Дискретные модели управления непрерывными экономическими процессами Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЭКОНОМИКИ

УДК 330.46

С.А. Богомолов

ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫМИ ЭКОНОМИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ

В статье рассматриваются некоторые вопросы дискретного представления непрерывных управленческих процессов на основе мониторинга ключевых параметров внешней среды.

Ключевые слова: непрерывные управленческие процессы, дискретные модели.

S.A. Bogomolov

DISCRETE MODELS OF CONTINUOUS ECONOMIC PROCESSES MANAGEMENT

The article deals with several aspects of discrete presentation of continuous process management on the basis of key external parameters monitoring.

The key words: continuous management processes, discrete models.

В настоящее время исследователи столкнулись с проблемой разработки эффективного управления сложными объектами, функционирование которых определяется большими массивами данных о его пространственно-временных состояниях, характере взаимодействий как внутренних элементов между собой, так и с элементами внешней среды. Особенно остро проблема принятия адекватных решений стоит на уровне организационных систем, в которых задачи слабо структурированы и слабо формализованы, а также имеется неоднозначность, противоречивость начальных данных и знаний об объектах и процессах, в них происходящих. Исследователи не в состоянии рассмотреть все детали и характеристики исследуемых объектов, что обусловлено: во-первых, принципиальной неустойчивостью (некорректностью) процессов турбулентного развития (два близких начальных состояния могут порождать различные траектории развития); во-вторых, принципиальной стохастичностью — непредсказуемостью внешних воздействий [1].

Таким образом, в указанных системах процесс управления по своей сути объективно дискретный, управляющее воздействие которого направлено на процессы заведомо непрерывные, динамика развития которых детерминируется совокупностью сложных нелинейных зависимостей.

В идеале субъект управления локальной экономической системы (а именно данная сфера представляет предмет исследований) действует в реальности, позволяющей максимизировать ценности управляемого объекта, располагает знанием всех возможных состояний системы и результатов собственных действий, а также обладает определенным способом получения такого знания из крайне несовершенной практики. Реальная действительность вынуждает исследователей искать прагматичные подходы, основанные на относительно достоверной и фрагментарной информации, ограниченных ресурсах для проработки, детального расчета и планирования ряда возможностей одновременно, а также на необходимости своевременного реагирования на быстро (а часто и слабо предсказуемую) изменяющуюся внешнюю и внутреннюю среду [2]. Для упрощения рассуждений в дальнейшем под внешней средой с точки зрения управляющей системы будем понимать как собственно внешнюю среду (в ее классическом представлении), так и управляемую систему (т.е. внутреннюю среду предприятия, объект управляющего воздействия). Корректность подобного предположения для данной работы основывается на аналогичности процессов развития всех организационно-экономических систем, подчиняющихся общим законам и разрешимых в пределах единых математических моделей.

♦------------------------------------------------

Учитывая турбулентность и стохастичность поведения внешней среды, ограниченный объем исходной информации, искажения (шумы) используемых данных и, как правило, отсутствие априорных сведений о виде законов распределения микроэкономических параметров, считаем целесообразным рассмотреть поведение изучаемой системы с помощью теории управления дискретными процессами. Дискретные модели представляют собой естественный способ описания многих явлений, не только действительно дискретного, но и непрерывного характера, так как в настоящий момент существуют вполне надежные способы аппроксимации непрерывных явлений к дискретным [3]. Это позволяет стандартизировать исследовательские подходы и выбрать оптимальный способ регистрации интересующих параметров системы (в нашем случае - организационно-экономической), а также оптимизировать процессы анализа изменений и синтеза управленческих решений заданного уровня сложности.

Вообще говоря, дискретное управление непрерывными процессами требует анализа адекватности этого приема и оценки возможных ошибок при анализе устойчивости и управляемости системы. Однако проблемы могут быть разрешимы с помощью выбора оптимальной частоты квантования (периода между регистрацией последовательных сигналов), предварительной оценки силы и направленности внешних возмущений (шумов), идентификации параметров полученных сигналов и правильного подбора регулирующего действия [4].

