CC BY
40
УДК 519.86
РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ОПЕРАТИВНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ В УСЛОВИЯХ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
В.М. Момот, доцент, к.т.н., Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского "ХАИ"
Аннотация. Предложена методика оценивания допустимых пределов изменения управляемых параметров задачи оперативного планирования, обеспечивающих заданный уровень вероятностной устойчивости относительно целеуказания в условиях вариации параметров модели.
Ключевые слова: оперативное планирование, вариация параметров, целеуказание, вероятностная устойчивость, стохастические характеристики, обратная задача.
Введение
При управлении предприятием возникает необходимость решать не только прямые задачи прогнозирования и оценки последствий принятия управленческих решений, но и получать решения так называемых обратных задач. Задачи такого рода возникают, когда необходимо оценить пределы изменения некоторых входных параметров планов или характеристик проектов, обеспечивающих требуемые значения показателей функционирования предприятия. В задачах оперативного управления, например, необходимо регулировать параметры производства таким образом, чтобы выходные показатели эффективности находились в некоторых пределах. При этом необходимо учитывать, что функционирование современных предприятий связано с деятельностью в условиях различных неопределенностей, которые имеют стохастическую природу и управленческие решения, принятые в детерминированных условиях не гарантируют требуемого результата с учетом возможных вариаций.
Анализ публикаций
Классические исследования влияния изменений параметров задачи линейного программирования на решение выполнены лишь для случая локальных возмущений параметров. При этом получены предельно допустимые условия изменения запасов ресурсов или цены изделия, при которых решение остается тем же [1-3]. В работе [4] разработан подход по оценке допустимого уровня изменения параметров задачи при интервальном способе их задания. Однако полученные на основе данного метода предельно возможные величины изменения параметров, не учитывают стохас-
тической природы возмущений и не позволяют судить о вероятностных характеристиках показателей функционирования предприятия.
Цель и постановка задачи
Таким образом, актуальными являются вопросы разработки инструментальных средств оценки диапазона планирования регулируемых параметров, при которых производственная система достигает поставленной цели с учетом возможных стохастических вариаций параметров внешней среды.
Методика оценивания
Решение обратной задачи заключается в декомпозиции допустимого интервала выходной (прогнозируемой) величины в допустимые области изменения входных параметров. Пусть Q - прогнозируемая величина выходной характеристики производственной системы (полезный эффект, уровень качества, экономические характеристики и т. д.). Вектор входных параметров X = (х1,х2,...,хп) однозначно определяет значение функции прогноза
Q = /(Х1, Х2 Хп ) . (1)
Необходимо гарантировать, что действительное значение прогнозируемой величины Q будет находиться в некоторых допустимых пределах нормативных значений Q е , Qв ].
Для учета стохастической природы возмущений при оценке функционирования производственных систем в работе [5] предложено использовать
вероятностный критерий вида Р (2 > С}, как меры устойчивости оперативного управления предприятием с учетом возможных вариаций параметров среды относительно целеуказания 2 > С . Таким образом, необходимость учета случайной природы показателей функционирования производственных структур приводит к необходимости рассмотрения вероятностного критерия вида Р(б6[бн,бе]}>Р', где Р{...} - вероятность
выполнения условия {...}, а Р' - минимальный допустимый уровень выполнения условия.
Анализ допустимой п - мерной области изменения входных параметров удобно осуществлять построением двумерных областей заданного уровня вероятности Р (б е [бн, бе ]} = Р' в плоскости возможных сочетаний пар входных параметров плана. Выбираем параметры хк и х,,
влияние которых на уровень вероятности прогнозируемой величины б интересует в данный момент. Присваиваем всем остальным входным параметрам х1 (, = 1,...,п); , ф к;, Ф , численные значения, равные их математическим ожиданиям М, . При этом исходная функция
б = / (( Х2хп) примет вид б* = /* (Хк, х,).
Построим область выполнения совместных вероятностных требований
Р (бн < б* (хк, х, )}> Р' Р (б. > б* (хк, х, )}> Р'.
(2)
В соответствии с [5] выполнение данного условия эквивалентно выполнению системы неравенств
[(бн )/ае < 'р [(.^)/^ >'р
(3)
где Ув и ов - соответственно математическое
ожидание и дисперсия оцениваемого показателя. Построив область выполнения системы неравенств в плоскости выбранных параметров плана хк и х , , получим область изменения входных параметров, при которых показатель функционирования производственной структуры б с заданной вероятностью Р' находится в диапазоне б е[бн, б. ]
Хк1 < хк < Хкн > Х1 < х, < Х,к.
(4)
безразмерного аргумента интеграла вероятности позволит получить соответственно только нижнюю Хк1 < хк, X1 < хили верхнюю ХкЛ > хк,
X> х, границу области изменения входных
параметров, гарантирующих заданный уровень вероятностного показателя устойчивости
Р{бн <б*(хк,х,)}>Р' или Р(б. >б*(хк,х,)}>Р'.
