Обратная задача восстановления электромагнитных параметров тонкой односекционной анизотропной диафрагмы в прямоугольном волноводе Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.3

DOI 10.21685/2072-3040-2017-4-11

Е. Д. Деревянчук, М. А. Логинов, О. В. Фролова

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПАРАМЕТРОВ ТОНКОЙ

ОДНОСЕКЦИОННОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ДИАФРАГМЫ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ1

Аннотация.

Актуальность и цели. Интерес к обратным задачам электродинамики вызван развитием современной радиоэлектроники и техники, в частности, появлением новых видов искусственных материалов. Определение электромагнитных характеристик такого рода материалов является актуальной задачей современной электродинамики. Цель исследования - разработать численно-аналитический метод решения обратной задачи для тонкой анизотропной диафрагмы.

Материалы и методы. Рассматривается обратная задача восстановления тензора диэлектрической проницаемости тонкой анизотропной диафрагмы. Задача сводится к решению краевой задачи для системы уравнений Максвелла.

Результаты. Получены аналитические приближенные формулы решения обратной задачи. Разработан метод решения такой задачи. Метод был протестирован на ряде примеров.

Выводы. Полученные приближенные формулы решения обратной задачи для тонкой анизотропной диафрагмы могут быть использованы при определении электромагнитных параметров анизотропных тонких пластин волновод-ным методом.

Ключевые слова: анизотропная диафрагма, волноводный метод, обратная задача, диагональный тензор диэлектрической проницаемости.

E. D. Derevjanchuk, M. A. Loginov, O. V. Frolova

THE INVERSE PROBLEM OF RECOVERING ELECTROMAGNETIC PARAMETERS OF A THIN ANISOTROPIC DIAPHRAGM IN A RECTANGULAR WAVEGUIDE

Abstract.

Background. The paper is devoted to the inverse problem of recovering electromagnetic parameters. This is an actual problem of modern electrodynamics. The aim of the study is to develop a numerical-analytical method to solve the inverse problem for a thin anisotropic one-sectional diaphragm.

Materials and methods. We consider the inverse problem of recovering the permittivity tensor for a thin anisotropic diaphragm. The problem is reduced to boundary value problem for the Maxwell's equation system.

Results. We have obtained approximate formulas of the solution to the inverse problem.

Conclusions. The solution to the inverse problem can be used for tensor permittivity recovery in a thin anisotropic slab.

1 Работа финансово поддержана стипендией Президента РФ для молодых ученых и аспирантов № СП-1311.2015.5, а также грантом Министерства образования и науки РФ (госзадание № 1.894.2017/4.6)

Key words: inverse problem, anisotropic material, waveguide method, permittivity tensor.

Введение

Данная статья является продолжением работ [1-3], посвященных обратным задачам.

К классическим обратным задачам электродинамики относятся задачи восстановления характеристик тела по результатам измерений или отраженной, или прошедшей волны. К ним относятся, например, обратные задачи геофизики, физики атмосферы, задачи томографии в медицине. В частности, к обратным задачам относятся задачи восстановления электромагнитных параметров образца материала. В данной работе будет рассмотрена обратная задача восстановления диэлектрической проницаемости тонкой односекци-онной диафрагмы.

Постановка задачи

Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат (ПДСК). Пусть в ПДСК задан волновод P = {x :0 < xi < a,0 < x2 < b, -ж < X3 < ^J с идеально проводящей поверхностью dP (рис. 1, 2).

Рис. 1. Диафрагма в волноводе

В A

<- <—

А то C1 Ti F To

0 А

Рис. 2. Схема распространения волн в волноводе

В волноводе расположена тонкая односекционная диафрагма Q (Q с Р). Толщина диафрагмы /1 известна. В Р \ Q среда изотропна и однородна с проницаемостями £0 = 1, Цо = 1. Диафрагма представляет собой анизотропную среду с диагональным тензором диэлектрической проницаемости

f

£ =

£11 0

0

0

£22 0

0 ^ 0

£33

(1)

и известным тензором магнитной проницаемости

(Ц11 о о ^ Ц= 0 Ц22 0

0 0 Ц33

(2)

Предполагается, что значение компоненты £22 неизвестно. Постановка задачи: требуется по известной амплитуде А падающего поля и известному коэффициенту прохождения ЩА определить компоненту

£22 диэлектрического тензора тонкой односекционной диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод.

Метод решения задачи

Поведение электромагнитного поля внутри волновода Р удовлетворяет уравнениям Максвелла:

[rot H = -iroe0 E, [rot E = iro^0H,

[rot H = -iroeE, [rot E = irn|H.