Необходимо подчеркнуть, что возмущения несут важную информацию о свойствах исследуемой системы. С одной стороны, шум сужает диапазон регулирования в управляемых системах, а его природа определяет возможное качество регулирования. Характер возмущений налагает серьезные ограничения на эффективность воздействия, так как именно они вызывают необходимость наличия контура обратной связи, который с наибольшей эффективностью функционирует в режиме оперативного реагирования посредством мониторинга некоторой совокупности базовых показателей внешней среды, начиная со стадии их зарождения. С другой стороны, в процессе исследования характеристик возмущений, изучаются состояния самой системы, регистрируются сбои и отказы на ранней стадии возникновения. Таким образом, исследователя вообще может интересовать не характер и математическое выражение процессов внешней среды, а величина и параметры сигнала в контуре обратной связи.

Вышеприведенные рассуждения позволяют смоделировать поведение управляющей системы как реакцию на возмущения с целью нейтрализации их влияния или адаптации за счет уменьшении силы отрицательного воздействия. Возможны следующие варианты:

1. Воздействие в источнике возникновения - самый очевидный путь уменьшения дестабилизирующих воздействий на функционирование объекта. В теории управления применимо только к явлениям, влияние на которые возможно в принципе.

2. Локальная прямая связь - реализация такого подхода требует локализации поступающих в систему возмущений. Кроме того, необходимо, чтобы были доступны контролируемые переменные, подверженные возмущениям.

В данной работе предлагается применение методики выделения совокупности основных воздействующих переменных, распараллеливание процесса фиксации и анализа поступающих слабых сигналов, что позволит; применив локальную прямую связь, ослабить влияние фактора до момента его определяющего воздействия. При наличии надежных процедур мониторинга и добротных каналов обратной связи подобный способ часто оказывается очень простым и эффективным средством уменьшения дестабилизирующих воздействий. Данный способ предполагает реализацию превентивных действий до возникновения проблемной ситуаций.

3. Обратная связь. Основной принцип данного метода заключается в измерении существующего явно выраженного возмущения, детерминирующего поведение системы в данный момент. Так как данное возмущение может быть результирующим нескольких факторов, то правомерно распараллеливание процедуры их наблюдения и анализа для определения доминирующего.

4. Прогнозирование. Если возмущение нельзя измерить по поступающим сигналам, то его прогнозируют, основываясь на тех или иных прогностических моделях. Для ситуаций квазистатичных на определенном выбранном интервале времени (либо изменяющихся по «хорошим» непрерывным функциям) естественно применение прямой экстраполяции прошлых результатов.

Заметим, что необязательно прогнозировать само возмущение, необходимо смоделировать только сигнал, являющийся результатом воздействия возмущения на основные переменные системы, что по существу является задачей анализа системы на заданный входной сигнал. Инструментом же получения входного сигнала должна послужить организация поканального мониторинга основных факторов внешней среды. Конструирование адекватных моделей, учитывающих турбулентность внешней среды, предполагает проведение мониторинга базовых социально-экономических показателей. В качестве таковых ниже предлагается совокупность качественных и количественных характеристик состояния рынка политической, социальной и других сфер. Мониторинг выступает основой для последующей селекции сигналов, их анализа и оценки возможных рыночных тенденций. При отсутствии количественных показателей целесообразны экспертные оценки (балльный метод, метод «Дельфи», мозговая атака и др.). Мониторинг позволяет сразу отсекать маловероятные варианты будущего, освобождая исследователя от непродуктивного анализа тупиковых путей.

Однако необходимый минимум информации о предыстории системы в сочетании с мониторингом позволяет с заданной степенью точности описать ее развитие в определенный (возможно, ограниченный) промежуток времени. Одно из требований эффективного прогнозирования - распределение вероятностей следующего состояния должно однозначно определяться текущим состоянием. Такие процессы (стохастически детерминированные) определены распределением начальных вероятностей и вероятностей переходов. Используя правило умножения условных вероятностей, можно представить все конечномерные распределения. Подобные расчеты выполнимы на основе современного информационного и компьютерного обеспечения.

Необходимо отметить, что наблюдаемые параметры и количество каналов наблюдения определяются

♦

♦

субъектом управления в зависимости от сложности деятельности экономической системы, ресурсов и субъективной оценки целесообразности.

Для каждого канала наблюдения управляющая система организовывает локальные прямую и обратную связи, наиболее оптимальный период квантования (интервал между последовательными моментами регистрации сигналов), а также границы допустимых значений возмущения, не требующих реакции системы.

