( Yi P2+yq2) Fe-iyh,
2YYoYi
P2 = Yo Pi cos ai + Yq' sin ai, q2 = Y o Pi' sin ai + y iqi cos ai,
Pi = у cos ao + Y o' sin ao, qi = Y -iPo' sin ao + Yoqo cos ao,
ai = Yi (1i - 1o), ao = YoV
Данная модель была реализована и протестирована в системе компьютерной математики MathCad. Результаты моделирования представлены в табл. i.
Таблица i
Тип задачи Исходные данные Результаты
Прямая ю = 2,5, a = 2, b =1, c = 2 , /0 = 1, /1 = 2, A = 1, є = 1, Цо = 1, Єо = 1,1, Є1 = 1,5 B = 0,14 - 0,176 • i, C0 = 0,968 - 0,647 -10-2 • i, D0 = 0,172 - 0,169 • i, C1 = 0,738 + 0,417 • i, D1 = 0,059 + 0,112 • i, F = 0,85 - 0,476 • i
Обратная ю = 2,5, a = 2, b = 1, c = 2 /0 = 1, /1 = 2, F = 0,85 - 0,476i Єо = 1,1, Є1 = 1,5
Ранее в работе [2] для случая двухсекционной диафрагмы было получено аналитическое решение для прямой задачи. Сравнение двух методов показало полное совпадение результатов.
Математическая модель для трехсекционной диафрагмы
Аналогично строится математическая модель для трехсекционной диафрагмы. В результате для прямой задачи имеем
Р= . 2Ау
(Y + Y0)C0 +(y -Y )Do ’
Co,Do = e-¡Y^( Yo ± Y1 Y1/0 + (Y1 + Y2 )y 1/0D ) :
^ D1 = ^ Y Y ^2 Y2/1 +Y1 + Y2 ) 2/D ),
±iY ?/?
C2, £>2 = —2-(2 ±Y)e-iY/2,
2 2
Ci = C • F, i e (0;2),
Di = Di • F, i e (0;2),
B = 2- [(Co + Do)Y - (Co - Do)Yo ]•
2
Для обратной задачи имеем
A = -2—i------(L2 P3 + Y^32) Fe-iY/2,
2YYoYiY2
P3 = YiP2 cos “2 + Y242sin “2,
43 = Y lP2i sin “2 + Y242 c°s “2,
P2 = YoPl c°s “i + Yi4i' sin “i,
42 = Y o Pii sin “i + Y i4i c°s “i,
Pi = Y c°s “o + Yoi sin “o,
4i = Y-iPoi sin “o + Yo4o cos “o,
“2 = Y2(/2 - li),
“i = Yi (li - lo),
“o = Yolo •
Данная модель была реализована и протестирована в системе компьютерной математики MathCad. Результаты моделирования представлены в табл. 2.
Таблица 2
Тип задачи Исходные данные Результаты
Прямая o>i = 2,5, ю2 = i,7, B = o,oo6 + o,o9• i, B = -o,o48 + o,3i8• i,
a = 2, b = i, c = 2 Co = o,963 - o,oo3 • i, Co = o,88 - o,o36 • i,
5, 2, N 2, N N ,^o Do = o,o43 + o,o88 • i, Do = o,o72 + o,28b i,
A = i, e = i, ^o = i, Ci = o,925 + o,i35 • i, Ci = o, 773 + o,i59 • i,
eo = i, i, ei = i, 2, e2 = i, 3 Di = o,o42 + o,io7 • i, Di = o,o9 + o,i79 • i, C2 = o,829 + o,363 • i, C2 = o,668 + o,329 • i, D2 = o,o42 + o,oo8 • i, D2 = o,o98 + o,i77 • i, F = o,78 -o,6i9 • i, F = o,689 - o,649 • i
Обратная o>i = 2,5, m2 = i,7, a = 2, b = i, c = 2, lo = i, li = 2, l2 = 2,5, A = i, F| = o, 78 - o,6i9 • i lmi ’ ’ F\ = o, 689 - o, 649 • i lm2 eo = i, i, ei = i, 2, e2 = i, 3
Таким образом, в работе были разработаны рекуррентные методы численно-аналитического решения прямой и обратной задач электродинамики для определения диэлектрической проницаемости «-секционной диафрагмы в волноводе.
Список литературы
1. Гришина, Е. Е. Численное и аналитическое решение задачи дифракции электромагнитного поля на двух секциях с разной диэлектрической проницаемостью, расположенных в прямоугольном волноводе / Е. Е. Гришина, Е. Д. Деревянчук, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 4. - С. 73-81.
2. Smirnov Yu. G. Collocation Method of Solving Volume Singular Integral Equation for Diffraction by Dielectric Body in Rectangular Waveguide / Yu. G. Smirnov, M. Yu. Medvedik, E. D. Derevyanchuk // Proceedings of Progsess in Electromagnetics Research Symposium (PIERS 2009). - Moscow, Russia, 2009.
Деревянчук Екатерина Дмитриевна
аспирант, Пензенский государственный университет
E-mail: mmm@pnzgu.ru
Derevyanchuk Ekaterina Dmitrievna
Postgraduate student,
Penza State University
УДК 517.3 Деревянчук, Е. Д.
Решение обратной задачи определения диэлектрической проницаемости диафрагмы в волноводе / Е. Д. Деревянчук // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. -№ 4 (20). - С. 36-43.