(3)

(4)

Здесь система (3) описывает поведение электромагнитного поля вне диафрагмы, а система (4) - внутри диафрагмы; E - вектор напряженности электрического поля, H - вектор напряженности магнитного поля; ю> 0 -круговая частота. Предполагается, что волновод работает в одномодовом ре-

2 2

жиме [4]. Следовательно, волновое число ^0 (^0 =® £0^0) удовлетворяет неравенству я/а < ^0 < я/Ь , где а - ширина волновода, Ь - высота волновода. Предполагается, что внешнее электрическое поле имеет вид [4]:

что

соответствует волне типа у0 k0 -я2/a2 =^2£q|10

_,0 . . ( TCTi

E0 = A sin I -1 a

H10 У0

-я2/a 2

e~n 0 x3 g2,

с известной амплитудой

постоянная распространения вол-

0

ны НцУ; е2 - орт вдоль оси Оу . Вектор H определяется из второго уравнения системы (3).

С учетом того что в волноводе распространяется только волна Ню с поляризацией:

Е = (0Ey 0), Н = ( 0Hz), полное поле вне Q имеет вид

E =

81И

ях

sm| — |Fe-*0ze2, z > l,

(Ae_iY0z + Beiy°z) e2, z < 0,

(5)

а внутри диафрагмы поле имеет вид

nx

E = sin \ — | (C1e"iYiz + DieiYiZ )e2, 0 < z < l.

iYiz i

(6)

Здесь A - амплитуда падающей волны; B и F - коэффициенты, подлежащие измерению. Подставляя выражения (1)-(2) в системы уравнений Максвелла (3)-(4), получим соответствующие выражения для постоянных распространения:

2 П2

Yo _J® е0^0 - a2, Y1

( n2 ^ 2n

a2

£11

^33

На границе областей должны выполняться условия сопряжения:

Е ]L = 0, [HX \ = 0,

(7)

(8)

где L :={(x,у,z): z = 0, z = l}, [^- скачок предельных значений функции на границе раздела сред L; Еу , Hx - тангенциальные составляющие векторов Е, Н соответственно.

Ранее в работе [1] для тензоров (1)-(2) с учетом выражений (5), (6) и (8) были получены формулы зависимости коэффициента прохождения ^ А от компонент диэлектрических и магнитных тензоров:

F __

A " Y n

■ , " v ■

2e-iY П^

J _0

-p^yf q<+i

(9)

In

Hi

где

i Y j-i Pi _ IP2 _

t-—г pi cos a + . . qi sin a ,

u(j-i) J u(y) i

ni ni

pj+i _ -(лу Pjcos a j+-j qji sin a j, -ii -ii

Y '—i Y '

qi= 1' qi _ "(by Pii sin a j+~Л\ qicos a j, -ii -ii

Y T—i Y '

qj+i_j7 Pji sin a j ^—[77 qjcos a j, -ii -ii

a j _

Yj (lj — lj—17 j _i,-,

Для односекционной диафрагмы выражение (9) преобразуется к следующему виду:

2 2 Yl + Y0. 2 2

-eiY°li = cos(Yili) + i -ii -0 sln(Yili) • (i0)

F Knu i

-0 -ii

Постоянные распространения, входящие в уравнение (i0), выражаются по формулам (7). При условии, что толщина диафрагмы тонкая, т.е. li ■ i и

при этом Yili ■ i, имеем sin (Yili) ~ Yili, cos (y^i)- i. Тогда формула (i0) примет вид

2 2 YiL + Yo.

°li= i + i ^H-2 Yili. (H)

F 2 Ж JYL

-0 -ii

Уравнение (ii) представляет собой комплексное уравнение относительно неизвестной компоненты Ец . Выражение Ец имеет вид

Е22 =

T и2 + к -ii 1 -ii + "2

a -33

2

i , (i2)

®2-33

T _ 2Y0k — Y2 k _ AeiY0li — i iYi-0-11 -2 ' F

Таким образом, решение поставленной обратной задачи имеет вид (i2).

Численные результаты

В данном пункте представлены численные результаты решения поставленной обратной задачи на конкретных примерах. Все единицы измерения указаны в системе СГС.

Рассмотрим первый пример. Параметры волновода а = 2 см, Ь = 1 см, измерения проводятся на частоте / = 8,225 ГГц (ю = 51,87), амплитуда падающего поля А = 1. В первом столбце таблицы указаны значения коэффициента прохождения на каждой частоте, во втором и третьем - вычисленные значения диэлектрической проницаемости и толщины каждой секции двухсекционной диафрагмы, в последних двух столбцах указаны точные значения искомых величин (табл. 1).