В период между замерами (фиксацией) параметров внешней среды интересующие процессы вполне представимы в квазистатичном виде, что приводит на данном временном промежутке к управлению отдельными состояниями. Исследование конкретной экономической системы должно предполагать рассмотрение определенных квазистабильных состояний на заданном промежутке времени и достаточно осторожную экстраполяцию тенденций при прогнозе ее эволюции. При этом не следует воспринимать дискретную модель только как модель простого поведения системы по принципу «стимул - реакция». Метод позволяет осуществить достаточно надежные процедуры прогнозирования социально-экономических процессов, рассматривая возмущение как стохастический процесс.

Неопределенность и стохастичность - объективная реальность. Не всегда возможно проследить воздействие случайности на процессы так, чтобы оценить источники возмущений, а тем более правильно учесть, проанализировать, спрогнозировать дальнейшее развитие. Вместе с тем изменчивость проявляется не сама по себе, а в контексте необходимости следования определенным экономическим законам, управляющим движением социальной материи. Таким образом, хотя глубинный смысл изменчивости часто неясен, она ограничена в определенных рамках, что создает так называемое «поле возможностей» - совокупность возможных состояний. Условия виртуально возможных процессов, состояний, путей и направлений развития формально выражаются в терминах многокритериальной задачи оптимизации. Необходимо найти такое состояние системы, которое обеспечивает минимальное значение функционалов:

Ф1 (х) ^ т/п,

где / = 1,2,3,... - явлений или объектов взаимодействия.

Минимизация функционалов может быть интерпретирована как минимизация затрат ресурсов и энергии при взаимодействии системы с элементами внешней сред ы.

Из математического анализа известно, что одновременная минимизация нескольких функций имеет смысл при выполнении нескольких специальных условий. Если обозначить через □1 множество экстремальных значений функционалов Ф1(х), задача Ф2(х) ^ т/п будет иметь смысл, если минимальное значение Фг(х) разыскивается на множестве □1 и т.д. При этом условие определяет множество допустимых состояний.

При определении множества необходимых параметров для описания состояний системы и минимумов в рамках многокритериальной задачи оптимизации можно получить описания траекторий наиболее эффективного поведения системы. Однако принципиально невозможно определить все объекты влияния и примерную силу воздействия, отсутствуют технические воз-

можности полного и всестороннего решения оптимизационных задач.

Критерием ранжирования функционалов и оптимизации состояний системы является механизм отбора. Для каждой локальной системы можно определить свой эффективный способ поведения, способствующий сохранению ее гомеостазиса. Отбор ранжирует факторы внешней среды и внутренних переменных на основе целеполагания, более того, отбор позволяет сформировать некоторый функционал и определить его оптимальную величину - наиболее выгодное поведение (минимизация затрат, максимизация прибыли, завоевание конкретных рынков и т.д.).

Локальная экономическая система вовсе не обязана реализовать указанное оптимальное поведение, однако чем ближе траектория ее развития к наиболее эффективной, тем больше шансов сохранить свое предназначение в конкретных условиях. Ранее выдвигалось предположение, что информацию об отклонениях поведения от оптимального управляющая система получает, отслеживая возмущения определенных параметров внешней среды.

Представляя возмущение как стохастический процесс, можно использовать семейство стохастических переменных (х@), еТ}, индексированных параметром ^ который принадлежит множеству Т, называемому множеством индексов. Предлагается интерпретировать его как время, таким образом, множество Т представляет собой множество действительных переменных, с одной стороны, и совокупность моментов квантования (регистрации сигналов), с другой.

Рассмотрим основные понятия предлагаемого подхода. Значения случайного процесса в п различных моментов времени представим п-мерными случайными величинами и функцией:

1={б1.....бп Н-.М) = Р{х(и)< 51,..., хрп)< 5п},

где Р - вероятность, называемая конечномерной функцией распределения вероятностей случайного процесса.

Исследователям предпочтительна работа с нормальным гауссовым распределением процесса, так как данная теория более детально разработана в статистике и существуют программные пакеты, позволяющие производить расчеты с использованием средств компьютерных технологий. Локализовав процесс во времени, можно в первом приближении считать любые исследуемые явления нормально распределенными. Основными задачами являются:

- определение показателей вероятности тех или иных функций из семейства стохастических переменных;

- построение вероятностного распределения;

- прогноз основных тенденций дальнейшего развития.

