CC BY
255
УДК 531.133.1
РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ДЛЯ ШЕСТИЗВЕННОГО ШАРНИРНОГО РОБОТА-МАНИПУЛЯТОРА
Д.С. Воронкин
Описана последовательность действий, необходимых для решения обратной задачи кинематики, ориентированной на шестизвенного шарнирного робота-манипулятора.
Ключевые слова: метод, система координат, угол, расстояние, ось, параметры, звенья, манипулятор, робот, схват, вектор, матрица.
Обратная задача кинематики (далее ОЗК) заключается в расчёте обобщённых координат при заданных линейных и угловых координатах рабочего органа манипулятора. Эта задача является более сложной, чем прямая задача кинематики, поскольку может вести к неопределённости решения (т.е одному и тому же положению рабочего органа в пространстве могут соответствовать разные конфигурации робота).
Геометрический метод решения ОЗК заключается в нахождении аналитических выражений в явном виде с использованием аппарата тригонометрических функций с учетом кинематической схемы манипулятора.
Исходными данными для решения ОЗК являются: Три линейные координаты, три угловые координаты, фиксированные параметры Денави-та-Хартенберга.
Виду конструктивных особенностей шестизвенного шарнирного робота-манипулятора решение ОЗК геометрическим методом можно разделить на две подзадачи: решение ОЗК по положению (определение (72,и <7з) и решение ОЗК по ориентации (определение q4¡ q5tи ц6). В данной статье будет рассмотрено только решение ОЗК по положению.
Стоит отметить, что в данном типе роботов последние три сочленения робота, расположены так, что оси их вращения пересекаются в одной точке. В данном случае, согласно выбранным системам координат, оси пересекаются в точке 04.
Воспользовавшись суммой векторов
Г01
Р6° = Р4° + а6я1 о,
(1)
111
выразим координаты точки 04:
Г01
р4° = р2 - о,
(2)
где Я4° = У° г°]Т.
Рис. 1. Сумма векторов при кинематической декомпозиции
Проанализировав рис. 2, можно определить первую обобщённую координату с помощью выражения:
^1=а£ап2(Г40Д4°). (3)
Уже на этом этапе проявляется неопределённость решения ОЗК, поскольку существует второй способ расчёта этой координаты добавлением угла п, т.е разворотом манипулятора в первом сочленении на половину оборота:
ц1=Мап2(У®, + п. (4)
Рис. 2. Кинематическая схема: вид сверху
Стоит обратить внимание, что от выбора выражений (3) или (4) зависит вид соотношений для ц2 и В данной статье будет использовано выражение (3).
Очевидно, что выражения (3) и (4) верны, если Ф 0 и К4° ф 0, т.е когда направление вектора Яд не совпадает с направлением Другими словами, использование этих соотношений возможно, если точка пересечения осей сферического запястья не лежит на оси . В противном случае, говорят о сингулярной конфигурации манипулятора. Обобщённая координата при этом имеет бесконечное множество значений.
248
Стоит обратить внимание на следующие отрезки, изображённые на рис. 5 и 6, и обозначим их длины как:
а =/(ЩуТЩуТЩу , (5)
Ь = (7°-51), (6)
С = ШУТЩУ. (7)
Используя теорему Пифагора, запишем
а2 = Ь2 + с2
Используя теорему косинусов и формулу разности углов, запишем а2 = а22 + 542 - 2а254 со5(7г + = а22 + 542 + 2а254 соб(ц3) . (9)
Рис. 3. Измененная конфигурация кинематической схемы
Откуда выразим соб^3)\
С05^з) =-^-•
Используя основное тригонометрическое т
5Ш2((7з) + С052((7З) = 1,
[м 5т((7з):
яш2^
5Ш(
тождество
выразим
ьт((7з) = ±д/1 - соб2^2) . 249
(10)
(11) (12)
В результате обобщённая координата q3может быть вычислена как q3 = atan2(±7l - cos2(q3),cos(q3)) . (13)
Для определения q2 рассмотрим разность двух углов:
угла а, образованного отрезками а и с;
угла /?, образованного отрезками а и а2. Итак, выразим обобщённую координату q2:
q2= а - р. (14)
Принимая в расчёт тригонометрические выражения
tan а = - , (15)
tan/^Ц^, (16)
перепишем (14) в виде
q2 = atan2(b, с) — atan2(d4 sin(q3) ,a2 + d4 cos(q3)) , (17)
Таким образом, в результате всех преобразований получаем тригонометрические выражения для расчёта первых трёх обобщённых координат робота-манипулятора qlt q2 n q3.
Список литературы
1. Бурдаков С.Ф., Дьяченко В.А., Тимофеев А.Н. Проектирование манипуляторов промышленных роботов и роботизированных комплексов. М.: Высшая школа, 1986. 260 с.
2. Сочнев А.Н. Моделирование и исследование роботов и робото-технических систем. М., 2013. 56 с.
3. Борисов О.И., Громов B.C., Пыркин А.А. Методы управления ро-бототехническими приложениями: учебное пособие. СПб.: Университет ИТМО, 2016. 108 с.
4. ГОСТ Р ИСО 8373-2014. Роботы и робототехнические устройства. Термины и определения. М.: Стандартинформ, 1991. 15 с.
Воронкин Денис Сергеевич, магистрант, voronckin. denis®,yandex, ги, Россия, Тула, Тульский государственный университет
THE SOL UTION OF THE INVERSE KINEMA TIC PROBLEM FOR SIX-MEMBERED ARTICULATED ROBOTIC MANIPULATOR
D.S. Voronkin
The sequence of actions necessary to solve the inverse problem of kinematics oriented on a six — link articulated robot-manipulator is described.
Key words: method, coordinate system, angle, distance, axis, parameters, links, manipulator, robot, tong, vector, matrix.
Denis Sergeevich Voronkin, master, voronckin. denis®,yandex, ru, Russia, Tula, Tula State University