Таблица 1

Значения F A Значения 11, см Вычисленные значения Е22 по формуле (12) Точные значения ё22 Д,%

i,000 - i0,00i 0,0001 1,9 1,9 0,0

i,000 - i0,006 0,001 1,9 1,9 0,0

i,000 - i0,0i2 0,005 1,9 1,9 0,0

i,000 - i0,0i4 0,009 1,9 1,9 0,0

0,969 - i0,ii4 0,01 1,9 1,9 0,0

0,962 - i0,i25 0,09 1,863 1,9 i,9

0,875 - i0,i99 0,1 1,854 1,9 2,4

0,2 1,718 1,9 9,5

Из табл. 1 видно, что приближенную формулу (12) можно применять для длин I < 0,2 . Тогда при условии, что значения ^А известны вплоть до третьего знака, погрешность вычислений с помощью формулы (12) не будет превышать 3 %.

Рассмотрим второй пример. Параметры волновода а = 2 см, Ь = 1 см, измерения проводятся на частоте / = 8,225 ГГц, (ю = 51,87), амплитуда падающего поля А = 1. В первом столбце таблицы указаны значения коэффициента прохождения на каждой частоте, во втором и третьем - вычисленные значения диэлектрической проницаемости и толщины каждой секции двухсекционной диафрагмы, в последних двух столбцах указаны точные значения искомых величин.

Таблица 2

Значения F A Значения li, см Вычисленные значения Е22 по формуле (12) Точные значения ё22 Д,%

0,97i - i0,i58 0,09 2,704 2,8 3,4

0,97i - i0,i68 0,09 2,889 3,0 3,7

0,97i - i0,i78 0,09 3,074 3,2 3,9

0,970 - i0,i93 0,09 3,349 3,5 4,3

0,949 - i0,3i4 0,09 5,588 6,0 6,8

Заключение

Таким образом, в данной работе предложены приближенные формулы решения поставленной обратной задачи. Численные результаты показывают эффективность использования приближенных формул для определения тензора диэлектрической проницаемости для толщин диафрагмы меньше 0,2 см.

Библиографический список

1. Деревянчук, Е. Д. Решение обратной задачи определения тензора магнитной проницаемости диафрагмы в прямоугольном волноводе / Е. Д. Деревянчук // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 20i3. - № i (25). - С. 34-44.

2. Smirnov, Yu. G. Permittivity reconstruction of layered dielectrics in a rectangular waveguide from the transmission coefficient at different frequencies / Yu. G. Smirnov, Yu. V. Shestopalov and E. D. Derevyanchuk // Inverse Problems and Large-Scale Computations, Series. - Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. - 20i3. -Vol. 52, XII. - РЛ69-Ш.

3. Smirnov, Yu. G. Permittivity determination of multi-sectional diaphragm with metamaterial layers in rectangular waveguide / Yu. G. Smirnov, Yu. V. Shestopalov and E. D. Derevyanchuk. - PIERS Proceedings (Taipei, 25-28 March). - Taipei, 20i3. -P. i35-i39.

4. Вайнштейн, Л. А. Электромагнитные волны / Л. А. Вайнштейн. - М. : Радио и связь, i988.

References

1. Derevyanchuk E. D. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fizi-ko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 20i3, no. i (25), pp. 34-44.

2. Smirnov Yu. G., Shestopalov Yu.V., Derevyanchuk E. D. Inverse Problems and Large-Scale Computations, Series. - Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. 20i3, vol. 52, XII, pp.i69-i8i.

3. Smirnov Yu. G., Shestopalov Yu.V., Derevyanchuk E. D. PIERS Proceedings (Taipei, 25-28March). Taipei, 20i3, pp. i35-i39.

4. Vaynshteyn L. A. Elektromagnitnye volny [Electromagnetic waves]. Moscow: Radio i svyaz', i988.

Деревянчук Екатерина Дмитриевна

кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, научно-исследовательский центр «Суперкомпьютерное моделирование в электродинамике», Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: katyaderii@yandex.ru

Логинов Максим Александрович

студент, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: mak.log20i3@yandex.ru

Фролова Ольга Вячеславовна студент, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: olga.fov@yandex.ru

Derevyanchuk Ekaterina Dmitrievna Candidate of physical and mathematical sciences, researcher, the research center "Supercomputer modeling in electrodynamics", Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Loginov Maksim Aleksandrovich

Student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Frolova Ol'ga Vyacheslavovna

Student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza Russia)

УДК 517.3 Деревянчук, Е. Д.

Обратная задача восстановления электромагнитных параметров тонкой односекционной анизотропной диафрагмы в прямоугольном волноводе / Е. Д. Деревянчук, М. А. Логинов, О. В. Фролова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 4 (44). - С. 119-126. БОТ 10.21685/2072-3040-2017-4-11