Зная вероятностное распределение, получаем возможность обращаться к инструментарию исследования случайных величин таких, например, как математическое ожидание случайного процесса:

+^>

т( = Ех(/) = | 5бР(5(),

ковариация процесса:

г^(э,() = ооу[х(э), х(()]= Е[х(з)-т(э)][х(()-т(()]Т, взаимная ковариация для двух стохастических процессов:

ГхУ(э,()= оо^х^)^)].

♦--------------------------------------------------

Математическое ожидание (среднее значение) не нуждается в разъяснениях. Значение ковариации гх(0) в нуле есть не что иное, как дисперсия процесса, характеризующая величину его флуктуации. Среднеквадратическое отклонение равно квадратному корню из гх(0). Если нормализовать ковариацию по гх(0), то получим корреляционную функцию, определяемую как:

Рх(т)= Гх(т)/ Гх(0) .

Функция Рх(т) определяет взаимную зависимость значений процесса, разделенных промежутком времени т.. Если она близка к единице, то это означает сильную связь, если равна нулю - отсутствие связи, если же она отрицательная, то и связь отрицательная. Таким образом, исследование формы корреляционной функции позволяет судить о временной взаимозависимости процесса.

Уместно заметить, что модель стохастических процессов пока рассматривалась в основном как средство поканального изучения факторов внешней среды и определения их оценочных функций. На первый взгляд может показаться, что предлагаемая теория -прямая интерпретация обыкновенных статистических подходов. Действительно, до определенного момента, когда флуктуацию наблюдаемого экономического объекта (предприятия) можно объяснить в терминах массового поведения, нет необходимости усложнять свое существование, вводя дополнительные факторы-переменные.

Сложности возникают при увеличении неопределенности экономического объекта вследствие возникновения возмущения, не определяемого его динамикой. Тогда для дискретной экономической системы с периодом квантования равным единице имеет место представление:

х(к+1) =Ф х(к) + у(х), где х(к) - состояние в момент времени к, х(к+1) - состояние в момент времени к+1, Ф - зависит от характера процесса, v(x) - случайная переменная с нулевым математическим ожиданием, не зависящая от х(к) и всех прошлых значений х, иначе - шум.

В этом случае особое внимание следует уделить вопросу квантования, а именно выбору периода проведения очередного «измерения» состояния системы или одного из ее параметров. Масштабирование (квантование) времени зависит не только от объективных факторов, но и от целей наблюдателя.

Задавая начальные условия, вид интересующих функций, определяя возможные возмущения (мониторинг слабых сигналов), можно определить, как разворачивается случайный процесс х(к) во времени. В предлага-

емой модели множество характеристик процесса принимает одно из значений:

- достигнутый,

- прогнозируемый при нормальном развитии,

- прогнозируемое возмущение,

а для конкретного объекта дополнительно:

- нежелательный,

- благоприятный,

- целевой уровень.

Накладывая на график нормального развития стохастического процесса график возмущения (шума) и определяя отклонения введенных переменных от реально существующего течения (адекватно прогнозируемого), определяем:

а) критические точки;

б) степень воздействия изменений на конкретную систему;

в) характер воздействия (положительный, отрицательный);

г) целесообразность реакции и оптимальные ответные меры.

А также получаем возможность регулярно корректировать базовую модель. Если реальные отклонения от прогнозного состояния выходят за пределы допустимых значений, то целесообразно построение новой.

Логика приведенных рассуждений сталкивается с серьезной дилеммой основополагающего характера -конфликтом между целями наиболее полного и всестороннего представления реальности, выраженного через количественную оценку параметров, и ограниченностью ресурсов (материальных, информационных, человеческих, временных и т.д.). В первом приближении разрешение этой дилеммы будет основываться на одном из основных экономических законов предельной полезности. Необходимая степень точности детерминируется эффективностью ее использования, т.е. максимальной точкой уточнения является отношение между затратами на разработку моделей и экономическим эффектом от ее использования.

1. Бир С. Мозг фирмы. М.: Радио и связь, 1993.

2. Дункан Джек У. Основополагающие идеи в менеджменте. Уроки основоположников менеджмента и управленческой практики. М.: Дело, 1996.

3. Ивченко Б.П., Мартыщенко Л.А., Иванцов И.Б. Информационная микроэкономика. СПб.: Нордмед-Издат, 1997. Часть 1. Методы анализа и прогнозирования.

4. Острем К., ВиттенмаркБ. Системы управления с ЭВМ. М.: Мир, 1987.

5. Чечкин А.В. Математическая информатика. М.: Наука, 1991.