Величины математического ожидания прогнозируемого показателя и его среднеквадратичного отклонения могут быть получены с использованием математической модели б = / х2,..., хп).
В общем виде любая характеристика производственной системы может быть представлена в виде зависимости от некоторых возмущенных характеристик
п п п
б = бо +Е Ьх +Е сх + Е , (5)
1=1 1=1 1,,=1;(1<,)
где б0, Ь, с А, - коэффициенты аппроксимирующей модели. Для такой модели математическое ожидание и дисперсия прогнозируемой величины могут быть оценены по формулам
= бо + Е с рч + 2 Е А , (6)
,=1 ",,=1;0'<,)
ов = = ЕЬ2+ес,2+ Е .(7)
1=1 ,=1
,,,=1;(,< ,)
Разрешив полученное выражение относительно пары входных параметров плана хк и х,, можно
построить искомую область (рис. 1).
хк А
Х„
Рис. 1. Ортогональное сечение области допустимых значений в плоскости параметров плана
хк и х ,
Рассмотрим пример применения предлагаемой методики [4].
Очевидно, что использование только одного из вышеприведенных ограничений на величину
Пример. Прибыль склада оптовой торговли есть многофакторная функция вида
П = ^RN - к • T • R - T - C— (8)
где П- прибыль склада, у.д.е.; Ф - месячный грузопоток, т/мес.; Н - торговая надбавка, %; Я = 600 - цена закупки товара, у.д.е./т; к = 0,045 - коэффициент пропорциональности, зависящий от величины запаса товара и банковского процента; С уд = 11 - удельная стоимость грузоперера-
ботки, у.д.е./т; Спост = 300 - условно постоянные издержки, у.д.е.
Определим, как могут меняться величины потока Ф и торговой надбавки Н, обеспечивая при этом
уровень прибыли предприятия П* более 500 у.д.е.
Установление постоянной максимальной предельно возможной надбавки является нежелательным при реализации товара, так как при повышении цен может упасть объем сбыта. Также при увеличении объема производства и, соответственно сбыта, с определенного момента могут непропорционально быстро увеличиться издержки, что приведет в свою очередь к уменьшению прибыли.
При решении задачи считаем, что стохастическую природу имеют цена закупки и удельная стоимость переработки. Вероятностная природа цены обусловлена изменением соотношения спроса и предложения на товар, конкурентной борьбой на рынке сбыта. Удельная себестоимость может варьироваться вследствие изменения соотношения между постоянными и переменными издержками при разных объемах продукции, вследствие старения оборудования, требований к качеству сырья, падения или роста эффективности производства и других причин. Считаем, что величина параметрического возмущения составит величину 10% от номинальных значений и при этом Аа. = 3ст,. [5].
Модель зависимости величины прибыли от возмущенных значений параметров имеет вид
* T • R • N
П--+ к • T • R + C • T + Спост
1QQ гр.уд. П°ст
■ = tp
П = nQ + blAR + b2 AC
(9)
Здесь П0 - характеризует величину прибыли при номинальных параметрах грузопотока; коэффи-
ТЫ
циенты аппроксимации Ь1 = ^^ - кТ ; Ь2 =-Т .
Получив по вышеприведенным формулам зависимость величины математического ожидания
т = П0 и дисперсии ВП = ^ТЫ - кТ ^ ВЯ + Т2
величины прибыли в функции величины отклонения торговой надбавки и величины грузопотока
|Q,QQ111| iQQTN - кТ | R2 + Q,QQ111C„„2T2
получим с помощью пакета символьной математики Maple область возможного изменения параметров Т и N, при которой уровень прибыли предприятия будет соответствовать заданному плановому значению с вероятностью P = Q,9. Графическое решение этой задачи представлено на рис 2.
sij
9.5
9
0.5
Рис. 2. Область изменения параметров торговой стратегии
Выводы
Предложенный графо-аналитический метод позволяет оценивать допустимые пределы изменения входных параметров проекта, обеспечивающих заданный уровень вероятности выполнения планового показателя эффективности производственной системы.
Литература
1. Фомин Г.П. Методы и модели линейного про-
граммирования коммерческой деятельности.
- М.: Финансы и статистика, 2000. - 128 с.
2. Схрейвер А. Теория линейного и целочислен-
ного программирования. - Т.1 - М.: Мир, 1991. - 360 с.
3. Косоруков О.А., Мищенко А.В. Исследование
операций. - М.: Издательство «Экзамен», 2003. - 448 с.
4. Романенков Ю.А. Графоаналитические методы
решения задач оперативного управления // Информационно-управляющие системы на железнодорожном транспорте. - 2002. - №3.
- С. 18-20
5. Чумаченко И.В., Момот. В.М. Теоретические
основы системы поддержки принятия управленческих решений на основе вероятностного подхода // Вюник Схщноукрашсь-кого нацюнального ушверситету iменi Во-лодимира Даля. - Луганськ. - 2003. -№6(64). - С. 91-96.
Рецензент: Е.В. Нагорный, профессор, д.т.н., ХНАДУ.
Статья поступила в редакцию 12 января 2QQ5 г.
